1、1第六章第六章 IIR數字濾波器的設計方法數字濾波器的設計方法數字濾波器：是指輸入輸出均為數字信號，通過一定運算關系改變輸入信號所含頻率成分的相對比例或者濾除某些頻率成分的器件。 高精度、穩定、體積小、重量輕、靈敏，不要求阻抗匹配，可實現特殊濾波功能優點：2第六章學習目標第六章學習目標 理解數字濾波器的基本概念 了解最小相位延時系統 理解全通系統的特點及應用 掌握沖激響應不變法 掌握雙線性變換法 了解利用模擬濾波器設計IIR數字濾波器的設計過程 了解利用頻帶變換法設計各種類型數字濾波器的方法3第一節、數字濾波器的基本概念 1、數字濾波器的分類 經典濾波器：現代濾波器：選頻濾波器維納濾波器卡爾曼

2、濾波器自適應濾波器等4按功能分：低通、高通、帶通、帶阻、全通濾波器5按實現的網絡結構或單位抽樣響應分：01( )1MkkkNkkkb zH za z10( )( )NnnH zh n zFIR濾波器N-1階）IIR濾波器N階）62、數字濾波器的設計過程 用一個因果穩定的離散LSI系統的系統函數H(z)逼近此性能指標 按設計任務，確定濾波器性能要求，制定技術指標 利用有限精度算法實現此系統函數：如運算結構、字長的選擇等 實際技術實現：軟件法、硬件法或DSP芯片法73、數字濾波器的技術要求 選頻濾波器的頻率響應：()()()jjjjH eH ee 為幅頻特性：表示信號通過該濾波器后 各頻率成分的衰

3、減情況()jH e 為相頻特性：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況()j8：通帶截止頻率c：阻帶截止頻率st：通帶容限1：阻帶容限2st2()jH e 阻帶：cst 過渡帶：c11()1jH e 通帶：理想濾波器不可實現，只能以實際濾波器逼近9通帶最大衰減：1011()20lg20lg()20lg(1)()ccjjjH eH eH e 阻帶最小衰減：2022()20lg20lg()20lg()ststjjjH eH eH e 其中：0()1jH e當 時，()2/20.707cjH e稱 為3dB通帶截止頻率13dBc10第二節、IIR DF設計方法11一、IIR DF 系統函數II

4、R DF 是一個遞歸型系統，其系統函數：作。性能要求，并能穩定工以使濾波器滿足給定的或零極點確定的設計系統至少有一個不為其中，iiiiiNiiMiiNiiiMiiidcbazHNiazdzCAzazbzH,)(. 0), 1()1 ()1 (1)(111111012二、IIR DF頻率特性 它是由三個參量來表征： 1.幅度平方響應 2.相位響應 3.群延時131.幅度平方響應來進行設計。就可根據幅度平方響應管相位時，當只需要逼近幅度而不jwezjwjwjwjwjwzHzHeHeHeHeHeH)()()()()()()(12 通常我們用的數字濾波器一般屬于選頻濾波器，幅頻特性表示信號通過該濾波器

5、后頻率成分衰減情況。本章主要研究由幅頻特性提出指標的選頻濾波器的設計，即根據幅度平方響應來設計。14由于沖激響應h(n)為實函數，故滿足：)()(jwjweHeH即滿足共軛對稱條件。假設 是H(z)的極點，那么：ijwrez ijwerz1是H(z-1)的極點.又由于H(z)的有理表達式中各系數為實數，因而，零極點必然都以共軛對形式出現，故必有：ijwzre1ijwzer兩極點存在15所以（1H(z)H(z-1)的極點既是共軛的，又是以單位圓鏡像對稱的。（2為了使H(z)成為可實現的系統，故取： 單位圓內的那些極點作為H(z)的極點 單位圓外的那些極點作為H(z-1)的極點H(z)的零點一般不

6、是唯一確定的，可在z平面上的任意位置。（3如果選H(z)H(z-1)在z平面單位圓內的零點作為H(z)的零點，則所得到的是最小相位延時濾波器。16 幅度平方響應2*()()()jjjH eH eHe1()()( )()jjjz eH eH eH z H z 的極點既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的1( )()H z H zRe zIm jz01aa*a*1/aH(z)的極點：單位圓內的極點172.相位響應)(Re)(Imtan)()(Im)(Re)()()(1)()(argjwjwjwjwjwejjweHjjwjweHeHeeHjeHeeHeeHeHjwjw 濾波器的相頻特性反映各頻率成分通

7、過濾波器后在時間上的延時情況。因而，即使兩個濾波器幅頻特性相同，而相頻特性不一樣，對相同的輸入，濾波器輸出的信號波形也是不一樣的。如果對輸出波形有要求，則需要考慮相頻特性的技術指標，例如語音合成，波形傳輸、圖像信號處理等對波形有嚴格的要求，則需要設計線性相位數字濾波器。（放在第七章講）183.群延時 它是濾波器平均延遲的一個度量，定義為相頻特性對角頻率w的一階導數的負值。即：更方便。比用表達，用當只需考慮相頻特性時的線性函數。是即相頻特性，具有線性相位，常數時，當)(arg)()(arg)()()(arg)(jwjwjwjweHwweHDFwdweddweHdw19三、IIR DF 的設計方法

8、 設 計 IIR 數 字 濾 波 器 系 統 函 數 有 兩 種 方 法： 1、間 接 方 法 2、直 接 方 法201、間 接 方 法 由于模擬濾波器設計技術是非常成熟的，歸一化各種模擬低通濾波器的系統函數已有表可查，利用成熟的設計技術，可得到一個間接設計IIR DF的方法，即間接設計方法。 這 種 方 法 通 常 要 先 設 計 一 中 間 濾 波 器 ， 然 后 通 過 映 射 或 頻 率 變 換 完 成 最 終 IIR 數 字 濾 波 器 的 設 計。 這 種 間 接 設 計 方 法中 包 括： (1) 由模 擬濾波器設計數字濾波器 (2) 頻 率 變 換 法分為模擬頻率變換法和數字頻

9、率變換法來設計數字濾波器212、直 接 方 法 直 接 方 法( 計 算 機 輔 助 設 計 法 ) （1在頻域利用幅度平方誤差最小法直接設計IIR數字濾波器。 （2在時域直接設計IIR數字濾波器 此 法 根 據 性 能 指 標 和 一 定 的 逼 近 準 那么， 直 接 利 用 計 算 機 完 成 設 計。22第三節、用模擬濾波器設計IIR數字濾波器 設計思想： s 平面 z 平面模擬系統 數字系統( )( )aHsH z H(z) 的頻率響應要能模仿 Ha(s) 的頻率響應，即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓 因果穩定的 Ha(s) 映射到因果穩定的 H(z) ，即 s 平面的左半

10、平面 Res 0 映射到 z 平面的單位圓內 |z| 123設計方法：- 沖激響應不變法- 階躍響應不變法- 雙線性變換法24第四節、沖激響應不變法( )( )at nTh nh t數字濾波器的單位沖激響應 模仿模擬濾波器的單位沖激響應( )h n( )ah t12akHsjkTT1、變換原理( )( )sTaz eH zHsT抽樣周期( )H z( )aHs2512akHsjkTT( )( )sTaz eH zHs262、混迭失真1()12jkkaaskHjTTH eHjjkT 僅當,()02saHjT 1()jaH eHjTT數字濾波器的頻響在折疊頻率內重現模擬濾波器的頻響而不產生混迭失真

11、：數字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，周期為 2 /T27,sfTTT T ccTT 2ssfTT混迭 實際系統不可能嚴格限帶，都會混迭失真，在 處衰減越快，失真越小/2s 當濾波器的設計指標以數字域頻率 給定時，不能通過提高抽樣頻率來改善混迭現象c283、模擬濾波器的數字化方法1( )NkakkAHsss111kNks TkAez( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )( )( )kNs taakkh tLHsA e u t1( )()()kNs nTakkh nh nTA eu nT1( )kNns TkkA eu n( )( )nnH z

12、h n z01kNns TnknkAez110kNns TkknAez 29 系數相同：kA1( )NkakkAHsss11 ( )1kNks TkAH zez 極點：s 平面 z 平面kssks Tze 穩定性不變：s 平面 z 平面Re0ks1ks Te301()jaH eHjTT11( )1kNks TkTAH zez當T 很小時，數字濾波器增益很大，易溢出，需修正( )()ah nTh nT令：2()jakkH eHjT那么：aHjT312211( )4313aHsssss試用沖激響應不變法，設計IIR數字濾波器例：設模擬濾波器的系統函數為解：據題意，得數字濾波器的系統函數：131(

13、)11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1120.318( )1 0.41770.01831zH zzz設T = 1s，那么321120.318( )1 0.41770.01831zH zzz模擬濾波器的頻率響應：數字濾波器的頻率響應：20.318()1 0.41770.01831jjjjeH eee22()(3)4aHjj 334、優缺點 優點： 缺點：T 保持線性關系： 線性相位模擬濾波器轉變為線性相位數字濾波器 頻率響應混迭 只適用于限帶的低通、帶通濾波器 h(n)完全模仿模擬濾波器的單位

14、抽樣響應時域逼近良好( )ah t34例子2-1設低通DF的3dB帶寬頻率wc=0.2,止帶頻率ws=0.4,在 w=ws處的止帶衰減 20lg|H(ejws)|=-15dB,試用脈沖響應不變法沖激不變法設計一個Butterworth低通DF。解：設計分為4步。（1將數字濾波器的設計指標轉變為模擬濾波器的設計指標。采樣頻率由采樣定理決定，設為fs=20kHz,則采樣間隔為T=1/fs=1/20kHz35例子2-2 對于沖激不變法，頻率變換是線性的。dBAsradsraddBdBjHaeHTTsscsjwssccs15,/108/104315)(lg20)(lg20108102014 . 010

15、4102012 . 0333333且止帶截止頻率為帶寬頻率波器這樣要設計模擬低通濾令帶截止頻率為：模擬濾波器的通帶和止36例子2-3 (2)設計設計Ha(s) 將上述設計指標代入將上述設計指標代入 求出求出N階數階數1221)(153468.2)48lg(2110lg)lg(2110lg23101510)(lg20ssssHadBNNscsjHas數；查表，得歸一化系統函更滿足設計指標。還小處的衰減比此時，取37例子2-4)()()(,3,2, 1 ,0,)()(22)(3232332213202)21(1032233jccjccjccjcjciNjciNiiNccccccessessHaes

16、esesNiessssHassssHass其中極點將其進行因式分解求各代入得去歸一化38例子2-52323,2323)()(21032213200jCCjsHaCesCsCesCsHacccssjccjc其中：由留數法求得：39例子2-6212112111331111533.0241.11306.0001.1333.1534.0112 .0533.0241.1159.12534.011)(1020110412323112323)(1)(),(3232zzzzzzzzzzHTzejzezejzHzeAssAzHDFsHacecTcecTskkkjccjck代入上式得和將可得：即用的由沖激不變法，

17、求已知40例子2-7x(n)0.5341z1z1z1.241-0.5331.59y(n)0.5341z1.241-0.5331z1z-1.0010.306y(n)x(n)2.0并聯型級聯型2111533. 0241. 1159. 12534. 011)(zzzzzH21211533.0241.11306.0001.1333.1534.0112 .0)(zzzzzzH-21.33341第五節、雙線性變換法1、變換原理使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似。沖激響應不變法、階躍響應不變法：時域模仿逼近缺點是產生頻率響應的混疊失真42:, 1:,T T 12Ttg 11sTzeT4311s

18、in2cos2TT1111s Ts Tee1111zsz 11szs12Ttg 1111222222TTjjTTjjeejee11112222TTjjTTjjeesjee 11112222s Ts Ts Ts Teeee1111zz1s Tzejs 11js 12s Te44 為使模擬濾波器某一頻率與數字濾波器的任一頻率有對應關系，引入系數 c12Tc tg 1111zsczcszcs452、變換常數c的選擇12Tc tg 2cT2某一特定頻率嚴格相對應：cc 122cccTc tgc tg 2cccctg 1 1低頻處有較確切的對應關系：特定頻率處頻率響應嚴格相等，可以較準確地控制截止頻率位

19、置12Tc463、逼近情況2222()()czc01z1111112jjzesccjc tgjze 1）s平面虛軸z平面單位圓cscjzcscj 2）01z01z左半平面單位圓內s平面z平面右半平面單位圓外虛軸單位圓上jze令474、優缺點 優點：2c tg 00 避免了頻率響應的混迭現象s 平面與 z 平面為單值變換00 48 缺點： 除了零頻率附近， 與 之間嚴重非線性11/T 11112 tgc2要求模擬濾波器的幅頻響應為分段常數型，不然會產生畸變1線性相位模擬濾波器 非線性相位數字濾波器分段常數型模擬濾波器經變換后仍為分段常數型數字濾波器，但臨界頻率點產生畸變495、預畸變給定數字濾波

20、器的截止頻率 ，那么1112c tg 按 設計模擬濾波器，經雙線性變換后，即可得到 為截止頻率的數字濾波器11506、模擬濾波器的數字化方法1111111( )( )1aazs czzH zHsHcz51可分解成級聯的低階子系統可分解成并聯的低階子系統1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其中：12( )( )( )( )maaaaHsHs HsHs12( )( )( )( )mH zH z HzHz12( )( )( )( )maaaaHsHsHsHs12( )( )( )( )mH zH zHzHz1111( )( ) 1,2,.,iiazs czH zHsim其

21、中：52第六節、最小與最大相位延時系統、最小與最大相位超前系統LSI系統的系統函數：1()11111(1)()( )(1)()MMmmN MmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeed頻率響應：53 模：11()MjjmmNjkkecH eKed各零矢量模的連乘積各極矢量模的連乘積11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMK 相角：5402 ,2當2位于單位圓內的零/極矢量角度變化為位于單位圓外的零/極矢量角度變化為 0Re zIm jz011()argargarg

22、 ()jMNjjmkmkH eecedNMK55iommMioppN令：單位圓內零點數為mi單位圓外的零點數為mo單位圓內的極點數為pi單位圓外的極點數為po2()arg2 ()22jiiH eNMmpK那么：11()argargarg ()jMNjjmkmkH eecedNMK56全部極點在單位圓內：po = 0，pi = N 因果穩定系統2()arg222 ()jiiH empNMK22imM1全部零點在單位圓內：,0iomM marg02全部零點在單位圓外：0,iommMarg2 M 20om 為最小相位延時系統為最大相位延時系統, 1 zr rn 0時，h(n) = 058最小相位延時

23、系統的性質1在 相同的系統中，具有最小的相位滯后()jH e2最小相位延時系統的能量集中在 n = 0 附近， 而總能量相同5級聯一個全通系統，可以將一最小相位系統 轉變成一相同幅度響應的非最小相位延時系統4在 相同的系統中， 唯一()jH emin( )hn3最小相位序列的 最大：min(0)hmin(0)(0)hh22min00( )( )mmnnh nhn1mN1122min00( )( )NNnnh nhn59第七節、全通系統對所有 ，滿足：()1japHe稱該系統為全通系統60 一階全通系統：11( )1apzaHzaaz為實數01aza極點：1/za零點：零極點以單位圓為鏡像對稱z

24、a極點：1*1( )1apzaHzaaz為復數01a*1/za零點：61 實系數二階全通系統1*111( )11*apzazaHzaza z1a 兩個零點極點共軛對稱*zaa ，極點：*1/zaa，1/零點：零點與極點以單位圓為鏡像對稱62 N 階數字全通濾波器1*11( )1NkkkzaH za z 1(1)111(1)11.1.NNNNNNNNddzd zzd zdzd z 1()( )NzD zD z 極點： 的根( )D z 1jpzrer零點： 的根1()D z1 1jozerr63 全通系統的應用min( )( )( )apH zHzHz1任一因果穩定系統H(z)都可以表示成全通系統 Hap(z)和最小相位系統Hmin(z)的級聯11*100( )( )()()H zH z zzzz令：其中：H1(z)為最小相位延時系統， 為單位圓外的一對共軛零點*0001/ 1zzz ，1/ ，64*1111*00100*110011( )( )11z zz zH zH zzzzzz zz z11*1100100*1100( ) 1111zzzzH zz zz zz zz zmin( )( )apHz