1、 在常微分方程中，先不考慮任何的在常微分方程中，先不考慮任何的 附加條件，從方程求出附加條件，從方程求出通解，通解一般含有任意常數，然后利用附加條件確定這些常通解，通解一般含有任意常數，然后利用附加條件確定這些常數，偏微方程能否也如此呢？數，偏微方程能否也如此呢？（一）達朗貝爾公式（一）達朗貝爾公式均勻弦的橫振動，均勻稈的縱振動，理想傳輸線方程都有均勻弦的橫振動，均勻稈的縱振動，理想傳輸線方程都有以下形式：以下形式：0)(22222 uxat即：即：0)( uxatxat（1）通解）通解（1）對方程（對方程（1）我們作代換：）我們作代換： tax),(（2）在這個代換下：在這個代換下：)(xa

2、txxttxatxxtt 則方程（則方程（1）變為：）變為：0)(2 u 我們把代換（我們把代換（2）寫成：）寫成： )(21)(21 atx即即 atxatx 在這代換下原方程化為：在這代換下原方程化為：02 u對于這個方程，就很容易求解了！對于這個方程，就很容易求解了！先對先對 積分：積分：)( fu 其中其中f是任意函數！是任意函數！再對再對 積分得到通解：積分得到通解： )()()()()(21212atxfatxffffdfu 其中其中21, ff是任意函數是任意函數.(3)(4)(5)方程（方程（5）就是偏微分方程的通解，與常微分方程不同的是）就是偏微分方程的通解，與常微分方程不同

3、的是通解中出現通解中出現任意函數任意函數，而不是任意常數！，而不是任意常數?。?）具有明顯的物理意義，對于函數）具有明顯的物理意義，對于函數f2來說，改用以速度來說，改用以速度a沿沿x軸正向移動的動坐標軸軸正向移動的動坐標軸X,則新舊坐標和時間之間的關系則新舊坐標和時間之間的關系 tTatxX此時有：此時有：)()(22Xfatxf 與時間無關，即函數圖像在動坐標系中保持不變，是隨著動坐與時間無關，即函數圖像在動坐標系中保持不變，是隨著動坐標系以速度標系以速度a沿沿x正方向移動的行波！正方向移動的行波！同理，同理，f1(x+at)是以速度是以速度a沿負方向移動的行波。沿負方向移動的行波。（2）

4、函數的確定）函數的確定上述通解中的函數可以用定解條件確定。上述通解中的函數可以用定解條件確定。假定弦，桿，傳輸線都是無限長的的，不存在邊界條件。假定弦，桿，傳輸線都是無限長的的，不存在邊界條件。初始條件是：初始條件是：)(|),(|00 xxuxuttt 把一般解代入初始條件得到：把一般解代入初始條件得到： )()()( )()()(2121xxafxafxxfxf )()()(1)()()()()(020121210 xfxfdaxfxfxxfxfxx 即即解方程得解方程得 )()(21)(21)(21)()()(21)(21)(21)(020120201100 xfxfdaxxfxfxfd

5、axxfxxxx 代入通解方程即得滿足初始條件的特解：代入通解方程即得滿足初始條件的特解： atxatxdaatxatxtxu )(21)()(21),(（6）公式公式作為例子：設初速度為零，即作為例子：設初速度為零，即0)( x 初始位移初始位移)(x 只在區間（只在區間（x1,x2）不為零，在）不為零，在x=(x1+x2)/2達到最大值達到最大值u0)(x x221xx 0u2x1x如圖所示：如圖所示： 022)(12201210 xxxxuxxxxux 21221211,22xxxxxxxxxxxx 達朗貝爾公式給出達朗貝爾公式給出)(21)(21),(atxatxtxu 初始位移初始位

6、移分為兩半，分別向左右兩方，以速度分為兩半，分別向左右兩方，以速度a移動（虛線），這兩移動（虛線），這兩個行波的和所給出各個時刻的波形（實線）。個行波的和所給出各個時刻的波形（實線）。如下圖所示：如下圖所示：xt=0 xt1xt2xt3xt4xt5設初始位移為零設初始位移為零,即即0)( x 且初速度且初速度)(x 只在區間只在區間（x1,x2）上不為零）上不為零 0)(0 x),(),(2121xxxxxx 此時達朗貝爾公式給出：此時達朗貝爾公式給出：)()()(21)(21),(atxatxdadatxuatxatx 這里這里 指的是指的是 01201)(21210)(21 xxaxxad

7、aatxatx2210 xxxxxxx 作出作出)(),(xx 兩個圖形，讓他們以速度兩個圖形，讓他們以速度a分別向左右兩方分別向左右兩方移動，虛線所描述，他們的和就描出各個時刻波形：移動，虛線所描述，他們的和就描出各個時刻波形：x2x1x)(x t0 xt1xt2xt3xt4xt5xt6xt7xt8xx1x2再上圖中，波通過的地方，雖然振動消失，但偏離了再上圖中，波通過的地方，雖然振動消失，但偏離了平衡位置！平衡位置！行波法（特征線方法）求達朗貝爾公式。行波法（特征線方法）求達朗貝爾公式。見特征線習題見特征線習題1，2，3 Method of Characteristics（二）端點的反射（

8、二）端點的反射(延拓法延拓法)半無限長的弦具有一個端點，先考察端點固定的情況，即：半無限長的弦具有一個端點，先考察端點固定的情況，即： xuauxxtt0, 02)0()(|)(|00 xxuxuttt 初始條件里必須初始條件里必須0 x才有意義，因為才有意義，因為xx/a）達朗貝爾公式里）達朗貝爾公式里 datxatxatx )(),(失去意義，不能應用！失去意義，不能應用！我們可以把半無限長弦當作某根無限長弦的一部分，而此無我們可以把半無限長弦當作某根無限長弦的一部分，而此無限長弦的振動過程中，限長弦的振動過程中，x=0必須保持不動！即無限長弦的位移必須保持不動！即無限長弦的位移U(x,t

9、)應當是奇函數，而無限長弦的初始位移應當是奇函數，而無限長弦的初始位移)(x 和初始速度和初始速度)(x 都應該是奇函數：都應該是奇函數： )()()(xxx 00 xx )()()(xxx 00 xx這樣我們就把這樣我們就把)(x )(x 從半無界區域奇延拓到整個無界區間從半無界區域奇延拓到整個無界區間現在則可以利用達朗貝爾公式來求解無限長弦的自由振動，且現在則可以利用達朗貝爾公式來求解無限長弦的自由振動，且0 x的部分就是我們所考察的半無限長弦！的部分就是我們所考察的半無限長弦！ atxatxdaatxatxtxu )(21)()(21),(初始條件代入上面的式子可以得到方程的解初始條件代

10、入上面的式子可以得到方程的解: atxxatatxatxdaxatatxdaatxatxtxu )(21)()(21)(21)()(21),(axt axt 為了只管觀察上式的物理意義，描畫了只有初始位移而為了只管觀察上式的物理意義，描畫了只有初始位移而沒有初始速度的情況，最下一圖右半邊實線描出分別向左右沒有初始速度的情況，最下一圖右半邊實線描出分別向左右兩方移動的波，左半邊用細線描出奇延拓，奇延拓的波也分兩方移動的波，左半邊用細線描出奇延拓，奇延拓的波也分別向左右兩方運動。此時，端點沒有影響，各圖按時間順序別向左右兩方運動。此時，端點沒有影響，各圖按時間順序描述了波的傳播情況，描述了波的傳播

11、情況，x=0保持不動，端點的影響反映為保持不動，端點的影響反映為反射波反射波，而且此時反射波的相位根入射波，而且此時反射波的相位根入射波相反，此所謂相反，此所謂半波損失半波損失uxOt=0 xt1xt2xt3xt4xt5xt6xt7xt8x開始反射開始反射半無限長的弦具有一個端點，先考察端點固定的情況，即：半無限長的弦具有一個端點，先考察端點固定的情況，即：2,0,0,(0, )0,( ,0)( ),( ,0)( ).ttxxtua uxtutu xx u xx 2,0,( ,0)( ),( ,0)( ),ttxxtua uxtu xx u xx (),0,( )0,0,( ),0,x xxx

12、xx(),0,( )0,0,( ),0.x xxxxx1. Odd continuation ()()1( , )( )d22x atx atxatxatu x ta ()()1( )d ,22()()1( )d ,.22x atx atx atat xxatxatxtaaxatatxxtaa 00( )d( )d( )dx atx atx atx at 00()d( )dx atx at ( )d .x atat x 00()d()( )dx atx at 00( )d( )( )dx atat x 下面考察半無限長桿的自由振動，端點自由，描述如下：下面考察半無限長桿的自由振動，端點自由，描

13、述如下：)0( , 02 xuauxxtt )(|)(|00 xuxuttt )0( x0|0 xxu同樣可以把根半無限長桿當做某無限長桿的同樣可以把根半無限長桿當做某無限長桿的0 x的部分的部分此無限長桿在振動過程中，此無限長桿在振動過程中，x0的相對伸長的相對伸長ux=0,即無限長即無限長桿的位移桿的位移u（x，t）應當是偶函數，則無限長桿的初始位移）應當是偶函數，則無限長桿的初始位移和初始速度都是偶函數：和初始速度都是偶函數：)()()(xxx00 xx)()()(xxx00 xx把兩個函數偶延拓到整個無限區間，可以應用公式！把兩個函數偶延拓到整個無限區間，可以應用公式！應用達朗貝爾公式

14、可得：應用達朗貝爾公式可得： atxatxdaatxatxtxu )(21)()(21),(把初始條件代入上式可得：把初始條件代入上式可得：xatatxatxatxdadaxatatxdaatxatxtxu00)(21)(21)()(21)(21)()(21),(axt axt 這也是一種這也是一種反射波反射波，不同的是反射波的相位跟入射波相同，不同的是反射波的相位跟入射波相同，沒有半波損失！沒有半波損失！下面考察半無限長桿的自由振動，端點自由，描述如下：下面考察半無限長桿的自由振動，端點自由，描述如下：2. Even continuation2,0,0,(0, )0,( ,0)( ),( ,

15、0)( ).ttxxxtua uxtutu xx u xx 2,0,( ,0)( ),( ,0)( ),ttxxtua uxtu xx u xx ( ),0,( )(),0,xxxxx( ),0,( )(),0.xxxxx()()1( , )( )d22x atx atxatxatu x ta 00( )d( )d( )dx atx atx atx at 00()d( )dx atx at 00()d()( )dx atx at 00( )d( )( )dx atat x 00()()1( )d ,22()()1( )d221( )d ,.2x atx atx atat xxatxatxtaa

16、xatatxaxtaa （三）定解問題是一個整體（三）定解問題是一個整體從偏微分方程求出達朗貝爾公式的過程，與常微分方程的求解從偏微分方程求出達朗貝爾公式的過程，與常微分方程的求解過程是類似的，但絕大多數的偏微分方程很難求出通解，用定過程是類似的，但絕大多數的偏微分方程很難求出通解，用定解條件確定待定函數更加困難！解條件確定待定函數更加困難！從物理角度來說，問題的完整提法是在給定的定解條件下求解從物理角度來說，問題的完整提法是在給定的定解條件下求解數學物理方程。但除了達朗貝爾公式等極少的例子，從數學的數學物理方程。但除了達朗貝爾公式等極少的例子，從數學的角度來講，不可能先求偏微分方程的通解后在

17、考慮定解條件，角度來講，不可能先求偏微分方程的通解后在考慮定解條件，必須同時考慮必須同時考慮來求解！來求解?。ê统Ｎ⒎址匠滩煌ê统Ｎ⒎址匠滩煌?）不管是從物理的角度，還是數學的角度，定解問題都是不管是從物理的角度，還是數學的角度，定解問題都是一個一個！而不能割裂開。！而不能割裂開。（四）定解問題的適定性（四）定解問題的適定性定解問題是從實際中來的，結果也要回到實際中去，則必須：定解問題是從實際中來的，結果也要回到實際中去，則必須：(1)定解問題有解定解問題有解(2)解是唯一的解是唯一的(3)解是穩定的解是穩定的對于穩定來說，就是如果定解條件的數值有很小的改變，解的對于穩定來說，就是如果定解條

18、件的數值有很小的改變，解的數值也只有很小的改變，處在數值也只有很小的改變，處在的范圍。的范圍。因為實際測量中，不可能絕對精確，來自實際問題的定解條件因為實際測量中，不可能絕對精確，來自實際問題的定解條件也也不可避免不可避免的有誤差，如果解不穩定，則可能理論分析與實際的有誤差，如果解不穩定，則可能理論分析與實際情況相差很遠，沒有實用價值！情況相差很遠，沒有實用價值！定解問題滿足這三個條件，稱為定解問題滿足這三個條件，稱為的！的！以達朗貝爾公式的推導過程為例，如果以達朗貝爾公式的推導過程為例，如果2)(Cx （具有連續二階導數的函數類）（具有連續二階導數的函數類）1)(Cx 可以驗證公式可以驗證公式本身確實滿足方程，即解本身確實滿足方程，即解存在存在！而在公式推導過程中，沒有任何限定，則滿足偏微分方程的而在公式推導過程中，沒有任何限定，則滿足偏微分方程的解最后都可寫成達朗貝爾公式，即解解最后都可寫成達朗貝爾公式，即解唯一唯一！下面來看穩定性：下面來看穩定性：設有兩組初始條