1、河南科技學院 2016屆本科畢業(yè)論文論文題目：矩陣對角化的方法及相關應用學生姓名： 閆偉杰 所在院系： 數(shù)學科學學院 所學專業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 導師姓名： 李巧萍 完成時間： 2016年5月10日 摘 要在古代，著名的著作九章算術中已經(jīng)有類似于矩陣的運用，雖然沒有給出具體的定義但這種思想極大地推動了我國數(shù)學的發(fā)展，使我國古代數(shù)學在數(shù)學發(fā)展史上占有一席之地。如今，矩陣作為數(shù)學學科中的基礎理論,其理論的重要性不言而喻，在實際生活中也是必不可少的工具。對角矩陣作為較簡單的矩陣之一，無論是探索矩陣本身還是實際應用都有很深的研究價值。考慮到本文的閱讀對象，因此在理論上不做過多的推導，而是側重于介紹三對

2、角矩陣、分塊對角矩陣的應用以及矩陣對角化的方法及其應用。文章通過結合理論與實際來展開闡述，通過講述追趕法求解三對角方程組、利用矩陣的特征值、特征向量求解矩陣和在工業(yè)與環(huán)境等方面應用的例子來表明矩陣對角化的重要性。關鍵詞：對角矩陣,三對角矩陣，矩陣對角化,特征值,特征向量AbstractIn ancient times, there existing similar using of matrix in the famous work,“Nine Chapters On The mathematical Art” although it didnt give a concrete definit

3、ion , this kind of thought has greatly promoted the development of mathematics in our nation, which made the ancient mathematics had a place in the history of mathematics development. Nowadays, matrix, as the fundamental theory in mathematics, the importance of the theory is self-evident,and it is a

4、lso a indispensable tool in actual life.Diagonal matrix,as one of the simple matrix, which has a deep research and practical application value.Considering the reading object of this article, therefor,it has no too much derivation in theory,but focuses on introduction of tridiagonal matrix ,the appli

5、cation of block diagonal matrix and matrix diagonalization method and its application.By combining theory with practice to give discussion, by telling chase-after method to solve tridiagonal equations, based on the matrix eigenvalue and eigenvector of solving matrix and application in industrial and

6、 environmental aspects such as examples to show the importance of matrix diagonalization.Keywords：Diagonal matrix, Tridiagonal matrix, Matrix diagonalization,Eigenvalue,Eigenvector I目 錄摘要.IAbstract.II目錄.III1引言.12對角矩陣.12.1 對角矩陣.12.2 對角矩陣運算及性質(zhì).22.3 對角矩陣的簡單應用.33矩陣對角化的條件與方法.6 3.1常用的充要條件.63.2最小多項式法.64矩陣對

7、角化方法的應用.74.1矩陣的相關計算.74.2探究矩陣性質(zhì).94.3利用矩陣對角化求數(shù)列的通項公式.104.4矩陣對角化在其他方面的應用.13總結與展望.15參考文獻.16致謝.17II1引言在中學課程中，我們都已經(jīng)接觸到二元一次方程、三元一次方程的解的問題，并對它們有詳細的學習，但是當我們遇到一個未知量比較多，或者未知量的個數(shù)大于方程的個數(shù)的時候我們似乎就無能為力了。正是基于這樣的問題，就產(chǎn)生了矩陣的雛形,隨后經(jīng)過一代又一代的數(shù)學人不停的探索，最終借助于矩陣將一個多元線性方程組的解的情況，以及不同解之間的關系等一系列理論上的問題，得到徹底的解決。如今，隨著科學計算的迅猛發(fā)展，特別是計算機的

8、發(fā)展，使得矩陣在數(shù)學中逐步進入核心地位。通常情況下,我們都會從最簡單的東西入手,由易到難,由淺入深循序漸進的來展開對某一問題或某一類問題的研究,而對角矩陣作為矩陣中較簡單的矩陣之一，有著極大的研究價值。對對角矩陣的研究無論是在理論上還是在實踐中都有著非常重要的意義,借助對角矩陣的理論和性質(zhì),可以幫助我們來更好地研究矩陣。將普通的矩陣轉化為對角矩陣，即矩陣對角化。所謂矩陣可對角化指的是矩陣與對角陣相似。通常意義下的矩陣與對角矩陣有什么關系？能否將任意的矩陣轉化為對角矩陣？能轉化為對角矩陣的矩陣應該具備什么樣的條件或性質(zhì)？這些理論在我們的實際生活中有怎樣的應用？這都是我們要思考的。本文主要的目的就

9、是闡述矩陣可對角化的條件以及如何應用可對角化的相關性質(zhì)將矩陣化為對角形，同時給出它在相關方面的運用來凸顯其重要性。2對角矩陣對角矩陣雖是矩陣中最簡單的一種,但仍有很大的研究價值。本節(jié)將給出一般的對角矩陣和特殊對角矩陣(三對角矩陣和分塊對角矩陣)的定義以及常用的特性，但并不做過多的證明。2.1 一般的對角矩陣對角矩陣的定義：我們把形如的矩陣稱為對角矩陣，記：1。例如： 等都為對角矩陣。特殊對角矩陣:除了以上所定義的簡單對角矩陣外,我們在實際問題中還會遇到稍微復雜的三對角矩陣、準對角矩陣。下面就給出三對角矩陣和分塊對角矩陣的定義，還會給出三對角矩陣和準對角矩陣的應用。三對角矩陣的定義: 若矩陣的非

10、零項位于由主對角線及其之上的一條對角線與其之下的一條對角線組成的帶內(nèi)，如下式：則稱矩陣為三對角矩陣此時有 ()2。準對角矩陣的定義： 形如：的矩陣，其中是矩陣，通常稱為準對角矩陣，當然準對角矩陣包括對角矩陣作為特殊情形3。2.2 對角矩陣運算及性質(zhì)2.2.1 對角矩陣的運算1為對角矩陣,則矩陣的一些線性運算運算如下:(1) 矩陣加法(減法)為對角線上對應元素相加(相減):(2) 矩陣乘法為對角線元素對應相乘：(3) 準對角矩陣的加法（減法）： 若矩陣與矩陣為同級的分塊對角矩陣則： ， 他們?nèi)詾閷蔷仃嚒?.2.2 對角矩陣的性質(zhì)對角矩陣有如下的性質(zhì)：(1) 對角矩陣的和、差、積仍為對角矩陣1。

11、(2) 對角矩陣為階方陣。(3) 對角矩陣的秩等于對角線上非零元素的個數(shù)。(4) 若矩陣為對角矩陣，即，且，則矩陣存在逆矩陣1。(5) 若矩陣為對角矩陣，即，則矩陣的特征值為對角線上的元素，并且特征向量為單位向量1。(6) 若矩陣，其中當，則與可交換的矩陣只能是對角矩陣4。(7) 若矩陣為對角矩陣,則有5。(8) 若矩陣為可逆矩陣，那么矩陣的逆矩陣為4。2.3 對角矩陣的簡單應用2.3.1 利用分塊對角矩陣求解矩陣的逆4例2.1 ，其中與都可逆，求。證明：由及容易得到,。例2.2 ，設可逆，可逆，試證明存在，并求。證明：由而右端仍可逆，故存在。再由例2.1可知:例 2.3設，其中當,是級單位矩

12、陣，證明：與可交換的矩陣只能是準對角矩陣，其中是級矩陣。證明：設與可交換，其中與分塊方式相同，則有由于互異，比較比較非對角塊元素得，即，于是因此與可交換的矩陣是對角矩陣。同時在性質(zhì)6作為本例的特殊形式可以采用同樣的方法證明。2.3.2 求解三對角方程組三對角矩陣在線性代數(shù)、計算數(shù)學、組合數(shù)學以及應用數(shù)學中有廣泛的應用,所以三對角矩陣的研究一直受到人們的關注，有很多關于它的研究，這里將介紹采用追趕法求解三對角矩陣方程組。追趕法：給定 （三對角方程組）且按照嚴格對角占優(yōu)：利用高斯消去法，經(jīng)過次消元，可將它化簡為同解的方程組易知 ， 。再利用會代過程求出方程組的各變量， ，這一逆序求變量的過程（即回

13、代過程）稱為趕6。例2.4 用追趕法求解方程組 7。解：采用追趕法最后可得到， 。3矩陣對角化條件矩陣對角化在整個高等代數(shù)的學習中有非常廣泛的應用，并且在實際工程中也有較多的應用。因此判斷矩陣是否可以對角化以及研究矩陣對角化的條件就顯得額外重要，那么本節(jié)就介紹一些常用的矩陣對角化的充要條件和方法。論文以大家已經(jīng)掌握必要理論為基礎，所以不再對結論性問題作出證明。 3.1 常用的充要條件矩陣可對角化的條件：(1) 矩陣可以轉化為對角矩陣當且僅當有個線性無關的特征向量;(2) 矩陣可以轉化為對角矩陣當且僅當?shù)奶卣髯涌臻g的維數(shù)為;(3) 矩陣可以轉化為對角矩陣當且僅當?shù)某醯纫蜃尤且淮蔚?;(4) 矩

14、陣可以轉化為對角矩陣當且僅當?shù)淖钚《囗検經(jīng)]有重根9。3.2 最小多項式法9 一般情況下，我們可以判斷矩陣是否有個線性無關的特征向量，但在實際應用中往往比較復雜。但利用最小多項式會將問題由難轉易。 對于給定的矩陣,假如有多項式,使得是。我們就稱以為根，為的零化多項式（一般取首項系數(shù)為1），其中，次數(shù)最低的零化多項式稱為的最小多項式。我們最小多項式的有關結論：（1）任意的階矩陣都存在最小多項式；（2）階矩陣的任意零化多項式都可以被其最小多項式整除；（3）矩陣都存在最小多項式的根必是的特征值，反之，的特征值也是的最小多項式的根；（4）矩陣可以對角化的充要條件是的最小多項式?jīng)]有重根。例3.1證明：如果

15、則相似于對角矩陣。證明:由,知為多項式的根,即.因的最小多項式,而沒有重根,所以沒有重根,故有上(3)可知:與矩陣相似。4矩陣對角化方法的應用可對角化矩陣具備很好的特性,并且矩陣對角化的方法在理論研究和實際應用中有著重要的意義。本節(jié)將給出矩陣對角化方法的一些應用。 4.1 矩陣的相關計算4.1.1 利用特征值求行列式的值 利用矩陣與對角陣相似可簡化方陣的計算，或者利用特征值。例 4.1設是階方陣的個特征值，為單位矩陣，求解。解：已知階方陣有個互異的特征值，故存在可逆矩陣使得 例4.2 已知3階矩陣的特征值為1，1，2，設矩陣 試求：，。解：因為矩陣有不同的特征值1，1，2，所以存在非奇異矩陣使

16、得；則：4.1.2 求方陣的高次冪一般來說，直接求方陣A的高次冪比較困難。此時對角化對矩陣的計算的簡化作用就凸顯出來了。實際上,若有,其中即有,故例4.3設,求。解:由,得的特征值，則特征值對應的特征向量為: ，,;所以=4.1.3 由特征值與特征向量反求矩陣例 4.4 已知矩陣的特征值為1，-1,0；對應的特征向量為,求。解:取,由知矩陣A有三個線性無關的特征向量,所以,則例4.設3階實對稱矩陣的特征值為對應于的特征向量為，試求矩陣。解：設對應于特征向量為,則由對稱矩陣的性質(zhì)可以得出：，可以求出,它們即是對應于的特征向量，他們彼此也是正交，再單位化得4.2 探究矩陣的性質(zhì)矩陣相似：設與為數(shù)域

17、上的兩個級矩陣，如果存在數(shù)域上的級非奇異矩陣，使得,則稱相似于；記為。并稱為相似變換矩陣10。1) 性質(zhì):a. 反身性 ，即任意矩陣與它自己相似；b. 對稱性 若相似于，則也相似于；c. 傳遞性 若，則。2) 等價不變量：矩陣的秩和特征值。即相似變換不改變矩陣的秩和矩陣的特征多項式10。3) 等價類：全體級矩陣按照矩陣相似可以分為類,每一選取該類矩陣的標準型作為標準元4。4) 相似對角化的初等變換法如果矩陣有個線性無關的特征向量，則存在非奇異矩陣使得，而,于是,即將單位矩陣放在矩陣的下邊構造分塊矩陣，對分塊矩陣進行相似變換(行列互逆的初等變換)，當上面的矩陣變?yōu)閷蔷仃嚨臅r候，下面即是相似變換

18、矩陣，而上面的對角矩陣中對角線上的元素即是矩陣的特征值，矩陣的個列向量即是矩陣的的個線性無關的特征向量。例 4.8設矩陣有個不同的特征值,假如矩陣與特征值相同,求證。證明:由于矩陣的個特征值不相同,可以假設為,于是有可逆矩陣,使得;又也是的特征值,從而存在可逆矩陣,使得,則有,因此,令,則可逆且。例 4.9 分析下列矩陣是否相似:。解：解法一:由題意可知矩陣的特征值都是,其中已是對角矩陣,所以只需要判別能否對角化.由的特征值的特征征向量為,并且是二重特征根,但其只有一個特征向量,故矩陣不可以對角化。對于矩陣的特征值，對應的特征向量為：，而且這三個特征向量是線性無關的，所以矩陣可以對角化，所以與

19、相似。解法二:這里僅對矩陣與矩陣是否相似利用性質(zhì)5)給出如下證明：因此矩陣與矩陣是否相似，并且為相似變換矩陣。4.3 利用矩陣對角化求數(shù)列的通項公式11設階的線性循環(huán)數(shù)列,滿足循環(huán)方程:其中為常數(shù),且.方程組;可以表示為矩陣的形式:令則式可以寫成有上式遞推得。這樣求就歸結為求解,也就是求解.假設矩陣可以對角化,即存在可逆矩陣使得為對角矩陣,則:由于消去得到從最后一列展開可以得到又因為,因此的特征值一定非零,如果是的特征值,則方程的解向量就是相對應特征值的特征向量.所以,假如矩陣有個互異的特征值,由不同特征值對應的特征向量是線性無關的可知，由這個特征向量為列向量所組成的矩陣是可逆的,并且,對角線

20、上的元素為矩陣的特征值,所以就可以得出中的,進而可以求出,再由式求出,這樣就求出線性循環(huán)方程的通項公式。例 4.11已知且數(shù)列的通項滿足：求通項公式。解：由題意可得方程組如下：令由上式的遞推關系可知：，由，解出則對應的特征向量分別為，記，那么： ，=所以可以得到：=。例 4.12 計算n階行列式。解：由題意可知：,，則當時，按照第一列展開可以得到：,記,由。即，則對應的特征向量分別為記，那么由遞推公式可得：。4.4 矩陣對角化在其他方面的應用4.4.1 在環(huán)境與工業(yè)方面的應用隨著我國經(jīng)濟的高速發(fā)展，我國的建材消費，能源消費，空氣污染排放，水污染排放都排在世界前列。我國正在構建社會主義和諧社會，

21、我們絕不能走西方國家“先污染，后治理”的老路，應該把環(huán)保放在一個重要位置。下面給出矩陣對角化在環(huán)境與工業(yè)中的應用。例 4.13某地區(qū)提出如下的增長模式，以四年為一個周期，令和為第個周期后的污染損耗和工業(yè)產(chǎn)值，則此增長模型為：如果目前的污染損耗為11億元，工業(yè)產(chǎn)值為19億元。試分析該地區(qū)怎樣更好的處理環(huán)境與工業(yè)的關系。解：令，由增長模型可知：，所以有，的特征值為相對應的特征向量為，又有可得：當時，污染損耗，工業(yè)產(chǎn)值，不但經(jīng)濟出現(xiàn)負增長，照此發(fā)展下去，環(huán)境污染也會越來越嚴重。所以該地區(qū)在第3個增長周期后要改變現(xiàn)在的發(fā)展模式，采取新的增長模型。在MATLAB命令窗口輸入以下命令：B=8/3,-1/3

22、;-2/3,7/3;format ratP,D=eigAMATLAB執(zhí)行結果： P= 1 1 2 -1 D= 2 0 0 1在MATLAB命令窗口輸入以下命令：syms n %定義符號變量P*2N,O;0,1*P(-1)*P*10;1MATLAB執(zhí)行結果：Ans= 10*2n+3n 20*2n-3n4.4.2 在解常微分方程方面的應用例 4.14 求解線性微分方程組 。解：令 ，則方程的矩陣形式為若可對角化，即存在可逆矩退化矩陣使得：，令,其中，則可化為即所以所以：，經(jīng)過積分可以得到代入求得微分方程組的解。 4.4.3 在線性空間中的應用例4.15 設是維列向量空間，是階復矩陣，是任意復數(shù)，令

23、,則若相似于對角矩陣，有。證明：對任意,有和，所以，又因為相似于對角矩陣，由此可知與的解空間相同，所以即=0，所以。總結與展望對角矩陣作為代數(shù)學乃至各學科一種簡單、基礎、有效的計算證明工具，其應用非常廣泛。本文在定義對角矩陣并說明其相關性質(zhì)的基礎上，介紹了一些矩陣對角化常用的充要條件，本文還介紹最小多項式法；有關矩陣對角化方法的應用，除了本文所提到矩陣對角化在求實遞推式的通項，綜合考慮環(huán)境與工業(yè)中的應用外，在微積分與信號處理等問題中也大量出現(xiàn)，如對角化方法在向量非線性積分微分方程Robin邊值問題中的應用等。對于矩陣對角化方法及其使用，還有很多方向值得研究與學習，但是由于篇幅及知識結構的問題，并沒有被納入本文的討論范圍。以后如有機會，仍值得更為深入的學習與