1、 70/70 小學數學典型應用題小學數學中把含有數量關系的實際問題用語言或文字敘述出來，這樣所形成的題目叫做應用題。任何一道應用題都由兩部分構成。第一部分是已知條件（簡稱條件），第二部分是所求問題（簡稱問題）。應用題的條件和問題，組成了應用題的結構。沒有特定的解答規律的兩步以上運算的應用題，叫做一般應用題。題目中有特殊的數量關系，可以用特定的步驟和方法來解答的應用題，叫做典型應用題。這本資料主要研究以下30類典型應用題： 1、歸一問題 2、歸總問題 3、和差問題 4、和倍問題 5、差倍問題 6、倍比問題 7、相遇問題 8、追及問題 9、植樹問題10、年齡問題11、行船問題12、列車問題13、時

2、鐘問題14、盈虧問題15、工程問題16、正反比例問題17、按比例分配18、百分數問題19、“牛吃草”問題20、雞兔同籠問題21、方陣問題22、商品利潤問題23、存款利率問題24、溶液濃度問題25、構圖布數問題26、幻方問題27、抽屜原則問題28、公約公倍問題29、最值問題30、列方程問題1 歸一問題【含義】在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題?！緮盗筷P系】總量份數1份數量1份數量所占份數所求幾份的數量另一總量（總量份數）所求份數【解題思路和方法】先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。例1、買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的

3、鉛筆16支，需要多少錢？解：（1）買1支鉛筆多少錢？0.650.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12161.92（元）列成綜合算式： 0.65160.12161.92（元）例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6 天耕地多少公頃？解：（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？ 903310（公頃）（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 1056300（公頃）列成綜合算式： 9033561030300（公頃）例3、 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？解： （1）1輛汽車1次能運多少噸鋼材？ 100545（噸）（2）7輛汽車1次能

4、運多少噸鋼材？ 5735（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？ 105353（次）列成綜合算式 105（100547）3（次）2 歸總問題【含義】解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等?！緮盗筷P系】 1份數量份數總量總量1份數量份數總量另一份數另一每份數量【解題思路和方法】 先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。例1服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？解：（1）這批布總共有多少米

5、？3.27912531.2（米）（2）現在可以做多少套？2531.22.8904（套）列成綜合算式 3.27912.8904（套）例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？解：（1）紅巖這本書總共多少頁？ 2412288（頁）（2）小明幾天可以讀完紅巖？ 288368（天）列成綜合算式 2412368（天）例3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？解：（1）這批蔬菜共有多少千克？ 50301500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？ 1500（5010）

6、25（天）列成綜合算式 5030（5010）15006025（天）3 和差問題【含義】已知兩個數量的和與差，求這兩個數各是多少，這類應用題叫和差問題?！緮盗筷P系】大數（和差） 2小數（和差） 2【解題思路和方法】簡單的題可以直接套用公式；復雜的題變通后再用公式。例1 甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？解： 甲班人數（986）252（人）乙班人數（986）246（人）例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。解： 長（182）210（厘米）寬（182）28（厘米）長方形的面積 10880（平方厘米）例3有甲、乙、丙三袋化肥，甲、乙兩袋共重32千

7、克，乙、丙兩袋共重30千克，甲、丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。解： 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知甲袋化肥重量（222）212（千克）丙袋化肥重量（222）210（千克）乙袋化肥重量321220（千克）例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解：“從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（1423），甲與乙的和是97，因此 甲車筐數（971423）264（筐）乙車筐數976433（筐）4

8、 和倍問題【含義】已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。【數量關系】 總和 （幾倍1）較小的數總和 較小的數 較大的數較小的數 幾倍 較大的數【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？解： （1）杏樹有多少棵？ 248（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？解： （1）西庫存糧數480（1.41）200（噸）（2）

9、東庫存糧數480200280（噸）例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數是甲站的2倍？解： 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數就是2倍量，兩站的車輛總數（5232）就相當于（21）倍，那么，幾天以后甲站的車輛數減少為（5232）（21）28（輛）所求天數為（5228）（2824）6（天）例4甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？解： 乙丙兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作為1倍量。因

10、為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍；又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍；這時（17046）就相當于（123）倍。那么， 甲數（17046）（123）28乙數282452丙數2836905 差倍問題【含義】 已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題?！緮盗筷P系】兩個數的差（幾倍1）較小的數較小的數幾倍較大的數【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？解: （1）杏樹有多少棵？ 124

11、（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？ 623186（棵）例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？解: （1）兒子年齡27（41）9（歲）（2）爸爸年齡9436（歲）例3 商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？解: 如果把上月盈利作為1倍量，則（3012）萬元就相當于上月盈利的（21）倍，因此上月盈利（3012）（21）18（萬元）本月盈利183048（萬元）例4 糧庫有94噸小麥和138噸玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？解:

12、 由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相當于（31）倍，因此剩下的小麥數量（13894）（31）22（噸）運出的小麥數量942272（噸）運糧的天數7298（天）6 倍比問題【含義】有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題?！緮盗筷P系】總量一個數量倍數另一個數量倍數另一總量【解題思路和方法】 先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽37

13、00千克，可以榨油多少？解: （1）3700千克是100千克的多少倍？ 370010037（倍）（2）可以榨油多少千克？40371480（千克）列成綜合算式 40（3700100）1480（千克）例2 今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？解: （1）48000名是300名的多少倍？ 48000300160（倍）（2）共植樹多少棵？40016064000（棵）列成綜合算式 400（48000300）64000（棵）例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000

14、畝果園共收入多少元？解: （1）800畝是4畝的幾倍？8004200（倍）（2）800畝收入多少元？ 111112002222200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？ 1600080020（倍）（4）16000畝收入多少元？ 22222002044444000（元）7 相遇問題【含義】兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。【數量關系】 相遇時間總路程（甲速乙速）總路程（甲速乙速）相遇時間【解題思路和方法】簡單的題可直接利用公式，復雜的題變通后再利用公式。例1 某到某的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從某開出的船每小時行28千米，從

15、某開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？ 解: 392（2821）8（小時）例2 小李和小X在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小X每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間？解:“第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈,因此總路程為4002相遇時間（4002）（53）100（秒）例3甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。解:“兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙

16、多走的路程是（32）千米，因此，相遇時間（32）（1513）3（小時）兩地距離（1513）384（千米）8 追及問題【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題?！緮盗筷P系】追及時間追及路程（快速慢速）追及路程（快速慢速）追及時間【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？解: （1）劣馬先走12天能走多

17、少千米？ 7512900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？ 900（12075）20（天）列成綜合算式 7512（12075）9004520（天）例2小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。解: 小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（500200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用40（500200）秒，所以小亮的速度是:（500200）40（500200）3001003（米）例3 我人民解放軍

18、追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？解: 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（2216）小時，這段時間敵人逃跑的路程是10（226）千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知:追及時間10（226）60（3010）2202011（小時）例4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。解: 這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落

19、后于貨車（162）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間，這個時間為162（4840）4（小時）所以兩站間的距離為（4840）4352（千米）列成綜合算式 （4840）162（4840）884352（千米）例5 兄妹二人同時由家上學，哥哥每分鐘走90米，妹妹每分鐘走60米。哥哥到校門口時發現忘記帶課本，立即沿原路回家去取，行至離校180米處和妹妹相遇。問他們家離學校有多遠？解: 要求距離，速度已知，所以關鍵是求出相遇時間。從題中可知，在相同時間（從出發到相遇）內哥哥比妹妹多走（1802）米，這是因為哥哥比妹妹每分鐘多走（9060）米，那么，二人從家出走到相遇所用時間為1802（9060

20、）12（分鐘）家離學校的距離為 9012180900（米）例6孫亮打算上課前5分鐘到學校，他以每小時4千米的速度從家步行去學校，當他走了1千米時，發現手表慢了10分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課。后來算了一下，如果孫亮從家一開始就跑步，可比原來步行早9分鐘到學校。求孫亮跑步的速度。解: 手表慢了10分鐘，就等于晚出發10分鐘，如果按原速走下去，就要遲到（105）分鐘，后段路程跑步恰準時到學校，說明后段路程跑比走少用了（105）分鐘。如果從家一開始就跑步，可比步行少9分鐘，由此可知，行1千米，跑步比步行少用9（105）分鐘。所以步行1千米所用時間為 19（105）0.25（小時）15（

21、分鐘）跑步1千米所用時間為 159（105）11（分鐘）跑步速度為每小時111605.5（千米）9 植樹問題【含義】按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題?！緮盗筷P系】線形植樹 棵數距離棵距1環形植樹 棵數距離棵距方形植樹棵數距離棵距4三角形植樹 棵數距離棵距3面積植樹 棵數面積（棵距行距）【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。例1一條河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？解: 1362168169（棵）例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵

22、白楊樹？解: 4004100（棵）例3 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？解: 2204841104106（個）例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？解: 96（0.60.4）960.24400（塊）例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？解: （1）橋的一邊有多少個電桿？ 50050111（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？ 11222（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22244（

23、盞）10 年齡問題【含義】這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化?！緮盗筷P系】年齡問題往往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解: 3557（倍）（35+1）（5+1）6（倍）例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？解: （1）母親比女兒的年齡大多少歲？ 37730（歲）（2）幾年后母親的年齡是

24、女兒的4倍？30（41）73（年） 列成綜合算式 （377）（41）73（年）例3 3年前父子的年齡和是49歲，今年父親的年齡是兒子年齡的4倍，父子今年各多少歲？解: 今年父子的年齡和應該比3年前增加（32）歲，今年二人的年齡和為493255（歲）把今年兒子年齡作為1倍量，則今年父子年齡和相當于（41）倍，因此，今年兒子年齡為 55（41）11（歲）今年父親年齡為 11444（歲）例4 甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？解: 這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析：過去

25、某一年今 年將來某一年 甲歲歲 61歲 乙 4歲歲歲表中兩個“”表示同一個數，兩個“”表示同一個數。因為兩個人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差，因此二人年齡差為（614）319（歲）甲今年的歲數為611942（歲）乙今年的歲數為421923（歲）11 行船問題【含義】 行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度(順水速度)是船速與水速之和；船只逆水航行的速度（逆水速度）是船速與水速之差?！緮盗筷P系】 （順水速度逆水速度）2船速（順水速度

26、逆水速度）2水速 順水速船速2逆水速逆水速水速2 逆水速船速2順水速順水速水速2【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。例1 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解: 由條件知，順水速船速水速3208，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時 32081525（千米）船的逆水速為 251510（千米）船逆水行這段路程的時間為 3201032（小時）例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？解:甲船速水速3601036甲船速水速3601820可見（36

27、20）相當于水速的2倍，所以，水速為每小時 （3620）28（千米）又因為， 乙船速水速36015，所以，乙船速為 36015832（千米）乙船順水速為 32840（千米）所以， 乙船順水航行360千米需要360409（小時）例3 一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風速為每小時24千米，飛機逆風飛行3小時到達，順風飛回需要幾小時？解: 這道題可以按照流水問題來解答。（1）兩城相距多少千米？（57624）31656（千米）（2）順風飛回需要多少小時？1656（57624）2.76（小時）列成綜合算式（57624）3（57624）2.76（小時）12 列車問題【含義】這是與

28、列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。【數量關系】火車過橋：過橋時間（車長橋長）車速火車追及： 追及時間（甲車長乙車長距離（甲車速乙車速）火車相遇： 相遇時間（甲車長乙車長距離）（甲車速乙車速）【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？解: 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。（1）火車3分鐘行多少米？ 90032700（米）（2）這列火車長多少米？ 27002400300（米）列成綜合算式 90032400300（米）例2 一

29、列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解: 火車過橋所用的時間是2分5秒125秒，所走的路程是（8125）米，這段路程就是（200米橋長），所以，橋長為 8125200800（米）例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解: 從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時間為（225140）（2217）73（秒）例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面

30、走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？解: 如果把人看作一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。150（223）6（秒）例5 一列火車穿越一條長2000米的隧道用了88秒，以同樣的速度通過一條長1250米的大橋用了58秒。求這列火車的車速和車身長度各是多少？解: 車速和車長都沒有變，但通過隧道和大橋所用的時間不同，是因為隧道比大橋長?？芍疖囋冢?858）秒的時間內行駛了（20001250）米的路程，因此，火車的車速為每秒（20001250）（8858）25（米）進而可知，車長和橋長的和為（2558）米，因此，車長為25581250200（米）13 時鐘問題【含義】 就是研究鐘面上

31、時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比?！緮盗筷P系】 分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1 從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？解: 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/601/12格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為 20（11/12） 22（分）答：再經過

32、22分鐘時針正好與分針重合。例2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解: 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（54）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5415）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5415）格。再根據1分鐘分針比時針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時間。（5415）（11/12） 6（分）（5415）（11/12） 38（分） 答：4點06分及4點38分時兩針成直角。例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解: 六

33、點整的時候，分針在時針后（56）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（56）（11/12） 33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。14 盈虧問題【含義】 根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題?！緮盗筷P系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總人數（盈虧）分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總人數（大盈小盈）分配差參加分配總人數（大虧小虧）分配差【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。例1 給幼兒園小朋友分蘋果，

34、若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解: 按照“參加分配的總人數（盈虧）分配差”的數量關系：（1）有小朋友多少人？（111）（43）12（人）（2）有多少個蘋果？ 3121147（個）例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？解: 題中原定完成任務的天數，就相當于“參加分配的總人數”，按照“參加分配的總人數（大虧小虧）分配差”的數量關系，可以得知原定完成任務的天數為（26083004）（300260）22（天）這條路全長為300（224）7800（米）例3 學校組織春游，如果每

35、輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？解: 本題中的車輛數就相當于“參加分配的總人數”，于是就有（1）有多少車？（300）（4540）6（輛）（2）有多少人？ 40630270（人）15 工程問題【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量?！緮盗筷P系】解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以

36、根據工作量、工作效率、工作時間三者之間的關系列出算式。工作量工作效率工作時間工作時間工作量工作效率工作時間總工作量（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數量關系的公式。例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？解: 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/101/15）。由此可以列出算式：1（1/101/15）11/6

37、6（天）答：兩隊合做需要6天完成。例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解一: 設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/61/8），二人合做時每小時完成（1/61/8）。因為二人合做需要1（1/61/8）小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？241（1/61/8）7（個）（2）這批零件共有多少個？7（1/61/8）168（個）解二： 上面這道題還可以用另一種方法計算：兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為 1/61/843由此可知，甲比乙

38、多完成總工作量的43 / 43 1/7所以，這批零件共有 241/7168（個）例3 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成?，F在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解： 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是甲： 60125乙： 60106丙： 60154因此余下的工作量由乙丙合做還需要（6052）（64）5（小時）例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管

39、時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？解：注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（145），2個進水管15小時注水量為（1215），從而可知每小時的排水量為 （1215145）（15

40、5）1即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知一池水的總工作量為 1451515又因為在2小時內，每個進水管的注水量為 12，所以，2小時內注滿一池水至少需要多少個進水管？（1512）（12）8.59（個）16 正反比例問題【含義】 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。【數量關系】判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。

41、許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？解： 由條件知，公路總長不變。原已修長度總長度1（13）14312 現已修長度總長度1（12）13412比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（43）份，從而知公路總長為 300（43）123600（米） 答： 這條公路總長3600米。例2 X晗做4道應用題用28分鐘，照這樣計

42、算，91分鐘能做幾道應用題？解： 做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系設91分鐘可以做X應用題 則有 28491X28X914 X91428X13例3 孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？解： 書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關系設X天可以看完，就有2436X1536X2415X10例4 一個大矩形被分成六個小矩形，其中四個小矩形的面積如圖所示，求大矩形的面積。A252036B16解： 由面積寬長可知，當長一定時，面積與寬成正比，所以每一上下兩個小矩形面積之比就等于它們的寬的正比。又因為第一行三個小矩形的寬相等，第二行三個

43、小矩形的寬也相等。因此，A36201625B2016解這兩個比例，得 A45 B20所以，大矩形面積為 45362520201616217 按比例分配問題【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份數，另一種是直接給出份數。【數量關系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。 總份數比的前后項之和【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數的幾分之

44、幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1 學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解： 總份數為474845140一班植樹 56047/140188（棵） 二班植樹 56048/140192（棵）三班植樹 56045/140180（棵）例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長各是多少厘米？解： 34512603/1215（厘米）604/1220（厘米） 605/1225（厘米）例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/

45、3，三兒子分總數的1/9，并規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。解： 如果用總數乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到1/21/31/9962總份數：96217大兒子：179/179二兒子：176/176小兒子：172/172例4 某工廠第一、二、三車間人數之比為81221，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？人 數80人一共多少人？對應的份數12881221解： 80（128）（81221）820（人）18 百分數問題【含義】 百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常?？梢酝ǚ?、約分，而百分數

46、則無需；分數既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%?！緮盗筷P系】掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關系：百分數比較量標準量標準量比較量百分數【解題思路和方法】 一般有三種基本類型： （1）求一個數是另一個數的百分之幾；（2）已知一個數，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解:

47、（1）用去的占 720（7206480）10%（2）剩下的占 6480（7206480）90%例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？ 解:本題中女職工為標準量，男職工比女職工少的是較量所以（525420）5250.220%或者 14205250.220% 答：男職工人數比女職工少20%。例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？解: 本題中以男職工為標準量，女職工比男職工多的為比較量，因此（525420）4200.2525%或者52542010.2525%答：女職工人數比男職工多25%。例4 紅旗化工廠有男職工42

48、0人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾？解: （1）男職工占 420（420525）0.44444.4%（2）女職工占 525（420525）0.55655.6%答：男職工占全廠職工總數的44.4%，女職工占55.6%。例5 百分數又叫百分率，在工農業生產中應用很廣，常見的百分率有：增長率增長數原來基數100%合格率合格產品數產品總數100%出勤率實際出勤人數應出勤人數100%出勤率實際出勤天數應出勤天數100%缺席率缺席人數實有總人數100%發芽率發芽種子數試驗種子總數100%成活率成活棵數種植總棵數100%出粉率面粉重量小麥重量100%出油率油的重量油料重量100%廢

49、品率廢品數量全部產品數量100%命中率命中次數總次數100%烘干率烘干后重量烘前重量100%及格率及格人數參加考試人數100%19 “牛吃草”問題【含義】 “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素?！緮盗筷P系】 草總量原有草量草每天生長量天數【解題思路和方法】 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解: 草是均勻生長的，所以，草總量原有草量草每天生長量天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5 天內的草總量要5 天吃完的話，得有多少頭

50、牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答：（1）求草每天的生長量因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（11020）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以11020原有草量20天內生長量同理 11510原有草量10天內生長量由此可知（2010）天內草的生長量為: 110201151050因此，草每天的生長量為: 50（2010）5（2）求原有草量原有草量10天內總草量10內生長量11510510100（3）求5 天內草總量5 天內草總量原有草量5天內生長量10055125（4）求多少頭牛5 天吃完草因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草

51、量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數 125525（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。例2 一只船有一個漏洞，水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？解: 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：（1）求每小時進水量因為，3小時內的總水量1123原有水量3小時進水量10小時內的總水量1510原有水量10小時進水量所以，（103）小時內的進水量為:1510112314因此，每小時的進水量為: 14（1

52、03）2（2）求淘水前原有水量原有水量11233小時進水量362330（3）求17人幾小時淘完17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（172），所以17人淘完水的時間是30（172）2（小時）答：17人2小時可以淘完水。20 雞兔同籠問題【含義】 這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。【數量關系】第一雞兔同籠問題：假設全都是雞，則有兔數（實際腳數2雞兔總數）（42）假設全都是兔，則有雞數（4雞兔總數實際腳數）（

53、42）第二雞兔同籠問題：假設全都是雞，則有兔數（2雞兔總數雞與兔腳之差）（42）假設全都是兔，則有雞數（4雞兔總數雞與兔腳之差）（42）【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解決。例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數數頭有三十五，腳數共有九十四。請你仔細算一算，多少兔子多少雞？解: 假設35只全為兔，則雞數（43594）（42）23（只）兔數352312（只）也可以先假設35只全為雞，例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千

54、克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？解: 此題實際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題?！懊慨€菠菜施肥（12）千克”與“每只雞有兩個腳”相對應，“每畝白菜施肥（35）千克”與“每只兔有4只腳”相對應，“16畝”與“雞兔總數”相對應，“9千克”與“雞兔總腳數”相對應。假設16畝全都是菠菜，則有白菜畝數（91216）（3512）10（畝）例3 李老師用69元給學校買作業本和日記本共45本，作業本每本 3 .20元，日記本每本0.70元。問作業本和日記本各買了多少本？解: 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設45本全都是日記本，則有作業本數（690.7045）（3.200.70）15（本）日記

55、本數451530（本）答：作業本有15本，日記本有30本。例4 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？解: 假設100只全都是雞，則有兔數（210080）（42）20（只）雞數1002080（只）例5 有100個饃100個和尚吃，大和尚一人吃3個饃，小和尚3人吃1個饃，問大小和尚各多少人？解: 假設全為大和尚，則共吃饃（3100）個，比實際多吃（3100100）個，這是因為把小和尚也算成了大和尚，因此我們在保證和尚總數100不變的情況下，以“小”換“大”，一個小和尚換掉一個大和尚可減少饃（31/3）個。因此，共有小和尚（3100100）（31/3）75

56、（人）共有大和尚 1007525（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21 方陣問題【含義】 將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題?！緮盗筷P系】（1）方陣每邊人數與四周人數的關系：四周人數（每邊人數1）4每邊人數四周人數41（2）方陣總人數的求法：實心方陣：總人數每邊人數每邊人數空心方陣：總人數（外邊人數）（內邊人數）內邊人數外邊人數層數2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：總人數（每邊人數層數）層數4【解題思路和方法】 方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具

57、體情況確定。例1 在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？解:2222484（人）答：參加體操表演的同學一共有484人。例2 有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。解:10（1032） 84（人）答：全方陣84人。例3 有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？解: （1）中空方陣外層每邊人數524114（人）（2）中空方陣內層每邊人數28416（人）（3）中空方陣的總人數141466160（人） 答：這隊學生共160人。例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩

58、個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？解: （1）縱橫方向各增加一層所需棋子數4913（只）（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數（131）27（只）（3）原有棋子數77940（只）答：棋子有40只。例5 有一個三角形樹林，頂點上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個樹林一共有多少棵樹？解: 第一種方法： 1234515（棵）第二種方法： （51）5215（棵） 答：這個三角形樹林一共有15棵樹。21 方陣問題【含義】 將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據已知條件求總人數或總物數，這類問題就叫做方陣問題。【數量關系】（1）方陣每邊人數與四周人數

59、的關系：四周人數（每邊人數1）4每邊人數四周人數41（2）方陣總人數的求法：實心方陣：總人數每邊人數每邊人數空心方陣：總人數（外邊人數）（內邊人數）內邊人數外邊人數層數2（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：總人數（每邊人數層數）層數4【解題思路和方法】 方陣問題有實心與空心兩種。實心方陣的求法是以每邊的數自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據具體情況確定。例1 在育才小學的運動會上，進行體操表演的同學排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學一共有多少人？解: 2222484（人）答：參加體操表演的同學一共有484人。例2 有一個3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數。解

60、: 10（1032） 84（人）答：全方陣84人。例3 有一隊學生，排成一個中空方陣，最外層人數是52人，最內層人數是28人，這隊學生共多少人？解: （1）中空方陣外層每邊人數524114（人）（2）中空方陣內層每邊人數28416（人）（3）中空方陣的總人數141466160（人）答：這隊學生共160人。例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個？解: （1）縱橫方向各增加一層所需棋子數4913（只）（2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數（131）27（只）（3）原有棋子數77940（只）答：棋子有40只。例5 有一個三角形樹林，頂點