1、線(xiàn)性代數(shù)方程組的數(shù)值解化學(xué)化工中,用線(xiàn)性代數(shù)方法描述復(fù)雜的化學(xué)反應(yīng)、定義多原子和多分子體系的線(xiàn)性空間、計(jì)算各種物質(zhì)的物理化學(xué)性質(zhì)的加和方法、物料衡算和熱量衡算、確定反應(yīng)體系的獨(dú)立反應(yīng)數(shù)、化工量綱分析中確定獨(dú)立變量數(shù)以及某些分析化學(xué)計(jì)算等,都常常要運(yùn)用線(xiàn)性代數(shù)方程組的計(jì)算。線(xiàn)性代數(shù)方程組的解法大體上可分為兩大類(lèi),即迭代法與直接法。所謂迭代法是將方程組寫(xiě)成迭代形式,由給定的一組初值,代入迭代方程組,通過(guò)多次迭代來(lái)得到一個(gè)可逼近方程組真實(shí)解的近似解。它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單,編制程序較容易;其缺點(diǎn)是要求方程組的系數(shù)矩陣具有某種特殊性質(zhì)(如具有主對(duì)角線(xiàn)占優(yōu)),否則不收斂或收斂很慢,使計(jì)算量很大,失去使用意義

2、。直接法又稱(chēng)精確法,由于運(yùn)算過(guò)程中有舍入誤差,實(shí)際上所求得的解是近似解。它的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算量較小,在機(jī)器的內(nèi)存容量等許可的情況下,求解線(xiàn)性方程組以采用直接法為多。5.1解線(xiàn)性代數(shù)方程組的迭代法設(shè)有線(xiàn)性代數(shù)方程組其矩陣形式為:式中,A=(aij)nn為系數(shù)矩陣;X=(x1,x2,xn)T為n維向量;B=(b1,b2,bn)T為等式右端常數(shù)向量。現(xiàn)討論其迭代法求解方法。5.1.1簡(jiǎn)單迭代法對(duì)于線(xiàn)性方程組AX=B,即若A為非奇異矩陣,且aii0(i=1,2,n),則可將其轉(zhuǎn)化為下列等價(jià)方程組:若對(duì)式(5-3)實(shí)施迭代法,則其迭代格式為令cij=,di=,則上式變?yōu)檫@種迭代法又稱(chēng)為雅可比(Jacobi)迭

3、代法。如果存在,則稱(chēng)迭代式是收斂的,這時(shí)極限值(i=1,2,n)就是線(xiàn)性方程組的解。下面來(lái)討論其迭代收斂的條件。方程組的精確解與第k+1次迭代近似值之差為k+1次迭代近似值的誤差為于是由式(5-6)有式中由式(5-7)可得由此可見(jiàn),如果LEAndIDIDMPrintFormat$(ID,00);ForJ=1ToNPrintFormat$(X(J),0.00000);NextJ:PrintR=0:ID=ID+1ForI=1ToNT=X(I):S=B(I)ForJ=1ToNIfJIThenS=S-A(I,J)*X(J)EndIfNextJX(I)=S/A(I,I)IfAbs(X(I)-T)RThe

4、nR=Abs(X(I)-T)EndIfNextILoopEndSub執(zhí)行結(jié)果:*RESULTS*RESULTS*源程序中賽德?tīng)柕ㄓ?jì)算采用子程序SEIDEL,變量ID為迭代次數(shù),其他變量的含義與圖5-1相同。采用賽德?tīng)柕ㄇ蠼饩€(xiàn)性方程組時(shí),最好首先判斷方程組的系數(shù)矩陣A是否滿(mǎn)足迭代收斂條件,即式(5-12)。如不滿(mǎn)足迭代收斂條件,就必須對(duì)方程組進(jìn)行重新組合。例5-2用SEIDEL迭代法解方程組:解因?yàn)榉匠探M的系數(shù)矩陣不屬于嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,所以需要進(jìn)行重新組合處理。由第一方程的二倍加上第二方程得:再由第一方程加上第二方程,加第三方程的10倍得:由此得出的下列方程組,與原方程組同解。可見(jiàn)上述

5、新方程組滿(mǎn)足收斂條件式(5-12)。將上例中主程序的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)修改為本例數(shù)據(jù),即可進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算結(jié)果表明:取E=0.00001,初值均為0,經(jīng)過(guò)18次迭代后,得出此外,計(jì)算表明直接應(yīng)用原方程組系數(shù)和常數(shù)項(xiàng),同樣初始條件下,經(jīng)過(guò)45次迭代后,仍可得出可見(jiàn)原方程組經(jīng)過(guò)處理后迭代次數(shù)大大減少,且解的精度稍有提高。5.2解線(xiàn)性代數(shù)方程組的消元法消元法是求解線(xiàn)性方程組常用的一種直接方法。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可以預(yù)先估計(jì)計(jì)算的工作量,并且根據(jù)消元法的基本原理,可以得到有關(guān)矩陣運(yùn)算的一些方法,故其應(yīng)用很廣泛。5.2.1消元法消元法亦稱(chēng)高斯消去法,其基本思想是通過(guò)線(xiàn)性變換將原線(xiàn)性方程組轉(zhuǎn)化為三角形方程組(消元)

6、,然后再進(jìn)行求解(回代)。消元法分為消元和回代兩個(gè)過(guò)程。下面以一個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例說(shuō)明消元法的基本思想。考慮三階方程組:5.2.1.1消元過(guò)程所謂消元,是指逐步減少方程式中變量的數(shù)目。為此將一個(gè)方程式乘以(或除以)某個(gè)常數(shù),然后在方程式之間作加減運(yùn)算。消元過(guò)程的第一步是第1個(gè)方程不動(dòng);確定第2、3個(gè)方程的乘數(shù),即將第2、3個(gè)方程x1項(xiàng)系數(shù)除以第1個(gè)方程x1項(xiàng)系數(shù),得到乘數(shù)用第2、3個(gè)方程分別減去其乘數(shù)m21、m31,再乘以第1個(gè)方程后得到新的方程。這樣就消去了第2、3個(gè)方程的x1項(xiàng),于是有等價(jià)方程組消元過(guò)程的第二步是第1、2方程不動(dòng);確定第3個(gè)方程的乘數(shù),即將第3個(gè)方程x2項(xiàng)系數(shù)除以第2個(gè)方程x2項(xiàng)系

7、數(shù),得到乘數(shù)用第3個(gè)方程減去其乘數(shù)m32乘以第2個(gè)方程后得到新的方程。這樣就消去了第3個(gè)方程的x2項(xiàng),于是有等價(jià)方程組這樣,上述三階線(xiàn)性方程組經(jīng)過(guò)兩次消元過(guò)程把原方程組化為上三角形方程組,即系數(shù)矩陣是上三角形矩陣。顯然,n階線(xiàn)性方程組化為上三角形方程組需要n-1次消元過(guò)程。注意消元過(guò)程中利用了這樣兩條運(yùn)算規(guī)則:某方程各項(xiàng)除或乘同一非零數(shù)所得方程組與原方程組等價(jià);某方程與另一方程相加或相減所得方程組與原方程組等價(jià)。5.2.1.2回代過(guò)程回代過(guò)程是將上三角形方程組自下而上逐步進(jìn)行求解,從而得出以此類(lèi)推,n階線(xiàn)性方程組AX=B,即其消元法的計(jì)算公式和步驟可歸納如下。(1)消元過(guò)程設(shè)0,對(duì)k=1,2,

8、n-1(k表示消元過(guò)程的次序)計(jì)算圖5-2消元法通用計(jì)算程序框圖經(jīng)過(guò)n-1次消元后可得到上三角形方程組如下:(2)回代過(guò)程可以證明,對(duì)于線(xiàn)性方程組AX=B,如A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣即滿(mǎn)足式(5-12),則用消元法求解時(shí)全不為零。因此在使用消元法求解線(xiàn)性方程組時(shí),系數(shù)矩陣最好是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,防止出現(xiàn)為零現(xiàn)象。根據(jù)以上討論,可確定出消元法的通用計(jì)算程序框圖,如圖5-2所示,包括數(shù)據(jù)輸入、選主元(調(diào)用子程序,用于主元消去法)、消元和回代四部分。其中主要變量的含義如下。N線(xiàn)性方程組的變量個(gè)數(shù)A、B二維數(shù)組和一維數(shù)組,分別存放線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣(NN)和常數(shù)項(xiàng)。由于回代過(guò)程中只用到三角形方程組中的系

9、數(shù)和常數(shù),其他系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)不必保留。因此,新舊系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)可以用同一存儲(chǔ)單元。每次消元后單元中的舊值即被新值代替X一維數(shù)組,存放線(xiàn)性方程組的解5.2.2列主元消去法5.2.2.1方法概述前面介紹的消元法是按照給定的自然順序,即按x1,x2,xn的順序逐個(gè)消元的。第一步消x1時(shí)取第一個(gè)方程作為保留方程,并利用它和其余方程作線(xiàn)性組合來(lái)消去它們所含的x1。為敘述方便,把保留的方程和相應(yīng)的系數(shù)叫做第一步的主方程和主行,并且把x1在主行中的系數(shù)a11叫做第一步的主元素。在第k步消xk時(shí)用方程作為保留方程并用它和以下各方程(第k+1、k+2、n個(gè))作線(xiàn)性組合消去它們所含的變?cè)獂k,將第k步消xk時(shí)用的方程

10、及其系數(shù)分別叫做第k步的主方程和主行,而xk的系數(shù)叫做第k步的主元素。在消元過(guò)程中,若主元素為零,則因?yàn)榱悴荒茏鳛榉帜?故計(jì)算程序?qū)⒃谟龅搅阍貢r(shí)中止執(zhí)行。此外,若雖不為零,但其絕對(duì)值極小時(shí),作為分母參加運(yùn)算會(huì)引起較大誤差。為了避免發(fā)生這類(lèi)情況,消元之前應(yīng)對(duì)方程組的首行或首列元素進(jìn)行檢查,并將其中絕對(duì)值最大者調(diào)整到首行或首列。這種方法,稱(chēng)為主元素消去法。根據(jù)誤差分析,若選取主元素的絕對(duì)值最大的方程作為主方程,則所得的解的誤差最小。選取主元素的方法有三種。第k步消元前,遍查第k行的以下(包括)的各元素,并找出其中絕對(duì)值最大者作為主元素,然后將主元素及其所在列的其他元素與第k列各對(duì)應(yīng)元素互換位置(

11、注意:列交換時(shí)也改變了相應(yīng)的解向量中分量的次序)。這種選取主元素的方法,稱(chēng)為行主元法。第k步消元前,遍查第k列的以下(包括)的各元素,并找出其中絕對(duì)值最大者作為主元素,然后將主元素及其所在行的其他元素與第k行各對(duì)應(yīng)元素互換位置。這種選取主元素的方法,稱(chēng)為列主元法。第k步消元前,遍查第k行及第k列的以下(包括)的各元素(n-k+1階子矩陣),并找出其中絕對(duì)值最大者作為主元素,然后將主元素及其所在行和列的其他元素與第k行和列各對(duì)應(yīng)元素互換位置。這種選取主元素的方法,稱(chēng)為全主元法。5.2.2.2程序框圖圖5-3選列主元和換行的通用計(jì)算子程序框圖現(xiàn)以列主元消去法為例,說(shuō)明程序的編制方法。由前述可知,列

12、主元消去法與消元法不同之處在于:前者比后者多一個(gè)選主元和換行的過(guò)程。圖5-3為選列主元和換行的程序框圖,將它作圖5-2消元法程序框圖的子程序,便構(gòu)成了一個(gè)完整的列主元消去法的計(jì)算程序框圖。對(duì)圖5-3應(yīng)作如下說(shuō)明。框圖中的主要變量:K消元的次序AM主元素的絕對(duì)值MM主元素所在行數(shù)選定列主元后,若主元素位于方程組的第一行第一列,且其值為零,則說(shuō)明方程組的第一列各系數(shù)均為零。這時(shí),此方程組無(wú)解,或有無(wú)窮個(gè)解。顯然,這是一個(gè)奇異方程組。若主元素不位于方程組的第一行,則選定主元素后,還需換行,即方程組第一行的各元素與主元素所在行的各對(duì)應(yīng)元素一一交換位置。這種交換,在計(jì)算機(jī)內(nèi)部的反映,是交換兩個(gè)內(nèi)存單元中

13、的數(shù)值,其方法是:先將單元A的數(shù)值賦予C,然后將單元B的數(shù)值賦予A,最后再將單元C的數(shù)值賦予B,從而完成了單元A和單元B之間的數(shù)值交換。5.2.2.3計(jì)算實(shí)例例5-3試用列主元消去法求解如下線(xiàn)性方程組:解按圖5-2和圖5-3編寫(xiě)源程序,其中將消元法計(jì)算也安排在子程序XYF中(注意本例子程序XYF中自變量數(shù)組序號(hào)從1到m,而例4-6的子程序XYF0中自變量數(shù)組序號(hào)從0到m)。源程序:*Example5-3-Eg5-3.frm*DefDblA-H,O-ZPrivateSubCommand1_Click()DimX(50),A(50,50),B(50)DimABAsVariantClsN=4AB=A

14、rray(1.1161,0.1254,0.1397,0.149,1.5471,_0.1582,1.1675,0.1768,0.1871,1.6471,_0.1968,0.2071,1.2168,0.2271,1.7471,_0.2368,0.2471,0.2568,1.2671,1.8471)K=0ForI=1ToNForJ=1ToNA(I,J)=AB(K):K=K+1NextJB(I)=AB(K):K=K+1NextIPrintTab(4);*DATA*PrintA(1-;N;)BForI=1ToNForJ=1ToNPrintFormat$(A(I,J),0.0000);NextJPrint

15、Format$(B(I),0.0000)NextIPrintCallXYF(A(),B(),N,X()PrintTab(4);*Result*PrintXForI=1ToNPrintFormat$(X(I),0.0000)NextIPrintEndSub*SubXYF(A(),B(),N,X()*ForK=1ToN-1-CallXLZY(A(),B(),K,N)-ForI=K+1ToNForJ=K+1ToNA(I,J)=A(I,J)-A(K,J)*A(I,K)/A(K,K)NextJB(I)=B(I)-B(K)*A(I,K)/A(K,K)NextINextK-X(N)=B(N)/A(N,N)F

16、orK=N-1To1Step-1AM=0ForI=NToK+1Step-1AM=AM+A(K,I)*X(I)NextIX(K)=(B(K)-AM)/A(K,K)NextKEndSub*SubXLZY(A(),B(),K,N)*AM=Abs(A(K,K):MM=KForI=K+1ToNIfAMAbs(A(I,K)ThenAM=Abs(A(I,K):MM=IEndIfNextI-IfMMKThenForJ=KToNAA=A(K,J)A(K,J)=A(MM,J)A(MM,J)=AANextJBB=B(K)B(K)=B(MM)B(MM)=BBElseIfAM=0ThenPrint*:Stop:EndE

17、ndIfEndIfEndSub執(zhí)行結(jié)果:例5-4根據(jù)分光光度法測(cè)得的下列數(shù)據(jù),確定五組分混合溶液中各組分的摩爾濃度。設(shè)體系服從朗伯-比耳定律,光徑長(zhǎng)度為1單位,并假定溶劑不吸收該波長(zhǎng)的光。解分光光度法可在不分離的情況下進(jìn)行多組分混合物分析。若混合物中各組分的吸收帶互相重疊(本例就屬于此種情況),只要它們符合朗伯-比耳定律,則對(duì)n種組分,可以在n個(gè)適當(dāng)波長(zhǎng)下,進(jìn)行n次吸光度測(cè)量,然后解n元線(xiàn)性方程組,求算每種組分的濃度。根據(jù)朗伯-比耳定律:A=abc其中,A為吸光度;a為吸光系數(shù);b為液層厚度;c為濃度。按題意有AiT=aijcj式中,AiT為在波長(zhǎng)i時(shí)的總吸光度;aij為在波長(zhǎng)i時(shí)第j組分的摩

18、爾吸光系數(shù);cj為混合物中第j組分的摩爾濃度。由此列出線(xiàn)性方程組:利用例5-3的源程序進(jìn)行計(jì)算,得到混合物中各組分的摩爾濃度分別為x1=9.233204510-4,x2=15.142606010-4,x3=19.816438610-4x4=17.127296410-4,x5=6.986624310-4例5-5以天然氣為原料合成氨時(shí),要進(jìn)行甲烷與水蒸氣的轉(zhuǎn)化反應(yīng)。反應(yīng)物是CH4、H2O和O2,產(chǎn)物有H2、CO、CO2和C。反應(yīng)體系包括如下反應(yīng)式:CH4+H2OCO+3H22CO+O22CO2CO+H2OCO2+H2CH4C+2H2CH4+2H2OCO2+4H2CO+H2C+H2OCH4+2O22

19、H2O+CO22COC+CO2試用矩陣求秩法確定上述反應(yīng)體系的獨(dú)立反應(yīng)數(shù)。解以上反應(yīng)并非都是獨(dú)立的。確定獨(dú)立反應(yīng)數(shù)有多種方法,矩陣法是其中一種比較簡(jiǎn)單而有效的方法。這種方法是將反應(yīng)式視為代數(shù)方程式,把參加反應(yīng)的物質(zhì)視為變量,化學(xué)反應(yīng)計(jì)量系數(shù)則被看成代數(shù)方程式中的系數(shù)(其中反應(yīng)物的系數(shù)為負(fù),產(chǎn)物的系數(shù)為正)。于是,可以組成一個(gè)系數(shù)矩陣。圖5-4是矩陣求秩的通用計(jì)算程序框圖。對(duì)框圖作如下說(shuō)明。圖5-4矩陣求秩的通用計(jì)算程序該程序框圖適用于求任意mn階矩陣的秩。化零部分與消元法類(lèi)似。為了減少計(jì)算誤差,采用全主元消去法,即第k次消元前,在n-k+1階子矩陣中確定主元素,經(jīng)列交換和行交換,最后再進(jìn)行消元

20、化零。選全主元及行列交換如圖5-5所示。由于舍入誤差的影響,經(jīng)消元后,本應(yīng)為零的元素,可能變?yōu)橐粋€(gè)不為零而絕對(duì)值又很小的值,使檢驗(yàn)發(fā)生誤判。為了避免這種錯(cuò)誤,在檢驗(yàn)時(shí)可以規(guī)定一個(gè)很小的值,例如10-4,為判斷的依據(jù),以保證求秩結(jié)果的正確性。程序框圖中的主要變量:N矩陣行數(shù)圖5-5選全主元及行列交換的通用計(jì)算子程序M矩陣列數(shù)A二維數(shù)組變量,用于存放矩陣各元素R矩陣的秩按框圖5-4和圖5-5編寫(xiě)矩陣求秩的通用計(jì)算程序,利用該程序,計(jì)算上述87階計(jì)量系數(shù)矩陣的秩。源程序中所用變量與框圖相同。源程序:*Example5-5-Eg5-5.frm*DefDblA-H,O-ZPrivateSubComman

21、d1_Click()DimA(50,50)DimABAsVariantClsN=8:M=7-H2OCH4H2COCO2CO2AB=Array(-1,-1,3,1,0,0,0,_-1,0,1,-1,1,0,0,_-2,-1,4,0,1,0,0,_2,-1,0,0,1,0,-2,_0,0,0,-2,2,0,-1,_0,-1,2,0,0,1,0,_1,0,-1,-1,0,1,0,_0,0,0,-2,1,1,0)K=0ForI=1ToNForJ=1ToMA(I,J)=AB(K):K=K+1NextJNextIPrintTab(4);*DATA*PrintA(1-;M;)ForI=1ToNForJ=1T

22、oMPrintFormat$(A(I,J),0);NextJ:PrintNextICallMATRIXRANK(A(),N,M,R)PrintTab(4);*Result*PrintR=;REndSub*SubMATRIXRANK(A(),N,M,R)*K=1:NN=NIfNMThenNN=MDoWhileKAMThenAM=Abs(A(I,J)NextJNextIIfAM0.0001ThenK=K+1ElseExitDoEndIfLoopR=KEndSub*SubXQZY(A(),K,N,M)*AM=Abs(A(K,K):IM=K:JM=KForI=KToNForJ=KToMIfAMAbs(

23、A(I,J)ThenAM=Abs(A(I,J):IM=I:JM=JEndIfNextJNextIIfIMKThenForJ=KToM-ROWChangeAA=A(K,J)A(K,J)=A(IM,J)A(IM,J)=AANextJEndIfIfJMKThenForI=KToN-ColumnChangeAA=A(I,K)A(I,K)=A(I,JM)A(I,JM)=AANextIEndIfEndSub執(zhí)行結(jié)果:R=4本例源程序中,子程序MATRIXRANK為矩陣求秩的通用計(jì)算子程序,其中調(diào)用子程序XQZY進(jìn)行選全主元及交換行列計(jì)算。5.3解非線(xiàn)性方程組的牛頓-拉夫森法在實(shí)際化工過(guò)程分析中也常遇到非線(xiàn)

24、性方程組的求解問(wèn)題,尤其是現(xiàn)代化工過(guò)程模擬研究中常提出的是非線(xiàn)性方程組。因此,求解非線(xiàn)性方程組也是現(xiàn)代化工計(jì)算中必不可少的。設(shè)非線(xiàn)性方程組為式中,fi(i=1,2,n)為已知的非線(xiàn)性函數(shù);xi(i=1,2,n)為變量。若采用向量符號(hào)則上述非線(xiàn)性方程組可以寫(xiě)成與一元非線(xiàn)性方程式相似的形式解該方程組就是求出滿(mǎn)足方程組的一組解向量X=。解非線(xiàn)性方程組通常可采用兩類(lèi)方法:一類(lèi)是迭代法,如雅可比法、賽德?tīng)柗ā⑴ｎD-拉夫森法、擬牛頓法等;另一類(lèi)是求函數(shù)極小值的方法,即由這些非線(xiàn)性函數(shù)f1、f2、fn構(gòu)造一個(gè)函數(shù)這樣,解非線(xiàn)性方程組就歸結(jié)為求的極小值點(diǎn),此極小值點(diǎn)即非線(xiàn)性方程組的一組解。本節(jié)主要介紹牛頓-拉

25、夫森(Newton-Raphson)法。5.3.1方法概述先以一個(gè)二階非線(xiàn)性方程組為例。設(shè)方程組解的一組初始近似值為x0,y0,f1和f2對(duì)x和y的一階偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù),則將它們?cè)诮浦蹈浇├照归_(kāi)并忽略高于一次項(xiàng),可得(5-26)令這樣,非線(xiàn)性方程的線(xiàn)性化近似后就得到一新的線(xiàn)性方程組:若方程組系數(shù)矩陣非奇異,則可解出x和y,即得以此作為非線(xiàn)性方程組解的新近似值,重復(fù)上述過(guò)程,就可得到一系列的近似解,直到滿(mǎn)足下列條件終止迭代過(guò)程。最后的迭代值可作為待求的解。更普遍的是,設(shè)X(0)是非線(xiàn)性方程組(5-23)的近似解,且F(X)在解的附近一階可微,則利用泰勒展開(kāi)可得即式中雅可比矩陣若矩陣DF(X)

26、非奇異,則方程組(5-32)有唯一解,由此可得:這就是解非線(xiàn)性方程組的牛頓-拉夫森迭代公式。顯然,上式是一元非線(xiàn)性方程牛頓公式的直接推廣,其中雅可比矩陣的逆矩陣為迭代矩陣。牛頓-拉夫森法具有良好的收斂性,缺點(diǎn)是要在每一步中計(jì)算雅可比矩陣的逆矩陣。實(shí)際計(jì)算時(shí),可將牛頓-拉夫森迭代公式(5-34)改寫(xiě)為5.3.2程序框圖圖5-6為牛頓-拉夫森法解非線(xiàn)性方程組的通用計(jì)算程序框圖,其中線(xiàn)性方程組DF(X(k)X(k)=-F(X(k)的求解采用列主元消去法,參見(jiàn)圖5-2和圖5-3。程序框圖中主要變量的含義如下:N變量的個(gè)數(shù)E允許誤差X一維數(shù)組,存放自變量的初值或迭代值DX一維數(shù)組,存放自變量前后兩次迭代值的誤差DF二維數(shù)組,存放線(xiàn)性方程組DF(X(k)X(k)=-F(X(k)的系數(shù)矩陣B一維數(shù)組,存放線(xiàn)性方程組DF(X(k)X(k)=-F(X(k)的常數(shù)項(xiàng)矩陣圖5-6牛頓-拉夫森法通用計(jì)算程序框圖5.3.3計(jì)算實(shí)例例5-6用牛頓-拉夫森法求下列非線(xiàn)性方程組在(1,1)附近的解:解由方程組可得到偏微分矩陣按程序框圖5-6可編寫(xiě)出本題的計(jì)算程序。源程序:*Example5-6-Eg5-6.frm*DefDblA-H,O-ZPrivateSubCommand1_Click()DimX(5)DimXAAsVariantClsN=2:E=0.0001:ID