1、四、數(shù)學(xué)方法的優(yōu)美 觀點(diǎn)和方法是數(shù)學(xué)的兩個(gè)方面：既緊密聯(lián)系，又有所區(qū)別。但方法影響觀點(diǎn)。 我們來(lái)看看數(shù)學(xué)方法的美。4.1 反證法“不能不” 反證法通常的證明方法：+條件結(jié)論“對(duì)”“不對(duì)”新結(jié)論條件矛盾成立正證法反證法例1反證法：依據(jù)是排中律例2（抽屜原理）3個(gè)蘋果放進(jìn)2個(gè)抽屜中，至少有1個(gè)抽屜中有兩個(gè)蘋果。（反證法易得）10本書，共3類（抽屜），文學(xué)類（A）、史學(xué)類（B）和數(shù)學(xué)類（C），證明至少有一類有4本或4本以上。10本書，共3類（抽屜），文學(xué)類（x）、史學(xué)類（y）和數(shù)學(xué)類（z），證明x,y,z至少有一個(gè)大于或等于4。抽象為一個(gè)純數(shù)學(xué)問(wèn)題：假設(shè)人類的頭發(fā)最多為200萬(wàn)根，那么長(zhǎng)春市至少有2

2、人的頭發(fā)根數(shù)一樣多。（長(zhǎng)春市人口超過(guò)200萬(wàn)）作業(yè)：在任意6人中，一定可以找到3個(gè)相互認(rèn)識(shí)，或3個(gè)相互不認(rèn)識(shí)的人。以上例子表明：反證法能夠說(shuō)明許多有趣的現(xiàn)象。4.2 RMI方法RMI：R-relation, M-mapping, I-inversion. 即關(guān)系、映射和取逆。它屬于形式邏輯范疇。如“三段式”給人以邏輯美。RMI方法體現(xiàn)了辨證思想的方法。例1顯得容易。例2運(yùn)算數(shù)值曲折：化難為易曲折：創(chuàng)造、發(fā)明曲折：實(shí)現(xiàn)的根據(jù)是對(duì)數(shù)Galileo：給我空間、時(shí)間和對(duì)數(shù)，我即可創(chuàng)造一個(gè)宇宙。RMI的體現(xiàn)：R：21/11 ，M：lgx ,I:10lgx例3: 求和M,逐項(xiàng)微分I,積分?jǐn)?shù)學(xué)上互逆的運(yùn)算很

3、多:如0的作用是+項(xiàng)與-項(xiàng);1的作用是乘項(xiàng)與除項(xiàng). 4.3 抽象方法抽象=枯燥乏味?語(yǔ)言學(xué)抽象嗎? 美、神、好文學(xué)抽象嗎？詩(shī)歌藝術(shù)抽象嗎？繪畫、舞蹈音樂(lè)抽象嗎？高山流水、悲歡離和美的感數(shù)學(xué)的抽象美的表現(xiàn)形式不同，它給人帶來(lái)的是簡(jiǎn)潔、明快和高效的美例1（七橋問(wèn)題）如圖，能否從某個(gè)橋出發(fā)，走過(guò)所有的橋，但每座橋只經(jīng)過(guò)一次？ABCD？ ？BACDBACD一次走完（一筆畫）一次走不完（一筆畫不出）能否一筆畫出？24213313335偶奇奇否Euler點(diǎn)線圖拓?fù)鋵W(xué)topology:不注重?cái)?shù)量關(guān)系和形狀特征，而注重點(diǎn)與點(diǎn)的連接方式！如：建立校園網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)。從網(wǎng)絡(luò)中心到各辦公樓、教學(xué)樓、學(xué)生宿舍樓，到各辦公室、教室和寢室。你任何設(shè)計(jì)呢？你需要建立一個(gè)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)鋱D即可。實(shí)際上如果兩個(gè)圖的點(diǎn)與連接方式一致，它們實(shí)際上就是拓?fù)湟饬x下的一張圖。拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展進(jìn)一步表現(xiàn)了數(shù)學(xué)的抽象程度，起抽象的美與實(shí)際是如此的協(xié)調(diào)，展示了數(shù)學(xué)的優(yōu)美！ 拓?fù)鋵W(xué)的產(chǎn)生極大沖擊了直觀性原則！ 1 人的認(rèn)知能力(直觀，抽象飛躍) 2 直觀與抽象在認(rèn)識(shí)上的統(tǒng)一受年齡和知識(shí)的接受方式的限制. 3 直觀可能造成錯(cuò)覺(jué). 思辯的作用越來(lái)越大.直觀具有較大的局限性. 物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等學(xué)科中許多重大發(fā)現(xiàn)