1、北京市第一一中學 方 明 4/4 基本計數(shù)原理教案 北京市第一一中學 方明 課題基本計數(shù)原理使用教材人教B版選修2-3授課年級高二年級教學目標知識與技能：（1）理解分類加法計數(shù)原理，分步乘法計數(shù)原理；（2）能根據(jù)具體問題的特征，選擇恰當?shù)挠嫈?shù)方法解決一些簡單的實際問題；過程與方法：（1）從實例入手，讓學生理解計數(shù)問題的一般步驟；（2）在分析問題時，學會利用數(shù)形圖，流程圖等形象直觀解決問題，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力； 情感、態(tài)度與價值觀：（1）計數(shù)問題與生活息息相關(guān)，通過學習能正確的解決有關(guān)的實際問題；（2）激發(fā)學生的好奇心與求知欲，啟發(fā)學生發(fā)現(xiàn)與提出問題，善于獨立思考與鉆研問題.教學重點兩個基本計數(shù)

2、原理及其應用教學難點用原理分析問題、解決問題；合理選擇分類或分步解決問題教學過程設計環(huán)節(jié)教師活動學生活動設計意圖一基本計數(shù)原理二原理的應用三總結(jié)四進一步的思考學校體育器材室有兩種球類可以外借，其中有3個編號不同的籃球，4個編號不同的足球，（1）同學甲想借一個球，共有多少種不同的借法；問：7種方法可以怎樣分類？對應的如何列式？（PPT呈現(xiàn)分類加法計數(shù)原理）（2）同學甲想借一個籃球和一個足球，共有多少種不同的借法.問：只借一個球能完成任務嗎？ 共有幾種方法？如何列式？ 列式依據(jù)是什么？（PPT呈現(xiàn)分步乘法計數(shù)原理）按球類，按編號，引出分類加法原理與分步乘法原理，體會分類的標準對列式的影響；體會分步

3、與分類的區(qū)別；球場上，甲、乙、丙三個同學正進行傳球練習，由甲先發(fā)球，經(jīng)過次傳球后，球回到甲的手中，共有多少種不同的傳球方法？問：每次傳球有怎樣的約束條件？ 最小是多少？當時，要完成的事情是什么？第一次傳球有什么約束條件？共有幾種滿足要求的傳球方法？分別是什么？能用分類加法計數(shù)原理或者分步乘法計數(shù)原理列式得出結(jié)果嗎？當時，要完成的事情是什么？這兩次傳球都有什么約束條件？共有幾種滿足要求的傳球方法？分別是什么？能用分類加法計數(shù)原理或者分步乘法計數(shù)原理列式得出結(jié)果嗎？當時，要完成的事情是什么？學生思考，互相討論，課堂交流學生可能的方法：樹形圖法，利用計數(shù)原理計數(shù)，間接法，遞推的思想.引導學生畫流程圖

4、，并用計數(shù)原理進行計數(shù)，鼓勵學生發(fā)表自己見解，引導學生從計數(shù)原理角度分析問題.1、計數(shù)問題處處存在，計數(shù)前先對問題有個清楚的認識；2、根據(jù)具體問題，選擇不同方法；3、不同的方法，不同的特點；更一般的，次傳球，一共有多少種不同的傳球方法？丁也加入傳球練習，四人傳球，由甲先發(fā)球，經(jīng)過次傳球后，球回到甲的手中，共有多少種不同的傳球方法？分析約束條件：傳球只能傳給別人，第一次與最后一次都有甲的參與；最小是2學生可能的方法：樹形圖，結(jié)合流程圖，用計數(shù)原理；規(guī)律明顯問題，考慮遞推法.初步體會問題中的約束條件，并從簡單情況入手.結(jié)合具體情況體會約束條件，并嘗試初步畫流程圖，應用原理分析問題.結(jié)合具體情況進一

5、步體會約束條件，理解特殊位置，特殊元素，并畫流程圖，應用原理分析問題.學生嘗試從多個角度去解決問題，感受原理的應用，感受分類的原因以及分類標準的確定，感受流程圖的直觀.總結(jié)計數(shù)的方法，能結(jié)合具體問題選擇恰當方法.進一步研究這個問題的普遍規(guī)律，鼓勵學生進一步的探索.教學反思一、內(nèi)容分析這是高二計數(shù)原理的第一課時基本計數(shù)原理，以前我在講這節(jié)課時，經(jīng)常是在給出兩個基本計數(shù)原理以后，緊跟著是大量的鞏固練習.由于這些練習題往往都比較基礎，學生缺乏深入的思考，也就沒有太多的沉淀.老師的思考深度決定了學生思考的深度，設計這節(jié)課之前，我思考著幾個問題.（1）學生對于計數(shù)問題的認識有多少？據(jù)我的了解，學生從小學

6、就開始接觸計數(shù)問題，他們能借助樹形圖較好地完成簡單的計數(shù)問題，也初步了解兩個基本計數(shù)原理的想法，但是對兩個原理的理解與表述有待提升.（2）兩個基本計數(shù)原理在計數(shù)問題中的地位是什么？基本計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也是后續(xù)學生推導排列數(shù)、組合數(shù)、二項式定理系數(shù)的有效工具，它貫穿于這一章節(jié)始終.（3）兩個基本計數(shù)原理的教育價值是什么？計數(shù)原理的學習不僅是讓學生掌握了一種計數(shù)方法，更重要的是讓學生掌握了有序分析問題、解決問題的方法，這種有序分析問題的思想影響學生未來的思考方式.基于以上的分析，我設計了教學流程.從兩個具體的例子引出兩個基本計數(shù)原理，然后應用原理解決實際問題，使學生理

7、解計數(shù)問題的一般思考過程、計數(shù)方法、核心思想.在應用原理部分，從較簡單的情況入手，依次考慮“”的情形，并得到解決計數(shù)問題的一般思考過程：要完成的事情是什么？有什么約束條件？結(jié)合具體問題選用怎樣的計數(shù)方法？在具體計數(shù)方法的選擇上，總數(shù)較小問題優(yōu)先數(shù)形圖法；復雜問題可以借助流程圖，并利用兩個計數(shù)原理進行計數(shù)；對于規(guī)律明顯的問題，學生嘗試用遞推關(guān)系法，建立遞推的過程也是兩個基本計數(shù)原理進一步的應用.結(jié)合具體的問題，學生逐漸關(guān)注問題中的特殊元素、特殊位置等，理解特殊要求優(yōu)先考慮的想法.二、授課后的總結(jié)與反思從授課的情況來看，由于問題比較有挑戰(zhàn)性，學生興趣很高，課堂中學生的交流與表達比較充分，課堂現(xiàn)場生

8、成很多，高于我的預期.引出兩個基本計數(shù)原理以后，后續(xù)的教學圍繞下面問題展開：“球場上，甲、乙、丙三個同學正進行傳球練習，由甲先發(fā)球，經(jīng)過次傳球后，球回到甲的手中，共有多少種不同的傳球方法？”當分別取時，學生能熟練運用樹形圖法進行計數(shù)從而解決問題，也能借助于流程圖用兩個基本計數(shù)原理列式求解.隨著研究的深入，學生嘗試著去尋找這個問題的遞推關(guān)系，而遞推關(guān)系的得到必須建立在學生對兩個基本計數(shù)原理熟練掌握的基礎上.如何把這部分內(nèi)容講清楚？雖然我事先做了很多準備，但學生在課堂上的情況卻打亂了我的預設.先是學生甲用了比較復雜的方法建立了遞推關(guān)系，學生甲說：設經(jīng)過次傳球后，球回到甲手中的不同傳球方法數(shù)為；回到

9、乙手中的不同傳球方法數(shù)為；回到丙手中的不同傳球方法數(shù)為，借助于分類加法計數(shù)原理得到了以下遞推：由于學生甲的方法復雜、抽象，學生乙舉手提問，說聽不懂.課堂意外情況發(fā)生了，怎么辦？我當時處理還是比較恰當?shù)模覍W生乙說：“你有什么不懂的，直接與學生甲互相對話解決吧.”就這樣，兩個學生在課堂上一個問一個解釋，雖然學生乙還是沒完全明白，可是學生丙卻領(lǐng)會了甲的想法，也站起來參與討論，課堂十分活躍.整個對話過程中，其余同學也是頻頻點頭，最后乙也明白了遞推的由來.更讓我驚訝的是，乙最后居然還給出了比較簡潔的遞推關(guān)系，并從兩個基本計數(shù)原理的角度給予了論證.在這些同學的帶領(lǐng)下，學生丁提出了一種更簡潔的遞推關(guān)系：

10、，這些遞推方法居然都有學生想出來了.我想，課堂的生成不可預判，課堂的生成需要老師的鋪墊，課堂的生成更需要我們耐心等待.毫無疑問，學生思維上的困惑是課堂教學最有價值的素材，學生之間的交流不僅利于學生解開困惑，也有利于表達能力的培養(yǎng).在整個教學過程中，師生交流、生生交流都很充分.老師更多的是課堂的組織者與指導者，學生才是問題的解決者.在這種良好的教學氛圍中，學生的認知更自然，學生的認識更深刻，學生獲得的知識對未來的影響更深遠.這節(jié)課授課過程有些地方處理的不是很理想.本節(jié)課的一個教學目標是學生經(jīng)歷探索，的過程，能畫流程圖理解并解決計數(shù)問題，理解流程圖的直觀性.我甚至于設想過如果學生想不出遞推方法，就讓學生繼續(xù)研究的情況，進一步地理解流程圖在計數(shù)問題中的應用.然而，學生對遞推的敏銳性，打破了我的計劃.在的時候就有學生提到了遞推法解決計數(shù)問題，導致學生對流程圖的理解不夠深入.造成這種情況的原因