1、實驗04講評、參考答案未按時交的同學數學：01邊清水，27魯瑞，50鐘鑫信科：13林其博批改情況：批改了偶數學號的實驗報告。附參考答案:海南大學信息科學技術學院實驗報告成績實驗課程:數學建模實驗指導教師王平學號：姓名：班級：同組成員：完成日期：20 年 月 S實驗04數學規劃模型（2學時）（第4章數學規劃模型）1.（演示）加工奶制品的生產計劃（線性規劃LP） p8691問題的基本模型p86 （線性規劃模型）：max z = 72x1 + 64x2s.t. x1 + x2 5012x1 + 8x2 4803x1 0, x2 0求解以上線性規劃問題。要求：按如下步驟操作：打開LINGO11s LI

2、NGO 11.0 - UNGO Model UNGO1- XEle Edit LINGO Window Help0 |s a| m國| d引國 道|啜R/wdy|而 M|LnTTl , 修改 選項”（Options）S UNGO 110 - LINGO Model - HNGO1- X口|國&園 LINGCSohreCtrl+USolution.Ctrl-I-WRang 營Ctrl+ROptions-Ctrl +1GeneratePictureCtrl+KDebugCtrl+DModd StatisticsCtrl+ELook.,Ctrl 4-Lfile Edit LINGO Window H

3、elpCustomize optienal system settings選擇 LINGO/Options在出現的選項Ig架中，修改2個參數：選擇General Solver（通用求解器）選項卡，Dual Computations（對偶計算）設置為：Prices and Ranges（計算對偶價格并分析敏感性）選擇Model Generator （模型生成器）選項卡， Model Regeneration （模型 的重新生成）設置為：Always （每當有需要時）點擊OK退出。LINGO OptionsInteger Pre-Solver Irrte-ger Sohrar 61 口舊上I 專口

4、Iwr Model GeneratarIriteiFaceGenerali SolwrLinear Sclw#rNonlin-d r SolverLINtjO Options,?Interface | Generali Scdwer | Ibinear .Iver | INanlmer SolverIriiLer Pre-Sobermwger SnMi1 I Global Solver Modffl Generatoi,SOlVt Ttme Gmit:-Dual Computation!IRumtimc UHtf ；Ite-raEionsTime (ee):|忖口廿三Timie (sec):

5、Kill scripts on limit* Variables assumed uan-negiatrviBI Use- formal: names fer IMPS I/OGenerator Memory Limit MB):Unary Minus Pniorilr Low 用 HbghRxed Var Reduction:Line-ar rows anlylirfBrijartion：Qf greetRig M:De ha：Solwr DMKides ,HOODOO11D06F Allow ynrfrrtnrted ux 唱f primitive set member narrF Ais

6、ume m&dd ir& Jineai一 Check for duplicate names id data and mocfiMinimi工e mpmor u-5.ag選Interface選卡，撤消Errors in Dial復選項，使出錯時指出位置;單選項被選中，使LINGO為默認狀態（ltx為LINDO ）確認lg4LINGO OpdonsInteger Pre-Sohfer Intege-r SdHf | Glakial Salw-r | Model GeneratcrInterface | Generdll Solver | Linear Solver | NonliiieAr So

7、lvff家：_ Err0rsi in Dialogs： rc ie nAll Out Ranges 口nd TablesF Splash Screen斤 Status Bar萬 Status WrfidewP ToolbarOutput level: Solution印臺F白同配t* lg& HMende由hg (teirt only)C 也UNDOSyntax ColoringLine Limit|1DOO7 Paren MatchCommand Window:出題irHum： 000趣!imum;應Pag?號Limrts:Lfirigth- 1 .me 可OK Send Riparte t

8、e Ca-nhwiAnd Windav 廠Etho Input 在模型窗口輸入模型p88LINGO 11.0 - LINGO Model - LINGO1口 |謝日牌|,囪 二|二|心股|e| 回回兇|周引主|曾隨|NUMMODLn 8r CFile Edit LINGO Window HelpLINGO語法：基本語法見提示。將文件存儲并命名為p85_lg.lg4操作菜單欄：File/Save As（記住所在文件夾）求解模型運行菜單LINGO/Solve。1囪 LINGO iro-LINGO Model -P5JgFile Edit LINGO Window HelpDHSolveCtrl +

9、 Ur-* LINGCSolution.RangeCtrl+WCtrl+Rmodel:IITLE文件名OptionslrkCtrlH-ln;ax=72GenerateniilktimePictureCtrl + Kcpct end|DebugCtrl + DModel StatisticCtrl+ESo Ives th e rLooLn.Ctrl + L“倒|回回后|畫蹩解|選擇 LINGO/Solve點擊“Clos然閉求解器狀態框H LING011,0 - Solution Report = p85_lg X印甘 dit LINGO JSindow Help口|闔。牌I |固向二號|電周e|

10、 91gli區|園引國 已闡|只“山一廠 NUM | |Ln, 口力求解結果的報告窗口檢查輸出結果與教材p89的標準答案是否相同。靈敏性分析點擊模型窗口，使該窗口為當前窗口。LINGO 11.0 - UNGO Model - p85_lgFile Edit LINGO Window Help口|詡s圜 | |e| *|匐舒心|孰國也|岡|冉屈|曾懶|ReadyNUM選擇 LINGO/Ranges網 LINGO 11.0 - Range Report - p85_lgFil# Edit LINGO Window Htlp口I宜la爭Imadel!畫 Range Report - p85jgRan

11、g已H m which the basis isunchanged:TITL. !文再1 0s 1mil tire. ：,cpcendObjecciveCurrent Coefficient72.0000064.00000Costficrent RangemAllawableIncrease24.000008.000000AllowableDecrease8.00000016.000GDRewMILK TIME CP CTCurrtnt RHSSO.OOODO 480.DODO 100.DODORighthand Side RangesAllowableIncrease10.00000S3.3

12、3333iNFIEfiTYAllowable Dtcrease .667 aO.OODOD 4D.D0D0DFor Help, press FlNUMIn 1, Col 151 5g pin模型的靈敏性分析報告（此處若出錯，請檢查步驟（2）修改 選項（Options-。） 檢查輸出結果與教材p90的標準答案是否相同。結果分析可參閱教材p89-91。2.（驗證）奶制品的生產銷售計劃（LP） p9195問題的基本模型p92 （線性規劃模型）：max z = 24xi + 16x2 + 44x3 + 32x4 - 3x5 - 3x6s.t. 4ci + 3x2 + 4x5 + 3x6 6004xi

13、+ 2x2 + 6x5 + 4x6 480Xi + x5 0用LINGO求解以上線性規劃問題。要求：按以下步驟操作：（如果不需要保留，最好關閉之前模型的所有窗口）打開菜單“File ”/ “Ne新建模型文件。在模型編輯窗口輸入模型：LINGO IkO - LINGO Io del - p92Pile Edit Lira Window Help將文件存儲并命名為p92.lg4 （記住所在文件夾）求解模型。靈敏性分析。檢查輸出結果與教材p92-93的標準答案是否相同。結果分析可參閱教材p940求解報告（比較921）:工，SoLutinn RerrTrt -通 201回1Global cptJut

14、ion f onndiObjective valuE： Illo 11 i 11 es;Total solder i匕仁工at1口口m;3460.800O XOJOOC2hocej. Tide:媯制Ri的生產祜售計劃VaiiaJle XL X2 X3 H4 SF 6Value (.OOOODC 168.X DO 19. ZOOM 0 0000 DO 24. onooo L。口 00 )1deduced Cost 0000 0.000000 0.00000(1 O.OOOODO O.nODODO l.DUODORow1 MILK TINE CPCTE Eor Surplus J4tiO.aUU0

15、.0000 DO c.ocooao7a. OOooc 0.0000 DO0.00DOQ0Du式 Ptic& .UlUUUD X1COODO 3,26000(1 o.oOOOOO44.0000032. OOODO靈敏性分析報告（比較93）:寫工auge RepuiLt.-13目岡Fanoes in wtiictithe basisis unchanged：Oto j ective Coefticient BangesCuEren.till larrao leJlI LoTarat leVeuz Z.CL3 leC o ef f ic i exitIncr eDecnesseXI24.QiOOOO

16、1.68OD0OIMfIJJiT?X216.00000e lEozioo2.100COOZJ修子19.TSJOD3 . 1,5 6 6 6 7工且a2 .oocoo2.O2 66 67IM FI UTT1/3.00000015.603002.535333-3.0000001.52OD0Oiiirmmaignthaiicl 5 lie RangesRo ITCurrentlotraftleAllcwahleFH3Inc i. unnuDc.eE caseMILK600.0000120.0300200.0000TIKE490.0000253.3333eoi.oooooUP Cl,IOiO. uuo

17、oIMF1N1TY/b,UC0D0J0,0INFINITY19.20000G0.0INFINITYC .03.自來水輸送問題（LP） p95983.1 （驗證）求最小值的模型線性規劃（LP）模型：min z = 160 xii + 130 xi2 + 220 xi3 + 170 xi4 + 140 x21 + 130 x22 + 190 x23 + 150 x24 + 190 x31 + 200 x32 + 230 x33約束條件：xii + xi2 + xi3 + xi4 = 50 x21 + x22 + x23 + x24 = 60 x31 + x32 + x33 = 5030 xii +

18、 x21 + x31 8070 xi2 + x22 + x32 14010 xi3 + x23 + x33 3010 xi4 + x24 30;x11+x21+x3170;x12+x22+x3210;x13+x23+x3310;x14+x24m1(j);for(C(j): sum(R(i):x(i,j)m2(j); x(3,4)=0;end求解報告：13E Snlntinn Rspnit -二J3.2 （求解）求最大值的模型線性規劃（LP）模型：max z = 290 xii + 320 x12 + 230 x13 + 280 x14 + 310 x21 + 320 x22 + 260 x23

19、 + 300 x24 + 260 x31 + 250 x32 + 220 x33約束條件：x11 + x12 + x13 + x14 W100 x21 + x22 + x23 + x24 120 x31 + x32 + x33 10030 x11 + x21 + x31 8070 x12 + x22 + x32 14010 x13 + x23 + x33 3010 x14 + x24 50變量均非負。14模型可以描述為:max z = x p0 x0 i 4 j 4約束條件：4“ Xij h,i =1,2,3 j 13m1j Xj m2j, j =1,2,3,4 i 1X34 = 0變量均非負

20、。其中 TOC o 1-5 h z 290320230280p=3103202603002602502200_100b= 120：100_m1 = 30 70 10 101m2 - 180 140 30 501(1)按表達式格式輸入模型。給出輸入模型和求解報告(比較971 )：輸入的模型：!文件名:p97.lg4;max = 290*x11+320*x12+230*x13+280*x14 +310*x21+320*x22+260*x23+300*x24 +260*x31+250*x32+220*x33;x11+x12+x13+x14100;x21+x22+x23+x24120;x31+x32+

21、x3330;x11+x21+x3170;x12+x22+x3210;x13+x23+x3310;15x14+x2450; end求解報告:y Solution Report - pSTGlobal pt-iinal solution Xouncl.B700.00D .000000Object ivc value:Infeas ibi1 ities;Total solver iterations:VariableValueReduced CostKll0.00000020.00000XIS100.00000,000000XI30.0000000000區140.GO2000000X2130 jOQ

22、OOOc.oooooo404000000.000000.onaooo10,00000X2450.00000c.ooooooX3 1SO.DOOOOo. oooooo初工.DOOOOQ20,00000K3330,000000,000000(2)按使用LINGO函數格式輸入模型。給出輸入模型和求解 報告(比較97):偎示：把上題的輸入模型作少量修改即可。 輸入的模型：sets!定義集合及變量；R/1.3/:b;!R/1.3/可理解為類型：有3個元素的數組。b為定義的變量；C/1.4/:m1,m2;RC(R,C):p,x; !RC(R,C)可理解為3q的數組類型； endsets data:!對已知

23、變量賦值;b=100 120 100;m1=30 70 10 10;m2=80 140 30 50;p=290 320 230 280310 320 260 300260 250 220 0; enddatamax=sum(RC:p*x); !min=p(1,1)*x(1,1)+p(1,2)*x(1,2)+p(3,4)*x(3,4);for(R(i):sum(C(j):x(i,j)b(i); !x(i,1)+x(i,2)+x(i,3)+x(i,4)=b(i), im1(j);for(C(j): sum(R(i):x(i,j)m2(j); x(3,4)=0;end求解報告：16FM Soluti

24、on Eopoct - pDT二叵區Global optittial Bolutian fouiid. Objective value: I e mm ih i L xt 二曰日: Total solver iterations:8S7D0.0D o.oDaooa 74Uaclab IpB ( 1) B t 2) fi C 3) Ml t L Ml ( 3) Hit 3) (tl ( 4) tl2 1) 43) 叼3) M2 ( 4 F( lf 1 P( 1, 3) P ( b 3) P( 1, 4) P( Zf 】) Pt 2f 2) F( E. 3) F( Z,中 P ( 3, 1) Fl

25、 3, Z) P(3)Fl 3，V JU 1, 1)XI 1, 3)L為 X( Zf 1) 3引 工I 2, 3) SU % 4) 鞏3 1) 工t力2) M 3弘 叼4)Ua lue 100.0000 120,0000 10 . OiOOO 30.00000 70.OOOOO 10 JD0000 10.ooooo 30,00000 140.OOOO 30 SOODOO so.OOO 290.OOOO 320,0000 Z3O.OOOO 2BO.0000 31O.OOOO 320.0000 26O.OOOO 300,0000 26口.OOOO 250,0000 220.0000.OOOO 10

26、0,0000-0000 30,00000 aoooo -0000 SO.IQDOOO 50.00000 0 . 000000 30.00000 .OODDOnPeduced Cost . OOOOO D.OOOOOO ,000000 .OOOOO ,oooooo .ooooo ,oooooo .ooooo ,oooooo , ODOCiaO .oooooo ,oooooo .oooon ,oooooo .ooooo ,oooooo .ooooo ,oooooo .ooooo ,oooooo .ooooo .ooooo .ooo 2n.oooan ,000000 4n口口n20OOOOO ,00

27、000 ,ccoaoo 10,00000 ,000000 ,00000 20.00000 D.DODODO a,0000004.(驗證)貨機裝運(LP) p98100模型：決策變量：用xij表示第i種貨物裝入第j個貨艙的重量(t ),貨艙j=1,2,3分 別表示前倉、中倉和后倉。已知參數：貨艙j的質量限制 WETj,體積限制VOLj；第i種貨物的質量wi, 單位質量的體積v,利潤Pio用行向量表小WET = ( 10, 16, 8 )VOL = (6800, 8700, 5300 )w = ( 18,15, 23, 12 )v = ( 480, 650, 580, 390 )p = (3100

28、, 3800, 3500, 2850 )決策目標是最大化總利潤，即17444、max z = Pi x-V ）約束條件包括以下4個方面：1）供裝載的四種貨物的總重量約束，即3、Xj MW, i =1,2,3,4j I2）三個貨艙的重量限制，即4“ Xij WETj, j =1,2,3i 13）三個貨艙的空間限制，即4、M% WETfl);a for(c;ing(j): it siun(wu(i):Ar(i)*x(ij)- A OL(j):/rfoi(c；nig(j):foiXcang0c|k#GT#j: !=GT#Jk 大于的含義； $um(wu(i) :x(i JJAVE T (fy=sum

29、(wii(i) :x(i,k)/WET(k);)；end要求： 輸入模型（見99）并求解模型。對照教材p100的結果。閱讀LINGO軟件及應用.doc和LINGO求解優化問題.docc19給出模型求解報告（比較100）:y Solution Report - p99匚后HGlobal optical solution Objective value: Inf easifcii litles:Total soIver iterationsfound.121515.6 .222O446E-15 ie八ModelTitle:貨機裝運（最大值問題）VariableWET( 1)ET( 2)IET( 3

30、) 0L( 1) 0L( 2)V0L( 3)1( liW( 4)V( 1) ( 2)V( 3)V( 4)P( 1)P( 2)P( 3)F( 4)X( 1, 1)1, 2)K( 1, 3)X( 2t 1)X( 2, 2)X( 2.3)X( 3, 1)X( 3, 2)X( t 3)X( 4, 1)X( L 2)XC % 3)Value10. 00000 16. 00000 8.000000 6800.000 8700.ODO 5300.00018. OOODO 15. 0000023.00000 12, 0D0D0 480.0000 650.0000 680.0000 39D.OODO 3100.

31、000 3800.000 3500.000 2850.000 0.000000 0. 000000 0.000000 7.OOOOQO 0.000000 8,000000 3.00000012, 94737 口, 000000 0.000000 3.052532 0. 000000Reduced Cost 0. 000000 0,000000 0.000000 0.ODODOO 0. 000000 0.000000 0.000000 0.000000 0. 000000 0. 000000 0 . 000000 0. 000000 0.000000 0. 000000 0.000000 0,0

32、00000 0.0000000. 00000040 0-0000 57.89474 40 0.0000 0.000000 239.4737 0. 000000 0.000000 0. 000000 0.000000 650.0000 0. 000000 650.0000V附：輸入的模型。model:TITLE貨機裝運（最大值問題）；!文件名：p99.lg4;!定義集合及變量； setscang/1.3/:WET,VOL; !cang/1.3底示類型：有3個元素的一維數組，定義了 兩個變量；wu/1.4/:w,v,p;link（wu,cang）:x;!link（wu,cang）表示類型：有 4

33、行 3 列的二維數組；20endsets!對已知變量賦值;data:WET=10,16,8; VOL=6800,8700,5300;w=18,15,23,12; v=480,650,580,390;p=3100,3800,3500,2850;enddatamax=sum(wu(i):p(i)* sum(cang(j):x(i,j);for(wu(i):sum(cangO):x(i,j)w(i);for(cang(j):sum(wu(i):x(i,j)WET(j);for(cang(j):sum(wu(i):v(i)*x(i,j)VOL(j);for(cang(j):for(cang(k)|k#

34、GT#j: !#GT#是大于的含義;sum(wu(i):x(i,j)/WET(j)= sum(wu(i):x(i,k)/WET(k););end21附1:實驗提示LINGO語法：基本語法.程序以“model號始，最后以“endg束（兩者均可省略）；. TITLE為標題注釋，！為一般注釋；.字母不區分大小寫；.每條語句必須以分號”;結束（英文分號）；.默認決策變量均為非負；. 洲 =、=形式輸入，它們與 、等效；.乘號*不能省略；.輸入模型中第1行為目標函數，milk、time、cpct盟對各約束條件命名， 便于從輸出結果中查找相應信息（缺省時，LINGO自動用數字按順序對約束 條件命名）；.

35、LINGO模型文件一般以LG4為后綴名。22附2:第4章數學規劃模型（一） 854.1奶制品的生產與銷售第 T量_ _數學規劃模型在上一章中我們看到，建立優化模型要確定優化的目標和尋求的決策.用工 表示決策變量（#）表示目標函數.實際問題一般對決策變量卡的取值范圍有限 制，不妨記作X e 稱為可行域.優化問題的數學模型可表示為min（或 max）f（x），工 w。在第3章/通常是1維或2維變量，n通常是1維或2維的非負域.實際中的優化問題通常有多個決策變暴，用虐雄向景一（O,寶，.） 表示，目標函數/（工）是多元函數，可行域門比較復雜，常用一組不等式（也可以 有等式）鼠（父）三0仆=1,2,，

36、切）來界定，稱為約束條件.一般地，這類模型可表 述成如下形式min z =J（x）與，匚旦（工）毛0, = 1 ,2 ,m 這里的s,匕（mubjst W ）是受約束于的意思.威然，上述模型屬于多元函數的條件極值問題的范圍,然而許多實際問題歸 結出的這種形式的優化模型，其決策變量個數n和約束條件個數穆一般較大， 并且最優解往往在可行域的邊界上取得，這樣就不能簡單地用微分法求解，數學 規劃是解決這類問題的有效方法.需要指出的是，本章無意涉及數學規劃（或運籌學）的具體計算方法，仍然 著重于從數學建模的角度，介紹如何建立若干實際優化問題的模型,并且在用現 成的數學軟件求解后，對結果作一些分析4.1奶

37、制品的生產與銷售企業內部的生產計劃有各種不同的情況.從空間層次看，在工廠級要根據外 部需求和內部設備、人力、原料等條件，以最大利潤為目標制訂產品的生產計劃， 在車間級則要根據產品生產計劃、工藝流程、資源約束及費用參數等，以最小成 本為目標制訂生產作業計劃.從時間層次看，若在短時間內認為外部需求和內部 資源等不隨時間變化，可制訂單階段生產計劃，否則就要制訂多階段生產計劃，2386 例1加工奶制品的生產計劃本節選擇幾個單階段生產計劃的實例，說明如何建立這類問題的數學規劃 模型，利用軟件求解并對輸出結果作一些分析.例1 加工奶制品的生產計劃問題 一奶制品加工廠用牛奶生產AltA.兩種奶制品/桶牛奶可

38、以在甲 類設備上用12 h加工成3 kg 或者在乙類設備上用8 h加工成4 kg A史.根據 市場需求，生產的AIfA2全部能售出.且每千克%獲利24元，每千克A獲利 16元.現在加工廠每天能得到50桶牛奶的供應.每天正式工人總的勞動時間為 480 h,并且甲類設備每天至多能加工100 kg A，乙類設備的加工能力沒有限制. 試為該廠制訂一個生產計劃，使每天獲利最大，并進一步討論以下3個附加 問題：1）若用35元可以買到1桶牛奶，應否作這項投資？若投資,每天最多購買 多少桶牛奶？2）若可以聘用臨時工人以增加勞動時間，付給臨時工人的工資最多是每小 時幾元？3）由于市場需求變化,每千克%的獲利增加

39、到30元,應否改變生產計劃？ 問題分析這個優化問題的目標是使每天的獲利最大，要做的決策是生產 計劃，即每天用多少桶牛奶生產A-用多少桶牛奶生產A,（也可以是每天生產 多少千克兒,多少，千克A.,決策受到3個條件的限制：原料（牛奶）供應、勞動 時間、甲類設備的加工能力.按照題目所給，將決策變量、目標函數和約束條件用 數學符號及式子表示出來，就可得到下面的模型.基本模型決策變:設每天用O桶牛奶生產A一用物桶牛奶生產冬.目標函數；設每天獲利為片元.與桶牛奶可生產3盯kg A3獲利24x3%,均 桶牛奶可生產4町kg A工，獲利16 x4/，故”72。+64、約束條件：原料供應 生產A1,A）的原料（

40、牛奶）總量不得超過每天的供應，即 町十fW50 ：勞動時間 生產A, .A：的總加工時間不得超過每天正式工人總的勞動時 間，即 12% +8巧 W480；設備能力 A、的產星不得超過甲類設備每天的加工能力,即3%宅100；非負約束 看,盯均不能為負值，即孫N0,3三0.練上可得 TOC o 1-5 h z max z = 72x1 + 64典（1 ）s t. + x2 W50（ 2）12勺+8與 480（3）24(4)這就是該問題的基本模型,由于目標函數和約束條件對于決策變域而言都是線 性的，所以稱為線性裁劃（Linear Programming,簡記作LP）.模型分析與假設從本章下面的實例可

41、以看到，許多實際的優化問題的數學模型都是線性規 劃（特別是在像生產計劃這樣的經濟管理領域），這不是偶然的.讓我們分析一 下線性規劃具有哪些特征，或者說，實際問題具有什么性質，其模型才是線性 規劃.比例性每個決策變量對目標函數的貢獻與該決策變量的取值成正 比#每個決策變量對每個約束條件右端項的“貢獻”，與該決策變量的取值成 正比.可加性各個決策變量對目標函數的“貢獻”，與其他決策變最的取值無 關;各個決策變量對每個約束條件右端項的“貢獻”，與其他決策變量的取值 無關.連續性 每個塊策變量的取值是連續的.比例性和可加性保證了目標函數和約束條件對于決策變量的線性性，連續 性則允許得到決策變量的實數最

42、優解.對于本例，能建立上面的線性規劃模型，實際上是事先作了如下的假設：L A,AZ兩種奶制品每千克的獲利是與它們各自產量無關的常數.每桶牛 奶加工出AttA3的數量和所需的時間是與它們各自的產量無關的常數：AtA2每千克的獲利是與它們相互間產量無關的常數，每插牛奶加工出 A, ,A7的數量和所需的時間是與它們相互間產量無關的常數；3,加工A一儲的牛奶的桶數可以是任意實數.這3條假設恰好保證了上面的3條性質.當然，在現實生活中這些假設只是 近似成立的，比如，AAa的產量很大時，自然會使它們每千克的獲利有所減少由于這些假設對于書中給新的、經過簡化的實際問題是如此明顯地成立，本 章下面的例題就不再列

43、出類似的假設了 .不過，讀者在打算用線性規劃模型 解決現實生活中的實際問題時，應該考慮上面3條性質是否近似地滿足模型求解圖解法 這個線性規劃模型的決策變陸為2維，用圖解法既簡單，又便于直 觀地把握線性規劃的基本性質.將約束條件（2）、（5）中的不等號改為等號，可知它們是孫。巧平面上的5 條直線，依次記為5 人,如圖1.其中LAtL,分別是孫軸和如軸，并且不難判 斷，（2） （5）式界定的可行域是5條直線上的線段所圍成的5邊形OABCD.容25易算出，5 個頂點的坐標為：。（0,。）工（0,50） ,E（2O,3O） , C（ 100/3, 10）, D（100/3,0）.-目標函數（1）中的工

44、取不同數值時，在圖1中表示一組平行直線（虛線），稱 等值線族.如工工0是過。點的直線， 蕓二2 400是過。點的直線，工=3 040是過 C點的直線，可以看出，當這族平行 線向右上方移動到過B點時力=3 360, 達到最大值，所以R點的坐標（2。，30） 即為最優解法=20,2=30.我們直觀地看到，由于目標函數和約束條件都是線性函數，在2維情形，可行、域為直線段圍成的凸多邊形，目標函數的 等值線為直線，于是最優解一定在凸多邊形的某個頂點取得,圖I模型的圖解法推廣到維情形，可以猜想，最優解會在約束條件所界定的一個凸多面體 （可行域）的某個頂點取得.線性規劃的理論告訴我們，這個猜想是正確的：軟件

45、實現 求解線性規劃有不少現成的數學軟件，比如用LINGO軟件就可 以很方便地實現.在LINGO下新建一個模型文件（即LINGO程序，一般以 “LG4”為后綴名）,像書寫模型（1）（5）一樣,直接輸入；mode 1：max = 72 * xl + 64 * x2 ;milk xl + x2 50 ；t ime 12 * xl + 8 * x2 480 ；cpct S * xl =”形式輸入，它們與“父” J等效輸入模型中第1行 為目標函數milk、 time、 cpct是為F對各約束條件命名，便于從輸出結果 中查找相應信息（也可以不對約束命名，此時LING。會自動用數字按順序對約 束條件命名）.

46、將文件存儲并命名后，選擇菜單“UNCOISolv/執行，即可得到如下輸出：Global optimal solution found,Objective value：3360.0。882689結果分析Total solver iterations：VariableValue Reduced Cost20,000000.00000030,000000.000000Row Slack or SurplusDual Price1.00000048.000002.0000000.00000013360.000MILK0.000000TIME0.000000CPCT40,00000上面結果的前3行告訴我

47、們，LINGO求出了模型的全局最優解（Global optimal solution），最優值為3 360（即最大利潤為3 360元），迭代次數為2 次,接下來的3行告訴我們，這個線性規劃的最優解為為=20. =30（即用20 桶牛奶生產Ai ,30桶牛奶生產Ad 對其中“Reduced Cost”的含義，將在例2 中結合問題3）的討論進行說明.結果分析上面的輸出中除了告訴我們問題的最優解和最優值以外，還有許多對分析 結果有用的信息，下面結合題目中提出的3個附加問題，并利用圖解法的直觀給 予說明.（1） 3個約束條件的右端不妨看作3種資源原料、勞動時間、甲類設備 的加工能力.輸出第8 -11行

48、Slack or Surplu區給出這3種資源在最優解下是否 有剩余：原料MILK,勞動時間TIME的剩余均為。,甲類設備CPCT尚余 40 kg加工能力.這與圖解法的如下結果一致：最優解在B點（圖1中約束條件 2,3所定義的直線。和L2的交點）取得，表明原料、勞動時間已用完，而甲類設 備的能力有余,一般稱“資源”剩余為。的約束為緊約束（有效約束）,（2）目標函數可以看作“效益”，成為緊約束的“資源”一旦增加效益”必 然跟著增長,輸出第8 -11行Dual Prices給出這3種資源在最優解下“資源”增 加1個單位時“效益”的增量：原料MILK增加1個單位（1桶牛奶）時利潤增長 48元，勞動時

49、間TIME增加I個單位（1 h）時利潤增長2元，而增加非緊約束 CPCT甲類設備的能力顯然不會使利潤增長.這里，“效益”的增量可以看作 “貸源”的潛在價值，經濟學上稱為影子價格，即1桶牛奶的影子價格為48元, 1 h勞動的影子價格為2元，甲類設備的影子價格為0.讀者可以用直接求解的辦法驗證上面的結論，即將輸入文件中原料約束 MILK右端的50改為51，看看得到的最優值（利潤）是否恰好增長48元，用影子價格的概念很容易回答附加問題1）:用35元可以買到1桶牛奶，低 于1桶牛奶的影子價格，當然應該做這項投資.類似地，可以回答附加問題2）：27聘用臨時工人以增加勞動時間，付給的工資低于勞動時間的影子

50、價格才可以增 加利潤，所以工資最多是每小時2.元.（3）目標函數的系數發生變化時（假定約束條件不變），最優解和最優值會 改變嗎？這個問題不能簡單地回答.從圖1看，目標函數的系數決定了等值線族 的斜率，原題中該斜率（取絕對值，下同）為72/64 =9/8,介于直線L1的斜率1 與的斜率3/2之間,最優解自然在Lx和L2的交點B取得.并且只要目標函 數系數的變化使得等值線族的斜率仍然在（1 .3/2）范圉內，這個最優解就不會 改變.而當目標函數系數的變化使得等值線族的斜率小于1時，最優解將在4點 取得，大于3/2時，最優解將在C點取得.這種對目標函數系數變化的影響的討論，通常稱為對目標函數系數的敏

51、感 性分析.LINGO在缺省設置中不會給出這種敏感性分析結果，但可以通過修改 LINGO選項得到.具體作法是：選擇LINGO I Options”菜單，在彈出的選項卡中 選擇“ General Solvbi然后找到選項“ Dual CompiitalionSH，在下拉框中選中 Prices & Ranges,應用或保存設置.重新運行“ LINGO I Solve,然后選擇“ LINGO I菜單，則得到如下輸出:Ranges in which the basis is unchanged：Objective CoefficientVariableXIX2CurrentCoefficient72.

52、0000064.00000AllowableIncrease24.000008.000000RangesAllowableDecrease 8.000000 16.00000Righthand Side RangesRow CurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecreaseMILK50.00000TIME480,0000CPCT100.000010.0000053,33333INFINITY6.66666780*0000040,00000上面輸出的第2 6行“Current Coefticient（當前系數）對應的Allowable Increase*和A

53、llowable Decrease給出了最優解不變條件下目標函數系數的允許變化范圍內的系數為（72 -8,72 +24）,即（64,96）；峋的系數為（64 - 16,64 + 8）,即（48,72）.注意色系數的允許范圍需要看系數64不變，反之亦然.用這個結果很容易回答附加問題3）：若每千克A1的獲利增加到30元，則 航系數變為30 *3 =90,在允許范圍內，所以不應改變生產計劃，（4）對-資源”的影子價格作進一步的分析.從圖1看，隨著原料（牛奶）的增加，直線/向右上方平移出 與4的交點次它仍是最優解）向A點靠近，在902891 例2奶制品的生產銷售計劃這個過程中，每增加I桶牛奶利潤增長4

54、8元（影子彷格）.但是，當B點與八點 重合后再增加牛奶就不可能使利潤增長了.這就是說，影子價格的作用（即在最 優解下“資源增加】個單位時“效益”的增量）是有限制的.這種對影子價格在 什么條件下才有意義的討論，通常稱為對資源約束右端項的敏感性分析.上面輸 出的第712行“Current RH5（當前右端項）對應的Allowable IncreaW 和AL lowable Decrmse”給出了影子價格有意義條件下約束右端項的限制范圍：原料 MILK最多增加10桶牛奶，勞動時間TIME最多增加53.3民現在可以回答附加問題1）的第2問：雖然應該批準用35元買1桶牛奶的 投資，但每天最多購買1。桶牛

55、奶,類似地,可以用低于2元/h的工貿聘用臨時 工人以增加勞動時間.但最多增加53. 3 h*需要注意的是：一般情況下LINGO給出的敏感性分析結果只是充分條件, 如上述“最多增加10桶牛奶”應理解為“增加10桶牛奶”一定是有利可圖的，但 并不意味著“增加10桶以上的牛奶”一定不是有利可圖的（對最大可增加的勞 動時間也應該類似地理解），只是此時無法通過敏感性分析直接得到結論，而需 要看新求解新的模型進行判斷.以后我們對此不再特別進行說明（同樣，對目標 函數系數給出的敏感性分析結果也只是充分條件）.評注本例在產品利潤、加工時間等參數均可設為常數的情況下,建立了線 性規劃模型.線性規劃模型的三要素是

56、：決策變量、目標函數和約束條件.線性規 劃模型可以方便地用LINGO軟件求解，得到內容豐富的輸出，而且利用其中的 影子價格和敏感性分析，可對模型結果作進一步的研究，它們對實際問題常常是 十分有益的.例2 奶制品的生產銷售計劃問題 例I給出的A、，A3兩種奶制品的生產條件,利潤及工廠的“資源”限 制全都不變,為增加工廠的獲利，開發了奶制品的深加工技術；用2 h和3元加 工費，可將1 kg Z加工成0.8 kg高級奶制品，也可將1 kg A.加工成6 75 kg 高級奶制品B,每千克瓦能獲利44元，每千克能獲利32元.試為該廠制訂 一個生產銷售計劃，使每天的凈利潤最大，并討論以下問題：（1）若投資

57、30元可以增加供應1桶牛奶，投資3元可以增加1 h勞動時間， 應否作這些投資？若每天投資150元,可賺回多少？（2）每千克高級奶制品B1 ,B1的獲利經常有10%的波動，對制訂的生產銷 售計劃有無影響？若每千克用的獲利下降10%,計劃應該變化嗎？（3）若公司已經簽訂了每天銷售10 kg的合同并且必須滿足，該合同對公 司的利潤有什么影響？何題分析要求制訂生產銷售計劃,決策變量可以像例門那樣，取作每天用 多少桶牛奶生產A1,A1再添上用多少千克A,加工瓦，用多少千克A工加工B?,2992題2(1)答案但是由于問題要分析b(1b3的獲利對生產銷售計劃的影響，所以決策變量取作 每天的銷售量更方便.目標

58、函數是工廠每天的凈利潤b,.b3的獲利之和扣除深加工費用.約束條件基本不變，只是要添上A1tA2深加 工時間的約束.在與例1類似的假定下用線性規劃模型解決這個問題.基本模型決策變:設每天銷售.kg Aj/2 kg Aa.x, kg Bl kg 用灼kg A(加工B) kg A?加工B式增設%也可使下面的模型簡單).目標函數：設每天凈利澗為3容易寫出z =24/ + 16% +44% +32% -3xs - 3x6,約束條件：原料供應 每天生產A,+/kg,用牛奶(孫+x5)/3桶，每天生產Ag +見網,用牛奶(的+打)/4桶，二者之和不得超過每天的供應量50桶；勞動時間 每天生產A-A?的時間

59、分別為4(如+0)和2(知+&),加工BltB2的時間分別為2%和2人，二者之和不得超過總的勞動時間480 h；設備能力 A1的產量3+%不得超過甲類設備每天的加工能力100 kg；非負約束 孫，3，,x6均為非負.附加約束 】kg A,加工成0.8381,故事=08%,類似地處=0.75駕.由此得基本模型： TOC o 1-5 h z max z = 24/ + 16/ + 44/ + 324 - 3xs -3q(6)s. t. + ； W50(7)344(孫 +如)+2(% +/)+2%+2*6 =30；xll + x21 + x31 =70;xl2 + x22 +x32 = 10 ；xl

60、3 + x23 + x33 =10;xl4 + x24 作這樣的簡化后得到的解沒有任何9735例2貨機裝運變化.評注 本題考慮的是將某種物質從若干供應點運往一些需求點，在供需量 約束條件下使總費用最小或總利潤最大.這類問題一般稱為運輸問建，是線性規 劃應用最廣泛的領域之一.在標準的運輸問題中，供需量通常是平衡的，即供應 點的總供應曷等于需求點的總需求最.本題中供需量不平衡，但這并不會引起本 質的區別，同樣可以方便地建立線性規劃模型求解.例2貨機裝運問匣 某架貨機有三個貨艙：前倉、中倉、后倉.三個貨艙所能裝載的貨物的 最大質量和體積都有限制，如表3所示.并且為了保持機的平衡，三個貨艙中 實際裝載