1、向量的加法運算向量的加法運算 臺北臺北香港香港上海上海從運動的合成看向量運算在大陸和臺灣沒有直航之前，臺灣同胞要到上海在大陸和臺灣沒有直航之前，臺灣同胞要到上海探親，得乘飛機要先從臺北到香港，再從香港到探親，得乘飛機要先從臺北到香港，再從香港到上海，那么這兩次位移之和是什么？上海，那么這兩次位移之和是什么？ ABC位移位移ABBCAC+= F1F2FEOOEF1+F2=F從力的合成看向量運算橡皮條在力橡皮條在力F1與與F2的作用下，從的作用下，從E點伸長到了點伸長到了O點；點；同時橡皮條在力同時橡皮條在力F的作用下也從的作用下也從E點伸長到了點伸長到了O點點.問問:合力合力F與力與力F1、F2

2、有怎樣的關系？有怎樣的關系？F1F2FF是以是以F1與與F2為鄰邊所形成的為鄰邊所形成的平行四邊形的對角線平行四邊形的對角線ABC向量的加法運算運動的合成運動的合成力的合成力的合成ABBCAC+= F1F2FF1 + F2 = F 數的加法啟發我們，從運算的角度看，數的加法啟發我們，從運算的角度看， AC可以認為可以認為是是AB與與BC的和，的和，F可以認為是可以認為是F1與與F2的和，即位移、力的的和，即位移、力的合成可以看作向量的加法。合成可以看作向量的加法。向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法向量的加法法則向量的加法法則：三角形法則

3、、平行四邊形法則：三角形法則、平行四邊形法則aboABC力的合成可以看作向量加法的力的合成可以看作向量加法的平行四邊形法則的物理模型平行四邊形法則的物理模型baba求作向量求作向量已知向量已知向量,CABbaACbBCaABA則則向向量量作作在在平平面面內內任任取取一一點點作作法法：,.21向量加法法則ababba ba 位移的合成可以看作向量位移的合成可以看作向量加法三角形法則的物理模型加法三角形法則的物理模型baOCbOBaOAO則向量則向量作作在平面內任取一點在平面內任取一點作法：作法：,.21向量加法法則總結與拓展向量加法的三角形法則向量加法的三角形法則:1.將向量平移使得它們將向量平

4、移使得它們2.和向量即是第一個向量的首指向第二個向量的尾和向量即是第一個向量的首指向第二個向量的尾向量加法的平行四邊形法則向量加法的平行四邊形法則:1.將向量平移到將向量平移到2.和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點的和向量即以它們作為鄰邊平行四邊形的共起點的對角線對角線三角形法則推廣為多邊形法則：三角形法則推廣為多邊形法則：探究一：當向量共線時，如何相加？ACab=+ ABC(1)同向同向(2)反向反向ababABCACab=+ aaa00規定：規定：探究二：向量的加法是否具備交換律和結合律？數的加法滿足交換律與結合律，即對任意數的加法滿足交換律與結合律，即對任意a，bR，有有a+b=b

5、+a， (a+b)+c=a+(b+c)向量的加法具備嗎？你能否畫圖解釋？向量的加法具備嗎？你能否畫圖解釋？abba()a bcabc ( + )+向量加法滿足交換律和結合律：向量加法滿足交換律和結合律：以上兩個運算律可以以上兩個運算律可以推廣推廣到任意多個向量到任意多個向量. .課本例題課本例題長江兩岸之間沒有大橋的地方長江兩岸之間沒有大橋的地方,常常通過輪渡常常通過輪渡進行運輸進行運輸.一艘船從長江南岸一艘船從長江南岸A點出發點出發,以以5km/h的速度向的速度向垂直于對岸的方向行駛垂直于對岸的方向行駛,同時江水的速度為向東同時江水的速度為向東2km/h.(1) 用向量表示江水速度、船速、船

6、實際航行的速度；用向量表示江水速度、船速、船實際航行的速度；(2)求船實際航行的速度的大小和方向求船實際航行的速度的大小和方向.類似題類似題某人在靜水中游泳速度為某人在靜水中游泳速度為 千米千米/小時，他在小時，他在水流速度為水流速度為4千米千米/小時的河中游泳，必須朝哪個方向游，小時的河中游泳，必須朝哪個方向游，才能沿與水流垂直的方向向前進？實際前進的速度為多才能沿與水流垂直的方向向前進？實際前進的速度為多少？少？練習：化簡練習：化簡_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA(3)_ABBDCADC 24.,)()(,)(;)()(._,的的方方向向相相同同與與則則反反向向，且且，若

7、若向向量量相相等等；與與均均為為非非零零向向量量，則則，若若；為為一一個個三三角角形形的的三三頂頂點點，則則若若中中，必必有有之之一一的的方方向向相相同同；，必必和和的的方方向向么么的的方方向向相相同同或或相相反反，那那與與若若非非零零向向量量正正確確的的個個數數有有下下列列命命題題中中ababababababaCBACABCABCABCABABCbababa5403021完成課本完成課本84頁練習頁練習向量的減法運算向量的減法運算預備知識：相反向量類比實數的相反數的概率，定義相反向量：類比實數的相反數的概率，定義相反向量：與與a長度長度相等，相等，方向相反方向相反的向量，的向量， 叫做叫做a

8、的相反向的相反向量，記作量，記作 ; - -a與與a互為相反向量互為相反向量規定：零向量的相反向量仍是零向量規定：零向量的相反向量仍是零向量所以所以: 1、- -(- -a)=a；2、a+(- -a)=(- -a)+a=0； 3、a=- -b，b=- -a，a+b=0向量的減法：向量的減法：a- -b=a+(- -b)，即減去一個向量相當于，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量加上這個向量的相反向量向量減法法則要點要點:1.平移到平移到；2.被減向量被減向量.abb)( babaabABOababbaabABOab.,baBAbOBaOAO則則作作點點作法：在平面內任取一作法：在平面內任

9、取一探究三：當向量共線時，如何相減？(1)同向同向(2)反向反向bababa baba探究四：平行四邊形法則的兩條對角線ADCBabbaABADBDbaAC探究五：向量的三角形不等式的大小關系如何？的大小關系如何？、與與問題一：問題一：babababababa號何時成立？號何時成立？問題二：上述不等式等問題二：上述不等式等，是否有類似的結論？，是否有類似的結論？問題三：對于實數問題三：對于實數ba,探究六：向量加減法與平行四邊形形狀？互相垂直？互相垂直？與與滿足什么條件時，有滿足什么條件時，有當非零不共線向量當非零不共線向量bababababa)()(,21菱菱形形ba矩形矩形ba OMBOM

10、BABBDACCDABDCADABcbacbacbacbacACbBCaABABCDcbacbacba)()( ;)(.)()(,.,.321321121化化簡簡：，并并計計算算求求作作向向量量，并并計計算算求求作作向向量量，設設邊邊長長為為正正方方形形和和作作出出向向量量隨隨意意畫畫三三個個互互不不共共線線的的完成課本完成課本87頁練習頁練習向量數乘運算向量數乘運算aaaABCOaaaa3BCABOAOC記記作作aaaaMNQMPQPN3記記作作)()()(a-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同的方向相同與與aaaa333的方向相反的方向相反與與義嗎？義嗎？你能說明它們的幾何意你能說

11、明它們的幾何意和和作出作出已知非零向量已知非零向量),()()(,aaaaaaa向量的數乘運算的定義.)(;)(.000021aaaaaaaaa 時，時，當當的方向相反；的方向相反；的方向與的方向與時，時，當當的方向相同；的方向相同；的方向與的方向與時，時，當當如下：如下：，它的長度和方向規定，它的長度和方向規定記作記作運算叫向量的數乘運算叫向量的數乘的積是一個向量，這種的積是一個向量，這種與向量與向量實數實數你能說出向量數乘運算的幾何意義嗎？.)()(的方向的方向量量的符號表示是否改變向的符號表示是否改變向伸長或縮短；伸長或縮短；的長度的長度可視為將向量可視為將向量幾何意義：幾何意義：aaa

12、 21數乘向量運算律向量的加、減、數乘運算統稱向量的向量的加、減、數乘運算統稱向量的.)()()(律律推推廣廣出出數數乘乘向向量量的的運運算算呢呢？與與有有什什么么關關系系？和和思思考考：babaaa22226231.)()(;)(;)()()(babaaaaaa 321是實數，是實數，bababa212121 ),（恒恒有有，以以及及任任意意實實數數對對于于任任意意向向量量第一分配律第二分配律數乘結合律1.如何證明？2.如何解釋運算律的幾何意義，尤其是(3)？概念辨析.)()( ;)(;,)(,)(,)()()(_.)(,)()()(._,.aaaanmanamanmbabmambambab

13、ababaaababaabbaaaaaba 765403002001203252525211則則，若若和和向向量量對對于于實實數數；則則，若若和和向向量量對對于于實實數數同同向向；與與則則滿滿足足若若非非零零向向量量；，則則若若；，則則若若下下列列說說法法正正確確的的個個數數是是不不共共線線；與與不不共共線線，則則若若）是是一一對對相相反反向向量量；（與與；的的模模的的的的模模是是的的方方向向相相反反，且且的的方方向向與與下下列列說說法法正正確確的的有有是是兩兩個個非非零零向向量量已已知知線性運算練習.,.,)()()(.,.)()(.)()( ;)()()(;)(.yxbyxayxbaxba

14、xaxaxabbabajibjiababbacbacbaababaa，求求且且已知已知求求已知已知求求設向量設向量化簡化簡計算：計算：課本例題課本例題325504223423231223376413134322233232324311完成課本完成課本90頁練習頁練習25共線定理定理的應用：定理的應用：證明證明 向量共線向量共線證明證明 三點共線三點共線:證明證明 兩直線平行兩直線平行:?abbabaabba 實實數數，使使得得個個共共線線，那那么么是是否否存存在在一一和和：如如果果向向量量問問題題是是否否共共線線？和和，那那么么向向量量：如如果果問問題題，以以及及實實數數和和對對于于向向量量2

15、1abRbaaabbaa ，使使得得存存在在唯唯一一即即，使使得得一一個個實實數數共共線線，當當且且僅僅當當有有唯唯一一與與向向量量/)()(00三點共線三點共線CBABCAB, CDABCDABCDABCDAB/,/不在同一條直線上不在同一條直線上 .,三三點點的的位位置置關關系系判判斷斷，作作已已知知任任意意兩兩個個非非零零向向量量課課本本例例題題ABCbaOCbaOBbaOAba321.,的的值值共共線線，確確定定實實數數和和不不共共線線，欲欲使使和和已已知知非非零零向向量量逆逆向向使使用用三三點點共共線線證證明明：不不共共線線，如如果果和和已已知知非非零零向向量量類類似似題題kekee

16、ekeeABDeeCDeeBCeeABee212121212121212382abABCOab2b3b.,.,.,.CDBCeeeALeAKLKCDBCABCDDCOCbabOBaOAEOADCOBDBDOBBAACCBAAOBMDMCMBMAbabADaABMABCD表示表示，試用，試用，且，且的中點分別為的中點分別為的邊的邊如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形類似題類似題表示表示，試用試用，設，設交于點交于點與與，使，使上取點上取點，在，在使使，到到中，延長中，延長如圖，在如圖，在類似題類似題表示表示，用，用，且，且的兩條對角線相交于點的兩條對角線相交于點如圖，平行四邊形如圖，平行四邊形課本例

17、題課本例題212123113探究：.),(OCOBOARtABtACOBOA表表示示和和試試用用不不共共線線，和和問問題題：已已知知嗎嗎？時時，你你知知道道其其幾幾何何意意義義當當特特例例：對對于于211tOBtOAtOC,)(2OBOAOCABC中中點點，則則為為中中點點公公式式向向量量表表示示法法：的的值值有有什什么么關關系系？三三點點共共線線與與一一般般地地：對對于于 ,CBAOBOAOCOBOAOCCBA 使使得得，且且存存在在實實數數三三點點共共線線1,探究：？在三角形內的什么位置在三角形內的什么位置，則，則內一點，若內一點，若是是是不共線的三點，是不共線的三點，問題：問題：GGCGBGAABCGCBA0,)(內內在在重重心心是是ABCGGCGBGAABCG0OCOBOAOGGOABCG31則則的任意一點，的任意一點，為平面內不同于為平面內不同于重心重心是是,有有什什么么關關系系？與與的的重重心心，則則為為中中點點，則則為為線線段段類類比比：OCOBOAOGABCGOBOAOCABC,2證明幾