1、全國大學生數學建模大賽c題輸油管的布置模型摘要建造煉油廠時要綜合各方面的情況，對輸油管線作周 密的布置，因為輸油管線的不同布置將直接影響總費用的 多少。某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠，為了方 便運送成品油，需在鐵路線上增建一個車站。此種模式具 有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省 的一般數學模型與方法。對于問題1,綜合考慮鋪設時，不同生產能力造成的 輸油管線標準不同和是否有共用管線以及共用管線與非共 用管線費用同異等問題，建立模型：min Z . (x a1)2 (b1 y)2 m . (x a2)2 (b1 y)2 p y n結合模型建立過程的流程圖，用圖形結合法和比較分

2、析法 來確定可能出現的各種情形，通過賦值，得出不同情況下 的最優化模型。對于問題2,考慮到城區必須的拆遷和工程補償等附加費用，建立優化模型：min Z (,x2 (a y)2.(x c)2 (y y。)2) m . (l c)2 (b y。)2 (m k) y m用Lingo軟件求解，得出：車站應建在離煉油廠 A所在線 5.45km,且共用管線1.85km時費用最少，最少費用為 Zmin 282.70 (萬元)。對于問題3,是在問題2的基礎上，做進一步改進，將問題2中的特殊模型一般化，建立優化模型：.r222222min Z . x (a y)mi( (x c) (yy0)m?. (l c)

3、(by)(m2k) ym3用Lingo軟件求解，得出：車站應建在離 A煉油廠所在線6.73km,且共用管線0.14km時費用最少，最少費用為：Zmin 252.00 (萬元)。關鍵詞：數形結合Lingo程序 優化方案 最小費用1、問題的提出基本情況某油田計劃在鐵路線一側建造兩家煉油廠同時在鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設計院希望建立管線建設費用最省 的一般數學模型與方法。相關信息(1)附圖一：兩煉油廠的具體位置。(2)附表一：不同工程咨詢公司對拆遷和工程補償等附加費用的估算情況。基本要求(1)在兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離確定的情況下，提出的方

4、案要滿足費用最省。(2)考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形，確定實際生活中是 否需要共用管線。(3)在考慮城區附加費用的情況下，更好的綜合三家工程咨詢公司的估算結果，使拆遷和工程補償等附加費用最合理。(4)根據煉油廠生產能力的強弱，選用相適應的輸油管，進一步節省費用。需要解決的問題(1) 一般類型。針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形， 提出你的設計方案。在方案設計時，若有共用管線，應考慮共用管線費用與非共用管 線費用相同或不同的情形。(2)復雜情形。在給定兩煉油廠的具體位置由附圖一所示，其中A廠位于郊區(圖中的I區域)，B廠位于城區(圖中的II區域)，兩個區域

5、的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離(單位：千米)分別為 a = 5,b = 8,c = 15, l =20o若所有管線的鋪設費用均為每千米 7.2萬元。鋪設在城區的管線還需增加拆遷和工程補償等附加費用，為對此項附加費用進行估計，聘請三家工程咨詢公司(其中公 司一具有甲級資質，公司二和公司三具有乙級資質)進行了估算，估算結果見附表 一。要求為設計院給出管線布置最優方案及相應最省的費用。(3)具體設計。在實際問題中，為進一步節省費用，可以根據煉油廠的生產能力，選用相適應的油管。這時的管線鋪設費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為

6、每千米 7.2萬元，拆遷等 附加費用同上。要求給出管線最佳布置方案及相應最省的費用。2、模型的建立與求解問題1的解答問題的分析已知條件中只告知我們兩煉油廠在鐵路線的同一側，而其到鐵路線的距離是個未知數，所以先從距離的不同這方面入手，列出所有可能的情況由于共用管線的輸油量較大，需考慮其與非共用管線費用相同、不同的情形，經分析得出，先從煉油廠A、B兩輸油管線鋪設費用是否相同入手，冉分別討論是否有共 用管線開始求解。模型假設和符號說明（1）模型假設所有結果保留小數點后兩位。不考慮輸油管的熱脹冷縮。在整個輸油線路均為單管線輸送。A、B兩煉油廠所在地的地質結構和施工條件相同煉油廠選址在出油量相對較大的地

7、方。（2）模型的符號說明符號意義aiA煉油廠所在位置的橫坐標biA煉油廠所在位置的縱坐標a2B煉油廠所在位置的橫坐標b2B煉油廠所在位置的縱坐標mA煉油廠輸油管線的鋪設費用（萬元/千米）PB煉油廠輸油管線的鋪設費用（萬元/千米）n共用輸油管線的鋪設費用（萬元/千米）x車站所在位置的橫坐標y兩煉油廠交匯點的橫坐標Z總費用(萬元)2.1.3模型建立和討論;流程圖為;、當m p時:(1)無共用管線實際生活中有如下三種情況：(A表示A煉油廠，B表示B煉油廠，C表示車站)現設各點坐標，A(a1，bi),B( a2, b2),C( x,o),由于m p ,所以建立總費用最少的優化模型可為：min Z (.

8、 (x a1)2 b12. (x a2)2 b；) ms.t.aix a2假定A(5,8) , m p 7.2保持不變，通過改變B點坐標，驗證上述三個圖形來確 定最優模型。對于圖1,令B(7,8),用Lingo軟件1求的Zm. =116.10(萬元)對于圖2,令B(7,5),用Lingo軟件求的Zm. =94.70(萬元)對于圖3,令B(7,10),用Lingo軟件求的Zm. =130.40(萬元)求解程序見附錄1;經比較，在相同條件下，圖2所示布置方案最省費用，相應模型為：min Z ( . (x a)2 b2. (x a?)2 b2) ms.t. a1 x a2有共用管線情形一：當共用管線

9、費用與非共用管線費用不同(即 n pm)時，實際生活中有如下四種情 況：現設各點坐標A(ai,bi), B(a2,b2), C(x,o), E ( x ,y)；由于mp所以建立模型可為：min Z ( . (x a)2 (4 y)2, (x a?)2 M y)2) m y na1x a2s.t0 y min(b|,b2)假定A (5, 8) , m p 6, n 7.2保持不變，通過改變B點坐標，驗證上述四個圖形來確定最優模型。對于圖4令B (5, 5)用Lingo軟件求得Zm. =54.00(萬元)；對于圖5令B (7, 8)用Lingo軟件求得Zm. =67.20(萬元)；對于圖6令B (

10、7, 10)用Lingo軟件求得Zm. =74.57(萬元)；對于圖7令B (7, 5)用Lingo軟件求得Zm. =57.63(萬元)；求解程序見附錄1 經比較，在相同情況下，圖4所示布置方案最省費用相應模型為：min Z 出 y b2 y) m y ns.t 0 y min(b1,b2)情形二： 當共用管線費用與非共用管線費用相同(即m p n)時，在情形一的基礎上，得最優模型為： minZ (bi y b2 y y) m 實際生活中可根據輸油管線的費用確定有共用管線時，情形一、情形二的最優解。s.t0 y min(b1,b2)二、當m p時(1)無共用管線也有圖1、圖2、圖3三種模型，建

11、立如下優化模型：min Z (x a1)2 b2 m . (x a2)2 b2 ps.t. a1 x a2假定A(5,8) , m 6, p 7保持不變，通過改變B點坐標，用上述三個非共用管 線圖形來確定最優模型：對于圖1令B (7, 8)用Lingo軟件求得Zmin =104.80 (萬元)對于圖2令B (7, 5)用Lingo軟件求得Zm. =83.97 (萬元)對于圖3令B (7, 10)用Lingo軟件求得Zm. =118.72 (萬元)求解程序見附錄2;經比較，在相同條件下，圖2所示布置方案最省費用，得出費用最少的優化模型為min Z . (x a)2 b2 m . (x a?)2

12、bf pst a1 x a2(2)有共用管線由于前提已經限制了 m p ,故排除共用管道費用與非共用管道費用相同的情況；得出模型：min Z . (xaI)2(b1y)2m . (xa2)2(b2y)2p y na1 x a2s.t 120 y min(b,b2)假定A(5,8) , m 6 , p 7 , n 7.2保持不變，通過改變B點坐標，用上述的四 個共用管線圖形來確定最優模型：對于圖4令B (5, 5)用Lingo軟件求得Zm. =54.00 (萬元)對于圖5令B (7, 8)用Lingo軟件求得Zmin =68.32 (萬元)對于圖6令B (7, 10)用Lingo軟件求得Zm.

13、=77.40 (萬元)對于圖7令B (7, 5)用Lingo軟件求得Zm. =57.63 (萬元)比較得出費用最少的優化模型：在給定條件下，圖4所示布置方案最省費用得出費用最少的優化模型為：min Z (x a1)2匕2 m . (x a?)2 b2 pa1 x a2st 120 y min(b|,b2)2.1.4模型評價優點：(1)在不考慮地理位置的情況下，可將管線布置方案的范圍縮小。(2)本文建立的數學模型有相應的專用 Lingo軟件支持，容易推廣。(3)考慮到了煉油廠的實際生產能力這一實際問題。建議：考慮到生活中地理位置的不同，需要對該模型作進一步改進，為油田設 計院提供更精確的方案。2

14、.2 問題2的模型2.2.1問題的分析：題中給定了煉油廠A和煉油廠B的位置，將A B分別布置在郊區和城區，而城區鋪建管線時要考慮拆遷和工程補償等附加費用，從附圖和相關數據的顯示情況可知，郊區范圍是城區范圍的3倍。車站若建在城區內，附加費用明顯增多，從而確定 車站建在郊區內。然后從有無共用管線兩方面入手建立線性規劃模型，利用 Lingo軟 件求出符合條件的最優解，再結合實際情況得出結論。(1)模型假設：不考慮輸油管的熱脹冷縮。在整個輸油線路均為單管輸送。甲級資質公司估算準確率占50%乙級資質的兩家公司估算準確率各占 25%.假設郊區與城區均為平坦地帶，不考慮其他地理條件因素。(2)模型符號說明：

15、符號意 義a煉油廠A到鐵路線的距離b煉油廠B到鐵路線的距離cA煉油廠距城區分界線的距離lA、B兩煉油廠間的距離x車站所在位置的橫坐標y兩煉油廠交匯點所在位置的縱坐標V。有共用管線時B煉油廠與城區分界線交點的縱坐標yi無共用管線時B煉油廠與城區分界線交點的縱坐標m所有管線的鋪設費用(萬元/km)n拆遷和工程補償等附加費用(萬元/km)d3A煉油廠到兩煉油廠交匯點的距離di煉油廠B與城區分界線的交點F到兩煉油廠的交匯點E的距離d2煉油廠B與城區分界線的交點F到煉油廠B的距離Z總費用2.2.3模型建立與求解情形一:有共用管線時以鐵路線所在直線為x軸，過煉油廠A與鐵路線垂直的線為y軸建立如下坐標系:：

16、A( 0, a),B( l , b),由題中數據確定各點坐標D(l , 0), H(c, 0),設：C(x, 0),E(x, y)F(cV。)，G(c, y)在 CDB 中,依據相似定理得：黑黑即c x yi l x b整理得:yib (cl xx)di、2/、2x c) (y y。)d2 (l c)2 (b y。)2d322x (a y)目標函數：minZ (d3 d1)m d2 (m k) y m0 xcs.t 0 y ayiy0 b卜面確定附加費用的標準工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費用（萬元/212420估算準確度50%25%25%綜合各家公司的估算結果得到附加費用k=21.5萬元

17、/千米;將數值代入模型用Lingo軟件求得Zmin =282.70 萬元情形二：無共用管線這種情形只需令情形一中的y=0;求解的Zmin =284.54萬元求解過程見附錄32.2.4最佳結論分析比較兩種情形的計算結果，得到的最佳結果為下圖所示:即車站應建在離A煉油廠所在線5.45km,距離B煉油廠所在線14.55km,且共用管線1.85km時費用最少，Zmin 282.70 （萬元）2.2.5 模型的評價優點：（1）本文建立的數學模型有相應的專用Lingo軟件支持，容易推廣。（2）具有普遍特性，在給定煉油廠的位置后，在綜合考慮輸管線費用和附加費用的情況下，即可確定最省布置方案。（3）很好的反映

18、了實際鋪建時是否需要共用管線。建議：結合實際生活中的條件，對附加費用作更精確的估算。2.3問題三的模型問題的分析題目要求在“該實際問題中”，則是在問題（2）的模型基礎上作進一步改進，要求改變各輸油管線的費用。模型假設和符號說明（同問題（2）的模型）對符號說明稍作補充符號意義miA煉油廠輸油管線的費用（萬元/千米）m2B煉油廠輸油管線的費用（萬元/千米）mh共用輸油管線的費用2.3.3模型建立在模型（2）的基礎上稍加改進用如下模型：minZ d3 5 d1 m2 d2 （m2 k） y m30 x cs.t 0 y a yiNo b代入數值用Lingo原件求得Zmin 252.00 （萬元）求解

19、過程見附錄4最佳結論由結果數據分析如圖布置輸油管線最節省費用：即車站應建在離A煉油廠所在線6.73km,距離B煉油廠所在線13.27km,且共用管線0.14km時費用最少，Zmin 252.00 （萬元）模型的評價優點：(1)該模型綜合考慮了煉油廠的生產能力，選擇了相適應的輸油管，使管線鋪設費用在一定程度上有所節省。(2)很好的反映了實際鋪建時是否需要共用管線。(3)提出的方案具有一定的實用價值，可為管線的規劃設計、可行性研究以及 經濟評價提供依據。建議：結合實際生活中的條件，對附加費用作更精確的估算。3、參考文獻11謝金星.優化建模與LINDO/LINGOB件.北京：清華大學出版社，2005.7。附表工程咨詢公司公司一公司二公司三附加費用(萬元/千米)212420附錄1:一、當m p時:無共用管線圖1model:min=(x-a1)A2+b1A2)A(1/2)+(x-a2)A2+b2A2)A(1/2)*m;x=a1;x=a1;x=a1;x=0;y=a1;x=0;x=0;yy1;y0=0;x=0;yy1;y0=b;a=5;b=8;c=15;l=20;m1=5.6;m2=6.0;m3=7.2;k=21.5;end40251.9685Local optimal solution found at iteration:Objective value:VariableValue