1、2021-2022高考數學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1函數在區間上的大致圖象如圖所示，則可能是（ ）ABCD2 若數列滿足且，則使的的值為( )ABCD3已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（ ）AB3CD24在中，為中點，且，若，則（ ）ABCD5雙曲線的右焦

2、點為，過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點，與雙曲線的其中一個交點為，若，且，則該雙曲線的離心率為( )ABCD6一個四棱錐的三視圖如圖所示（其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側視圖），則這個四棱錐中最最長棱的長度是（ ）ABCD7馬林梅森是17世紀法國著名的數學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上對2p1作了大量的計算、驗證工作，人們為了紀念梅森在數論方面的這一貢獻，將形如2P1（其中p是素數）的素數，稱為梅森素數.若執行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數的個數是（ ）A3B4C5D68若關于的不等式有正整數解，則實數的最小值為（ ）ABCD

3、9已知函數，若曲線上始終存在兩點，使得，且的中點在軸上，則正實數的取值范圍為（ ）ABCD10設集合，若，則（ ）ABCD11某個小區住戶共200戶，為調查小區居民的7月份用水量，用分層抽樣的方法抽取了50戶進行調查，得到本月的用水量(單位：m3)的頻率分布直方圖如圖所示，則小區內用水量超過15 m3的住戶的戶數為( )A10B50C60D14012函數在上的圖象大致為（ ）A B C D 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知數列滿足,且,則_.14已知等比數列的各項均為正數，則的值為_.15正方形的邊長為2，圓內切于正方形，為圓的一條動直徑，點為正方形邊界上任一點，則的取

4、值范圍是_.16已知函數，若，則實數的取值范圍為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），將曲線上每一點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到曲線，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，射線與曲線交于點，將射線繞極點逆時針方向旋轉交曲線于點.（1）求曲線的參數方程；（2）求面積的最大值18（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統計，將數據按照

5、，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據已知條件完成下面列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？（2）將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數為，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值： 0.100.050.0250.0100.0050.001 2.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）已知拋物

6、線，焦點為，直線交拋物線于兩點，交拋物線的準線于點，如圖所示，當直線經過焦點時，點恰好是的中點，且.（1）求拋物線的方程；（2）點是原點，設直線的斜率分別是，當直線的縱截距為1時，有數列滿足，設數列的前n項和為，已知存在正整數使得，求m的值.20（12分）已知函數.（1）若函數，求的極值；（2）證明：. （參考數據： ）21（12分）如圖，在四棱錐中，側棱底面，是棱中點.（1）已知點在棱上，且平面平面，試確定點的位置并說明理由；（2）設點是線段上的動點，當點在何處時，直線與平面所成角最大？并求最大角的正弦值.22（10分）已知橢圓的左、右頂點分別為、，上、下頂點分別為，為其右焦點，且該橢圓的離

7、心率為；（）求橢圓的標準方程；（）過點作斜率為的直線交橢圓于軸上方的點，交直線于點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與直線交于點若，求取值范圍參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據特殊值及函數的單調性判斷即可；【詳解】解：當時，無意義，故排除A；又，則，故排除D；對于C，當時，所以不單調，故排除C；故選：B【點睛】本題考查根據函數圖象選擇函數解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎題.2C【解析】因為，所以是等差數列，且公差，則，所以由題設可得，則，應選答案C3D【解析】根據拋物線的定義求得，由

8、此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設與軸的交點為.根據拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線的定義，考查數形結合的數學思想方法，屬于基礎題.4B【解析】選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結果.【詳解】， ，.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎題.5D【解析】根據已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點，再利用，求出點，因為點在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率【詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因為，即可得到，故選：D【點睛】本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何

9、性質和向量的坐標運算，離心率問題關鍵尋求關于，的方程或不等式，由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題6A【解析】作出其直觀圖，然后結合數據根據勾股定定理計算每一條棱長即可.【詳解】根據三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且，平面，且，這個四棱錐中最長棱的長度是故選【點睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關計算，正確還原直觀圖是解題關鍵，屬于基礎題7C【解析】模擬程序的運行即可求出答案【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p1，S1，輸出S的值為1，滿足條件p7，執行循環體，p3，S7，輸出S的值為7，滿足條件p7，執行循環體，p5，S31，輸出S的值為31，滿足條件p7，執行循

10、環體，p7，S127，輸出S的值為127，滿足條件p7，執行循環體，p9，S511，輸出S的值為511，此時，不滿足條件p7，退出循環，結束，故若執行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數的個數是5，故選：C【點睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎題8A【解析】根據題意可將轉化為，令，利用導數，判斷其單調性即可得到實數的最小值【詳解】因為不等式有正整數解，所以，于是轉化為， 顯然不是不等式的解，當時，所以可變形為令，則，函數在上單調遞增，在上單調遞減，而，所以當時，故，解得故選：A【點睛】本題主要考查不等式能成立問題的解法，涉及到對數函數的單調性的應用，構造函數法的應用，導數的應用等，意在考查學生

11、的轉化能力，屬于中檔題9D【解析】根據中點在軸上，設出兩點的坐標，（）.對分成三類，利用則，列方程，化簡后求得，利用導數求得的值域，由此求得的取值范圍.【詳解】根據條件可知，兩點的橫坐標互為相反數，不妨設，（），若，則，由，所以，即，方程無解；若，顯然不滿足；若，則，由，即，即，因為，所以函數在上遞減，在上遞增，故在處取得極小值也即是最小值，所以函數在上的值域為，故.故選D.【點睛】本小題主要考查平面平面向量數量積為零的坐標表示，考查化歸與轉化的數學思想方法，考查利用導數研究函數的最小值，考查分析與運算能力，屬于較難的題目.10A【解析】根據交集的結果可得是集合的元素，代入方程后可求的值，從而

12、可求.【詳解】依題意可知是集合的元素，即，解得，由，解得.【點睛】本題考查集合的交，注意根據交集的結果確定集合中含有的元素，本題屬于基礎題.11C【解析】從頻率分布直方圖可知，用水量超過15m的住戶的頻率為，即分層抽樣的50戶中有0.350=15戶住戶的用水量超過15立方米所以小區內用水量超過15立方米的住戶戶數為，故選C12C【解析】根據函數的奇偶性及函數在時的符號，即可求解.【詳解】由可知函數為奇函數.所以函數圖象關于原點對稱，排除選項A，B；當時，排除選項D，故選：C.【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性的判定及奇偶函數圖像的對稱性，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20

13、分。13【解析】數列滿足知，數列以3為公比的等比數列，再由已知結合等比數列的性質求得的值即可.【詳解】，數列是以3為公比的等比數列，又，故答案為：【點睛】本題考查了等比數列定義，考查了對數的運算性質，考查了等比數列的通項公式，是中檔題14【解析】運用等比數列的通項公式，即可解得【詳解】解：，故答案為：【點睛】本題考查等比數列的通項公式及應用，考查計算能力，屬于基礎題15【解析】根據向量關系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得：，故答案為：【點睛】此題考查求平面向量數量積的取值范圍，涉及基本運算，關鍵在于恰當地對向量進行轉換，便于計算解題.16【解析】畫圖分析可得函數是偶函數，且在

14、上單調遞減，利用偶函數性質和單調性可解.【詳解】作出函數的圖如下所示，觀察可知，函數為偶函數，且在上單調遞增，在上單調遞減，故，故實數的取值范圍為.故答案為： 【點睛】本題考查利用函數奇偶性及單調性解不等式. 函數奇偶性的常用結論：(1)如果函數是偶函數，那么(2)奇函數在兩個對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個對稱的區間上具有相反的單調性三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）（為參數）；（2）.【解析】（1）根據伸縮變換結合曲線的參數方程可得出曲線的參數方程；（2）將曲線的方程化為普通方程，然后化為極坐標方程，設點的極坐標為，點的極坐標為，將這兩點的極

15、坐標代入橢圓的極坐標方程，得出和關于的表達式，然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值【詳解】（1）由于曲線的參數方程為（為參數），將曲線上每一點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，得到曲線，則曲線的參數方程為（為參數）；（2）將曲線的參數方程化為普通方程得，化為極坐標方程得，即，設點的極坐標為，點的極坐標為，將這兩點的極坐標代入橢圓的極坐標方程得，的面積為，當時，的面積取到最大值.【點睛】本題考查參數方程、極坐標方程與普通方程的互化，考查了伸縮變換，同時也考查了利用極坐標方程求解三角形面積的最值問題，要熟悉極坐標方程所適用的基本類型，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18（1）列聯

16、表見解析，有；（2）分布列見解析， .【解析】（1）由頻率分布直方圖可得分數在、之間的學生人數，可得列聯表.根據列聯表計算的值，結合參考臨界值表可得到結論；（2）從該校高一學生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率.由題意，求出分布列，根據公式求出期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分數在之間的學生人數為，在之間的學生人數為，所以低于60分的學生人數為120.因此列聯表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又，所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關.（2）易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為.依題意知，所以

17、（），所以的分布列為0123P所以期望，方差.【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.19（1）（2）【解析】(1) 設出直線的方程，再與拋物線聯立方程組，進而求得點的坐標，結合弦長即可求得拋物線的方程；(2) 設直線的方程，運用韋達定理可得，可得之間的關系，再運用進行裂項，可求得，解不等式求得的值.【詳解】解：（1）設過拋物線焦點的直線方程為，與拋物線方程聯立得：，設，所以，所以拋物線方程為（2）設直線方程為，由得.【點睛】本題考查了直線與拋物線的關系，考查了韋達定理和運用裂項法求數列的和，考查了運算能力，屬于中檔題.20（1）見解析；（1）見證明【解

18、析】（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值即可；（1）問題轉化為證exx1xlnx10，根據xlnxx（x1），問題轉化為只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），根據函數的單調性證明即可【詳解】（1），當，當，在上遞增，在上遞減，在取得極大值，極大值為，無極大值.（1）要證f（x）+1exx1即證exx1xlnx10，先證明lnxx1，取h（x）lnxx+1，則h（x），易知h（x）在（0，1）遞增，在（1，+）遞減，故h（x）h（1）0，即lnxx1，當且僅當x1時取“”，故xlnxx（x1），exx1xl

19、nxex1x1+x1，故只需證明當x0時，ex1x1+x10恒成立，令k（x）ex1x1+x1，（x0），則k（x）ex4x+1，令F（x）k（x），則F（x）ex4，令F（x）0，解得：x1ln1，F（x）遞增，故x（0，1ln1時，F（x）0，F（x）遞減，即k（x）遞減，x（1ln1，+）時，F（x）0，F（x）遞增，即k（x）遞增，且k（1ln1）58ln10，k（0）10，k（1）e18+10，由零點存在定理，可知x1（0，1ln1），x1（1ln1，1），使得k（x1）k（x1）0，故0 xx1或xx1時，k（x）0，k（x）遞增，當x1xx1時，k（x）0，k（x）遞減，故k（x）的最小值是k（0）0或k（x1），由k（x1）0，得4x11，k（x1）1+x11（x11）（1x11），x1（1ln1，1），k（x1）0，故x0時，k（x）0，原不等式成立【點睛】本題考查了函數的單調性，極值問題，考查導數的應用以及