1、本章主要內容本章主要內容5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念5.2 幅相頻率特性（幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）5.3 對數頻率特性（對數頻率特性（Bode圖）圖）5.4 頻域穩定判據頻域穩定判據5.5 穩定裕度穩定裕度5.6 利用開環頻率特性分析系統的性能利用開環頻率特性分析系統的性能5.7 閉環頻率特性曲線的繪制閉環頻率特性曲線的繪制5.8 利用閉環頻率特性分析系統的性能利用閉環頻率特性分析系統的性能5.9 頻率法串聯校正頻率法串聯校正頻域分析法特點頻域分析法特點 頻域法是基于頻率特性或頻率響應對系統進行頻域法是基于頻率特性或頻率響應對系統進行分析和設計的一種圖解方法，故又稱

2、為頻率響分析和設計的一種圖解方法，故又稱為頻率響應法。應法。 特點：特點： 研究穩態正弦響應的幅值和相角隨頻率的變化研究穩態正弦響應的幅值和相角隨頻率的變化規律規律 由開環頻率特性研究閉環穩定性及性能由開環頻率特性研究閉環穩定性及性能 圖解分析法圖解分析法 有一定的近似性有一定的近似性5.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念 5.1.1 頻率響應頻率響應線性系統在輸入線性系統在輸入正弦信號正弦信號時，時，其穩態輸出隨頻率變化的規其穩態輸出隨頻率變化的規律，稱為該系統的頻域響應。律，稱為該系統的頻域響應。)()()()(npspspssMsG21tXtr sin)(22 sXsR)()()(

3、)()()( jsjsXpspspssMsCn21 jsCjsCpsCpsCpsCaann2211tjatjatpntptpeCeCeCeCeCtcn 2121)(tjatjatseCeCtctc )(lim)(5.1.1 頻率響應頻率響應 用留數法計算參數用留數法計算參數jjXGjsjsjsXsGCjsa2)()()()( jjXGjsjsjsXsGCjsa2)()()()( )()()( jGjejGjG)(sin)( jGtjGX)()()()( jGjtjjGjtjseeeejjGXtc2tXtr sin)(1、穩態輸出是與輸、穩態輸出是與輸入同頻率的正弦信入同頻率的正弦信號；號；2、

4、輸出正弦信號與、輸出正弦信號與輸入正弦信號的復輸入正弦信號的復制幅值之比為制幅值之比為G(jw)的幅值；的幅值；3、相位差為、相位差為G(jw)相角。相角。5.1.2 頻率特性頻率特性頻率特性頻率特性 G(jw) 的定義的定義)( jG定義一：定義一：)( jG定義二：定義二：)()()( jGjGjG jssGjG )()()()( jeA)()( jGA)()( jG系統的幅頻特性系統的幅頻特性系統的相頻特性系統的相頻特性在正弦信號作用下，零初始條件下系統穩定正弦響應與在正弦信號作用下，零初始條件下系統穩定正弦響應與輸入正弦信號的復數比，用輸入正弦信號的復數比，用G(jw)表示。表示。)(

5、)( jQP)(cos)()( AP)(sin)()( AQ)()()( 22QPA)()(arctan)( PQ)()()( jRjCjG例例5.5.1 1 RC 電路如圖所示，電路如圖所示，ur(t)=Asin t, 求求uc(t)=?TsTTsCRssUsUsGCRTrc111111)()()(5.1.2 頻率特性頻率特性222211111 TTjTjTsGjGjs)()(2211 TA)(T arctan)(系統的幅頻特性系統的幅頻特性系統的相頻特性系統的相頻特性5.1.3 頻率特性的圖形表示頻率特性的圖形表示方法方法常用頻率特性曲線及其坐標常用頻率特性曲線及其坐標序號序號名名 稱稱圖

6、形常用名圖形常用名坐坐 標標 系系1幅頻特性曲線幅頻特性曲線相頻特性曲線相頻特性曲線頻率特性圖頻率特性圖直角坐標直角坐標2幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線極坐標圖極坐標圖(奈奎斯特奈奎斯特圖圖)極坐標極坐標3對數幅頻特性曲線對數幅頻特性曲線對數相頻特性曲線對數相頻特性曲線對數坐標圖對數坐標圖(伯德圖伯德圖)半對數坐標半對數坐標4對數幅相頻率特性對數幅相頻率特性曲線曲線對數幅相圖對數幅相圖(尼柯爾尼柯爾斯圖斯圖)對數幅相坐對數幅相坐標標 jssjG 1T1)(以以為例。為例。幅頻幅頻相頻相頻)( jG. 頻率特性頻率特性. 幅相幅相特性特性( (Nyquist) ). 對數頻率對數頻率特性特性(

7、 (Bode) ). 對數幅相對數幅相特性特性( (Nichols) )對數幅頻對數幅頻對數相頻對數相頻)( jG )(lg20)( jGL )()( jG 5.1.3 頻率特性的圖形表示頻率特性的圖形表示方法方法系統模型間的關系系統模型間的關系5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）幅相頻率特性曲線又稱奈奎斯特幅相頻率特性曲線又稱奈奎斯特(Nyquist)曲線，在復平面上以極坐曲線，在復平面上以極坐標的形式表示。設系統的頻率特性為標的形式表示。設系統的頻率特性為 )()()( jeAjG)( A)( G向量的長度為向量的長度為，相角為，相角為0 )( jG當當變化時，向量變化

8、時，向量的端點在復平面的端點在復平面上描繪出來的軌跡就上描繪出來的軌跡就是幅相頻率特性曲線。是幅相頻率特性曲線。 作為參變量標在曲線相應點的旁邊，并用箭頭表示作為參變量標在曲線相應點的旁邊，并用箭頭表示增大時特性曲線的走向。增大時特性曲線的走向。通常把通常把 KsG )(5.2.1 5.2.1 典型環節的幅相頻率特性典型環節的幅相頻率特性 比例環節比例環節 微分環節微分環節 積分環節積分環節 慣性環節慣性環節KjG )( KG 0GssG )( jjG )( G 90GssG1)( jjG1)( 1 G 90G1T1)( ssGT11)( jjG 22T11 GTarctan G5.2 幅相頻

9、率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）5.2.1 5.2.1 典型環節的幅相頻率特性典型環節的幅相頻率特性XXYX 2221證明：慣性環節證明：慣性環節 的幅相特性為半圓的幅相特性為半圓T11)( jjG TjjG 11)(2TTj211 jYX 2211TX 2TTY21 TX XYT 211)(XY022 YXX2222121YX（下半圓）（下半圓）XYT 5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）幅相特性幅相特性)( jG1TsKsG)(例例3 3 系統的幅相曲線如圖所試，求系統的傳遞函數。系統的幅相曲線如圖所試，求系統的傳遞函數。由曲線形狀有由曲線形狀有由起點：由起點

10、：010010KTjKjG)(由由 0 0：301000-TT arctan)(jKjG33300/T tan 33/T 10 K5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖） 一階復合微分一階復合微分1TssG)(TjjG 1)(221TG T arctan180不穩定慣性環節不穩定慣性環節11TssG)(TjjG 11)(2211TG TTG arctanarctan1801-T arctan G5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖） 振蕩環節振蕩環節2222211nnG 22-12arctannnG 5.2.1 5.2.1 典型環節的幅相頻率特性典型環節的幅相

11、頻率特性2222)(nnnsssG 12)(12 nnss nnjjG 211)(22 01)0( jG 1800)( jG5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）9021 )(njGn 諧振頻率諧振頻率 r 和諧振峰值和諧振峰值Mr 2222211nnG 0 Gdd 0212222 nndd 0)2(22 )(212222 nnnn 02142222 nn22221 n221 nr2121)( rrjGM例例4:4:當當 ，時，時1, 3 . 0 n 9055. 03 . 02112 r 832. 13 . 013 . 0212 rM5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyqu

12、ist圖）圖）幅相特性幅相特性)( jG2222nnnssKsG )(例例5.3 5.3 由實驗得到某環節的幅相曲線如圖所由實驗得到某環節的幅相曲線如圖所試，試確定環節的傳遞函數。試，試確定環節的傳遞函數。由曲線形狀有由曲線形狀有由起點由起點： 0)0(KjG由由0 0 ： 90)(0 jG50n 31 2 K由由| |G0 0| |： 2223)(00 KGn2225531252sssG)(222221nnKG 22-12arctannnG 25333502ss.5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）不穩定振蕩環節不穩定振蕩環節2222211nnG 3601)0( jG 1

13、800)( jG2222)(nnnsssG nnjjG 211)(22 22-12arctannnG 12)(1)(2 nnsssG 22-12arctan360nn 5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖） 二階復合微分二階復合微分222221nnG 22-12arctannnG 1T2T)(22 sssG 12)(21T nnssn nnjjG 21)(22 22-12arctannnG 22-12arctan360nn 5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）(8) (8) 延時環節延時環節5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）sesG

14、)( )()(1A jejG)(5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖） 如何繪制如何繪制Nyquist曲線？曲線？5.2.2 開環系統的幅相頻率特性開環系統的幅相頻率特性5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）設開環系統由設開環系統由l個環節串聯組成，系統頻率特性為個環節串聯組成，系統頻率特性為 )()()()()()()()()()()()( jjnjjleAeAeAeAjGjGjGjGl212121)()()()( lAAAA21)()()()( l21開環傳遞函數的幅頻特性為各開環傳遞函數的幅頻特性為各個環節幅頻特性個環節幅頻特性之積之積；開環傳遞函數的

15、相頻特性為各開環傳遞函數的相頻特性為各個環節相頻特性個環節相頻特性之和之和；5.2.2 開環系統的幅相頻開環系統的幅相頻率特性率特性概略繪制的開環幅相曲線應反映開環頻率特性的三個重要因素：概略繪制的開環幅相曲線應反映開環頻率特性的三個重要因素： 0 1 1）開環幅相曲線的起點（）開環幅相曲線的起點（ ）和終點（）和終點（ ）2 2）開環幅相曲線與實軸的交點）開環幅相曲線與實軸的交點3 3）開環幅相曲線的變化范圍（象限、單調性）。）開環幅相曲線的變化范圍（象限、單調性）。 0)(Im gjG 時，時，g 設當設當)( jG的虛部為的虛部為,2,1,0;)()( kkjGgg 開環頻率特性曲線與實

16、軸交點的坐標值為開環頻率特性曲線與實軸交點的坐標值為 )()(ReggjGjG 0)1T)(1T()(21 sssKsGv例例5.4 )T1)(1()T(T2121 sTssKvv)( jG)0( jG)( jG)T1)(T1(11 jjK 0K 1800I)T1)(T1(11 jjjK 90 2700II)T1)(T1()(112 jjjK 180 3600III)T1)(T1()(113 jjjK 270 4500 0K0 vv 900 v)(900mn 起點起點 終點終點 5.2.2 開環系統的幅相頻開環系統的幅相頻率特性率特性5.2.2 開環系統的幅相頻開環系統的幅相頻率特性率特性當系

17、統在當系統在右半右半s s平面不存在零、極點時平面不存在零、極點時，系統開環傳遞函數，系統開環傳遞函數一般可寫為一般可寫為 )()1()1)(1()1()1)(1()(2121mnsTsTsTssssKsGvnvm 時時時時09000)0(vvvKjG)(900)(mnjG 開環幅相曲線的起點開環幅相曲線的起點開環幅相曲線的終點開環幅相曲線的終點5.2 幅相頻率特性幅相頻率特性（Nyquist圖）圖）例例5.5 5.5 已知單位反饋系統的開環傳遞函數為已知單位反饋系統的開環傳遞函數為)(.()()(1150212ssssksGk試概略繪出系統開環幅相曲線。試概略繪出系統開環幅相曲線。2v180

18、0)(jGk2700)( jGk解解（2 2）終點）終點 （3 3）與坐標軸的交點）與坐標軸的交點（1 1）起點）起點).().().()(222225052112501 jkjGk502.g kjGRge672. Bode圖介紹圖介紹5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖Bode圖介紹圖介紹 幅值相乘幅值相乘 = = 對數相加，便于疊加作圖；對數相加，便于疊加作圖；縱軸縱軸橫軸橫軸坐標特點坐標特點特點特點按按 lg 刻度，刻度，dec “十倍頻程十倍頻程”按按 標定，等距等比標定，等距等比“分貝分貝”dB)(lg20)( jGL )(lg10)(lg分分貝貝貝貝爾爾rcrcPPPP 可

19、在大范圍內表示頻率特性；可在大范圍內表示頻率特性； 利用實驗數據容易確定利用實驗數據容易確定 L( ), ,進而確定進而確定G(s)。5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖KjG )( 5.3.1 典型環節的典型環節的Bode圖圖 比例環節比例環節 微分環節微分環節 積分環節積分環節 慣性環節慣性環節KLlg20)( 0)( jjG )( lg20)( L 90)( jjG1)( lg20)( L 90)( T11)( jjG 22T1lg20)( L )( Tarctan Tarctan180 5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖5.3.1 典型環節的典型環節的Bode圖圖 慣

20、性環節慣性環節T11)( jjG 22T1lg20)( L )( Tarctan Tarctan180 5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖當時當時T1 當時當時T1 dBL01lg20)( )lg(20)(1 L TjjG 11)(T1 T1 45轉折頻率轉折頻率T1 慣性環節對數相頻特性慣性環節對數相頻特性 關于關于1/T, 45, 45 點對稱點對稱證明：證明：Tarctan)( 設設)T1Tarctan()T1(KK )TTarctan()T(KK KKKK111tantan1tantan)tan( 90 K1arctan Karctan 90)T()T1(KK 5.3 對數頻

21、率特性對數頻率特性Bode圖圖 一階復合微分一階復合微分22T1lg20)( LTarctan180 Tarctan )( 5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖1T)( ssGT1)( jjG 轉折頻率轉折頻率T1 振蕩環節振蕩環節222221lg20)(nnL )( 2222)(nnnsssG nnjjG 211)(22 222360nn -1arctan 22-12arctannn 1 n 0)( L 0)( 3601 n nL lg40)( 180)( 5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖轉折頻率轉折頻率n 二階復合微分二階復合微分222221lg20)(nnL )( 1

22、2)()(2 nnsssG nnjjG 21)(22 22-12arctan360nn 22-12arctannn 5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖 延遲環節延遲環節01lg20)( L )(sesG )( jejG )(5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖)()()()()(111111sTsTsssKsGvnvm5.3.2 5.3.2 開環系統的開環系統的BodeBode圖的繪制圖的繪制GLlg20)( G )( v-n1T1lg20T1lg20lg20jjv v-n1TarctanTarctan90 v mjjK 1lg201lg20lg201 marctanarct

23、an1 5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖繪制開環系統繪制開環系統BodeBode圖的步驟圖的步驟 化化G(j )為尾為尾1標準型標準型 順序列出轉折頻率順序列出轉折頻率 確定基準線確定基準線 疊加作圖疊加作圖)1)(12 . 0()15 . 0(100)(2 ssssssG)1)(2 . 0()5 . 0(40)(2 ssssssG例例1 10.2 0.2 慣性環節慣性環節0.5 0.5 一階復合微分一階復合微分1 1 振蕩環節振蕩環節)lg20)1(, 1(KL 基準點基準點decdB20 v 斜率斜率一階一階慣性環節慣性環節 -20dB/dec復合微分復合微分 +20dB/de

24、c二階二階振蕩環節振蕩環節 -40dB/dec復合微分復合微分 + +40dB/dec0.20.2 慣性環節慣性環節 -20-200.50.5 一階復合微分一階復合微分 +20+2011 振蕩環節振蕩環節 -40-40最小轉折頻率之左最小轉折頻率之左的特性及其延長線的特性及其延長線5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖 修正修正 檢查檢查 兩慣性環節轉折頻率很接近時兩慣性環節轉折頻率很接近時 振蕩環節振蕩環節 (0.38, 0.8) 時時 L( ) 最右端曲線斜率最右端曲線斜率=-20(n-m) dB/dec 轉折點數轉折點數=(=(慣性慣性)+()+(一階復合微分一階復合微分)+()+

25、(振蕩振蕩)+()+(二階復合微分二階復合微分) ) -90(n-m)lg20)1(, 1(KL 基準點基準點decdB20 v 斜率斜率0.20.2 慣性環節慣性環節 -20-200.50.5 一階復合微分一階復合微分 +20+2011 振蕩環節振蕩環節 -40-405.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖0.20.50.5)15)(1)(12 . 0()(3 sssssG基點基點 dB01lg20, 1 dB/dec60)3(20 202 . 01 )5)(1)(2 . 0()(3 sssssG例例 ，繪制，繪制BodeBode圖。圖。 解解 標準型標準型 轉折頻率轉折頻率 基準線基準

26、線 作圖作圖2012 2053 斜率斜率 檢查檢查 L( ) 最右端斜率最右端斜率=-20(n-m)=0 轉折點數轉折點數 = 3 最終趨于最終趨于-90-90(n-m)=0 5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖例例3 3 繪制對數頻率特性和幅相特性曲線。繪制對數頻率特性和幅相特性曲線。dB30032. 0lg20, 1 解解 )254)(1()1 . 0(8)(22 sssssssG 15545)1(11 . 0251 . 08)(22sssssssG1 . 01 12 53 dec/dB20 dec/dB40 dec/dB40 基準線基準線： 點斜率dec/dB20v20- 檢查：

27、檢查： L(L( ) )最右端斜率 = 20(n-m)=-80dB/decL(L( ) )轉折點數 = 3 個 -90o n-m =-360o5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖例例1 1 根據根據Bode圖確定系統傳遞函數。圖確定系統傳遞函數。1216. 3)( ssG1T)( sKsG解解. . 依圖有依圖有 Bode圖與圖與Nyquist圖圖之間的對應關系之間的對應關系：30lg20 K6 .31102030 K5 . 0T 轉折頻率轉折頻率T12 截止頻率截止頻率 c：1)( cjG 2lg20)2lglg(20dB30cc 5 . 120302lg c srad 2 .631

28、025 . 1 c 5.3.3 由由Bode圖曲線確定開圖曲線確定開環傳遞函數環傳遞函數解解)()()(1212221nnssssKsG 5.3.3 由由Bode圖曲線確定開圖曲線確定開環傳遞函數環傳遞函數28100)()(1100210012222ssssK 6.3dBdBMr3620.lg065521012120362. rM250. 例例5.7 已知已知 Bode 圖，確定圖，確定 G(s)。例例5.7 已知已知 Bode 圖，確定圖，確定 G(s)。解解)()()(1212221nnssssKsG 0lg2020 Klglg4010 H20 K解法解法解法解法110lg20lg40 c

29、 1210)( c cK 120 ccccKKjG 12111)( 解法解法100 cKc 120)lg(lg201 c證明證明：0lg20lg20 vvKsK vK0 vK10 5.3.3 由由Bode圖曲線確定開圖曲線確定開環傳遞函數環傳遞函數28100)()(1100210012222ssssK 例例5 5 已知已知 L( )，寫出，寫出G(s)，繪制，繪制 , , G(j )。解解 )1()1()(21 sssKsG102 c210 cK I212211)( cccccKKjG II 疊加作圖如右疊加作圖如右 900)(90)0()(jGjGjGc 5.3.3 由由Bode圖曲線確定開

30、圖曲線確定開環傳遞函數環傳遞函數例例5.8 開環系統開環系統Bode圖如圖所示，求圖如圖所示，求 G(s)。解解 依題有依題有)1()1()(12 sssKsG1)(1212 ccccKjG12 cK 求求K:5.3.4 最小相角系統和非最最小相角系統和非最小相角系統小相角系統 90)0( jG 900)( jG 90)0( jG 900)( jG 90)0( jG 900)( jG 270)0( jG 900)( jG )1()1()(12 sssKsG5.3.4 最小相角系統和非最最小相角系統和非最小相角系統小相角系統非最小相角系統非最小相角系統 在右半在右半s s平面存在開環零點或開環極

31、點的系統平面存在開環零點或開環極點的系統 非最小相角系統未必不穩定非最小相角系統未必不穩定 非最小相角系統未必一定要畫非最小相角系統未必一定要畫0根軌跡根軌跡非最小相角系統由非最小相角系統由L( )不能惟一確定不能惟一確定G(s) 最小相角系統由最小相角系統由L( )可以惟一確定可以惟一確定G(s) 非最小相角系統相角變化的絕對值一般非最小相角系統相角變化的絕對值一般 比最小相角系統的大比最小相角系統的大5.3.4 最小相角系統和非最最小相角系統和非最小相角系統小相角系統繪制開環系統繪制開環系統BodeBode圖的步驟圖的步驟 化化G(j )為尾為尾1標準型標準型 順序列出轉折頻率順序列出轉折

32、頻率 確定基準線確定基準線 疊加作圖疊加作圖)lg20)1(, 1(KL 基準點基準點decdB20 v 斜率斜率一階一階慣性環節慣性環節 -20dB/dec復合微分復合微分 +20dB/dec二階二階振蕩環節振蕩環節 -40dB/dec復合微分復合微分 +40dB/dec第一轉折頻率之左第一轉折頻率之左的特性及其延長線的特性及其延長線 修正修正 檢查檢查 兩慣性環節轉折頻率很接近時兩慣性環節轉折頻率很接近時 振蕩環節振蕩環節 (0.38, 0.8) 時時 L( ) 最右端曲線斜率最右端曲線斜率=-20(n-m) dB/dec 轉折點數轉折點數=(=(慣性慣性)+()+(一階復合微分一階復合微

33、分)+()+(振蕩振蕩)+()+(二階復合微分二階復合微分) ) -90(n-m)5.3 對數頻率特性對數頻率特性Bode圖圖課程回顧課程回顧奈氏圖奈氏圖Bode圖圖確定起點的幅值和相位確定起點的幅值和相位確定終點的幅值和相位確定終點的幅值和相位)()(mnjG900確定與實軸的交點確定與實軸的交點 順序列出轉折頻率順序列出轉折頻率 確定基準線確定基準線 疊加作圖疊加作圖)lg20)1(, 1(KL 基準點基準點decdB20 v 斜率斜率一階一階慣性環節慣性環節 -20dB/dec復合微分復合微分 +20dB/dec二階二階振蕩環節振蕩環節 -40dB/dec復合微分復合微分 + +40dB

34、/dec第一轉折頻率之左第一轉折頻率之左的特性及其延長線的特性及其延長線 化化G(jw)為尾為尾1標準型標準型系統穩定的充要條件系統穩定的充要條件 全部閉環極點均具有負的實部全部閉環極點均具有負的實部由閉環特征多項式系數（不解根）判定系統穩定性由閉環特征多項式系數（不解根）判定系統穩定性不能用于研究如何調整系統結構參數來改善系統穩定性不能用于研究如何調整系統結構參數來改善系統穩定性及性能的問題及性能的問題代數穩定判據代數穩定判據 Ruoth判據判據 由開環頻率特性直接判定閉環系統的穩定性由開環頻率特性直接判定閉環系統的穩定性 可研究如何調整系統結構參數改善系統穩定性及性能問題可研究如何調整系統

35、結構參數改善系統穩定性及性能問題頻域穩定判據頻域穩定判據 Nyquist 判據判據 對數穩定判據對數穩定判據 5.4 頻域穩定判據頻域穩定判據解釋解釋說明說明)()()()(*sNsMKsHsG)1T)(1T()1T()(321 sssKsG5.4.1 5.4.1 奈奎斯特穩定判據奈奎斯特穩定判據 NPZ2 設設 K1K2K10212 NPZ2)21(212 NPZ不穩定不穩定不穩定不穩定系統結構圖如圖所示系統結構圖如圖所示設設)()()()(sHsGsGs1)()(321*pspspsK 5.4 頻域穩定判據頻域穩定判據)()()(sHsGsF1F(s)的特點的特點構造輔助函數構造輔助函數

36、F(s)()()()(sHsGsGs1)()()()()(321*321pspspssMKpspsps )()()()()()(321321pspspsssssNsD F(s)的的極點極點 pi : : 開環極點開環極點零點零點 i : : 閉環極點閉環極點個數相同個數相同)(1)( jGHjF )()()()()(1*sNsMKsNsNsMK 5.4 頻域穩定判據頻域穩定判據設設F(s)在右半在右半s平面有平面有)()()()()(321321pspspsssssF R: s 繞奈氏路徑一周時，繞奈氏路徑一周時，F(j )包圍包圍F平面平面(0, j0)點的圈數點的圈數P個極點個極點 (開環

37、極點開環極點) )Z個零點個零點 閉環極點閉環極點) ) Z=2P=1s 繞奈氏路徑轉過一周，繞奈氏路徑轉過一周，RZPPZjF 2)(2)(2)( N: 開環幅相曲線開環幅相曲線GH(j )包圍包圍G平面平面(-1, j0)點的圈數點的圈數F(j )繞繞F平面原點轉過的角度平面原點轉過的角度 F增量增量為為NPRPZ2 2 2 2 000)()()(321*pspspsKjGH 180K 27005.4 頻域穩定判據頻域穩定判據例例 已知單位反饋系統開環傳遞函數已知單位反饋系統開環傳遞函數, ,分析系統穩定性分析系統穩定性。解解 依題有依題有 0)0(KjG K( (穩定穩定) )1T)(1

38、T)(1T()(321 sssKsG 2700)( jG)(1小小K0 N00202 NPZ)(2大大K1 N2)1(202 NPZ( (不穩定不穩定) )5.4 頻域穩定判據頻域穩定判據結論：結論：P=0,奈氏曲線不包圍（奈氏曲線不包圍（-1，j0)點，則閉環系統穩定；反之則不穩定。點，則閉環系統穩定；反之則不穩定。例例 已知單位反饋系統開環傳遞函數已知單位反饋系統開環傳遞函數, ,分析系統穩定性分析系統穩定性。解解 依題有依題有 180)0(KjG K( (不穩定不穩定) )1T)( sKsG 900)( jG11 K0 N10212 NPZ12 K21 N021212 NPZ( (穩定穩

39、定) )01T)( KssD5.4 Nyquist穩定判據穩定判據結論：結論：P0,奈氏曲線逆時針包圍（奈氏曲線逆時針包圍（-1，j0)點點P圈，則閉環系統穩定；否則不圈，則閉環系統穩定；否則不穩定。穩定。5.4 .2 Nyquist穩定判據的應穩定判據的應用用如果如果開環傳遞函數開環傳遞函數)(sG在虛軸上有極點在虛軸上有極點 對奈氏路徑略作修改。對奈氏路徑略作修改。 使其沿著半徑為無窮小使其沿著半徑為無窮小0r（ ）的右半圓繞過虛軸上的極點。）的右半圓繞過虛軸上的極點。 0j90 0js取值需要先從取值需要先從 繞半徑無限小的圓弧逆時針轉繞半徑無限小的圓弧逆時針轉到到 j然后再沿虛軸到然后

40、再沿虛軸到 。 00jjs)( jG這樣需要補充這樣需要補充小圓弧所對應的小圓弧所對應的特性曲線。特性曲線。 例例3 3 已知單位反饋系統開環傳遞函數已知單位反饋系統開環傳遞函數, ,分析系統穩定性分析系統穩定性。解解 依題有依題有 0)0( jG K( (穩定穩定) )1T)(1T()(21 sssKsG 2700)( jG)(1小小K0 N00202 NPZ)(2大大K1 N2)1(202 NPZ( (不穩定不穩定) ) 90)0( jG5.4.2 Nyquist穩定判據的應穩定判據的應用用增補線增補線例例4 4 已知單位反饋系統開環傳遞函數已知單位反饋系統開環傳遞函數, ,分析系統穩定性

41、分析系統穩定性。解解 依題有依題有 0)0( jG K( (穩定穩定) )1T)(1T()1()(212 ssssKsG 2700)( jG)(1小小K0 N00202 NPZ)(2大大K1 N2)1(202 NPZ( (不穩定不穩定) ) 180)0( jG21TT 5.4.2 Nyquist穩定判據的應穩定判據的應用用5.4.2 Nyquist穩定判據的應穩定判據的應用用設系統開環傳遞函數為設系統開環傳遞函數為 njjmiisTssTKsG11)1()1()( jjrresnjjmiireseerKsTssTKsGjrjr 0lim11limlim)1()1()(00 jrres0lim

42、當沿著無窮小半圓逆時針方向移動時，有當沿著無窮小半圓逆時針方向移動時，有映射到映射到G平面的曲線可以按下式求得平面的曲線可以按下式求得 00 20 v應用奈氏判據時應用奈氏判據時 逆時針旋轉的逆時針旋轉的 大圓弧大圓弧增補線增補線2 v注意問題注意問題Z閉環系統不穩定閉環系統不穩定0 0 0 閉環系統穩定閉環系統穩定有誤！有誤！2. N 的最小單位為二分之一的最小單位為二分之一當當s平面虛軸上有開環極點時，奈氏路徑要從其右邊平面虛軸上有開環極點時，奈氏路徑要從其右邊 繞出半徑為無窮小的圓弧；繞出半徑為無窮小的圓弧；G平面對應要補充大圓弧平面對應要補充大圓弧3. 5.4.2 Nyquist穩定判

43、據的應穩定判據的應用用)12 . 0)(25(1000)(2 ssssG例例 0)0( jG 3600)( jG)15(1)5(402 sss 90)0( jG 135)5( jG 315)5( jG110 NNN2)1(202 NPZ對數穩定判據附加題對數穩定判據附加題5.4 頻域穩定判據頻域穩定判據N的確定方法的確定方法2 NNN N是正穿越次數，是正穿越次數， N是負穿越次數。是負穿越次數。 jG0, 1 j正穿越一次 正穿越半次0負穿越半次負穿越一次逆逆時針穿越實軸區間時針穿越實軸區間（ ，-1）為為1次正穿越，次正穿越，順順時針穿越實軸區間時針穿越實軸區間（ ，-1）為為1次負穿越，

44、次負穿越，起始于實軸區間起始于實軸區間（ ，-1）上為上為1/2次正穿越，次正穿越，起始于實軸區間起始于實軸區間（ ，-1）上上為為1/2次正穿越，次正穿越，奈氏穩定判據練習題奈氏穩定判據練習題Nyquist圖與圖與Bode圖的對應關系圖的對應關系 5.4.35.4.3 對數穩定判據對數穩定判據 jG0, 1 j L 001800c g c g 1801 A 1800 dBL NNN例例 已知單位反饋系統開環傳遞函數已知單位反饋系統開環傳遞函數, ,分析系統穩定性分析系統穩定性。NPZ2 K( (穩定穩定) )1T)(1T()(21 sssKsG1K000 NNN00202 NPZ2K110

45、NNN2)1(202 NPZ( (不穩定不穩定) ) NNN對數穩定判據對數穩定判據5.4.3 對數穩定判據對數穩定判據 180)0(KjG例例 已知單位反饋系統開環傳遞函數已知單位反饋系統開環傳遞函數, ,分析系統穩定性分析系統穩定性。 K( (不穩定不穩定) )1T)(1T)(1T()(321 sssKsG1K000 NNN10212 NPZ2K21021 NNN021212 NPZ( (穩定穩定) ) 2700)( jG3K21121 NNN2)21(212 NPZ( (不穩定不穩定) )5.4.3 對數穩定判據對數穩定判據5.5.15.5.1 穩定裕度的定義穩定裕度的定義的的幾何意義幾

46、何意義h, c截止頻率截止頻率 相角裕度相角裕度)(180cjG 1)( cjGg相角交界頻率相角交界頻率h幅值裕度幅值裕度)(1gjGh 180)(gjG的的物理意義物理意義h, 系統在系統在 方面的穩定儲備量方面的穩定儲備量 h幅值幅值相角相角一般要求一般要求 40 2 h5.5 穩定裕度穩定裕度5.5.25.5.2 穩定裕度的計算穩定裕度的計算)(180cjG 解法解法I：由幅相曲線求：由幅相曲線求。h, 例例)10)(2(100)110)(12(5)( sssssssG，求，求。h, (1)(1)令令1)( cjG2222102100 ccc 1000400104242 ccc 9 .

47、 2 c 試根得試根得)9 . 2(180 109 . 2arctan29 . 2arctan90180 5 .181 .164 .55905.5 穩定裕度穩定裕度)(1gjGh (2.1)令令 180)(g 10arctan2arctan90gg 90tan2011022ggg 可得可得 9010arctan2arctangg 202 g 47. 4 g )dB6 . 7(4 . 210010247. 42222 gggg 5.5 穩定裕度穩定裕度)(1gjGh (2.2)將將G(jw)分解為實部、虛部形式分解為實部、虛部形式)10)(2(100)( jjjjG 令令0)(Im YGjG )

48、100)(4()20(1001200222 jYXjGG 47. 420 g 得得4167. 0)( gXG 代入實部代入實部4 . 24167. 01 4167. 0)( gG 5.5 穩定裕度穩定裕度)47. 4(1jGh )110)(12(5)( ssssG由由L( ):1)( cjG 16. 310 c 得得4 . 24167. 01 解法解法II：由：由BodeBode圖求圖求。h, 210125ccc )(180cjG )16. 3(180 1016. 3arctan216. 3arctan90180 8 .14541.1767.57909 . 2 5 .1847. 4102 g

49、5.5 穩定裕度穩定裕度穩定裕度的穩定裕度的概念概念 開環頻率指標開環頻率指標 穩定裕度的穩定裕度的定義定義穩定裕度穩定裕度計算方法計算方法的幾何意義的幾何意義h, c截止頻率截止頻率 相角裕度相角裕度)(180cjG 1)( cjGg相角交界頻率相角交界頻率h幅值裕度幅值裕度)(1gjGh 180)(gjG的物理意義的物理意義h, 穩定裕度的穩定裕度的意義意義)(180)(ccL )(1180)(ggjGh 課程小結課程小結 5.6.1 L(w)低頻漸近線與系統穩態誤差的關系低頻漸近線與系統穩態誤差的關系 5.6.2 L(w)中頻段特性與系統動態性能的關系中頻段特性與系統動態性能的關系 5.

50、6.2 L(w)高頻段對系統性能的影響高頻段對系統性能的影響 三頻段理論三頻段理論5.6 利用開環頻率特性分利用開環頻率特性分析系統的性能析系統的性能低頻段：主要指低頻段：主要指第一個轉折頻率第一個轉折頻率以左的頻段以左的頻段中頻段：中頻段：截止頻率截止頻率附件的頻段附件的頻段高頻段：頻率遠大于截止頻率的頻段高頻段：頻率遠大于截止頻率的頻段三頻段理論三頻段理論vsKsG )(01. L(w)低頻段低頻段 系統穩態誤差系統穩態誤差ess lg20lg20lg200 vKG 900vG5.6.1 低頻段特性與系統低頻段特性與系統穩態誤差的關系穩態誤差的關系1、低頻段對數副頻特性曲線、低頻段對數副頻

51、特性曲線延長線延長線交于交于0dB線線vK10 2、根據低頻段可以確定系統的型別、根據低頻段可以確定系統的型別v和開環增益和開環增益K。v和和K與什么有關？與什么有關？dB/dec20 L( )中頻段中頻段最小相角系統最小相角系統 L( ) 曲線斜率與曲線斜率與的對應關系的對應關系 90 90 dB/dec40 180 0 dB/dec60 270 90 希望希望 L( ) 以以-20dB/dec斜率穿越斜率穿越 0dB線，并保持較寬的頻段線，并保持較寬的頻段5.6.2 中頻段特性與系統中頻段特性與系統動態性能的關系動態性能的關系 系統動態性能系統動態性能( , ts)(180cjG 12vK

52、n (1) (1) 二階系統二階系統 )2()(2nnsssG 222)2()(nnjG njG 2arctan90)( 1)2()(222 nccncjG 422224nncc 0442224 ncnc nc 24214)(180c 2222)(nnnsss nc 2arctan90 cn 2arctan 5.6.2 中頻段特性與系統中頻段特性與系統動態性能的關系動態性能的關系nc 24214)(180c nc 2arctan90 cn 2arctan 242142arctan )2()(2nnsssG 21/% e% nst 5 . 3 242145 . 3 cst tan7 221472

53、4 5.6.2 中頻段特性與系統中頻段特性與系統動態性能的關系動態性能的關系5.6.2 中頻段特性與系統中頻段特性與系統動態性能的關系動態性能的關系 可以得出這樣的結論：可以得出這樣的結論： 如果兩個典型二階系統的相角裕度相同，如果兩個典型二階系統的相角裕度相同，那么它們的超調量也相同，截止頻率較那么它們的超調量也相同，截止頻率較大的系統其調節時間必然較短。大的系統其調節時間必然較短。314820 c tan7 cst例例 已知系統結構圖，求已知系統結構圖，求 c，并確定，并確定 , , ts。解解. . 繪制繪制L( )曲線曲線2031arctan90180 8 .322 .5790008

54、.3229. 00037 查查 P171 圖圖5-52 8 .32tan31735. 0 )20(2048)120(48)( sssssG按時域方法：按時域方法：96020960)(1)()(2 sssGsGs 3226. 03122031960 n001003 .352 e35. 0105 . 35 . 3 nst 5.6.2 中頻段特性與系統中頻段特性與系統動態性能的關系動態性能的關系 (2) (2) 高階系統高階系統 %100)1sin1(4 . 016. 0% 21sin15 . 21sin15 . 12 cst)9035( 5.6.2 中頻段特性與系統中頻段特性與系統動態性能的關系動

55、態性能的關系用頻域法估算高階系統動態性能用頻域法估算高階系統動態性能c csat 00 圖圖5-56)( L P1735.6.2 中頻段特性與系統中頻段特性與系統動態性能的關系動態性能的關系96248 c 0833. 09688 cst 例例2 2 已知單位反饋系統已知單位反饋系統G(s)，求，求 c, ；確定；確定 , , ts。解解. . 繪制繪制L( )曲線曲線10096arctan2096arctan901096arctan180 001 .520027 查查 P171 圖圖5-56)1100)(120()110(48)( sssssG102048 c )(180c 1 .528 .4

56、32 .7890841805.6.2 中頻段特性與系統中頻段特性與系統動態性能的關系動態性能的關系1101 . 0 c 例例3 3 已知最小相角系統已知最小相角系統 L( ) 如圖所示，試確定如圖所示，試確定 (1) (1) 開環傳遞函數開環傳遞函數G(s); ; (2) (2) 由由 確定系統的穩定性；確定系統的穩定性； (3) (3) 將將 L( ) 右移右移10倍頻，討論對系統的影響。倍頻，討論對系統的影響。解解. .(1)201arctan1 . 01arctan90180 (3) 將將 L( ) 右移右移10倍頻后有倍頻后有)120)(11 . 0(10)( ssssG 8 . 28

57、6. 23 .8490(2)101001 c 20010arctan110arctan90180 )1200)(11(100)( ssssG 8 . 286. 23 .8490L( ) 右移后右移后 c 增大增大 不變不變 不變不變 ts 減小減小0 穩定穩定5.6 利用開環頻率特性分利用開環頻率特性分析系統的性能析系統的性能L( )高頻段高頻段 系統抗高頻噪聲能力系統抗高頻噪聲能力)(1)()(sGsGs 1)()( sGs1)( sG5.6.3 高頻段特性與系統高頻段特性與系統抗高頻干擾能力的關系抗高頻干擾能力的關系中頻段中頻段三頻段理論三頻段理論高頻段高頻段低頻段低頻段對應性能對應性能希

58、望形狀希望形狀L( )系統抗高頻干擾的能力系統抗高頻干擾的能力開環增益開環增益 K系統型別系統型別 v穩態誤差穩態誤差 ess截止頻率截止頻率 c相角裕度相角裕度 動態性能動態性能陡，高陡，高緩，寬緩，寬低，陡低，陡頻段頻段三頻段理論并沒有提供設計系統的具體步驟，三頻段理論并沒有提供設計系統的具體步驟，但它給出了調整系統結構改善系統性能的原則和方向但它給出了調整系統結構改善系統性能的原則和方向00 st5.6 利用開環頻率特性分利用開環頻率特性分析系統的性能析系統的性能關于三頻段理論的說明：關于三頻段理論的說明： 各頻段分界線沒有明確的劃分標準；各頻段分界線沒有明確的劃分標準； 與無線電學科中

59、的與無線電學科中的“低低”、“中中”、“高高”頻概頻概 念不同；念不同； 不能用是否以不能用是否以-20dB/dec過過0dB線作為判定線作為判定 閉環系統是否穩定的標準；閉環系統是否穩定的標準； 只適用于單位反饋的最小相角系統。只適用于單位反饋的最小相角系統。5.6 利用開環頻率特性分利用開環頻率特性分析系統的性能析系統的性能5.9.1 5.9.1 串聯超前校正串聯超前校正 5.9.2 5.9.2 串聯遲后校正串聯遲后校正 5.9.3 5.9.3 串聯遲后超前校正串聯遲后超前校正 5.9.4 5.9.4 串聯串聯PID校正校正 頻率法串聯校正的設計過程頻率法串聯校正的設計過程合理確定性能指標

60、合理確定性能指標有重點地照顧各項指標要求；有重點地照顧各項指標要求；不要追求不切實際的高指標。不要追求不切實際的高指標。5.9 5.9 頻率法串聯校正頻率法串聯校正5.9.1 串聯超前校正串聯超前校正111)()()(11221122 sCRRRRsCRsCRRRsUsUsGrcc(1) (1) 超前網絡特性超前網絡特性1)1()1()1()1(2121121221211211212 sRRCRRsCRRRRRRsCRRsCRRRsCRRsCRR111 TsaTsa1221 RRRa2121RRCRRT 11)( TsaTssGac5.9 5.9 頻率法串聯校正頻率法串聯校正aaTTHlg20