1、平面與平面垂直平面與平面垂直平面與平面垂直平面與平面垂直1 定義：定義：如果兩個相交平面的如果兩個相交平面的交線與第交線與第三個平面垂直三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平，又這兩個平面與第三個平面相交所得的面相交所得的兩條交線互相垂直兩條交線互相垂直，就稱這，就稱這兩個平面互相垂直。兩個平面互相垂直。兩個平面兩個平面，互相垂直互相垂直記作：記作：。兩個平面互相垂直的兩個平面互相垂直的畫法畫法： 畫兩個互相垂直的平面，把直立平面畫兩個互相垂直的平面，把直立平面的豎邊畫成和水平面的橫邊垂直，如圖的豎邊畫成和水平面的橫邊垂直，如圖所示，平面所示，平面和平面和平面垂直，記作：垂直，記作：。 為什么教

2、室的門轉到任何位置時，門所在平面都與地面垂直？探究二：探究二：2 平面與平面垂直的判定定理：平面與平面垂直的判定定理：文字語言：文字語言：如果一個平面過另一個平面的一如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直；條垂線，則這兩個平面互相垂直；圖形語言：圖形語言： BA符號語言：符號語言：ABAB 黑板所在平面與地面垂直，我想在黑板內作一條直線與地面垂直，應該怎么作？探究三：探究三：3平面與平面垂直的性質定理：平面與平面垂直的性質定理：圖形語言：圖形語言： BACD符號語言：符號語言：CDABABABCDI文字語言文字語言：如果兩個平面垂直，那么在一個平面如果兩個平面垂直，那么在一個

3、平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面；內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面；已知：平面已知：平面平面平面，=CD，BA ，BACD，B為垂足，為垂足，求證：求證：BA. C E D B A 證明：在平面證明：在平面內過點內過點B作作BECD，因為因為， 所以所以BABE，又因為又因為BACD，CDBE=B，所以所以BA。例例1已知：平面已知：平面平面平面，在，在與與的交線上取線段的交線上取線段AB=4cm，AC，BD分別在平面分別在平面和平面和平面內，它們都垂內，它們都垂直于交線直于交線AB，并且，并且AC=3cm，BD=12cm，求，求CD的長。的長。 l C D B A 解：連接解

4、：連接BC，因為，因為BDAB，直，直線線AB是兩個互相垂直的平面是兩個互相垂直的平面 和和的交線，的交線，所以所以 BD，BDBC， 所以所以CBD是直角三角形，是直角三角形，在直角在直角BAC中，中，BC= 22345在直角在直角CBD中，中，CD=2251213所以所以CD的長為的長為13cm. 因為平面因為平面ABD和和ACD都過都過AD，所以平面所以平面ABD平面平面BDC，平面平面ACD平面平面BDC；例例2已知已知RtABC中，中，AB=AC=a，AD是斜邊是斜邊BC上的高，上的高，以以AD為折痕使為折痕使BDC成直角，求證：成直角，求證：（1）平面）平面ABD平面平面BDC，

5、平面平面ACD平面平面BDC；（2）BAC=60.證明：（證明：（1）如圖，）如圖，因為因為ADBD， ADDC，所以所以AD平面平面BDC， C D B A D C A B D C A B（2）在原圖中，直角）在原圖中，直角BAC，因為，因為AB=AC=a，所以，所以BC= a， 2所以所以 BD=DC= a， 22BDC是等腰直角三角形。是等腰直角三角形。 所以所以BC= BD= a 2BDC是等腰直角三角形。是等腰直角三角形。 所以所以AB=AC=BC，因此因此BAC=60. PABCO 例例1.如圖，圓如圖，圓O所在一平面所在一平面 ，AB是圓是圓O 的直徑，的直徑，C 是圓周上一點是

6、圓周上一點,且且PA AC, PA AB,求證：求證：平面平面PBC 平面平面PAC 小組合作小組合作：圖中有多少對面面垂直？：圖中有多少對面面垂直？練習題練習題1 下列命題中正確的是（下列命題中正確的是（ ）（A）平面）平面和和分別過兩條互相垂直的直線，則分別過兩條互相垂直的直線，則 （B）若平面）若平面內的一條直線垂直于平面內的一條直線垂直于平面內的兩條平行直線，內的兩條平行直線，則則 （C）若平面）若平面內的一條直線垂直于平面內的一條直線垂直于平面內的兩條相交直線，內的兩條相交直線，則則（D）若平面）若平面內的一條直線垂直于平面內的一條直線垂直于平面內的無數條直線，內的無數條直線，則則C

7、2設兩個平面互相垂直，則（設兩個平面互相垂直，則（ ）（A）一個平面內的任何一條直線都垂直于另一個平面）一個平面內的任何一條直線都垂直于另一個平面 （B）過交線上一點垂直于一個平面的直線必在另一個平面）過交線上一點垂直于一個平面的直線必在另一個平面內內 （C）過交線上一點垂直于交線的直線必垂直于另一個平面）過交線上一點垂直于交線的直線必垂直于另一個平面 （D）分別在兩個平面內的兩條直線互相垂直）分別在兩個平面內的兩條直線互相垂直B3. 如圖所示：四邊形如圖所示：四邊形ABCD是平行四邊形，是平行四邊形， 直線直線SC平面平面ABCD，E是是SA的中點，的中點， F E S D C B A證明：

8、連接證明：連接AC，BD，交點為，交點為F，連接連接EF，EF是是SAC的中位線，的中位線， SC平面平面ABCD， EF平面平面ABCD， 平面平面BDE平面平面ABCD.又又EF 平面平面BDE， EF/SC.求證：平面求證：平面EBD平面平面ABCD.4 在長方體在長方體ABCDA1B1C1D1中，中，AB=BC=3，B1B=4，連接連接B1C，過，過B作作BEB1C，交，交B1C于于F，交，交CC1于于E， 求證：平面求證：平面BDE平面平面A1BCD1。 證明：連接證明：連接AC，ABCDA1B1C1D1是長方體，是長方體， AA1面面ABCD，又又 ABCD是正方形，是正方形， ACBD，又又AC是是A1C在面在面ABCD上的射影，由上的射影，由三垂線定理得三垂線定理得 A1CBD.又又A1B1面面B1BCC1，且，且B1C是是A1C在面在面B1BCC1上的射影，上的射影，BEB1C，又又A1C 面面A1BCD1， 平面平面BDE平面平面A1BCD1. A1CBE，A1C面面BDE， 5. CABDO證明：證明：設設DC中點為中點為O，連結，連結AO,BOAC=AD=2, DAC=60AODC, , DC=2又又BAC= BAD=60 , AB=3ABD ABC ,