1、會(huì)計(jì)學(xué)1第第6節(jié)多元函數(shù)的極值與最值節(jié)多元函數(shù)的極值與最值2(1)(2)(3)例1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例處無(wú)極值處無(wú)極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 第1頁(yè)/共43頁(yè)3的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 播放第2頁(yè)/共43頁(yè)4的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第3頁(yè)/共43頁(yè)5的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第4頁(yè)/共43頁(yè)6的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第5頁(yè)/共43頁(yè)7的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函

2、數(shù)22eyxxyz 第6頁(yè)/共43頁(yè)8的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第7頁(yè)/共43頁(yè)9的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第8頁(yè)/共43頁(yè)10的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第9頁(yè)/共43頁(yè)11的圖形的圖形觀察二元函數(shù)觀察二元函數(shù)22eyxxyz 第10頁(yè)/共43頁(yè)12設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx具具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點(diǎn)點(diǎn)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必然然為為零零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 極值的求法（稱駐點(diǎn)） 例如例如, 點(diǎn)點(diǎn))

3、0 , 0(是函數(shù)是函數(shù)xyz 的駐點(diǎn)，的駐點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)注意：定理1（必要條件） 問(wèn)題：如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？第11頁(yè)/共43頁(yè)13設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的某鄰域內(nèi)連續(xù)，的某鄰域內(nèi)連續(xù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， 設(shè)設(shè) 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 定理2（充分條件）則則),(yxf在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處是是否否取取得得極極值值的的條條件件如如下下：令令 Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00， （1 1）02 ACB時(shí)時(shí)具具有有極極值值，且

4、且當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)時(shí)有有極極大大值值，當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)時(shí)有有極極小小值值； （2 2）02 ACB時(shí)時(shí)沒(méi)沒(méi)有有極極值值； （3 3）02 ACB時(shí)時(shí)可可能能有有極極值值, ,也也可可能能沒(méi)沒(méi)有有極極值值，還還需需另另作作討討論論 第12頁(yè)/共43頁(yè)14求求函函數(shù)數(shù)xyxyxyxf933),(2233 的的極極值值. . 求求得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)：)2 , 1(),2 , 3(),0 , 1(),0 , 3( , , 二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為：66, 0, 66 yffxfyyxyxx, , 例4解 063096322 yyfxxfyx令令CBA ACB 2)0, 3( )0, 1()2, 3( )2, 1(6

5、 0 12 6 0 126 0 12 6 0 12 無(wú)極值極小值-5極大值31無(wú)極值1, 3 x2, 0 yf駐點(diǎn)第13頁(yè)/共43頁(yè)15 若根據(jù)實(shí)際問(wèn)題,目標(biāo)函數(shù)有最大值(或最小值),而在定義區(qū)域內(nèi)部有唯一的極大(小)值點(diǎn),則可以斷定該極大(小)值點(diǎn)即為最大(小)值點(diǎn). 設(shè)生產(chǎn)某種商品需原料A和B，設(shè)A的單價(jià)為2，數(shù)量為x；而B(niǎo) 的單價(jià)為1，數(shù)量為y，而產(chǎn)量為 例5解，yyxxz52102022 且商品售價(jià)為5,求最大利潤(rùn). 利潤(rùn)函數(shù)為 yxyyxxyxL 2)521020(5),(22第14頁(yè)/共43頁(yè)16yxyyxxyxL 2)521020(5),(22令1048020240 xyLxLy

6、 ，解得唯一駐點(diǎn) ，2 . 1, 8 . 4 yx唯一駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)，.6 .229)2 . 1 , 8 . 4( L，yyxx24104851122 10,0,20,xxxyyyALBLCL ,02 ACB,0 A即為最大值點(diǎn)，最大利潤(rùn)為 第15頁(yè)/共43頁(yè)17例6解 sincos222422421xxxxS ， cossinsin2sin2422xxx 其其中中 120 x, ,20 , , 第16頁(yè)/共43頁(yè)18其其中中 120 x, ,20 , , 注注意意到到 0sin, 0 x, ,化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)后后解解得得 3, 8 x, , 由由實(shí)實(shí)際際問(wèn)問(wèn)題題可可知知, ,S 必必有有最最大大值值

7、, ,且且內(nèi)內(nèi)部部唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn), ,故故當(dāng)當(dāng)3, 8 x時(shí)時(shí), ,槽槽的的截截面面積積最最大大, ,348 最最大大S. . ， cossinsin2sin2422xxxS 222224sin4 sin2 sincos024 cos2cos(cossin)0 xSxxSxxx 令第17頁(yè)/共43頁(yè)19解*例7總利潤(rùn)為 )258000(yxQpQCRL 8000)25( yxQp,8000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxpp第18頁(yè)/共43頁(yè)208000)25(2000003 . 01 . 05 . 1 yxyxppL令,0)75(1000003 . 01 . 0

8、5 . 2 yxppLp,01)25(200003 . 09 . 05 . 1 yxppLx01)25(600007 . 01 . 05 . 1 yxppLy解得,750 p3555540 x(元元)，1066662300 xy(元元) 最最佳佳經(jīng)經(jīng)營(yíng)營(yíng)時(shí)時(shí)的的產(chǎn)產(chǎn)量量為為 711112000003 . 001 . 005 . 100 yxpQ(件件) 此此時(shí)時(shí)企企業(yè)業(yè)獲獲得得的的最最大大利利潤(rùn)潤(rùn)為為 21253348000)25(),(0000000 yxQpyxpL(元元) 第19頁(yè)/共43頁(yè)21 用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體水箱,要求容積為V,問(wèn)怎么做用料最省？ 設(shè)設(shè)水水箱箱的的長(zhǎng)長(zhǎng)、寬寬、

9、高高分分別別為為zyx, ,則則 目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxyS , , 約約束束條條件件：xyzV , , 實(shí)際問(wèn)題中,目標(biāo)函數(shù)的自變量除了受到定義域的限制外, 往往還受到一些附加條件的約束,這類極值問(wèn)題稱條件極值問(wèn)題. 例8解即表面積最小. ，xyVz 代入目標(biāo)函數(shù),化為無(wú)條件極值問(wèn)題： xyz第20頁(yè)/共43頁(yè)22目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)化化為為：)( 2yVxVxyS , , 0, 0 yx 令令 0)(20)(222yVxSxVySyx, , 求得唯一駐點(diǎn)求得唯一駐點(diǎn)3Vyx , ,從而從而3Vz , , 內(nèi)部唯一駐點(diǎn),且由實(shí)際問(wèn)題S有最大值,故做成立方體表面積最小. 這種做法的缺

10、點(diǎn)： 1.變量之間的平等關(guān)系和對(duì)稱性被破壞； 2.有時(shí)隱函數(shù)顯化困難甚至不可能. 第21頁(yè)/共43頁(yè)23 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點(diǎn)點(diǎn)，解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)的的坐坐標(biāo)標(biāo).拉格朗日乘數(shù)法其其中中 為為參參數(shù)數(shù)， 引入拉格朗日函數(shù)),(),();,(yxyxfyxF 令,0),(0),(),(0),(),( yxFyxyxfFyxyxfFyyyxxx 若這樣的點(diǎn)唯一,由實(shí)際問(wèn)題,可直接確定此即所求的點(diǎn).第22頁(yè)/共43頁(yè)24如如果果目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)是是三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxf, ,且且約

11、約束束條條件件有有兩兩個(gè)個(gè), , 0),( zyxg, ,0),( zyxh, , 則構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為 . ),(),(),(),;,(zyxhzyxgzyxfzyxL 令,0),(0),(),(),(),(0),(),(),(0),(),(),( zyxhzyxgzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzyxhzyxgzyxfzzzyyyxxx 第23頁(yè)/共43頁(yè)25 用鐵皮做一個(gè)有蓋的長(zhǎng)方體水箱,要求容積為V,問(wèn)怎么做用料最省？ 例8目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)：)( 2zxyzxyS , , 約約束束條條件件：xyzV , , 解構(gòu)構(gòu)作作拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) )()( 2Vxyzzxy

12、zxyL , , 令令 VxyzxyyxLxzzxLyzzyLzyx0)(20)(20)(2 , , 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)3Vzyx , , 由實(shí)際問(wèn)題,即為最小值點(diǎn). 設(shè)設(shè)水水箱箱的的長(zhǎng)長(zhǎng)、寬寬、高高分分別別為為zyx, ,則則 xyz第24頁(yè)/共43頁(yè)26 在實(shí)際問(wèn)題中,經(jīng)常要求某多元函數(shù)在已知區(qū)域D內(nèi)的最大值和最小值.根據(jù)實(shí)際情況,我們往往可以判斷最大值或最小值在區(qū)域D的內(nèi)部達(dá)到，若函數(shù)在D內(nèi)僅有一個(gè)駐點(diǎn)，則可以斷定該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn). 第25頁(yè)/共43頁(yè)27在在周周長(zhǎng)長(zhǎng)為為p2的的一一切切三三角角形形中中, ,求求出出面面積積最最大大的的三三角角形形. . 設(shè)設(shè)三三角角形

13、形的的三三條條邊邊長(zhǎng)長(zhǎng)分分別別為為zyx, , 則則面面積積為為 )()(zpypxppS , , 約約束束條條件件: : pzyx2 , , 例9解，)2()()(pzyxzpypxppL解得唯一駐點(diǎn) ，pzyx32 即做成正三角形時(shí)面積最大. 第26頁(yè)/共43頁(yè)28用用一一根根長(zhǎng)長(zhǎng)為為p2的的鐵鐵絲絲做做一一個(gè)個(gè)網(wǎng)網(wǎng)兜兜邊邊框框： 圓圓：2223183. 0/ ppRS , ,最最大大. . 三角形中,以正三角形面積為最大: .1925. 09322pp 四邊形中,以正方形面積為最大： .25. 04122pp 第27頁(yè)/共43頁(yè)29解xyo6 yxD*例10先求函數(shù)在D內(nèi)的駐點(diǎn)， 0)4

14、(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx解方程組 06)268()1 , 2()1 ,2(2 yxyyfAxx4)438()1 , 2()1 ,2(2 xyxxfBxy,82)1 , 2()1 ,2(2 xfCyy,02 ACB,0 A. 4)1 , 2( 是極大值是極大值所以所以 f第28頁(yè)/共43頁(yè)30 xyo6 yxD再再求求),(yxf在在 D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 是是極極大大值值 4)1 ,2( f在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6， 得得 4, 021 xx， ,2|64 xxy,64)2 ,

15、 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值, 64)2 , 4( f為最小值., )6(223xx )2)(6(2 xxz)60( x,0)4(6 xxz, )4(),(2yxyxyxfz 第29頁(yè)/共43頁(yè)31例11解目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù) 414380),(yxyxQ ， 約約束束條條件件 4000002000600 yx, , 或或 2000103 yx, , ，)2000103(804143 yxyxL 第30頁(yè)/共43頁(yè)32由，)2000103(804143 yxyxL 200010301020036043434141yxyxLyxLyx ，3103 yx，yx1

16、0 ,50,500 yx由實(shí)際問(wèn)題，此即最佳分配方案. 第31頁(yè)/共43頁(yè)33設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量21,QQ分別為分別為112 . 024pQ ， 2205. 010pQ ( (21, pp為其價(jià)格為其價(jià)格),),總成本為總成本為 )(403521QQC , ,問(wèn)如何定價(jià)，才能獲取最大利潤(rùn)？問(wèn)如何定價(jià)，才能獲取最大利潤(rùn)？ 解法1),(),(21221121QQCQpQpQQL ,139605. 02 . 01232222121 pppp 01 . 01204 . 0322121pLpLpp,12080 21 pp例12因駐點(diǎn)唯一，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn)， 第32頁(yè)/

17、共43頁(yè)34設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量設(shè)兩種產(chǎn)品的需求量21,QQ分別為分別為112 . 024pQ ， 2205. 010pQ ( (21, pp為其價(jià)格為其價(jià)格),),總成本為總成本為 )(403521QQC , ,問(wèn)如何定價(jià)，才能獲取最大利潤(rùn)？問(wèn)如何定價(jià)，才能獲取最大利潤(rùn)？ 因駐點(diǎn)唯一，且由問(wèn)題的實(shí)際含義可知必有最大利潤(rùn)， 解法2CpQpQQQL 221121),(,3520160580222211 QQQQ0108011 QLQ,8 1 Q04016022 QLQ,4 2 Q212211404035)20200()5120(QQQQQQ ,80 1 p,120 2 p例12第33頁(yè)/共43頁(yè)3

18、5P317 習(xí)題八第34頁(yè)/共43頁(yè)36第35頁(yè)/共43頁(yè)37例 價(jià)格與供給量的觀察數(shù)據(jù)見(jiàn)下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (噸噸) 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110散點(diǎn)圖由圖可以看出，x 與 y 之間存在一定的相關(guān)關(guān)系，且這種關(guān)系是線性關(guān)系.02040608010012005101520第36頁(yè)/共43頁(yè)38,bxay niiibxaybaQ12)(),(達(dá)到最小.上述估計(jì)a,b的方法稱為最小二乘法.LSE (Least Square Estimation)求線性經(jīng)驗(yàn)公式(回歸直線方程)使第37頁(yè)/共43頁(yè)39ba,的求解的求解： niiibxaybaQ12)(),( 0)(20)(211 niiiiniiixbxaybQbxayaQ niniiiiyxbxaxnynbxnna112)( 稱為正規(guī)方程組其中 niiniiynyxnx111,1第38頁(yè)/共43頁(yè)40 niniiiiyxbxaxnynbxnna112)( 系數(shù)行列式 niixxnxnnD