1、會計學1最大值與最小值最大值與最小值190376第一頁，共16頁。洪澤洪澤(hn z)外國語中學外國語中學 程懷宏程懷宏第1頁/共16頁第二頁，共16頁。二、新課二、新課最大值與最小值最大值與最小值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y 觀察觀察(gunch)右邊右邊一個定義在區間一個定義在區間a,b上上的函數的函數y=f(x)的圖象，你的圖象，你能找出函數能找出函數y=f（x）在）在區間區間a，b上的最大值上的最大值、最小值嗎？、最小值嗎？發現發現(fxin)圖中圖中_是極小值，是極小值，_是是極大值，在區間上的函數的最大值是極大值，在區間上的函數的最大值是_，最

2、小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 問題在于如果在沒有給出函數圖象的情況問題在于如果在沒有給出函數圖象的情況(qngkung)下，怎樣才能判斷出下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 第2頁/共16頁第三頁，共16頁。一、是利用函數性質一、是利用函數性質二、是利用不等式二、是利用不等式三、今天三、今天(jntin)學習利學習利用導數用導數 求函數最值的一般求函數最值的一般(ybn)方法：方法：第3頁/共16頁第四頁，共16頁。 (2)將將y=f(x)的各極值與的各極值與f(a)、f(b)比較比較(bjio)，其，

3、其中最大的一個為最大值，最小的一個最小值中最大的一個為最大值，最小的一個最小值 f(x)在閉區間在閉區間(q jin)a,b上的最值：上的最值：(1)求求f(x)在區間在區間(q jin)(a,b)內極值內極值(極大值或極小值極大值或極小值)表格法表格法(如果在區間a,b上的函數y=f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值)第4頁/共16頁第五頁，共16頁。例例1、求函數、求函數f(x)=x2-4x+3在區間在區間(q jin)-1，4內內 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 將二次函數將二次函數(hnsh)f(x)=x2-4x+3配配方，利用二次函數方，利用二

4、次函數(hnsh)單調性處理單調性處理第5頁/共16頁第六頁，共16頁。例例1 求函數求函數f(x)=x2-4x+3在區間在區間(q jin)-1，4內的最值。內的最值。 故函數故函數(hnsh)f(x) 在區間在區間-1，4內的內的最大值為最大值為8，最小值為，最小值為-1. 解法解法(ji f)二、二、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x-1 （-1，2）2（2，4）4y，0y-+83-1第6頁/共16頁第七頁，共16頁。 一般一般(ybn)地，求函數地，求函數y=f(x)在在a,b上的最大值與最小值上的最大值與最小值的步驟如下：的步驟如下：:求求y=

5、f(x)在在(a，b)內的極值內的極值(j zh)(極大值與極小值極大值與極小值); :將函數將函數y=f(x)的各極值與端點的各極值與端點(dun din)處的處的函數值函數值f(a)、f(b) 比較比較,其中最大的一個為最大值其中最大的一個為最大值,最小最小的一個為最小值的一個為最小值. 求函數的最值時求函數的最值時,應注意以下幾點應注意以下幾點:(1)函數的函數的極值是極值是在局部范圍內討論問題在局部范圍內討論問題,是一個是一個局部概局部概 念念,而函數的而函數的最值最值是對整個定義域而言是對整個定義域而言,是在整體范圍是在整體范圍 內討論問題內討論問題,是一個是一個整體性的概念整體性的

6、概念.(2)閉區間閉區間a,b上的連續函數一定有最值上的連續函數一定有最值.開區間開區間(a,b)內內 的可導函數不一定有最值的可導函數不一定有最值,但若有唯一的極值但若有唯一的極值,則此極則此極 值必是函數的最值值必是函數的最值.第7頁/共16頁第八頁，共16頁。 (3)函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個函數在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個,而函數的極值而函數的極值(j zh)則可能不止一個則可能不止一個,也可能沒有極值也可能沒有極值(j zh),并且極大值并且極大值(極小值極小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值),但除但除端點外在區間內部的最大值端點外在區

7、間內部的最大值(或最小值或最小值),則一定是極大值則一定是極大值(或極小值或極小值). (4)如果函數不在閉區間如果函數不在閉區間a,b上可導上可導,則在確定函數的最值時則在確定函數的最值時,不僅比較不僅比較(bjio)該函數各導數為零的點與端點處的值該函數各導數為零的點與端點處的值,還要比還要比較較(bjio)函數在定義域內各不可導的點處的值函數在定義域內各不可導的點處的值. (5)在解決實際應用問題在解決實際應用問題(wnt)中中,如果函數在區如果函數在區間內只有一個極值點間內只有一個極值點(這樣的函數稱為單峰函數這樣的函數稱為單峰函數),那么要根據實際意義判定是最大值還是最小值即那么要根

8、據實際意義判定是最大值還是最小值即可可,不必再與端點的函數值進行比較不必再與端點的函數值進行比較.第8頁/共16頁第九頁，共16頁。練習練習(linx)P77 1、2第9頁/共16頁第十頁，共16頁。解解:當當x變化時變化時, 的變化情況如下表的變化情況如下表:yy , 從上表從上表(shn bio)可知可知,最大值是最大值是,最小值最小值是是0.令令 ,解得解得0)( xf.34,3221 xxx 0f(x) )(xf )32, 0( )34,32( 32 34 )2 ,34( 2+-+000第10頁/共16頁第十一頁，共16頁。練習練習(linx)1:求函數求函數f(x)=2x3+3x2-

9、12x+14在區間在區間-3,4上的最上的最 大值和最小值大值和最小值.答案答案(d n):最大值為最大值為f(4)=142,最小值為最小值為f(1)=7.第11頁/共16頁第十二頁，共16頁。延伸延伸1:設設 ,函數函數 的最的最 大值為大值為1,最小值為最小值為 ,求常數求常數a,b. 132 a) 11(23)(23 xbaxxxf26 解解:令令 得得x=0或或a.033)(2 axxxf當當x變化時變化時, ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf x-1(-1,0)0 (0,a) a(a,1) 1f(x) + 0 - 0 +f(x) -1-3a/2+b b -a3/2+

10、b 1-3a/2+b由表知由表知,當當x=0時時,f(x)取得極大值取得極大值b,而而f(0)f(a),f(0)f(-1),f(1)f(-1).故需比較故需比較(bjio)f(1)與與f(0)的大小的大小.f(0)-f(1)=3a/2-10,所以所以(suy)f(x)的最大值為的最大值為f(0)=b,故故b=1.第12頁/共16頁第十三頁，共16頁。又又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/21,0 x1,求函數求函數f(x)=xp+(1-x)p的值域的值域.說明說明:由于由于f(x)在在0,1上連續上連續(linx)可導可導,必有最大值必有最大值與最小值與最小值, 因此求函數因此求函

11、數f(x)的值域的值域,可轉化為求最值可轉化為求最值.解解:.)1()1()(1111 ppppxxpxppxxf令令 ,則得則得xp-1=(1-x)p-1,即即x=1-x,x=1/2.0)( xf而而 f(0)=f(1)=1,因為因為p1,故故11/2p-1.,21)21(1 pf所以所以f(x)的最小值為的最小值為 ,最大值為最大值為1.121 p從而函數從而函數f(x)的值域為的值域為.1 ,211 p第13頁/共16頁第十四頁，共16頁。練習練習(linx)2:求函數求函數f(x)=p2x2(1-x)p(p是正數是正數)在在0,1上的最上的最 大值大值.解解:.)2(2)1()(12xpxxpxfp 令令 ,解得解得.22, 1, 00)(321pxxxxf 在在0,1上上,有有f(0)=0,f(1)=0,)2(4)22(2 ppppf 故所求最大值是故所求最大值是.)2(42ppp 練習練習(linx)1:求函數求函數f(x)=2x3+3x2-12x+