1、14.3 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)IIR濾波器設(shè)計(jì)目的尋找系統(tǒng)函數(shù)IIR濾波器通常有兩大類設(shè)計(jì)方法模擬域設(shè)計(jì)數(shù)字域直接設(shè)計(jì)2例題：離散處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)如下：其中，數(shù)字濾波器要求如下：設(shè)計(jì)一個(gè)滿足上述要求的IIR數(shù)字濾波器C/DDSPD/CTdTd3 一、模擬域設(shè)計(jì)法將連續(xù)域系統(tǒng)變換成滿足預(yù)訂指標(biāo)的離散時(shí)間系統(tǒng)是傳統(tǒng)中常用的一類方法，因?yàn)椋哼B續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法十分成熟有很多經(jīng)驗(yàn)公式可資利用利用模擬域來設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器將離散系統(tǒng)性能技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)化為模擬指標(biāo)，利用連續(xù)濾波器來逼近性能指標(biāo)通過某種變換離散為數(shù)字濾波器。4變換即是需要將S平面映射到Z平面映射必須滿足兩個(gè)基本條件：1） 頻率響應(yīng)與 頻率響應(yīng)對(duì)應(yīng)

2、，也就是S平面虛軸要映射為Z平面單位圓；2）因果穩(wěn)定的 要映射為因果穩(wěn)定的 ，即S平面的左半平面要映射為Z平面的單位圓內(nèi)部。 滿足上面的映射有很多種，此處我們主要講述兩種方法：沖激響應(yīng)不變法雙線性Z變換變換需要具備的條件51、沖激響應(yīng)不變法目的：使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列為模擬濾波器單位沖激響應(yīng)的采樣，即：利用上述關(guān)系找到模擬濾波器對(duì)應(yīng)的離散時(shí)間系統(tǒng)函數(shù)6i)設(shè)計(jì)方法若令模擬濾波器可以分解為一階極點(diǎn)系統(tǒng)的并聯(lián)形式，即：則其單位沖激響應(yīng)為：系統(tǒng)函數(shù)為：7ii) 注意問題a）沖激響應(yīng)不變法可以保證S平面與Z平面的極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，但是不能保證零點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；b）頻率響應(yīng)與采樣間隔成反比，當(dāng)采樣時(shí)間太

3、小時(shí)，系統(tǒng)增益過高，故采用修正的沖激響應(yīng)不變法：8 c）由于上面的映射在時(shí)域?yàn)椴蓸雨P(guān)系，所以滿足： 及 并且：任何模擬濾波器都不可能理想帶限，所以存在不同程度的混疊現(xiàn)象9擴(kuò)展：階躍響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法是使數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)對(duì)應(yīng)于模擬濾波器的階躍響應(yīng)的采樣，即： i)設(shè)計(jì)方法 令： 則其單位階躍響應(yīng)為：1011a) 仍為采樣關(guān)系，所以仍然滿足： b) 數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)為：階躍響應(yīng)不變法仍然不可避免混疊現(xiàn)象由于 因子的存在，使得幅度響應(yīng)與頻率成反比,混疊現(xiàn)象比沖激響應(yīng)不變法要弱。 ii)注意問題12例題：離散處理連續(xù)時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)框圖如下：其中，數(shù)字濾波器要求如下：假設(shè)Td=1，試用沖激

4、響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè)具有巴特沃茲濾波特性，滿足上述要求的數(shù)字濾波器C/DDSPD/CTdTd13解：（1）首先將離散時(shí)間濾波器的技術(shù)指標(biāo)變換成連續(xù)時(shí)間濾波器的技術(shù)指標(biāo)由于有混疊現(xiàn)象的存在可能導(dǎo)致指標(biāo)惡化，設(shè)計(jì)完成后，需要對(duì)濾波器性能進(jìn)行評(píng)估 14模擬巴特沃茲濾波器的幅度響應(yīng)是頻率的單調(diào)函數(shù)，則巴特沃茲濾波器的幅度平方函數(shù)為：因此濾波器的設(shè)計(jì)過程包括確定滿足所需技術(shù)指標(biāo)的參數(shù)N和 。15方程的解是N5.8858和 .70474。參數(shù)N必須為整數(shù)，為滿足和超過該技術(shù)指標(biāo)，我們將N近似為整數(shù)，取N6。將N6代入(7.17a),得 0.7032。若取此值，則完全可以滿足通帶指標(biāo)并超過（連續(xù)時(shí)間濾波器）阻

5、帶指標(biāo)。給離散時(shí)間濾波器的混疊效應(yīng)留有余地16因此 的極點(diǎn)是S平面左半部分上的三對(duì)極點(diǎn)，其坐標(biāo)為 第一對(duì)極點(diǎn)：第二對(duì)極點(diǎn)：第三對(duì)極點(diǎn)：17如果我們把 表示成一個(gè)部分分式展開式并然后將各共軛對(duì)結(jié)合在一起，則得出離散時(shí)間濾波器的系統(tǒng)函數(shù)沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)得到的系統(tǒng)函數(shù)可直接用并聯(lián)形式實(shí)現(xiàn)。如果需要用串聯(lián)形式或直接形式，則應(yīng)當(dāng)用適當(dāng)?shù)姆椒▽⒎稚⒌母鱾€(gè)二階項(xiàng)組合起來。18頻率響應(yīng)1920離散時(shí)間濾波器在通帶邊緣、阻帶邊緣處超過指標(biāo)所用原型連續(xù)時(shí)間濾波器在通帶邊緣、阻帶邊緣處超過指標(biāo)采樣引入的混疊對(duì)離散濾波器性能沒造成嚴(yán)重影響 如果由于混疊使所得出的離散時(shí)間濾波器不能滿足技術(shù)指標(biāo)，則可試用較高階的濾波器

6、，或者保持階次不變而調(diào)整濾波器的參數(shù)。結(jié)論212、雙線性Z變換沖激響應(yīng)不變法和階躍響應(yīng)不變法由于使用了時(shí)域上的采樣原理，所以不可避免的產(chǎn)生了頻率響應(yīng)混疊失真。其原因也可以解釋成S到Z平面的多值映射問題。為了克服這一缺點(diǎn)，引入單值映射（雙線性變換），使得S平面的虛軸單值的映射到單位圓上。雙線性變換對(duì)因果穩(wěn)定性的影響由于： 所以： 因此：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；不改變模擬系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。2223頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系 實(shí)際中，為了數(shù)字濾波器在某一頻點(diǎn)有特定的性能，常使某一模擬頻率與某一數(shù)字頻率對(duì)應(yīng)，此時(shí)需要引入待定常數(shù)c:從而改進(jìn)的雙線性變換為： 24a) 常數(shù)c的確定方法若使某一模擬頻

7、率 與某數(shù)字頻率 對(duì)應(yīng)若使數(shù)字頻率的低頻特性與模擬頻率的低頻特性相近，即保持：ii) 注意問題25b) 變換對(duì)因果、穩(wěn)定性的影響 由于： 所以： 因此：當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；不改變模擬系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。26c) 雙線性變換固然消除了混疊現(xiàn)象，但是由于數(shù)字頻率和模擬頻率之間嚴(yán)重的非線性變換，使得其喪失了模擬濾波器的某些優(yōu)點(diǎn)，如線性相位特性。27d) 頻率預(yù)畸變對(duì)某些應(yīng)用的數(shù)字濾波器，往往要求在多個(gè)臨界數(shù)字頻率處符合特定性能要求首先按照這些數(shù)字頻率計(jì)算相應(yīng)的模擬頻率，然后設(shè)計(jì)在這些對(duì)應(yīng)的模擬頻率處滿足指標(biāo)的模擬濾波器最后通過雙線性變換獲得數(shù)字濾波器28例題：針對(duì)上題中的系統(tǒng)，若T

8、d=1,請(qǐng)采用雙線性變換進(jìn)行數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)，要求數(shù)字濾波器的低頻特性與模擬濾波器的低頻特性類似；并給出上述系統(tǒng)處理連續(xù)信號(hào)的通帶截止頻率和阻帶起始頻率；29解：頻率作預(yù)畸變處理30因?yàn)镹必須是整數(shù)，所以我們選取N=6， 。對(duì)于雙線性變換法不必?fù)?dān)心混疊問題。313233雙線性變換是將s平面的整個(gè)虛軸映射成z平面的單位圓，所以離散時(shí)間濾波器的幅度響應(yīng)要比原始連續(xù)時(shí)間濾波器幅度響應(yīng)下降快。特別是 在 處的特性對(duì)應(yīng)于 在 處的特性。由于連續(xù)時(shí)間巴特沃茲濾波器在 處有一個(gè)六階零點(diǎn)，所以得出的離散時(shí)間濾波器在 處也有一個(gè)六階零點(diǎn)。34二、直接數(shù)字域設(shè)計(jì)離散時(shí)間系統(tǒng)并不是依賴于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的采樣，數(shù)字濾波

9、器完全有自己一套獨(dú)立的設(shè)計(jì)方法，即數(shù)字域設(shè)計(jì)。 數(shù)字域又可以分為離散時(shí)間域和數(shù)字頻域兩大類設(shè)計(jì)方法。（一）數(shù)字頻域設(shè)計(jì)幅度平方函數(shù)法（二）數(shù)字時(shí)域設(shè)計(jì)帕德逼近法波形成型濾波器35與模擬域幅度平方設(shè)計(jì)濾波器一樣，利用幅度平方函數(shù)在某些約束條件下來導(dǎo)出系統(tǒng)函數(shù)。假設(shè)：數(shù)字巴特沃茲濾波器契比雪夫?yàn)V波器幅度平方函數(shù)法其他濾波器橢圓濾波器（Elliptic filter），通帶和阻帶等波紋。相比其他的濾波器，在階數(shù)相同的條件下有著最小的通帶和阻帶波動(dòng)。貝塞爾濾波器（Bessel filter）是具有最大平坦的群延遲（線性相位響應(yīng)）的線性濾波器。37幅度響應(yīng)固然有了，如何得到系統(tǒng)函數(shù)呢？由于：將上式帶入幅

10、度平方函數(shù)后，即可得：選取單位圓內(nèi)的極點(diǎn)即可組成可實(shí)現(xiàn)因果穩(wěn)定系統(tǒng)。38（二） 時(shí)域設(shè)計(jì)法在離散時(shí)域中設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器，即是給出所要求系統(tǒng)的若干時(shí)刻單位沖激響應(yīng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)，使得所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(n)在上述時(shí)刻盡量逼近理想的單位沖激響應(yīng)hd(n)。 391、帕德逼近法設(shè)計(jì)目的根據(jù)時(shí)域上最接近hd(n)的單位沖激響應(yīng) 來求得系統(tǒng)函數(shù)H(z)也就是在h(n)=hd(n) n=1,2,K的條件下求得系統(tǒng)函數(shù)的待定系數(shù)40設(shè)濾波器系統(tǒng)函數(shù)為：則可得到： 所以有：41若令 ，則共需要N+M+1個(gè)方程。根據(jù)上面的方程就可以得到這些系數(shù)。 因而可以得到系統(tǒng)函數(shù)：42針對(duì)特定的輸入，要求特定輸出情況下的濾

11、波器設(shè)計(jì)，所以叫做波形形成濾波器。它是帕德逼近法基礎(chǔ)上的時(shí)域直接設(shè)計(jì)。設(shè) 是輸入， 為希望的系統(tǒng)輸出 所設(shè)計(jì)系統(tǒng)的輸出2、波形形成濾波器43按照最小均方誤差準(zhǔn)則來確定系統(tǒng)的最優(yōu)單位沖激響應(yīng)，即：由于系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，輸入x(n)亦為因果序列，所以：44所以：由拉格朗日定理可知上式成立的條件是： 由上面的方程式即可求得最優(yōu)的單位沖激響應(yīng)再由帕德逼近法可最終獲得系統(tǒng)函數(shù)H(z)。453、數(shù)字頻帶變換如何設(shè)計(jì)數(shù)字高通、帶通、帶阻濾波器?可將模擬濾波器轉(zhuǎn)換相應(yīng)類型數(shù)字濾波器。也可直接在數(shù)字頻域內(nèi)將設(shè)計(jì)好的數(shù)字低通濾波器通過頻帶變換為各種類型濾波器。歸一化模擬低通模擬低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字低通、高通、

12、帶通、帶阻模擬域頻帶變換雙線性變換歸一化模擬低通數(shù)字低通數(shù)字低通、高通、帶通、帶阻數(shù)字域頻帶變換或雙線性變換沖激響應(yīng)不變法46如果給定數(shù)字低通原型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，則我們的任務(wù)是通過映射變換得到期望濾波器。其中的變換關(guān)系需要將一個(gè)因果穩(wěn)定的數(shù)字低通有理系統(tǒng)變成因果穩(wěn)定的有理系統(tǒng)。因此，要求：1、映射關(guān)系必須為有理函數(shù)；2、z平面的單位圓要對(duì)應(yīng)Z平面的單位圓；3、z平面的單位圓內(nèi)部要對(duì)應(yīng)Z平面的單位圓內(nèi)部47設(shè)和分別為z、Z平面的數(shù)字頻率分量，則可得：由此可見映射關(guān)系在單位圓上的幅度恒等于1，這樣的有理函數(shù)就是我們?cè)?jīng)提到過的全通函數(shù)，可以表示為：為保證變換前后的穩(wěn)定性不改變，需要 。可以證明，當(dāng)從0變化到時(shí)，全通函數(shù)的相角變化量為N。選擇合適的N和ai就可以實(shí)現(xiàn)各種變換。48數(shù)字低通數(shù)字低通變換前后的系統(tǒng)皆為低通，所不同之處僅僅是通帶截至頻率不同而已。由于和均是