1、設計題目:24.特征值分解2012年8月27日目錄 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 設計目的及要求2 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 總體設計2 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 詳細設計2Jacobi函數的功能介紹5 HYPERLINK l bookmark51 o Current Document 調試分析7 HYPERLINK l bookmark58 o Current Document 總結8答辯記錄8教

2、師意見8正文設計目的及要求1.1設計目的：矩陣特征值分解被廣泛應用于土木工程問題的數值計算中，如可 用于計算結構自振頻率及自振周期、結構特征值屈曲問題等。1.2設計要求：特征值分解（B級）的功能要求：a）輸入一個對稱正方矩陣A，從文本文件讀入；b）對矩陣A進行特征值分解，將分解結果，即U矩陣、S對角矩陣輸出至 文本文件；c）將最小的特征值及其對應特征向量一并輸出至文本文件；d）驗證其分解結果是否正確?？傮w設計向 input.txt 中輸入一個對 稱正方矩陣利用Jacobi 算法將矩陣特 征值分解將結果輸出至 output.txtg 砒：Lem 枷 utp 畋 Jlo w tionCiB5-ti

3、-fanline Ludr WificltJd* Mineludr Winclud* 3includ HlncludMineludr Wiftcludt詳細設計Cast r stri gth-ti- using nne-spAEf1 std;umidl jacDbi(dMSilE t npff)pf q=d;gou loopsif江隊印勺returnliQp：Ur 畋U-pHHp；s：W；=-au；y-(jis j-jiw )/2-.y求法不同 aMgh*,：qtiC 鷺 ;If &叫.。)(iiig|4=-omei4；34jrt (1. fl-airgiiiifcnmfgdi N; gf g

4、ai/sq 心 2. Nsn n. 9-in+sn) jfn-au;/ 瓣前的al， prdi| w=Pn*cncn*di| -g *sni*fin*a| uijin 毒 gi;占jw -f n*Efi*n+)*cn*ci-3 u tt 史 g:ai|t-0B0;r/區E是野相陣，卿了了市，貢禰，函施轉矩Pb旅轉p行和門行for Cj-fl;j*JIF C(jt-p)O(jf-q)irni+q： fn-ai; u-fn*wi *u y ;,/i己錄推轉新陣特征向量FW I L-Ifi： 1 C-ra1: i* + ) (ti=lwp： w-i*n+gusto* liQDpll;Int ii-a

5、：int 1 J;dlutillime)11*?r - iidwiible- *w=new dvuUle ni*n;dciubl? *ia=new dibl? r*n;日潮入文件位立格式如催心一KL不加盤杵則默認位立為程序文件夾內uinilef ge*fclln input .linep)istrinystreaai str(line)j - i ; j nJ + + ) arstrjaitin*ni+tln+ + jinpijit.cioo；讀用文件成功.拒陣為rfr( i=C;i*)EDuitaaiMI 曰;iXn=nt-1 )cuteindl;eps-fl.rflclSlIj( 3d R

6、ffi W TE*p):eut11#征也力：W：ifdj )ccutCsetprfcisi6) X。與； bro-aAf;printf (knln);print-特征向量為.Mi)；Fort i=S;i=n-1;i*)：J44) coMtCCsetprcisioiri 印氣訥i*n+ j H priRtfCn)far(j=n；j=a-1srfcvjdE sFtprecisiD!ii(di xi* i 1 la /:mcr矩陣I whiil； fw( j-c；jcn;j*)lflj) ih s?tw( 15) preci sicn (6 K Caal ln*j C .,n;rlLBtwClSyC

7、CB.： TOC o 1-5 h z b-CtTidl; ) K .? : I . .fl - ；uDle miffi -int ivindnciM；w(=6;iCm;i*+) fw(* )tIif in* j T|L* h-iiidl;U的特征向黃為：J， WMLHT- 5肥七 pr ec i HurHA 虹事 hw j J W七L，T，；H/鋼功oiML始果已經輸出校任甚姓jfi出家財。1 ；returni Q;函數的功能介紹，參數說明等4.1函數的功能介紹：首先介紹Jacobi算法。a）J-方法用于求實對稱陣的全部特征值、特征向量.b）對于實對稱陣A，必有正交陣U，使 UTAU S其中S

8、是對角陣，其主對角線元i是A的特征值.正交陣U的第j列是A的 屬于i的特征向量.c）原理：Jacobi方法用平面旋轉對矩陣A做相似變換，化A為對角陣， 進而求出特征值與特征向量.小平面旋轉矩陣:對于p尹q,下面定義的n階矩陣Upq是平面旋轉矩陣。一 sin 9第q行 -Sin 9b = a cos2 9 + a sin2 9 + 2a cos9 sin9 (1)b = a sin2 9 + a cos2 9-2a cos9 sin9b = b = 1 (aqp 2 qqcos9-sin 9fcos9-sin 9(2)(3)pq(b )bk qi /(b )bpk jqqqpq-a /sin29

9、 + a cos29 sin 9 V cos9/sin 9 V cos9/p ka J 、qi / ap k %q)卜(3.13)第泌亍-cos 9U =-1pq1cos 91 .0.0 1記n階方陣A=a”,對A做下面的變換：A1 二 U tAU(3.12)A1仍然是實對稱陣，因為，U t = Uq-1 ,知A1與A的特征值相同. 推導可知：(4) b = b = a”, i。p, q； j。p, q,列中的元素不變。取旋轉角9滿足下面的條件:由此見到，矩陣A1的第p行、列與第q行、列中的元素發生了變化，其 它行、特別，tan 2 9 = m-(3.14)Wb = b = 0.這是因為，b

10、= 2 (a - a )sin 2中 + a cos 2中() a a2)+-pq! (a a )pqqqq pp2為保證單值，限定| 9 I K /4 o當 q 豐 p+1 時， QU pqQUp,p+1U* tAU* =(QU Tqt )AQTMUQT )(QtAQ )(U Qt ) pqpqpqpqJacobi具體算法(1)在A的非主對角線元素中，找到最大元aq . 用式(3.14)計算tan29，求cos9, sin9及矩陣U .用公式(3.13)求A。max I b 8若，停止計算.否則，令A = A1 ,重復執行(1) - (4).停 止計算時，得特征值人.-b ,i=1,2,n.

11、特征向量的求解:設經過N次迭代，得到對角陣A，則做了下面的變換a = Ut AU , a = Ut AU = Ut Ut au u1piqipiqi2321p2q2p2q2piqipiqip2q2一般，=%_ %七氣4。、U = U U u記piqi p2q2pNqN，則U為正交陣，且U AU = - U的列向量為A的特征向量。調試分析向input.txt中輸入一個對稱正方矩陣(題目所給示例)程序運行中將結果輸出至output.txtI C:Use rsp cD eskt opm a-t ri xD-e bugXrviin.sKe驚取義件成功，矩陣為=12 3Z 2 SW S 特征值為：8.2

12、3076 -8.48676 -3.74401input-祀事本趁（弓事（EJ格式度1, 2,饑A A h3, jk征向量為： 8.4382S7 -0-866158 -0-240156 8.643924 0.488986 -0-588434 0.62711 0.103261 0-772056號果已經輸出-按任意鍵退出Pp&ss： an9 key to continue-output - BS本文件但編輯E帽式查者叫）MtH通陣:0. 438287,-0. 866158,-0. 240156,0. 643924,0. 433936,-0. 533434,0. 62711,0. 103261,0. 772056?源陣：S. 23076,S0,-0. 4S6