1、2.2 離散型隨機變量及其概率分布離散隨機變量及分布律定義 若隨機變量 X 的可能取值是有限多個或無窮可列多個，則稱 X 為離散型隨機變量描述離散型隨機變量的概率特性常用它的概率分布或分布律，即X x1 x2xKPp1p2pk或或概率分布的性質 非負性 規范性離散隨機變量及分布函數其中 . F( x) 是分段階梯函數, 在 X 的可能取值 xk 處發生間斷.例: 設隨機變量的分布律為 求 的分布函數,并求 -123即例 袋中有5個球，其中2個白球，3個黑球，從中隨機地一次抽取3個球，求取得白球數的概率分布解 令 表示“取得的白球數”，則 可能取值為0，1，2，可以求得的分布律為的分布列的表格形

2、式為X 0 1 2P 1/10 6/10 3/10(1) 0 1 分布是否超標等等. 常見離散r.v.的分布凡試驗只有兩個結果, 常用0 1分布描述, 如產品是否合格、人口性別統計、系統是否正常、電力消耗X = xk 1 0Pk p 1 - p0 p 1應用場合或(2) 二項分布n 重Bernoulli 試驗中, X 是事件A 在 n 次試驗中發生的次數 , P (A) = p ,若則稱 X 服從參數為n, p 的二項分布，記作01 分布是 n = 1 的二項分布二項分布的取值情況設.039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .00000 1 2 3 4

3、5 6 7 8 0.273由圖表可見 , 當 時，分布取得最大值此時的 稱為最可能成功次數xP012345678設.01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .0010 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 xP13579024681020由圖表可見 , 當 時，分布取得最大值0.22 二項分布中最可能的成功次數的定義與推導則稱 為最可能出現的次數若可取的一切值 當( n + 1) p = 整數時,在 k = ( n + 1) p 與 ( n + 1) p 1 處的概率取得最大值對固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不

4、對稱分布固定 p, 隨著 n 的增大，其取值的分布趨于對稱 當( n + 1) p 整數時, 在 k = ( n + 1) p 處的概率取得最大值例 獨立射擊5000次, 命中率為0.001,求 (1) 最可能命中次數及相應的概率；(2) 命中次數不少于1 次的概率.解 (1) k = ( n + 1)p = ( 5000+ 1)0.001 =5 (2) 令X 表示命中次數,則 X B(5000,0.001), 則對固定的 k設Possion定理Poisson定理說明若X B( n, p), 則當n 較大，p 較小, 而 適中, 則可以用近似公式問題 如何計算 ？ 解 令X 表示命中次數, 則

5、 令 此結果也可直接查 P.299 泊松 分布表得到，它與用二項分布算得的結果 0.9934僅相差萬分之一.利用Poisson定理再求前例中 (2) X B( 5000,0.001 )在Poisson 定理中，由此產生了一種離散型隨機變量的概率分布 Poisson 分布注:(3) Poisson 分布若其中是常數，則稱 X 服從參數為的Poisson 分布.記作例 夏季用電高峰時，個別用戶會因為超負荷、線路老化等問題發生斷電事故。已知某城市每天發生的停電次數X服從參數 =0.7的泊松分布。求該城市一天發生3次以上停電事故的概率。例 某廠產品不合格率為0.03, 現將產品裝箱, 若要以不小于 90%的概率保證每箱中至少有 100 個合格品, 則每箱至少應裝多少個產品？解 設每箱至少應裝100 + m 個, 每箱的不合格品個數為X , 則X B ( 100 + m , 0.03 )由題意 3(100+m)0.03=3+0.03m取 = 3查Poisson分布表, =3得 m +1 = 6 , m = 5故每箱至少應裝105個產品,才能符合要求.應用Poisson定理超幾何分布