1、金融風(fēng)險(xiǎn)管理第十章 相關(guān)系數(shù)和Copula函數(shù)1本章主要內(nèi)容相關(guān)系數(shù)定義相關(guān)系數(shù)估計(jì)多元正態(tài)分布Copula函數(shù)Copula函數(shù)運(yùn)用于貸款組合2相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差變量V1和V2的相關(guān)系數(shù)定義為：協(xié)方差Cov(V1,V2)=E(V1V2)E(V1)E(V2)3獨(dú)立性假設(shè)兩個(gè)變量V1、 V2，其中恣意一個(gè)變量的信息不會(huì)影響另一個(gè)變量的分布，那么這兩個(gè)變量就是獨(dú)立的，即其中， f(.)代表變量的概率密度函數(shù)4獨(dú)立性不等同于不相關(guān)假設(shè) V1 = 1, 0, 或者 +1 (等能夠性的)假設(shè)V1 = -1 或者 V1 = +1 那么 V2 = 1假設(shè)V1 = 0 那么 V2 = 0顯然V2 的值取決于V1

2、(反之亦然) 但是這兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)卻為0下面的圖10-1描畫(huà)相關(guān)關(guān)系5掃描 10-16710.2.1 采用EWMA模型第9章：用EWMA模型預(yù)測(cè)方差本節(jié)：用EWMA模型預(yù)測(cè)協(xié)方差.89101110.3 多元正態(tài)分布12多元正態(tài)分布處置上相對(duì)簡(jiǎn)便方差-協(xié)方差矩陣定義了變量之間的方差和相關(guān)系數(shù)為了滿足內(nèi)部一致性的條件，方差-協(xié)方差矩陣必需是半正定的13基于蒙特卡羅模擬產(chǎn)生的隨機(jī)抽樣在Excel中，=NORMSINV(RAND()能產(chǎn)生一個(gè)來(lái)自于正態(tài)分布的隨機(jī)樣本間接構(gòu)造隨機(jī)數(shù)14因子模型假設(shè)有N 個(gè)變量 Vi (i = 1, 2,.N), 那么在一個(gè)多元正態(tài)分布中有N(N1)/2 個(gè)相關(guān)系數(shù)我

3、們可以經(jīng)過(guò)估計(jì)因子模型的方法來(lái)減少相關(guān)系數(shù)參數(shù)的數(shù)量15因子模型 單因子模型：假設(shè)Ui ,i=1,2,N滿足規(guī)范正態(tài)分布，那么 共同因子F和特殊因子Zi服從規(guī)范正態(tài)分布且相互獨(dú)立 變量Ui 和Uj 的相關(guān)系數(shù)是aiajM個(gè)因子模型1610.4 Copula函數(shù)知結(jié)合分布可以確定邊緣分布。當(dāng)知了兩個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布，怎樣來(lái)估計(jì)他的結(jié)合分布？Copula函數(shù)方法提供了一個(gè)估計(jì)結(jié)合分布的方法根本思想：等概率投影到知結(jié)合分布函數(shù)上，經(jīng)過(guò)隨機(jī)變量的交換反推出未知結(jié)合分布。17高斯Copula 函數(shù)模型: 用于對(duì)不服從正態(tài)分布的變量生成相關(guān)構(gòu)造假設(shè)我們想對(duì)變量V1、 V2定義一個(gè)相關(guān)構(gòu)造，但V1、 V2

4、不服從正態(tài)分布我們把變量V1映射到一個(gè)新的服從規(guī)范正態(tài)分布的變量U1上，這種映射為分位數(shù)與分位數(shù)之間的一一映射變量V2也按變量V1的方法映射到新的變量U2 上變量U1、 U2服從二元正態(tài)分布181920計(jì)算結(jié)合累積分布的例子變量V1、 V2同時(shí)小于0.2的概率同變量U1 0.84且U2 1.41的概率一樣當(dāng) Copula 相關(guān)系數(shù)等于0.5 時(shí)，也就是M( 0.84, 1.41, 0.5) = 0.043其中，M為二元正態(tài)分布的累計(jì)分布函數(shù)21222324二元學(xué)生t-分布比二元正態(tài)分布尾部?jī)r(jià)值更高(1)5000個(gè)抽樣，相關(guān)系數(shù)均為0.5，學(xué)生t-分布自在度為4(2)正態(tài)分布價(jià)值大于2.33或小

5、于-2.33的抽樣值定義為尾部?jī)r(jià)值(3)學(xué)生t-分布價(jià)值大于3.75或小于-3.75的抽樣定義為尾部?jī)r(jià)值2510.4.4 多元Copula函數(shù)類(lèi)似的，我們可以定義多個(gè)變量V1, V2,Vn之間的相關(guān)構(gòu)造在分位數(shù)與分位數(shù)對(duì)應(yīng)映射的條件下，把變量Vi映射到一個(gè)新的服從規(guī)范正態(tài)分布的變量Ui上變量Ui服從多元正態(tài)分布2610.4.5 因子Copula函數(shù) 多元Copula模型中，市場(chǎng)分析員經(jīng)常假定變量Ui, 單因子模型中共同因子F和特殊因子Zi都服從規(guī)范正態(tài)分布且相互獨(dú)立變量Ui 和Uj 的相關(guān)系數(shù)是aiajF和Zi也可以假設(shè)服從其他分布27信貸違約相關(guān)系數(shù)兩個(gè)公司之間的信貸違約相關(guān)系數(shù)用來(lái)衡量這兩個(gè)公司同時(shí)違約的傾向在風(fēng)險(xiǎn)管理上，違約相關(guān)系數(shù)對(duì)于分析信貸風(fēng)險(xiǎn)多樣化是非常重要的違約相關(guān)系數(shù)對(duì)于某些信貸衍生品的估值也是大有用途的2810.5 將Copula函數(shù)運(yùn)用于貸款組合我們把公司i違約的時(shí)間Ti映射到一個(gè)新的變量Ui ，并且假設(shè)其中 F 和Zi 服從正態(tài)分布，并且相互獨(dú)立定義 Qi 為T(mén)i的累積概率分布Prob(UiU) = Prob(TiT) when N(U) = Qi(T)29貸款組合模型30察看違約概率