1、第第4 4章章 控制系統穩定性控制系統穩定性 對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統穩定性問題的研究，對于非線性、時變、多輸入多輸出控制系統穩定性問題的研究，經典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（經典控制理論無能為力。只有利用俄羅斯科學家李亞普諾夫（A. M. Lyapunov）的穩定性理論來分析和研究。）的穩定性理論來分析和研究。 A. M. Lyapunov于于1892年出版專著年出版專著運動系統穩定性的一般運動系統穩定性的一般問題問題，使得，使得Lyapunov穩定性理論已經成為控制理論的最重要的穩定性理論已經成為控制理論的最重要的幾個柱石之一。幾個柱石之一。本章的主要內

2、容為本章的主要內容為1. 引言引言2. 李亞普諾夫意義下穩定性的定義李亞普諾夫意義下穩定性的定義3. 李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法5. 線性定常離散系統的穩定性線性定常離散系統的穩定性4. 線性連續系統的穩定性線性連續系統的穩定性6. 有界輸入有界輸入-有界輸出穩定有界輸出穩定7. 非線性系統的穩定性分析非線性系統的穩定性分析4.1 4.1 引言引言 李亞普諾夫將穩定性問題的研究歸納為兩種方法。李亞普諾夫將穩定性問題的研究歸納為兩種方法。 第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原第一種方法是求出線性化以后的常微分方程的解，從而分析原系統的穩定性。系統的穩定性。 第二種方法不需

3、要求解微分方程的解，而能夠提供系統穩定性第二種方法不需要求解微分方程的解，而能夠提供系統穩定性的信息。的信息。 對于非線性、時變、多輸入多輸出系統來說，第二種方法特別對于非線性、時變、多輸入多輸出系統來說，第二種方法特別重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。重要。李亞普諾夫第二法又稱為直接法。 這種方法是基于一種廣義能量函數及其隨時間變化的特性來研這種方法是基于一種廣義能量函數及其隨時間變化的特性來研究系統穩定性的。以下通過一個例子來說明。究系統穩定性的。以下通過一個例子來說明。例例4-1 一個彈簧質量阻尼器系統，如下圖示。系統的運動由如一個彈簧質量阻尼器系統，如下圖示。系統的運動由如下微分方程

4、描述。下微分方程描述。0kxx fxm 令令1m0kxx fx （1）選取狀態變量選取狀態變量xx 112xxx 則系統的狀態方程為則系統的狀態方程為212fxkxx21xx （2）在任意時刻，系統的總能量在任意時刻，系統的總能量2122212121),(kxxxxE（3）顯然，當顯然，當 時時 ， 而當而當 時時0 x0)(xE0 x0)(0E而總能量隨時間的變化率為而總能量隨時間的變化率為222211221121dddd),(ddfxxxxkxtxxEtxxExxEt可見，只有在可見，只有在 時，時， 。在其他各處均有。在其他各處均有 ，這表明系統總能量是衰減的，因此系統是穩定的。這表明系

5、統總能量是衰減的，因此系統是穩定的。02x0/ddtE0/ddtE Lyapunov第二法是研究系統平衡狀態穩定性的。第二法是研究系統平衡狀態穩定性的。平衡狀態平衡狀態 一般地，系統狀態方程為一般地，系統狀態方程為 ，其初始狀態，其初始狀態為為 。系統的狀態軌線。系統的狀態軌線 是隨時間而變化的。當且僅當是隨時間而變化的。當且僅當（當（當 tt0 ）則稱）則稱 為系統平衡。為系統平衡。),(txfx )(0tx)(txexx exex 如果不在坐標原點，可以通過非奇異線性變換，使如果不在坐標原點，可以通過非奇異線性變換，使 ，因此，平衡狀態的穩定性問題都可以歸結為原點的穩定性問題。因此，平衡狀

6、態的穩定性問題都可以歸結為原點的穩定性問題。0ex4.2 4.2 李亞普諾夫意義下穩定性的定義李亞普諾夫意義下穩定性的定義4.2.1 穩定的定義穩定的定義nxx1x則則221nxxx非線性時變系統非線性時變系統0ex),(txfx （4）（6）（5）0),(tetxx)(0),(0t定義定義 對于任意給定的實數對于任意給定的實數 ，都對應存在實數，都對應存在實數 ，使，使0滿足滿足的任意初始狀態的任意初始狀態 出發的軌線出發的軌線 有有00)(xxt)(txetxx)( （對所有（對所有 t t0）成立，則稱成立，則稱 為為Lyapunov意義下是穩定的。意義下是穩定的。0ex表示求歐幾里德范

7、數。表示求歐幾里德范數。（即：表示空間距離）（即：表示空間距離）Lyapunov意義下穩定漸進穩定漸進穩定4.2.2 漸近穩定漸近穩定0ex如果系統的平衡狀態如果系統的平衡狀態 是穩定的。是穩定的。從平衡狀態的某個充分小的領域內出發從平衡狀態的某個充分小的領域內出發的狀態軌線的狀態軌線 ，當，當 時，收斂于時，收斂于 ，則稱，則稱 為漸近穩定。為漸近穩定。0ex)(txt0ex更精密的敘述如下：更精密的敘述如下：0exetxx )()(tx0ex如果系統的平衡狀態如果系統的平衡狀態 ，對于，對于 ，存在，存在 和和，當，當 時，從時，從 出發的出發的 ，都有，都有并且并且 充分大時，充分大時，

8、 就充分小。則稱就充分小。則稱 為為Lyapunov意義下意義下漸近穩定。當漸近穩定。當 與與 、 無關時無關時 ，則稱，則稱 為一致漸近穩定。為一致漸近穩定。0tT Tt etxx)(0T0ex0tT4.2.3 大范圍漸進穩定大范圍漸進穩定如果如果 是整個狀態空間中任一點，并且都有是整個狀態空間中任一點，并且都有則為大范圍漸近穩定或稱為則為大范圍漸近穩定或稱為Lyapunov意義下全局漸近穩定。意義下全局漸近穩定。00)(xxtettxx)(lim當穩定性與當穩定性與 的選擇無關時，稱一致全局漸近穩定。的選擇無關時，稱一致全局漸近穩定。0t不穩定4.2.4 不穩定不穩定對于任意的實數對于任意

9、的實數 ，存在一個實數，存在一個實數 ，不論，不論 取的多么小，在滿足不取的多么小，在滿足不等式等式的所有初始狀態中，至少存在一個初始狀的所有初始狀態中，至少存在一個初始狀態態 ，由此出發的軌線，由此出發的軌線 ，滿足，滿足00exx00 x)(txexx稱稱 為為Lyapunov意義下不穩定意義下不穩定0ex4.3 4.3 李亞普諾夫第二法李亞普諾夫第二法0)(xV定義定義 如果標量函數如果標量函數 ，并且當，并且當 時，時， ；僅當；僅當 時，時， ；則稱；則稱 為正定的。除了為正定的。除了 以外，還有以外，還有狀態使狀態使 ，稱，稱 為半正定的。為半正定的。)(xV00 x0 x0)(x

10、V)(xV0 x0)(xV)(xV)(xV0)(xV0 x0)(xV定義定義 如果標量函數如果標量函數 ，并且當，并且當 時，時， ；僅當；僅當 時，時， ；則稱；則稱 為負定的。除了為負定的。除了 以外，還有以外，還有狀態使狀態使 ，稱，稱 為半負定的。為半負定的。)(xV00 x0 x0)(xV)(xV（7）定理定理4-14-1 設系統狀態方程為設系統狀態方程為)(xfx 在平衡狀態在平衡狀態 的某鄰域內，標量函數的某鄰域內，標量函數 具有連續一階偏導數，具有連續一階偏導數，并且滿足：并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為負定。為負定。 則則 為一致漸近穩定的。為一致漸近穩定的。如果如

11、果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩定的。是大范圍一致漸近穩定的。 0ex)(xV)(xV)(xV0exx)(xV)(xV例例4-24-2 系統的狀態方程如下，判別系統穩定性。系統的狀態方程如下，判別系統穩定性。)(21221xxxxx解解而而221121212)()(xxxxxxxxVx將狀態方程代入上式，化簡后得將狀態方程代入上式，化簡后得)()(2221xxVx222122121)(21)(xxxxVx選取選取Lyapunov函數，顯然是正定的，即滿足函數，顯然是正定的，即滿足00)(00)(xxxxVV可見，可見， 是負定的，即滿足是負定的，即滿足)(xV00)(00)(xxxxVV因

12、此，因此， 是一致漸進穩定的。是一致漸進穩定的。 0ex當當 ，有，有 ，故系統，故系統 是一致大范圍漸進穩定的。是一致大范圍漸進穩定的。0exx)(xV定理定理4-24-2 設系統狀態方程為設系統狀態方程為)(xfx )(xV)(xVx0ex0)(xV0ex)(xV)(xV在平衡狀態在平衡狀態 的某鄰域內，標量函數的某鄰域內，標量函數 具有連續一階偏導具有連續一階偏導數，并且滿足：數，并且滿足：1） 為正定；為正定； 2） 為半負定；為半負定；3）除了）除了 平衡狀態外，平衡狀態外，還有還有 的點，但是不會在整條狀態軌線上有的點，但是不會在整條狀態軌線上有 則則 為一致漸近穩定的。為一致漸近

13、穩定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致漸近穩定的。是大范圍一致漸近穩定的。 0ex)(xV0)(xV（注：本定理是將定理注：本定理是將定理4-14-1的條件稍微放寬了一點）的條件稍微放寬了一點）例例4-34-3 系統的狀態方程為系統的狀態方程為1222221)1 (xxxaxxx其中，其中， a 為大于零的實數。判別系統的穩定性。為大于零的實數。判別系統的穩定性。解解 系統的平衡狀態為系統的平衡狀態為 0ex選取選取Lyapunov函數：函數：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而221122)(xxxxVx將狀態方程代入上式，化

14、簡后得將狀態方程代入上式，化簡后得2222)1 (2)(xxaVx21xx 1x可見，當可見，當 和任意的和任意的 時，有時，有 ，而，而 和任意和任意 時，時， 。又因為。又因為 ，只要，只要 變化變化 就不為零，因此就不為零，因此在整條狀態軌線上不會有在整條狀態軌線上不會有 。02x1x0)(xV02x1x0)(xV21xx 0)(xV因此，因此， 是一致漸進穩定的。是一致漸進穩定的。 0ex當當 ，有，有 ，故系統，故系統 是一致大范圍漸進穩定的。是一致大范圍漸進穩定的。0exx)(xV定理定理4-34-3 設系統狀態方程為設系統狀態方程為)(xfx 0ex)(xVx0ex)(xV)(x

15、V0ex在平衡狀態在平衡狀態 的某鄰域內，標量函數的某鄰域內，標量函數 具有連續一階偏導具有連續一階偏導數，并且滿足：數，并且滿足：1） 為正定；為正定；2） 為半負定；為半負定； 則則 為一致穩定的。為一致穩定的。如果如果 ， ，則，則 是大范圍一致穩定的。是大范圍一致穩定的。 )(xV（注：本定理只是比定理（注：本定理只是比定理4-2少了第少了第3個條件，不能保證個條件，不能保證漸近穩定，只能保證一致穩定。）漸近穩定，只能保證一致穩定。）)(xV因為因為 0則系統可能存在閉合曲線（極限環），在上面恒有則系統可能存在閉合曲線（極限環），在上面恒有 ，則系，則系統可能收斂到極限環，而不收斂到平

16、衡點。因此統可能收斂到極限環，而不收斂到平衡點。因此 是一致穩是一致穩定的。定的。0)(xV0ex例例4-44-4 系統的狀態方程為系統的狀態方程為1221xxkxx其中，其中， k 為大于零的實數。分析系統平衡狀態的穩定性。為大于零的實數。分析系統平衡狀態的穩定性。解解 系統的平衡狀態為系統的平衡狀態為 0ex選取選取Lyapunov函數：函數：2221)(kxxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足而而02222)(21212211xkxkxxxkxxxVx由定理由定理4-3可知，可知， 為為Lyapunov意義下一致穩定。意義下一致穩定。 0ex定理

17、定理4-44-4 設系統狀態方程為設系統狀態方程為)(xfx 0ex)(xV)(xV0ex 在在 的某鄰域內，標量函數的某鄰域內，標量函數 具有連續一階偏導數，具有連續一階偏導數，并且滿足：并且滿足： 1） 為正定；為正定； 2） 為正定或半正定；為正定或半正定； 則則 為不穩定的。為不穩定的。)(xV例例4-54-5 系統的狀態方程為系統的狀態方程為21221xxxxx分析系統平衡狀態的穩定性。分析系統平衡狀態的穩定性。解解 系統的平衡狀態為系統的平衡狀態為 0ex選取選取Lyapunov函數：函數：2221)(xxVx00)(00)(xxxxVV顯然它是正定的，即滿足顯然它是正定的，即滿足

18、而而222221212211222222)(xxxxxxxxxxVx由定理由定理4-4可知，可知， 是不穩定的。是不穩定的。 0ex 應該指出：到目前為止，人類還沒有找到構造應該指出：到目前為止，人類還沒有找到構造Lyapunov函數函數的一般方法。因為的一般方法。因為Lyapunov第二法給出的結果是系統穩定性的充第二法給出的結果是系統穩定性的充分條件。因此，對于某個系統來說，找不到合適的分條件。因此，對于某個系統來說，找不到合適的Lyapunov函數，函數，既不能說系統穩定，也不能說系統不穩定，只能說無法提供有關該既不能說系統穩定，也不能說系統不穩定，只能說無法提供有關該系統穩定性的信息（

19、即：系統穩定性的信息（即：inconclusive 沒有得出結論）。沒有得出結論）。4.4 4.4 線性連續系統的穩定性線性連續系統的穩定性對線性時變系統，其相應的齊次狀態方程為對線性時變系統，其相應的齊次狀態方程為xAx)(t由第由第2章介紹的方法求出其解為章介紹的方法求出其解為由此可判別齊次以及非齊次系統的穩定性，如果收斂則都穩定；由此可判別齊次以及非齊次系統的穩定性，如果收斂則都穩定；如果發散，則都不穩定。如果發散，則都不穩定。)(),()(00ttttxx 首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣首先介紹矩陣正定性的定義：對于方陣nnnnnnqqqqqqqqq212222111211Q當它的

20、所有主子式均大于零時，則當它的所有主子式均大于零時，則Q是正定是正定的。即：的。即：011q022211211qqqq,0212222111211nnnnnnqqqqqqqqq對線性定常系統對線性定常系統 ，可以用，可以用Lyapunov第二法。第二法。xAx)(t 如果方陣如果方陣Q 是正定的，則是正定的，則Q 就是負定的。負定的矩陣主子式就是負定的。負定的矩陣主子式負正相間。負正相間。Lyapunov函數函數 為狀態變量為狀態變量 的二次型函數，即的二次型函數，即)(xVxPxxxTV)(如果如果P 為為 維正定的對稱常數矩陣，則維正定的對稱常數矩陣，則 為正定的。為正定的。nn)(xVx

21、PAPAxPxxx)()(dd)(TTTtV令令 ，其中，其中Q 為正定實數矩陣，且滿足為正定實數矩陣，且滿足 QxxxTV)(QPAPAT如果給定如果給定Q陣，能夠推出陣，能夠推出P 為正定的，則系統在為正定的，則系統在 為穩定的。并為穩定的。并且線性定常系統為穩定，就一定是大范圍一致漸近穩定。且線性定常系統為穩定，就一定是大范圍一致漸近穩定。0ex（注：線性定常系統，可以判斷（注：線性定常系統，可以判斷A A的特征值是否全部具的特征值是否全部具有負實部，既可以判別其穩定性。）有負實部，既可以判別其穩定性。）例例4-64-6 線性定常系統的狀態方程為線性定常系統的狀態方程為xx1110-判別

22、系統的穩定性。判別系統的穩定性。解解 系統的平衡狀態為系統的平衡狀態為 0ex為簡單起見，可以令為簡單起見，可以令Q 陣為單位矩陣陣為單位矩陣I。IPAPAT1001111011102221121122211211PPPPPPPP解得解得121212322211211PPPP022211211PPPP011P有有可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩定的。為大范圍一致漸近穩定的。0ex4.5 4.5 線性定常離散系統的穩定性線性定常離散系統的穩定性線性定常離散系統的狀態方程為線性定常離散系統的狀態方程為)() 1(kkGxx（8）0ex系統的平衡狀態為系統的平衡

23、狀態為0ex假設假設G 為為 維非奇異常數陣，維非奇異常數陣， 是唯一的平衡狀態。是唯一的平衡狀態。nn選取選取Lyapunov函數函數)()()(kkkVTPxxx（9）式中，式中，P 為為 正定的對稱常數，因此正定的對稱常數，因此 是正定的。是正定的。 nn)(kV x)(kV x的差分為的差分為)()()()() 1() 1()()1()(kkkkkkkVkVkVTTTTxP-PGGxPxxPxxxxx若要在若要在 處漸近穩定，要求處漸近穩定，要求 為負定的。所以為負定的。所以0ex)(kV x)()()(kkkVTQxxx其中其中Q 為正定。為正定。給定一個正定對稱常數陣給定一個正定對

24、稱常數陣Q ，求，求P 陣，并驗證其正定性。陣，并驗證其正定性。QP-PGGT（10）例例4-74-7 線性定常離散系統的狀態方程如下，試判別其穩定性。線性定常離散系統的狀態方程如下，試判別其穩定性。)(02110) 1(kkxx解解 系統的平衡狀態為系統的平衡狀態為 0ex為簡單起見，可以令為簡單起見，可以令Q 陣為單位矩陣陣為單位矩陣I。IPPGGT解得解得100102110012102221121122211211PPPPPPPP380035P035P 的各階主子式均大于零，即的各階主子式均大于零，即0380035可見，可見， P 為正定的矩陣，故為正定的矩陣，故 為大范圍一致漸近穩定的

25、。為大范圍一致漸近穩定的。0ex4.6 4.6 有界輸入有界輸入- -有界輸出穩定有界輸出穩定4.6.1 有界輸入有界輸入-有界輸出穩定有界輸出穩定Bounded Input Bounded Output (BIBO) Stable定義：對于初始松弛系統，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱定義：對于初始松弛系統，任何有界輸入，其輸出也是有界的，稱為為BIBO系統。系統。如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 uu1K如果輸入如果輸入 有界，是指有界，是指 yy2Ktttd)()(0uHytKtttttd)()(d)()(001uHuH如果如果tttd)(0H3K于是于是y31KK312KKK

26、可以取可以取定理定理4-54-5 由方程由方程 描述的線性定常系統。描述的線性定常系統。CxyBuAxx為初始松弛系統。其輸出向量的解為為初始松弛系統。其輸出向量的解為ttttd)()()(0uHy（11）BIBO穩定的充分必要條件是存在一個常數穩定的充分必要條件是存在一個常數K3，有，有td)(0H3K或者對于或者對于 的每一元素，都有的每一元素，都有)(t Hhijd)(03K其中，其中，a 為一個非負的實數，而系統的脈沖響應函數為為一個非負的實數，而系統的脈沖響應函數為例例4-8 線性定常系統方程為線性定常系統方程為uaxxcxy atcthe)(分析系統是否分析系統是否BIBO穩定。穩

27、定。解解001dd)(00aaacecha可見，只有當可見，只有當 時，才有有限值時，才有有限值 存在，系統才是存在，系統才是BIBO穩定穩定的。的。3K0a4.6.2 BIBO穩定與平衡狀態穩定性之間的關系穩定與平衡狀態穩定性之間的關系對于線性定常系統對于線性定常系統CxyBuAxx（12）平衡狀態平衡狀態 的漸近穩定性由的漸近穩定性由A 的特征值決定。而的特征值決定。而BIBO的穩定性的穩定性是由傳遞函數的極點決定的。是由傳遞函數的極點決定的。0ex0ex0ex)(sG 的所有極點都是的所有極點都是A 的特征值，但的特征值，但 A 的特征值并不一定都是的特征值并不一定都是 的極點。可能存在

28、零極點對消。所以，的極點。可能存在零極點對消。所以， 處的漸近穩定就包含處的漸近穩定就包含了了BIBO穩定，而穩定，而BIBO穩定卻可能不是穩定卻可能不是 處的漸近穩定。處的漸近穩定。)(sG那么在什么條件下，那么在什么條件下，BIBO穩定才有平衡狀態穩定才有平衡狀態 漸近穩定呢？漸近穩定呢？結論是：如果（結論是：如果（12）式所描述的線性定常系統是）式所描述的線性定常系統是BIBO穩定，且系穩定，且系統是既能控又能觀測的，則系統在統是既能控又能觀測的，則系統在 處是漸近穩定的。處是漸近穩定的。0ex0ex4.7 4.7 非線性系統的穩定性分析非線性系統的穩定性分析4.7.1 用用Lyapun

29、ov第二法分析非線性系統穩定性第二法分析非線性系統穩定性到目前為止，尚沒有構造到目前為止，尚沒有構造Lyapunov函數的一般性方法。往往函數的一般性方法。往往都是根據經驗，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。都是根據經驗，用試湊法。以下是兩種比較有效的方法。1. 克拉索夫斯基法克拉索夫斯基法（12）非線性定常系統的狀態方程為非線性定常系統的狀態方程為00)()(fxfx 其中其中 和和 均為均為n維向量。維向量。 為非線性多為非線性多元函數，對各元函數，對各 都具有連續的偏導數。都具有連續的偏導數。x)(xf),()(21niixxxffxix), 2 , 1(ni構造構造Lyapunov函

30、數如下函數如下)()()(xWfxfxWxxTTV（13）其中其中 W 為為 正定對稱常數矩陣正定對稱常數矩陣nn)()()()()(xfWxfxWfxfxTTV（14）而而)()(ddd)(d)(xfxJxxfxxfxfxftt（15）nnnnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf212221212111)()(xxfxJ其中其中稱為雅可比矩陣稱為雅可比矩陣（16）)()()()()()()()()()()()()()(xfxSxfxfxWJWxJxfxfxWJxfxWfxfxJxTTTTTV其中其中)()()(xWJWxJxST（17）0ex)(xV如果如果 是負定的，則是負定的，則 是

31、負定的。而是負定的。而 是正定的，故是正定的，故 是一致漸近穩定的。如果是一致漸近穩定的。如果 ， ，則，則是大范圍一致漸近穩定的。為簡便，通常取是大范圍一致漸近穩定的。為簡便，通常取 ，這時，這時)(xS)(xV0exx)(xVIW )()()(xJxJxST例例4-104-10 非線性定常系統狀態方程為非線性定常系統狀態方程為3221211xxxxxx試分析試分析 的穩定性。的穩定性。0ex解解3221211)(xxxxxxxf雅可比矩陣雅可比矩陣222212211131101)()(xxfxfxfxfxxfxJ選擇選擇 W=I 則則222222621123110131011)()()(xxxTxJxJxS檢驗檢驗 的各階主子式：的各階主子式：)(xS02 012362112det