1、第23課時 矩形、菱形及正方形中考考點清單考點一 矩形的概念、性質及判定定義有一個角是_的平行四邊形叫矩形(1)矩形的四個角都是_；(2)矩形的對角線_；(3)矩形既是_對稱圖形又是軸對稱圖形,有_條對稱軸;(4)面積S=_（a、b表示長和寬）性質直角直角相等中心2ab判定(1)有一個角是_的平行四邊形是矩形；(2)_是直角的四邊形是矩形；(3)對角線_的平行四邊形是矩形直角三個角相等定義有一組鄰邊_的平行四邊形叫菱形(1)菱形的四條邊都 _；(2)菱形的對角線 _且每一條對角線都平分 _;(3)菱形既是 _對稱圖形，又是 _對稱圖形，對稱軸條數為 _；(4)菱形的面積S= _(l1、l2為對

2、角線長)考點二 菱形的概念、性質及判定性質相等相等11 12 13 14 15 16 互相垂直一組對角中心217 軸菱形性質的應用判定(1)有一組鄰邊 _的平行四邊形是菱形；(2)四條邊都 _的四邊形是菱形；(3)對角線 _的平行四邊形是菱形相等相等互相垂直18 19 20 考點三 正方形的性質及判定（高頻考點）（1）正方形的對邊平行，四邊都 _；（2）正方形的四個角都是 _；（3）對角線互相垂直平分且相等，每條對角線平分一組對角；（4）面積S=a2(a表示正方形的邊長)性質21 22 相等直角判定（1）有一組 _相等，并且有一個角是 _的平行四邊形是正方形；（2）有一組鄰邊相等的 _是正方形

3、；（3）有一個角是直角的 _是正方形；（4） _相等且互相垂直的平行四邊形是正方形23 24 25 26 27 鄰邊直角矩形菱形對角線考點四 平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關系常考類型剖析典例精講類型一 矩形的判定及性質 例 1（13云南）已知在ABC中AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的中線，四邊形ADBE是平行四邊形. （1）求證：四邊形ADBE是矩形； （2）求矩形ADBE的面積.1題圖例（1）【思路分析】利用三線合一定理可證得ADB=90，根據有一個角是90的平行四邊形是矩形即可證得.證明：ABAC，AD是BC邊上的中線，ADBC，ADB90，四邊形ADBE是平行四邊形，平行四

4、邊形ADBE是矩形.（2）【思路分析】利用等腰三角形的性質及勾股定理分別求得BD和AD的長，然后利用矩形的面積公式即可求得.解：ABAC5，BC6，AD是BC邊上的中線，BDDC6 3，在RtACD中，AC5，DC3，AD 4，S矩形ADBEBDAD3412.【方法指導】1.矩形判定的一般思路：首先判定是否為平行四邊形，然后找角或者對角線的關系，若角度容易求，則可找其一角為90，便可判定是矩形；若對角線容易求，則證明其對角線相等即可判定其為矩形.2.應用矩形性質計算的一般思路：根據矩形的四個角都是直角，一條對角線將矩形分成兩個直角三角形，用勾股定理或三角函數求線段的長是常用的思路，又根據矩形對

5、角線相等且互相平分，故可借助對角線的關系得到全等三角形.矩形的兩條對角線把矩形分成四個等腰三角形，在矩形性質相關的計算和證明中要注意這個結論的運用，建立能夠得到線段或角度的等量關系.針對演練1. 在矩形ABCD中，下列不一定正確的是 ( )A. ADBCB. AB=CDC. 對角線AC與BD互相平分D. 對角線ACBDD【解析】選項正誤逐項分析A矩形的對邊平行，所以ADBC正確，故不符合題意B矩形的對邊相等，所以AB=CD正確，故不符合題意C矩形的對角線互相平分，所以對角線AC與BD互相平分正確，故不符合題意D矩形的對角線不一定垂直，所以對角線ACBD錯誤,故符合題意2. （14衡陽）如圖，在

6、矩形ABCD中， BOC=120，AB=5，則BD的長為_.第2題圖10【解析】四邊形ABCD是矩形，AC=2AO，BD=2BO, AC=BD,OA=OB，BOC=120, AOB=60，AOB是等邊三角形，OB=AB=5，BD=2BO=103. (14巴中）如圖，在四邊形ABCD中，點H是邊BC的中點，作射線AH，在線段AH及其延長線上分別取點E、F，連接BE、CF.（1）請你添加一個條件，使得BEHCFH，你添加的條件是_，并證明.（2）在問題（1）中，當BH與EH滿足什么關系時，四邊形BFCE是矩形，請說明理由.EH=FH第3題圖證明：點H是BC的中點，BH=CH,在BEH和CFH中，

7、BH=CH BHE=CHF , EH=FHBEHCFH(SAS);(2)當BH=EH時,四邊形BFCE是矩形.理由如下：連接BF、CE，由（1）知BEHCFH,HE=HF,HB=HC，四邊形BFCE是平行四邊形，BH=EH，HE=HF=HB=HC，即有BC=EF，平行四邊形BFCE為矩形.第3題解圖類型二 菱形的判定與性質 例 2（14貴陽）如圖，在RtABC中，ACB90，D、E分別為AB、AC邊上的中點，連接DE，將ADE繞點E旋轉180得到CFE，連接AF、CD.（1）求證：四邊形ADCF是菱形；（2）若BC8，AC6，求四邊形ABCF的周長.例2題圖（1）【思路分析】由RtADE繞點E

8、旋轉180得到CFE，可得出DEF180，AEC180，即點A、E、C，點D、E、F分別在同一直線上，再根據ADE與CFE全等，可得出AE=EC，DEEF，利用菱形對角線相互垂直且平分即可得證.證明：將ADE繞點E旋轉180得到CFE,點A、E,C,點D、E、F分別在同一直線上,ADECFE，AEEC，DEEF，四邊形ADCF為平行四邊形，點D、E分別是AB與AC的中點，DE是ABC的中位線，DEBC，ACB90，DFAC，四邊形ADCF為菱形.【難點突破】本題求證四邊形ADCF是菱形，其難點在于由ADE旋轉180得到ACDF，再通過全等得出AC、DF垂直平分,理解并掌握圖形旋轉的知識是解題的

9、關鍵.（2）【思路分析】根據勾股定理可計算AB的長，再根據點D是AB上的中點，可求出菱形ADCF的邊長，四邊形ABCF的周長即可求出.解：在RtABC中，BC8，AC6，AB ，點D是AB邊上的中點，AD5，四邊形ADCF為菱形，AF=FC=AD5，C四邊形ABCF8+10+5+528.【方法指導】1.菱形判定的一般思路：若一個四邊形是菱形，則必是平行四邊形，故在判定一個四邊形是菱形時，首先判斷其是平行四邊形，然后根據平行四邊形的鄰邊相等，來判定是菱形，這是判定菱形的最基本思路，同時也可以考慮其他判定方法，例如若能判定對角線垂直即可應用對角線來判定.2.菱形性質的應用思路：菱形是平行四邊形，故

10、會應用對邊平行、對角相等等性質；而菱形四邊相等，所以在做題時，會利用等量代換來轉換為其他邊的長；它的對角線相互垂直，故常借助對角線垂直和勾股定理來求線段的長.針對演練1. （14寧波）菱形的兩條對角線長分別是6和8，則此菱形的邊長是( )A. 10 B. 8 C. 6 D. 5D【解析】四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，OB=OD=3，OA=OC=4，ACBD，在RtAOB中，由勾股定理得：AB ，即菱形ABCD的邊長AB=BC=CD=AD=5.2. （14陜西）如圖，在菱形ABCD中，AB5，對角線AC6.若過點A作AEBC，垂足為E，則AE的長為（ ）A. 4B. C. D. 5第

11、2題圖C【解析】如解圖，連接BD，交AC于點O，四邊形ABCD是菱形，AC6，ABBC=5, ACBD,BO=OD,AO=OC=3,AOB是直角三角形.在RtAOB中，AB2BO2+AO2，BO4， = BCAE ACBO， 5AE=1264,AE .第2題解圖3. （14連云港）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,DEAC,CEBD.(1)求證：四邊形OCED為菱形；(2)連接AE、BE.AE與BE相等嗎?請說明理由.第3題圖 【思路分析】（1）首先證明四邊形OCED是平行四邊形，再證明OCOD，根據一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證；（2）根據已知圖形性質，通過證明兩條線段所在

12、的三角形全等，再由全等三角形性質即可得證.（1）證明：DEAC，CEBD，四邊形OCED是平行四邊形.在矩形ABCD中，ACBD，且AC、BD互相平分.OC AC BDOD， OCED是菱形.（2）解：相等.理由如下：在菱形OCED中，EDEC， EDCECD，又矩形ABCD中，ADBC， ADCBCD90， ADCEDCADE， BCD+ECD=BCE,ADEBCE，在ADE和BCE中， ADBC ADEBCE， DECEADEBCE（SAS），AEBE.類型三 正方形的性質計算 例 3（14哈爾濱）如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，點E在AB邊上，EFAC于點F，連接EC，AF=3，

13、EFC的周長為12，則EC的長為_.例3題圖5【解析】本題考查正方形的性質和勾股定理.設EC=x，AC是正方形ABCD對角線，BAC=45，又EFAC,AEF是等腰直角三角形，EF=AF=3.EFC的周長為12，FC=12-3-x=9-x，在RtEFC中，由勾股定理得：EC2 FC2+EF2, x2=32+(9-x)2,解得x=5.【方法指導】正方形中的相關計算包括以下2種設問方式：1.求面積；2.求線段比、面積比.1.求面積時，一般利用拼接法將所求面積的圖形拼接成正方形，然后利用正方形的面積公式即可求出面積；2.求線段長（比）、面積（比）時，可從以下兩個方面考慮：直接利用特殊圖形的性質（或等

14、腰三角形的性質），結合勾股定理、三角形全等的性質等，先求出對應的線段、面積的值，再求比值；通過尋找相似三角形，利用三角形相似的性質求出相應的比值.針對演練1. （14來賓）正方形的一條對角線長為4，則這個正方形的面積是( )A. 8 B. C. D. 16A【解析】正方形的一條對角線長為4，這個正方形的面積= 44=8.2. （14株洲）已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從AB=BC,ABC=90,AC=BD,ACBD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，現有下列四種選法，其中錯誤的是( )A. 選 B. 選C. 選 D. 選B【解析】本題考查了正方形的判定方法.選項正

15、誤逐項分析A由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形B由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以不能得出平行四邊形ABCD是正方形C由得有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，由得對角線相等的平行四邊形是矩形，所以平行四邊形ABCD是正方形D由得有一個角是直角的平行四邊形是矩形，由得對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以平行四邊形ABCD是正方形3. 如圖，在ABC中，AB=AC，AD是ABC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE.（1）若ABE=35，求BAE的度數；（2）當ABC 滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由. 第3題圖【思路分析】（1）利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質得出ADB=90，即可得四邊形AEBD是矩形，進而由矩形的性