1、高等教育出版社高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第六版下冊第九章PPTD91基本概念 第九章 第一節(jié)一、區(qū)域二、多元函數(shù)的概念三、多元函數(shù)的極限四、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念 一、 區(qū)域1. 鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn) P0 的 鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成點(diǎn) P0 的去心鄰域記為在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)椤Ｒ驗(yàn)榉洁徲蚺c圓鄰域可以互相包含.2. 區(qū)域(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的

2、內(nèi)點(diǎn)也含 E則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn) .的外點(diǎn) ,顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . (2) 聚點(diǎn)若對任意給定的 ,點(diǎn)P 的去心鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域

3、連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域 整個(gè)平面 點(diǎn)集 是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域 ;但非區(qū)域 . 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 , 界域 .否則稱為無*3. n 維空間n 元有序數(shù)組的全體所構(gòu)成的集合記作即中的每一個(gè)元素用單個(gè)粗體字母 x 表示, 即定義:線性運(yùn)算其元素稱為點(diǎn)或 n 維向量. xi 稱為 x 的第 i 個(gè)坐標(biāo) 或 第 i 個(gè)分量. 稱為 n 維空間, 的距

4、離定義為中點(diǎn) a 的 鄰域?yàn)榕c零元 0 的距離為記作則稱 x 顯然趨于a ,二、多元函數(shù)的概念 引例: 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式定義1. 設(shè)非空點(diǎn)集點(diǎn)集 D 稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)集稱為函數(shù)的值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時(shí), 有二元函數(shù)當(dāng) n = 3 時(shí), 有三元函數(shù)映射稱為定義在 D 上的 n 元函數(shù) , 記作例如, 二元函數(shù)定義域?yàn)閳A域說明: 二元函數(shù) z = f (x, y), (x, y) D圖形為中心在原點(diǎn)的上半球面.的圖形一般為空間曲面 .三元函數(shù) 定義域?yàn)閳D形為空間中的超曲面.單位閉球三、多元函數(shù)的極限定義2. 設(shè) n 元函數(shù)點(diǎn) ,則稱 A

5、 為函數(shù)(也稱為 n 重極限)當(dāng) n =2 時(shí), 記二元函數(shù)的極限可寫作：P0 是 D 的聚若存在常數(shù) A ,對一記作都有對任意正數(shù) , 總存在正數(shù) ,切例1. 設(shè)求證:證:故總有要證 例2. 設(shè)求證：證：故總有要證 若當(dāng)點(diǎn)趨于不同值或有的極限不存在，解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點(diǎn) (0, 0) ,在點(diǎn) (0, 0) 的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k 值不同極限不同 !在 (0,0) 點(diǎn)極限不存在 .以不同方式趨于不存在 .例3. 討論函數(shù)函數(shù)例4. 求解: 因而此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸則故僅知其中一個(gè)存在,推不出其他二者存在.注. 二重極限不同. 如果它

6、們都存在, 則三者相等.例如,顯然與累次極限但由例3 知它在(0,0)點(diǎn)二重極限不存在 .例3四、 多元函數(shù)的連續(xù)性 定義3 . 設(shè) n 元函數(shù)定義在 D 上,如果函數(shù)在 D 上各點(diǎn)處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上如果存在否則稱為不連續(xù),此時(shí)稱為間斷點(diǎn) .則稱 n 元函數(shù)連續(xù).連續(xù), 例如, 函數(shù)在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在, 又如, 函數(shù)上間斷. 故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn).在圓周結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則* (4) f (P) 必在D 上一致連續(xù) .在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對任意(有界性定理

7、) (最值定理) (介值定理) (一致連續(xù)性定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) 解: 原式例5.求例6. 求函數(shù)的連續(xù)域.解:內(nèi)容小結(jié)1. 區(qū)域 鄰域 : 區(qū)域連通的開集 2. 多元函數(shù)概念n 元函數(shù)常用二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)三元函數(shù)有3. 多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理 ;最值定理 ; 介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)P61 題 2; 4; 5 (3), (5) ( 畫圖 ) ; 8P129 題 3; *4思考與練習(xí)解答提示:P61 題 2. 稱為二次齊次函數(shù) .P61 題 4.P61 題 5(3).定義域P61 題 5(5).定義域P62 題 8.間斷點(diǎn)集P129 題 3.定義域P129 題 *4.令 y= k x ，