1、第6章平均指標與標志變異指標6.1 平均指標的概念和作用6.2 數值平均數6.3 位置平均數6.4 標志變異指標用Excel進行數據分析：描述統計分析【引導案例】2012年國民經濟發展穩中有進城鄉居民收入穩定增長，全年城鎮居民人均總收入26959元。其中，城鎮居民人均可支配收入24565元，比上年名義增長12.6%；扣除價格因素實際增長9.6%，增速比上年加快1.2個百分點。在城鎮居民人均總收入中，工資性收入比上年名義增長12.5%，經營凈收入增長15.3%，財產性收入增長8.9%，轉移性收入增長11.6%。全年城鎮居民人均可支配收入中位數21986元，同比名義增長15.0%。按城鎮居民五等份

2、收入分組，低收入組人均可支配收入10354元，中等偏下收入組人均可支配收入16761元，中等收入組人均可支配收入22419元，中等偏上收入組人均可支配收入29814元，高收入組人均可支配收入51456元。全年農村居民人均純收入7917元，比上年名義增長13.5%；扣除價格因素實際增長10.7%，比上年回落0.7個百分點。其中，工資性收入比上年名義增長16.3%，家庭經營純收入增長9.7%，財產性收入增長9.0%，轉移性收入增長21.9%。農村居民人均純收入中位數7019元，名義增長13.3%。按農村居民五等份收入分組，低收入組人均純收入2316元，中等偏下收入組人均純收入4807元，中等收入組

3、人均純收入7041元，中等偏上收入組人均純收入10142元，高收入組人均純收入19009元。全年農民工總量26261萬人，比上年增加983萬人，增長3.9%；其中本地農民工9925萬人，增長5.4%；外出農民工16336萬人，增長3.0%。年末外出農民工人均月收入水平2290元，比上年增長11.8%。（資料來源：根據中華人民共和國統計局網站資料整理【引導案例】2013年國民經濟發展穩中向好居民收入繼續增加，2013年全年城鎮居民人均總收入29547元。其中，城鎮居民人均可支配收入26955元，比上年名義增長9.7%，扣除價格因素實際增長7.0%。在城鎮居民人均總收入中，工資性收入比上年名義增長

4、9.2%，經營凈收入增長9.8%，財產性收入增長14.6%，轉移性收入增長10.1%。全年城鎮居民人均可支配收入中位數24200元，比上年名義增長10.1%。按城鎮居民五等份收入分組，低收入組人均可支配收入11434元，中等偏下收入組人均可支配收入18483元，中等收入組人均可支配收入24518元，中等偏上收入組人均可支配收入32415元，高收入組人均可支配收入56389元。全年農村居民人均純收入8896元，比上年名義增長12.4%，扣除價格因素實際增長9.3%。其中，工資性收入比上年名義增長16.8%，家庭經營純收入增長7.4%，財產性收入增長17.7%，轉移性收入增長14.2%。農村居民人

5、均純收入中位數7907元，比上年名義增長12.7%。按農村居民五等份收入分組，低收入組人均純收入2583 元，中等偏下收入組人均純收入5516 元，中等收入組人均純收入7942 元，中等偏上收入組人均純收入11373 元，高收入組人均純收入21273 元。2013年全國居民收入基尼系數為0.473。全年農民工總量26894萬人，比上年增加633萬人，增長2.4%，其中，本地農民工10284萬人，增長3.6%，外出農民工16610萬人，增長1.7%。外出農民工月均收入水平2609元，比上年增長13.9%。【引導案例】2014年國民經濟在新常態下平穩運行2014年國民經濟在新常態下平穩運行居民收入

6、繼續增加。根據城鄉一體化住戶調查，全年全國居民人均可支配收入20167元，比上年名義增長10.1%，扣除價格因素實際增長8.0%。按常住地分，城鎮居民人均可支配收入28844元，比上年增長9.0%，扣除價格因素實際增長6.8%；農村居民人均可支配收入10489元，比上年增長11.2%，扣除價格因素實際增長9.2%。全國居民人均可支配收入中位數17570元，比上年名義增長12.4%。按全國居民五等份收入分組，低收入組人均可支配收入4747元，中等偏下收入組人均可支配收入10887元，中等收入組人均可支配收入17631元，中等偏上收入組人均可支配收入26937元，高收入組人均可支配收入50968元

7、。2014年全國居民收入基尼系數為0.469。全年農村居民人均純收入為9892元，扣除價格因素實際增長9.2%。全年農民工總量27395 萬人，比上年增加501萬人，增長1.9%，其中，本地農民工10574萬人，增長2.8%，外出農民工16821萬人，增長1.3%。農民工月均收入水平2864元，比上年增長9.8%。 從資料可以看出，20122014年居民人均可支配收入中位數是平均數的一種，那么平均數都包括哪些？以及如何計算？這三年居民人均可支配收入呈現怎樣的趨勢？【本章學習目標】1.掌握算術平均數、調和平均數、幾何平均數、中位數和眾數的計算方法，掌握全距、平均差、標準差和變異系數的計算方法；2

8、.理解平均指標和標志變異指標的概念、作用和種類；3.了解應用平均數對社會經濟現象的數量特征進行描述，分析現象的一般水平；4.了解利用全距、平均差、標準差和變異系數研究現象離散程度。機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用6.1 平均指標的概念和作用平均指標是在同質總體內，將各單位的數量差異抽象化，用以反映同類社會經濟現象總體各單位某一數量標志值在一定時間、地點、條件下的一般水平的指標。平均指標可以有量綱，一般與標志總量計量單位相同，也可以沒有量綱，一般是相對指標的平均。6.1.1平均指標的概念6.1.2平均指標的特點 第一，抽象性。第二，同質性。第三，反映總體變量值的集中趨勢。6.1 平均指標

9、的概念和作用機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用6.1.3平均指標作用6.1.4平均指標的種類 平均指標分為靜態平均數和動態平均數。 靜態平均數也稱一般平均數，按計算和確定的方法不同分為數值平均數和位置平均數，數值平均數有算術平均數、調和平均數、幾何平均數等形式。位置平均數有眾數、中位數、四分位數等形式。第一，平均指標可以反映同類現象在不同時間的比。第二，平均指標可以比較同類現象在不同空間發展的一般水平。第三，平均指標可以分析現象之間的依存關系。第四，利用平均指標估計、推斷其他有關指標 。6.2 數值平均數 機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 6.2.1算術平均數 算術平均數特點：第

10、一，計量單位應當和標志總量的計量單位一致。第二，分子分母為同一總體，分母是分子的承擔者。第一，平均指標中各變量值必須是同質的，分子與分母必須屬于同一總體，而強度相對數是由兩個不同質但有聯系的總體的指標數值對比求得。第二，平均指標中分子是分母具有的標志值，分母是分子的承擔者，分子與分母是一一對應關系。而強度相對數中分子與分母不存在一一對應關系。第三，使用單位不同。第四，平均數反映一般水平或集中趨勢。而強度相對數是反映兩個有聯系的總體之間的數量聯系。平均數與強度相對數不同點：6.2 數值平均數 機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 1.簡單算術平均數【例6-1】某商場在過去10天的洗衣機銷售量

11、（臺）資料如下：9、7、6、11、8、7、4、5、8、5，計算平均每天洗衣機銷售量。2.加權算術平均數 6.2 數值平均數 機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-2】某工廠某小組50名工人生產甲產品，日產量分組資料如表6-1前兩列所示，計算工人的日產量。（1）單項式數列計算加權算術平均數日產量（件）x工人人數（人）絕對數f標志總量xf工人人數（人）相對數f/f251435028%7302163042%12.6351552530%10.5合計501505100%30.1表6-1 某小組生產情況計算表6.2 數值平均數 機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-3】某企業工人按

12、日產量分組如表6-2所示，計算八、九月份平均每人日產量，并簡要說明九月份比八月份平均每人日產量變化的原因。日產量（件）工人數（人）八月份九月份120以下3018120130783013014010872140150901201501604290160以上1230合計360360表6-2 某企業工人生產情況6.2 數值平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 表6-3 某企業平均每人日產量計算表日產量（件）組中值（件）x八月份九月份工人數（人）f比重（%）工人數（人）f比重（%）120以下115308.33 3450185.0020701201301257821.67 9750308.33

13、375013014013510830.00145807220.0097201401501459025.001305012033.34174001501601554211.6765109025.0013950160以上165123.331980308.334950合計360100.0049320360100.00518406.2 數值平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 3.算術平均數數學性質（1）各變量值與其算術平均數的離差之和等于零（2）各變量值與其算術平均數的離差平方和最小6.2.2調和平均數 1.簡單調和平均數【例6-4】市場上某種商品，不同等級的單價分別為：一等品每千克80元

14、，二等品每千克60元，三等品每千克50元.現在各花10元買每個等級的商品，求平均每千克的價格。6.2 數值平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 2.加權調和平均數【例6-5】某地A、B兩個企業使用三種同樣的原材料甲、乙、丙的價格及銷售額（量）資料如表64所示，計算比較該地區哪個企業原材料平均價格高？并說明原因。品種價格（元/噸）A企業成本（萬元）B企業需求量（萬噸）甲30075000125乙37055500100丙46046000175合計176500400表64 某企業原材料資料6.2 數值平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 表65 某企業原材料平均價格品種價格x（元/

15、噸）A企業B企業成本m（萬元）需求量（萬噸）m/x 比重（%）成本m（萬元）需求量（萬噸） m/x比重（%）甲30075000250503750012531.25乙37055500150303700010025丙46046000100208050017543.75合計176500500100155000400100A企業原材料平均價格 B企業原材料平均價格 6.2 數值平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 3.調和平均數特點第一，調和平均數易受極端值的影響，且受極小值的影響比受極大值的影響更大。且只要有一個變量值為零，就不能計算調和平均數。第二，當組距數列有開口組時，其組中值即使按相

16、鄰組距計算了，假定性也很大，這時，調和平均數的代表性就很不可靠。第三，調和平均數應用的范圍較小。6.2.3幾何平均數1.簡單幾何平均數【例6-6】某流水生產線有前后銜接的六道工序。某日各工序產品的合格率分別為95、97、92、95、91%、90，求整個流水生產線產品的平均合格率。6.2 數值平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 2.加權幾何平均數 年限年利率（%）本利率（%）xi年數（個）fi第1年至第2年81082第3年至第5年101103第6年至第9年151154第10年191191合計10表66 投資年利率分組表【例6-7】某商業銀行某項投資年利率是按復利計算的。10年的利率分

17、別如表66所示，計算10年的平均年利率。6.2 數值平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 3.幾何平均數特點第一，幾何平均數受極端值的影響較算術平均數小。第二，如果變量值有負值，計算出的幾何平均數就會成為負數或虛數。第三，幾何平均數的對數是各變量值對數的算術平均數。6.2.4常用的數值平均數的一般數量關系：6.2 數值平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-8】有一組變量值20，24，25，24，27，29，27，計算其算術平均數、調和平均數、幾何平均數、平方平均數。根據兩個正數值計算的結果：6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 6.3.1眾數1

18、.根據未分組資料確定眾數【例6-9】確定下列數據的眾數（1）161，166，178，170，178，178，180（2）38，37，38，41，39，42，41，37，38，42，44，42，43，38，44，42，40，45，45，36（3）357，359，365，367，370，377，381（1）眾數M0=178；（2）眾數M0=38、42；（3）無眾數2.根據分組資料確定眾數（1）單項式數列確定眾數6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-10】某工廠按日加工零件個數分組情況如表6-7所示，確定日加工零件個數的眾數。日加工零件個數人數（人）2011213522

19、652310524542530合計300上面數列中日加工零件個數為23件人數最多，即出現次數最多，故眾數M023表6-7某工廠按日加工零件個數分組情況6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 （2）組距式數列確定眾數【例6-11】某市某年居民月人均可支配收入的抽樣資料如表68所示，計算居民月人均可支配收入的眾數。月人均可支配收入（元）x居民戶數（戶）f居民戶數比重（%）1000以下8 1.6%1000200012525.0%2000300020140.2%3000400014028.0%40005000153.0%5000以上112.2%合計500100%表6-8 某市居民月

20、人均可支配收入的抽樣資料6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 3.眾數特點第一，眾數不受分布數列的極端值和開口組數列的影響，從而增強了眾數對變量數列一般水平的代表性。第二，當分布數列沒有任何一組的次數占多數，即分布數列中沒有明顯的集中趨勢，而是近似于均勻分布時，則該次數分布數列無眾數。第三，缺乏敏感性。6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 6.3.2中位數1.中位數的含義中位數是將總體各單位的標志值按大小順序排列，形成一個數列，處于數列中點位置的標志值為中位數，一般用Me表示。在數列中出現了極端變量值的情況下，用中位數作為代表值要比用算術平均數更好，

21、因為中位數不受極端變量值的影響。2.中位數的計算（1）由未分組資料確定中位數6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 則中位數位次=(n+1)/2=(9+1)/2=5第五個位次對應的數值81為中位數，即中位數e81。若數據去掉87，即n=8，中位數的位次是(8+1)/24.5，中位數是位次所對應的兩個標志值的平均數來確定，即為(80+81)/2=80.5。（2）單項式分組資料確定中位數首先計算向上累計次數或向下累計次數；然后可直接用確定中位數的位次，將累計次數剛超過中位數位次的組確定為中位數組，該組標志值即為中位數。（3）組距分組資料確定中位數【例6-12】某小組英語考試成績

22、分別為：77，78，79，80，81，83，85，86，87，n=96.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-13】某年級女生身高資料如表6-9所示，計算200名女生身高的中位數。身高（cm）人數（人）向上累計（人）向下累計（人）150155992001551603645191160165871321551651705718968170以上1120011合計200 表6-9 某年級女生身高資料6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 4.中位數特點第一，中位數是以它在所有標志值中所處的位置確定的全體單位標志值的代表值，不受分布數列的極大或極小值影響，

23、從而在一定程度上提高了中位數對分布數列的代表性。第二，有些離散型變量的單項式數列，當次數分布偏態時，中位數的代表性會受到影響。第三，缺乏敏感性。6.3.3其他分位數k分位數是能夠將全部總體單位按標志值大小等分為k個部分的k-1個數值。四分位數是能夠將全部總體單位按標志值大小等分為四部分的三個數值，分別記為Q1、Q2和Q3。6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 1.對于總體未分組和單項式變量數列【例6-14】當給定總體單位數n=190時四分位數分別為：6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 2.對于組距式變量數列6.3.4算術平均數、中位數和眾數的關系第

24、一，當總體次數分配為對稱的鐘形分布時，則算術平均數、中位數和眾數三者相等。第二，當總體分布呈偏態分布的情況下，次數分布非對稱時，中位數必居中，算術平均數和眾數分列兩側。 6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-15】根據某公司職工的收入抽樣調查資料，工人年收入少于57700元的占總工人人數的一半，而工人數最多的年收入為55100元，估計該公司工人年收入的算術平均數是多少？并說明工人收入的分布形態。2.眾數、中位數和算術平均數的應用 6.3.5 運用平均指標的原則因為MoMe ，所以工人收入分布為右偏分布。第一，平均指標只能應用于同質總體第二，用分配數列補充說明總平均

25、數第三，用組平均數補充說明總平均數第四，要與總量指標、相對指標結合運用第五，要與變異指標相結合運用6.3 位置平均數機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-16】某企業新老職工的人數及工資資料如表6-10所示，從總水平看2012年總平均工資3220元，2013年總平均工資3170元，總平均工資水平下降了，而實際上新老工人的工資都有一定程度的增加，新工人由2100元/月上升為2300元/月，老工人由3500元/月上升為3750元/月，出現這種現象是由于工資偏低的新工人在總體中所占的比重由2012年的20%上升為2013年的40%，從而造成工資總水平有所下降。2012年2013年工人數比

26、重（%）平均工資（元）工人數比重（%）平均工資（元）新工人100202100240402300老工人400803500360603750合計50010032206001003170表6-10 某企業新老職工的人數及工資資料6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 6.4.1標志變異指標概念平均指標說明總體各單位標志值的集中趨勢，而標志變異指標則說明各變量值遠離其中心值的程度，也稱為離中趨勢。6.4.2標志變異指標的作用首先，標志變異指標是評價平均數代表性的依據。其次，標志變異指標反映社會經濟活動過程的均衡性或協調性，以及產品質量的穩定性。6.4.3測定標志變異指標1.全距與

27、分位差（1）全距全距（R）最大標志值最小標志值 6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-17】某車間有甲乙兩個生產小組，每組各五名工人，每人日產零件數：甲組：170，175，180，185，190乙組：178，179，180，181，182兩個小組的平均日產零件數都是180件，哪一組的日產零件數比較集中呢？（2）分位差內四分位間距 四分位差 2.平均差在資料未分組 在資料已分組 R甲19017020（件）R乙1821784（件）6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-18】某校某專業統計學成績如表6-11中前兩列所示，計算平均差。x成

28、績（分）學生人數（人）f組中值（分）xxf60以下355165-23.871.46070865520-13.8110.470801375975-3.849.48090198516156.2117.89010079566516.2113.4合計503940462.4表6-11 某校某專業統計學成績資料平均差計算表 6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 3.標準差對于未分組的原始數據：對于總體數據對于樣本數據對于分組數據：對于總體數據對于樣本數據 6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-19】某車間100名工人日產量分組資料如表6-12前兩列所

29、示，計算工人日產量的標準差。（x日產量（件）工人數（人）f組中值（件）xxf ）130140181352430-13.63329.28140150391455655-3.6505.441501603215549606.41310.7216017011165181516.42958.56合計100148608104表6-12 某車間工人日產量資料標準差計算表6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-20】根據例【6-19】的資料，用簡捷法計算工人日產量的標準差。日產量（件）工人數（人）f組中值（件）xxfx2f13014018135243032805014015039

30、1455655819975150160321554960768800160170111651815299475合計100148602216300表6-13 某車間工人日產量資料用簡捷法計算標準差計算表6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 4.是非標志的標準差是非標志的平均數是非標志的標準差當 時，有最大值 【例6-21】抽查某批電子產品500件，經檢驗有470件合格，30件不合格。求其合格率的平均值和標準差。不合格產品成數合格率的平均值合格率的標準差合格產品的成數6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 5.標準差和方差的數學性質（1）（2）（3）（

31、4）在總體分組的情況下，總方差=組間方差+組內方差的算術平均數6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 【例6-22】某班10名同學統計學考試成績如下：49，55，69，78，82，86，88，89，91，93。按學習成績分組，第一組：49，55；第二組：69，78，82，86，88，89，91，93。求組內方差的算術平均數、組間方差、總方差。總平均學習成績學習成績總方差第一組平均學習成績 第一組組內方差6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 第二組平均學習成績第二組組內方差組內方差的算術平均數組間方差：214.6=169+45.6 6.4 標志變異指標機械工業出版社統計學原理與EXCEL應用 6.離散系數品種平均畝產（斤/畝）標準差（斤）標準差系數V甲稻種128892.87.20%乙稻種122090.67.43%從