1、數理方程南京郵電大學、應用數理系數數學學物物理理方方程程數學角度數學角度微分積分方程微分積分方程偏微分方程偏微分方程波動方程波動方程 (雙曲型偏微分方程雙曲型偏微分方程) 恒定場方程恒定場方程(橢圓型偏微分方程橢圓型偏微分方程)輸運方程輸運方程 (拋物型偏微分方程拋物型偏微分方程)定解問題：邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環境和定解問題：邊界條件和初始條件反映了具體問題的特定環境和歷史，也即個性。在數學上，邊界條件和初始條件合稱為定解歷史，也即個性。在數學上，邊界條件和初始條件合稱為定解條件。把在給定的定解條件下求解數學物理方程稱為數學物理條件。把在給定的定解條件下求解數學物理方程稱為數

2、學物理定解問題或簡稱為定解問題。定解問題或簡稱為定解問題。數理方程南京郵電大學、應用數理系三類基本方程在直角坐標系中的表示三類基本方程在直角坐標系中的表示一、一、 波動方程波動方程222()ttxxyyzzuaua uuu二、熱傳導方程二、熱傳導方程222()txxyyzzuaua uuu三、拉普拉斯方程三、拉普拉斯方程20=0 xxyyzzuuuu即數理方程南京郵電大學、應用數理系 定解問題的適定性定解問題的適定性：解的：解的存在性存在性、解的、解的唯一性唯一性和解的和解的穩定性穩定性； 若一個定解問題存在唯一且穩定的解，則此問題稱為適定的。若一個定解問題存在唯一且穩定的解，則此問題稱為適定

3、的。 定解問題泛定方程定解問題泛定方程+定解條件定解條件邊界條件確定本征值和本征函數邊界條件確定本征值和本征函數要求掌握三類邊界條件的常見例子（見第一章課件，要求掌握三類邊界條件的常見例子（見第一章課件，如邊界吸熱，放熱，絕熱，邊界不受外力，自由冷卻如邊界吸熱，放熱，絕熱，邊界不受外力，自由冷卻等）以及初始條件的表述方法。等）以及初始條件的表述方法。初始條件確定級數疊加系數初始條件確定級數疊加系數數理方程南京郵電大學、應用數理系fcuububuauauayxyyxyxx2122121121 1、線性二階偏微分方程的一般形式、線性二階偏微分方程的一般形式 0f該方程為齊次的該方程為齊次的0f該方

4、程為非齊次的該方程為非齊次的數學物理方程的分類數學物理方程的分類 02211212aaa方程為雙曲型方程為雙曲型02211212aaa方程為拋物型方程為拋物型02211212aaa方程為橢圓型方程為橢圓型數理方程南京郵電大學、應用數理系行行 波波 法法一、行波法主要用來求解一、行波法主要用來求解無界區域無界區域內波動方程的定解問題內波動方程的定解問題1211 ()()( , )()() ( )2 2x atx atxu x tf xatfxatatxatda 達朗貝爾公式達朗貝爾公式)( )()(00 xxuxuttt數理方程南京郵電大學、應用數理系對無限長的弦的自由振動、無限長桿的自由縱振動

5、、無限長理想對無限長的弦的自由振動、無限長桿的自由縱振動、無限長理想傳輸線上電流和電壓變化而言，傳輸線上電流和電壓變化而言，任意擾動總是以行波的形式分為任意擾動總是以行波的形式分為兩個方向傳播出去兩個方向傳播出去，波速為，波速為 ，也即，也即 :a)(1atxfax以速度以速度 沿沿 負方向移動的行波負方向移動的行波2()fxatax以速度以速度 沿沿 正方向移動的行波正方向移動的行波通解的物理意義：通解的物理意義： 12( , )()()u x tf xatfxat數理方程南京郵電大學、應用數理系三維達朗貝爾公式物理意義：三維達朗貝爾公式物理意義：（1）空間任一點）空間任一點M在任意時刻在任

6、意時刻t0的狀態完全由以該點為心，的狀態完全由以該點為心，at為半徑的球面上為半徑的球面上 初始狀態決定；（初始狀態決定；（2）三維空間的局部有）三維空間的局部有界域內的初始擾動導致空間各點在有限時段受擾，無持續后效；界域內的初始擾動導致空間各點在有限時段受擾，無持續后效；（3）三維空間局部初始擾動的傳播有清晰的波前與波后。）三維空間局部初始擾動的傳播有清晰的波前與波后。數理方程南京郵電大學、應用數理系二、一般的二階齊次線性偏微分方程特征線的求法：二、一般的二階齊次線性偏微分方程特征線的求法： 2222220uuuuuABCDEFuxx yyxy 其特征方程為：其特征方程為：22()2()0A

7、 dyBdxdyC dx其特征方程的解即為特征線方程：其特征方程的解即為特征線方程：03222dxdxdydy13Cyx2Cyx(3)0dydxdydx如如數理方程南京郵電大學、應用數理系雙曲型方程雙曲型方程過其中每一點有過其中每一點有兩條兩條不同的實的特征線不同的實的特征線橢圓型方程橢圓型方程過其中每一點過其中每一點不存在不存在實的特征線實的特征線拋物型方程拋物型方程過其中每一點有過其中每一點有一條一條實的特征線實的特征線三、傅里葉級數三、傅里葉級數 )sincos()(10lxnblxnaaxfnnndxxflall)(2100,cos)(1kdxlxnxflallkdxlxnxflbll

8、ksin)(1數理方程南京郵電大學、應用數理系( )( )d1( )( )d2i xi xFf x exf xFe傅里葉變換式傅里葉變換式傅里葉逆變換式傅里葉逆變換式復數形式的傅里葉變換復數形式的傅里葉變換數理方程南京郵電大學、應用數理系基本思想基本思想：通過分離變量，把偏微分方程分解成幾個常微分：通過分離變量，把偏微分方程分解成幾個常微分方程，其中的常微分方程帶有附加條件而構成本征值問題。方程，其中的常微分方程帶有附加條件而構成本征值問題。分離變量分離變量( (傅立葉級數傅立葉級數) )法法要求能熟練應用分離變量法求解波動方程，熱傳導方程，拉普拉要求能熟練應用分離變量法求解波動方程，熱傳導方

9、程，拉普拉斯方程（矩形區域和圓形區域）的定解問題。斯方程（矩形區域和圓形區域）的定解問題。數理方程南京郵電大學、應用數理系解題步驟解題步驟:邊界是否齊次邊界是否齊次YN寫出本征值、本征函數、待求寫出本征值、本征函數、待求物理量的傅立葉級數展開式物理量的傅立葉級數展開式邊界齊次化邊界齊次化寫出定解問題寫出定解問題方程非齊次項和初值條件的級方程非齊次項和初值條件的級數展開數展開代入原泛定方程得到另一變量的微分方程和初值代入原泛定方程得到另一變量的微分方程和初值寫出解的表達式和系數寫出解的表達式和系數數理方程南京郵電大學、應用數理系邊界齊次化（考點）邊界齊次化（考點）),(),(),(txwtxvt

10、xu)(),()(), 0()()(),()(),()(), 0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttu)(),()(), 0()()(),()(),()(), 0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttuxx數理方程南京郵電大學、應用數理系)(),()(), 0()()(),()(),()(), 0(2121ttlwttwtBxtAtxwttluttuxx21122( , )( )( )(0, )( )(0, )( )( , )( )( , )( )xxxxw x tA t xB t xuttwttu l ttw l tt數理方程南京郵電大學、應用數理系邊界條件（四

11、種）：邊界條件（四種）： 200,( )sin, 1,2,0 xnx lunnXxAxnllu200,( )cos, 0,1,2,0 xxnxx lunnXxAxnllu20021(21),( )sin, 0,1,2,220 xnxx lunnXxAxnllu20021(21),( )cos, 0,1,2,220 xxnx lunnXxAxnllu0XX數理方程南京郵電大學、應用數理系2( )( )0( )( )0XxX xT ta T t波動方程：波動方程： 20ttxxua u( ) cos sinnnnT tCa tDa t熱傳導方程：熱傳導方程： 20txxua u2( )( )0(

12、)( )0XxX xT ta T t222( )nnatatnnnT tC eC e數理方程南京郵電大學、應用數理系拉普拉斯方程：拉普拉斯方程： 1 1、矩形區域：、矩形區域： 0 xxyyuu0 XX0 YYyannyannneDeCY2 2、圓域（圓盤、圓環區域）（重點）：、圓域（圓盤、圓環區域）（重點）： 22222110 uuurrrr200r RrRR ( )( )0,( )(2 ), , 3 , 2 , 1 , 0,2nnncossinnnnAnBn 數理方程南京郵電大學、應用數理系20,(0).r RrRRR 若研究區域包括圓心，必須考慮該自然邊界條件。若研究區域包括圓心，必須考

13、慮該自然邊界條件。000=0ln ,Rcdr當時，2=nnnnnnRc rd r當時, 滿足有界性條件滿足有界性條件 的通解為：的通解為： nnnRc r0, 1, 2 ,n 0,0,1,2ndn (0).R 在求疊加系數時，要善于利用初始條件，注意比對等號兩在求疊加系數時，要善于利用初始條件，注意比對等號兩邊的系數，達到化簡疊加系數的目的邊的系數，達到化簡疊加系數的目的. .數理方程南京郵電大學、應用數理系求解非齊次方程求解非齊次方程特征函數法特征函數法22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu

14、xu xxxxlt2222222222( , ),0,0,(0, )( , )0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ,0)( ,0)( ),( )( ,0)0,0,WWVVaaf x txl ttxtxWtW l tVtV l ttW xV xW xxxV xxltt( , )( , )( , )u x tV x tW x t數理方程南京郵電大學、應用數理系22222( , ),0,0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ,0)0,0,VVaf x txl ttxVtV l ttV xV xxlt將將V（x,t）按）按W（x,t）的本征函數進行展開，如：）的本征函數進行展開，如：

15、1( )sinnnnVv txl令：令：若若 表達式與表達式與x無關或可以寫成關于無關或可以寫成關于x的正余弦的正余弦形式，形式， 不用展開，否則，不用展開，否則， 也需要按也需要按W的本征函數展開。的本征函數展開。 ( , )f x t( , )f x t( , )f x t數理方程南京郵電大學、應用數理系將展開式代入原方程，注意等號兩邊的比對，代入初始將展開式代入原方程，注意等號兩邊的比對，代入初始條件，化簡疊加系數。具體內容參見課件中相關例題。條件，化簡疊加系數。具體內容參見課件中相關例題。2222( )( )( )(0)0, (0)0nnnnnnavtvtftlvv ( )nv td)

16、(sin)(0tlanfanltn本部分重點復習第三章課件中倒數第二個例題。本部分重點復習第三章課件中倒數第二個例題。數理方程南京郵電大學、應用數理系格林函數格林函數主要掌握使用格林函數求解三維拉普拉斯方程主要掌握使用格林函數求解三維拉普拉斯方程1、 熟記第一格林公式和第二格林公式熟記第一格林公式和第二格林公式()()vu v dVuv dVudSn-第一格林公式 ()vuuvdSnn()u vv u dV -第二格林公式 數理方程南京郵電大學、應用數理系2 拉普拉斯方程的鈕曼問題拉普拉斯方程的鈕曼問題 有解的必要條件有解的必要條件fnu| 0fdS3 拉普拉斯方程解的唯一性問題拉普拉斯方程解

17、的唯一性問題結論結論 狄利克雷問題在原定解問題中的解是唯一確定的；狄利克雷問題在原定解問題中的解是唯一確定的； 鈕曼問題的解在相差一個常數下也是唯一確定的鈕曼問題的解在相差一個常數下也是唯一確定的.4、三維拉普拉斯方程的基本解、三維拉普拉斯方程的基本解.1vr或14vr222000()rxxyyzz數理方程南京郵電大學、應用數理系（2）、二維拉普拉斯方程的基本解）、二維拉普拉斯方程的基本解.1lnvr2200()rxxyy使用鏡像法求上半空間內的格林函數使用鏡像法求上半空間內的格林函數dsnGuMu)(0),(),( , 0zyxfuzyxu在狄利克雷問題中在狄利克雷問題中dSnGzyxfMu

18、),()(0數理方程南京郵電大學、應用數理系zddqqpxo0MMr1MMrzddqqxo0MMr1MMr1M0MM010111,4M MM MG M Mrr為上半空間為上半空間 的格林函數的格林函數.0z| ,GGnz 0010111(,)()4MMOMMMRG M Mrrr球域內的格林函數：球域內的格林函數：具體內容參見課件上相關例題。具體內容參見課件上相關例題。數理方程南京郵電大學、應用數理系貝塞爾函數貝塞爾函數 0222PnPP在討論圓盤區域內瞬時溫度分布問題中遇到的n階貝塞爾方程做代換做代換 , r 0222rFnrrFrrFrn階貝塞爾方程的標準形式.熟記！熟記！熟記！熟記！數理方

19、程南京郵電大學、應用數理系22222()0 d ydyxxxnydxdx貝塞爾函數的級數解法貝塞爾函數的級數解法ksksskkskxaxaxaxaxy1100)(1210nan210ma221112!1mmnmamnm n階貝塞爾方程的一個特解201()!12mnmnmxJxmnm熟記！熟記！數理方程南京郵電大學、應用數理系 201( )!12mnmnmxJxmnm 或當 n 不為整數時, 和 線性無關 xJn xJnn階貝塞爾方程的通解為 xBJxAJynn nxJnxJxYnnnsincos xDYxCJynn另兩個特解數理方程南京郵電大學、應用數理系20111()!2nmmnmxmnmJ

20、x當n為整數時，有：當n為整數時, 與 線性相關 xJn xJnn階貝塞爾方程通解只可寫為 xDYxCJynn貝塞爾函數的性質：1 1 有界性有界性 )(xJn)(xYn0 x)0(nY數理方程南京郵電大學、應用數理系n n為偶數時，為偶數時， 為偶函數為偶函數)( xJnn n為奇數時，為奇數時， 為奇函數為奇函數)(xJn性質性質2 2 奇偶性奇偶性 ()nYx()nYx性質性質3 3 遞推性（大題考點）遞推性（大題考點） 1d( )( )dnnnnxJxxJxx 1d( )( )dnnnnx Jxx Jxx 01d( )( )dJxJ xx 10d( )( )dxJ xxJxx xJxn

21、xJxJnnn211 xJxJxJnnn211具體內容參見課件上相關例題具體內容參見課件上相關例題數理方程南京郵電大學、應用數理系122 ( )sinJxxxxxxJcos2)(21 2220PPnP貝塞爾方程貝塞爾方程 的本征值為的本征值為 ( )( )2() , (1,2)nnmmmR 與本征值對應的本征函數為：與本征值對應的本征函數為： ( )( )(), (1,2)nmmnPJmR 數理方程南京郵電大學、應用數理系( )2222( )2( )110()()()22nRnnmnnmnmRRrJr drJJR稱為貝塞爾函數的稱為貝塞爾函數的模。模。傅立葉傅立葉- -貝塞爾級數貝塞爾級數 1

22、mnmnmrRJArf drrRJrrfJRARnknnknk021221數理方程南京郵電大學、應用數理系往年考題往年考題數理方程南京郵電大學、應用數理系定解問題的適定性指的是定解問題的適定性指的是_。1 1定解問題中的定解條件包含定解問題中的定解條件包含_，2. 2. 邊值問題邊值問題 000,0XxXxXXl 的固有值為的固有值為n n _ ，x xX Xn n_ ，n = _ n = _ 。固有函數為固有函數為數理方程南京郵電大學、應用數理系先求出對應的齊次方程滿足齊次邊界條件的固有函數系，為先求出對應的齊次方程滿足齊次邊界條件的固有函數系，為_，再設，再設 u( x, t)= _u( x, t)= _，將自，將自由項按此函數系展由項按此函數系展開為開為_，一起代入原方程，利用初，一起代入原方程，利用初始條件，求出待定函數，最后得始條件，求出待定函數，最后得u ( x,t ) = _。3. 對于非其次方程的定解問題通常采用固有函數法求解，比如對對于非其次方程的定解問題通常采用固有函數法求解，比如對定解問題定解問題00 ,0 , 0, 00,0,sinxuxutlututlxxluutxxtt數理方程南京郵電大學、應用數理系5. 5. 貝塞爾方程貝塞爾方程y yx xx xy yy yx x. . 的通解可表示為的通