1、圖4.2 方波信號的傅里葉級數(shù)例41 試將圖4.2所示的方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù)。方波信號f(t)展開為傅里葉級數(shù) 解 我們將信號按式(46)分解成傅里葉級數(shù),并按式(4 7)、(48)、(49)分別計算an,bn及c。 例 3.3-1 試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。 解 f(t)為周期信號，題中所給的f(t)表達式可視為f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。據(jù) 可知，其基波頻率=(rad/s)，基本周期T=2 s，=2、3、 6 分別為二、 三、六次諧波頻率。且有 振幅譜和相位譜例題其余 圖 3.3-1 例 3.3-1 信號的頻譜振幅譜； (b) 相位譜 圖 3.3-2 例 3.3-1 信號

2、的雙邊頻譜(a) 振幅譜； (b) 相位譜 例 3.4-2 求指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-2 單邊指數(shù)函數(shù)e-t及其頻譜(a) 單邊指數(shù)函數(shù)e-t; (b) e-t的幅度譜 單邊指數(shù)函數(shù)f(t)的頻譜函數(shù)其振幅頻譜及相位頻譜分別為 解 (441) (440) 單邊指數(shù)信號的頻譜例44 求單邊指數(shù)信號的頻譜。解 單邊指數(shù)信號是指圖4.7 單邊指數(shù)信號及其頻譜例 3.4-3 求圖 3.4-3(a)所示雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)。 偶對稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)圖 3.4-3 雙邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜(a) 雙邊指數(shù)函數(shù)； (b) 頻譜 (442)從頻譜函數(shù)的定義式出發(fā)(443) 例45 求雙邊

3、指數(shù)信號的頻譜。 解 雙邊指數(shù)信號是指偶對稱雙邊指數(shù)信號的頻譜圖4.8 雙邊指數(shù)信號及其頻譜例 3.4-4 求圖 3.4-4(a)所示信號f(t)的頻譜函數(shù)。圖 3.4-4 例 3.4-4 圖(a) 信號f(t); (b) 頻譜 奇對稱雙邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)(a0)解 圖示信號f(t)可表示為 例 3.4-1 圖 3.4-1(a)所示矩形脈沖一般稱為門函數(shù)。其寬度為， 高度為1，通常用符號g(t)來表示。試求其頻譜函數(shù)。 解 門函數(shù)g(t)可表示為 門函數(shù)的頻譜函數(shù)圖 3.4-1 門函數(shù)及其頻譜(a) 門函數(shù)； (b) 門函數(shù)的頻譜； (c) 幅度譜； (d) 相位譜 圖4.6 矩形脈沖信號及

4、其頻譜 矩形脈沖信號g(t)的頻譜例43 求矩形脈沖信號g(t)的頻譜。(436) g(t)的傅里葉變換為 (437)(438)(439) 解 矩形脈沖信號g(t)是一個如圖4.6（a）所示的門函數(shù)。其定義為例 3.4-5 求單位沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-5 信號(t)及其頻譜(a) 單位沖激信號(t); (b) (t)的頻譜 (t)的頻譜函數(shù)解 可見，沖激函數(shù)(t)的頻譜是常數(shù)1。也就是說，(t)中包含了所有的頻率分量， 而各頻率分量的頻譜密度都相等。 顯然， 信號(t)實際上是無法實現(xiàn)的。 根據(jù)分配函數(shù)關(guān)于(t)的定義， 有 (434) (435) 沖激信號(t)的頻譜例42

5、求沖激信號(t)的頻譜。 解 由頻譜函數(shù)的定義式有 圖4.5 沖激信號及其頻譜(475) 移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù)例412求移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù)。 解 由于已知沖激函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)為1,求移位沖激函數(shù)(t-t0)的頻譜函數(shù)，此時可利用傅里葉變換的時移特性式(474)。例 3.4-6 求直流信號1的頻譜函數(shù)。 圖 3.4-6 直流信號f(t)及其頻譜(a) 直流信號f(t); (b) 頻譜 直流信號1的頻譜函數(shù)解 直流信號1可表示為 (445) (446) 例46 求單位直流信號的頻譜。 解 幅度為1的單位直流信號可表示為 f(t)=1,-t0)(4-51)符號函數(shù)s

6、gn(t)也可看作是下述函數(shù)在取極限趨近0時的一個特例:例 3.4-8 求階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)。 由階躍函數(shù)(t)的波形容易得到 解 從而就可更為方便地求出(t)的頻譜函數(shù)， 即 階躍函數(shù)(t)的頻譜函數(shù)圖 3.4-8 階躍函數(shù)及其頻譜(a) (t)的波形； (b) 頻譜 例 3.5-1 求圖 3.5-1(a)所示信號的頻譜函數(shù)。 圖 3.5-1 例 3.5-1 的圖(a) f(t)的波形； (b) 相位譜 門(平移后)信號的頻譜函數(shù)解 例411 已知求g(2t)的頻譜函數(shù) 解 根據(jù)傅里葉變換的尺度變換性質(zhì),g(2t)的頻譜函數(shù)為尺度變換求頻譜 圖4.13 尺度變換圖4.11 單邊指數(shù)信號

7、及其頻譜例49利用奇偶虛實性求圖4.11單邊指數(shù)信號f(t)=2e-t u(t)的頻譜。利用奇偶虛實性求頻譜 解 從波形圖（a）上可見,單邊指數(shù)信號f(t)是非偶非奇函數(shù),但可分解為如圖（b）,（c）所示的偶函數(shù)和奇函數(shù)兩部分,見下式。 f(t)=2e-t u(t)=fe(t)+fo(t)其中 例 3.5-2 求高頻脈沖信號f(t)(圖 3.5-2(a)的頻譜。 圖 3.5-2 高頻脈沖信號及其頻譜(a) f(t)的波形； (b) 頻譜 高頻脈沖信號f(t) 的頻譜 解 圖3.5-2(a)所示高頻脈沖信號f(t)可以表述為門函數(shù)g(t)與cos 0t相乘，即 例413 求高頻脈沖信號 p(t)

8、=g(t)cos0t 的頻譜函數(shù) 解 由于高頻脈沖信號的頻譜函數(shù)故有 根據(jù)頻移特性有 圖4.14 頻移特性 例 3.5-4 求圖 3.5-5(a)所示梯形信號f(t)的頻譜函數(shù)。 解 若直接按定義求圖示信號的頻譜，會遇到形如te-jt的繁復(fù)積分求解問題。而利用時域積分性質(zhì)，則很容易求解。 將f(t)求導(dǎo)，得到圖 3.5-5(b)所示的波形f1(t)，將f1(t)再求導(dǎo)， 得到圖 3.5-5(c)所示的f2(t)， 顯然有 梯形信號f(t)的頻譜函數(shù)圖 3.5-5 梯形信號及其求導(dǎo)的波形據(jù)時移性質(zhì)有圖 3.5-6 另一種梯形信號 圖4.15 梯形脈沖的傅里葉變換梯形脈沖的傅里葉變換例414 求圖

9、4.15所示梯形脈沖的傅里葉變換。解 梯形脈沖可看作是兩個不同寬度的矩形脈沖 f1(t)與f2(t)的卷積，如圖4.15所示。 f(t)=f1(t)*f2(t) 而矩形脈沖的傅里葉變換已在例43中求出,具體來說圖4.16 半波正弦脈沖圖4.17 三角形脈沖及其一、二街導(dǎo)的波形例 3.6-1 求圖 3.6-1(a)所示周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)F(j)。 圖 3.6-1 周期矩形脈沖信號及其頻譜(a) f(t)的波形； (b) 復(fù)振幅Fn; (c) 頻譜函數(shù)F(j) 周期矩形脈沖f(t)的頻譜函數(shù)解 周期矩形脈沖f(t)的復(fù)振幅Fn為 例 3.6-2 圖3.6-2(a)為周期沖激函數(shù)序列T(

10、t)，其周期為T，T(t)可表示為 m為整數(shù) 圖 3.6-2 周期沖激序列及其頻譜 周期沖激函數(shù)序列T(t)的頻譜解 先求T(t)的復(fù)振幅Fn： 設(shè)一周期信號fT(t)，其周期為T，fT(t)中位于第一個周期的信號若為fa(t)，則不難得到 已經(jīng)知道 例 3.8-1 已知激勵信號f(t)=(3e-2t-2)(t)，試求圖 3.8-1 所示電路中電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)uCf(t)。 圖 3.8-1 例 3.8-1 的圖 用頻域分析法求響應(yīng) 注意到()的取樣性質(zhì)，并為了較方便地求得UCf(j)的逆變換，將UCf(j)按如下形式整理: 圖 4.19 例420如圖4.19所示,試分析單位階躍信號u(t)通過RC高通網(wǎng)絡(luò)傳輸后的波形。 用頻域法求響應(yīng)則按H()的定義有對于單位階躍信號u(t)而言,此時 解 顯然,當(dāng)輸入信號uS(t)為復(fù)指數(shù)信號e jt時,如圖有最后一步考慮了沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)。因此例 3.8-2 如圖 3.8-2(a)所示系統(tǒng)，已知乘法器的輸入 s(t)的波形如圖 3.8-2(b)所示，系統(tǒng)函數(shù) 用頻域分析法求響應(yīng)圖 3.8-2 例 3.8-2 圖(a) 系統(tǒng)組成； (b) s(t)的波形 先求f(t)的傅里葉變換F(j)，由于 再求s(t)的傅里葉變換S(j)。由于s(t)為周期信號，T=1ms，