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文檔簡介

1、淺析計算不定積分方法之第二類換元積分 不定積分的計算是高等數學的重要考點，第一類換元積分法的理論依據是，之所以稱其為第一類換元積分法是因為還有第二類換元積分法。那第二類換元積分法的理論依據是什么呢?就是如果是單調，可導的函數，且，設具有原函數，則如果大家仔細觀察會發現第二類換元法的上述的式子和第一類換元法其實是同一個式子反過來用了，在第一類換元法中我們是湊微分，能不能做出來其實主要取決于我們的微分能不能湊出來，所以我們是稍顯被動的。然而在第二類換元法中從上面的式子可以看出來我們可以主動令，那是不是隨意設都可以呢？并不是的，我們的要求是單調可導的函數，為什么要單調呢？因為我們最終的表達式仍然是通

2、過來表示的，也就要求必須存在反函數。那為什么要求可導呢，因為在上面的表達始終我們看到了應為可微的。那是不是只要我們找到一個單調可導的就可以用它來代替以前的積分變量了呢？讓我們看下面這個例子：雖然整個上面的表達式是沒有問題的，但是這樣做有什么意義呢？我們想換元是因為想把復雜的變成簡單的，但是上面的式子卻和我們的想法背道而馳，越化越復雜。所以看似主動權掌握在我們手里，但是越是這樣我們就越要小心使用我們的主動權，因為你會發現在實際做題過程中，一旦使用不小心都會變成上面那個例子那樣越化越復雜。所以，其實第二類換元法咱們只需注意幾種特殊的情況就好了。我們在不定積分計算的時候都不喜歡根號，那么遇到根號下為

3、一次函數的情況我們如何處理呢？讓我們一起看一道例題：計算：先令（0）（因為要保證為單調且可導的）則則原式變為,然而最后別忘了把帶回，所以最終的結果為,所以再遇到根號下為一次函數則令整體為，開根號的時候一般把絕對值省去，還有最后一步就是要把帶回來。 那如果我們遇到根號下為二次函數的時候該如何處理呢，這時候就要結合三角代換了。在這里給大家總結一下我們會遇到的幾種情況，以及每種情況下我們該做如何的變量代換，若遇到，則令（），這時變成又因為，所以絕對值可以直接去電，所以在以后的過程中紅如果我們遇到平方開根號的時候通常都可以直接把絕對值去掉。若遇到，則令 ，若遇到，則令,，讓我們來看一個例子： ，但是最后仍然要把帶回來，大家可以自己畫一個三角形結合圖形來得出答案，最后的結果為，所以遇到根號下為二次函數的時候就結合三角代換公式結合具體情況進行代換，最后結合三角形來將回代。 我們可以在總結一下，第二類換元積分法主要適用于被積分式中出現根式的情況，如果根式下是一次函數，就將根式整體做變量代換，要注意的是重新令的函數一定是單調可導的，所以比較嚴謹的做題方法是寫完代換函數后面要寫上變量的取值范圍，通常做完變量代換后再開根號是可以省略絕對值得，最后一定要把原來的積分變量x再代回來。如果

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