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文檔簡介

1、2 無窮積分的性質及收斂判別一、無窮積分的性質 本節討論無窮積分的性質, 并用這些性質得到無窮積分的收斂判別法.二、非負函數無窮積分的收斂判別法三、一般函數無窮積分的收斂判別法 收斂的充要條件是:一、無窮積分的性質證極限的柯西準則,此等價于(無窮積分收斂的柯西準則)無窮積分 定理11.1性質1為任意常數,則 即根據反常積分定義,容易導出以下性質1 和性質2. 性質2h(x) 在任意 a, u上可積, 且證 因為收斂,由柯西準則的必要性,例1, f (x), g (x),若再由柯西準則的充分性,二、非負函數無窮積分的收斂判別法定理11.2(非負函數無窮積分的判別法)設定義在 上的非負函數 f 在

2、任何收斂的充要條件是:證設非負函數 f , g 在任何有限區間a, u上可積, 且定理11.3 (比較判別法) 設定義在 上的兩個增函數的收斂判別準則, 從而 F (u) 是單調遞增的由單調遞存在 滿足證 由非負函數無窮積分的判別法,第二個結論是第一個結論的逆否命題,因此也成立. 例2 判別的收斂性.解顯然設 f (x), g(x) 是 上的非負連續函數. 證 例3 推論1 設非負函數 f 和 g 在任何 a,u 上可積, 且證由于 證 即 推論2 設 f 是定義在 上的非負函數, 在任何限區間 a, u 上可積.推論3設 f 是定義在 上的非負函數,在任何有說明: 推論3是推論2的極限形式，

3、讀者應不難寫出它的證明.例4 討論的收斂性 ( k 0 ).解 (i)若無窮積分以下定理可用來判別一般函數無窮積分的收斂性. 三、一般函數無窮積分的判別法何有限區間 a, u上可積,定理11.4 (絕對收斂的無窮積分必收斂)若 f 在任因此再由柯西準則的充分性, 又對任意 證由柯西準則的必要性, 對因收斂的無窮積分不一定是絕對收斂的.例5的收斂性.判別解由于瑕積分的性質與收斂判別, 與無窮積3 瑕積分的性質與收斂判別內容大都是羅列出一些基本結論, 并舉 分的性質與收斂判別相類似. 因此本節 例加以應用, 而不再進行重復論證.定理11.7 （瑕積分收斂的柯西準則）證柯西準則，此等價于性質1性質2 性質3定理11.8 (非負函數瑕積分的判別法)定理11.9 (比較法則)推論1推論2推論3可以判別一些非負函數瑕積分的收斂性.例1由于例2解例3解aa 00 a 1a 1I (a)發散收斂定積分J (a)收斂收斂發散 (a)發散收斂發散*一般函數的無窮積分的狄利克雷判定理11.5(狄利克雷判別法）證故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性.使得因此, 由柯西準則，證 證法1定理11.6 (阿貝爾判別法)由 g 的單調性,用積分第二中值定理，對于任意的 使得由柯西準則,證法2由狄利克雷判別法例6的收斂性.收斂.收斂,所以解

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