1、銳角三角函數銳角三角函數焦陂職高丁勇焦陂職高丁勇2 2解直角三角形在實際問題中的應用解直角三角形在實際問題中的應用 解直角三角形在實際中有廣泛的應用，主要涉及測量、航空、解直角三角形在實際中有廣泛的應用，主要涉及測量、航空、航海、工程等領域，常作為習題出現的有以下幾個方面：度量航海、工程等領域，常作為習題出現的有以下幾個方面：度量工作、工程建筑、測量距離等解這類問題的一般步驟是：工作、工程建筑、測量距離等解這類問題的一般步驟是： (1)弄清題中名詞術語的意義，然后根據題意畫出幾何圖形，弄清題中名詞術語的意義，然后根據題意畫出幾何圖形，建立數學模型；建立數學模型； (2)將實際問題中的數量關系歸

2、結為直角三角形中元素之間的將實際問題中的數量關系歸結為直角三角形中元素之間的關系，當有些圖形不是直角三角形時，可添加適當的輔助線，關系，當有些圖形不是直角三角形時，可添加適當的輔助線，把它們分割成直角三角形；把它們分割成直角三角形； (3)尋求基礎直角三角形，并解這個三角形或設未知數進行求尋求基礎直角三角形，并解這個三角形或設未知數進行求解解 三、典型模塊的命題方向 知識模塊知識模塊2.解三角形解三角形【安徽【安徽2011】19如圖，某高速公路建設中需如圖，某高速公路建設中需要確定隧道要確定隧道AB的長度已知在離地面的長度已知在離地面1500m高高度度C處的飛機上，測量人員測得正前方處的飛機上

3、，測量人員測得正前方A、B兩兩點處的俯角分別為點處的俯角分別為60和和45求隧道求隧道AB的長的長( 1.73 )3 三、典型模塊的命題方向 知識模塊知識模塊2.解三角形解三角形【安徽【安徽2013】19、如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形、如圖，防洪大堤的橫斷面是梯形ABCD，其中，其中ADBC，坡角，坡角=60，汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面坡角，汛期來臨前對其進行了加固，改造后的背水面坡角=45，若原坡長，若原坡長AB=20m，求改造后的坡長，求改造后的坡長AE（結果保留根號）（結果保留根號） 三、典型模塊的命題方向 知識模塊知識模塊2.解三角形解三角形【安徽【安徽2015】18如圖

4、，平臺如圖，平臺AB高為高為12m，在，在 B處處測得樓房測得樓房CD頂部點頂部點D的仰角為的仰角為45，底部點，底部點C的俯的俯角為角為30，求樓房，求樓房CD的高的高 度度( 1.7) 3【安徽【安徽2016】 19如圖，河的兩岸如圖，河的兩岸l1與與l2相互平行，相互平行，A、B是是l1上的兩點，上的兩點，C、D是是l2上的兩點，某人在點上的兩點，某人在點A處測得處測得CAB=90，DAB=30，再沿，再沿AB方向前方向前進進20米到達點米到達點E（點（點E在線段在線段AB上），測得上），測得DEB=60，求，求C、D兩點間的距離兩點間的距離題型二仰角、俯角、方向角有關問題題型二仰角、俯

5、角、方向角有關問題【例例 2】 已知：如圖，在某建筑物已知：如圖，在某建筑物AC上，掛著上，掛著“多彩云南多彩云南”的宣的宣傳條幅傳條幅BC，小明站在點，小明站在點F處，看條幅頂端處，看條幅頂端B，測得仰角為，測得仰角為30，再往條幅方向前行再往條幅方向前行20m到達點到達點E處，看到條幅頂端處，看到條幅頂端B，測得仰角，測得仰角為為60，求宣傳條幅，求宣傳條幅BC的長的長(小明的身高不計，結果用含有根小明的身高不計，結果用含有根號的式子表示號的式子表示)解：設解：設BCx，在，在RtBCF中，中，tanF ， CF x. 在在RtBCE中，中，tanBEC ， EC x. FEFCEC， x

6、 x20. x20，x10 . 答：宣傳條幅答：宣傳條幅BC的長是的長是10 m.BCCF xtan30 3 BCEC xtan60 33 3 33 2 33 3 3 探究提高探究提高 此類問題常與仰角、俯角等知識相關，通常由視線、水平線、此類問題常與仰角、俯角等知識相關，通常由視線、水平線、鉛垂線構成直角三角形，再利用邊與角之間存在的三角函數式，鉛垂線構成直角三角形，再利用邊與角之間存在的三角函數式，變形求得物體高度變形求得物體高度題型三解直角三角形的簡單應用題型三解直角三角形的簡單應用【例例 3】 (2012赤峰赤峰)關于三角函數有如下的公式：關于三角函數有如下的公式： sin()sinc

7、oscossin cos()sincossinsin tan()(1tantan0) 利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數轉化為特殊角的利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數轉化為特殊角的 三角函數來求值，如三角函數來求值，如tan105tan(4560) (2 )3 根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：根據上面的知識，你可以選擇適當的公式解決下面的實際問題：如圖，直升飛機在一建筑物如圖，直升飛機在一建筑物CD上方上方A點處測得建筑物頂端點處測得建筑物頂端D點的點的俯角俯角為為60，底端，底端C點的俯角點的俯角為為75，此時直升飛機與建筑物，此時直升飛機與建筑物CD的

8、水平距離的水平距離BC為為42m，求建筑物，求建筑物CD的高的高解：過點解：過點D作作DEAB于于E， 在在RtADE中，中，ADEa60， AEEDtan60BCtan6042 . 在在RtACB中，中，ACB75， ABBCtan75， tan75tan(4530) 2 ， AB42(2 )8442 ， CDBEABAE8442 42 84. 答：建筑物答：建筑物CD的高為的高為84m.3 tan45tan301tan45tan30 3 33 3 3 3 3 3 3 探究提高探究提高 在解斜三角形時，通常把斜三角形轉化為直角三角形，常見在解斜三角形時，通常把斜三角形轉化為直角三角形，常見的

9、方法是作高，作高把斜三角形轉化為直角三角形，再利用解的方法是作高，作高把斜三角形轉化為直角三角形，再利用解直角三角形的有關知識解決問題直角三角形的有關知識解決問題知能遷移知能遷移3(2011安順安順)一次數學活動課上，老師帶領學生去測一一次數學活動課上，老師帶領學生去測一條南北流向的河寬，如圖所示，某學生在河東岸點條南北流向的河寬，如圖所示，某學生在河東岸點A處觀測到河處觀測到河對岸水邊有一點對岸水邊有一點C，測得，測得C在在A北偏西北偏西31的方向上，沿河岸向的方向上，沿河岸向北前行北前行40m到達到達B處，測得處，測得C在在B北偏西北偏西45的方向上，請你根的方向上，請你根據以上數據，求這

10、條河的寬度據以上數據，求這條河的寬度(參考數值：參考數值：tan 31 )解：如圖，過點解：如圖，過點C作作CDAB于于D ， 由題意由題意DAC31，DBC45， 設設CDBDx， 則則ADABBD40 x， 在在RtACD中，中，tanDAC ，則，則 ， 解得解得x60. 答：這條河的寬是答：這條河的寬是60m.CDAD x40 x 35 題型四解直角三角形在實際中的應用題型四解直角三角形在實際中的應用【例例 4】 (2012杭州杭州) 如圖，臺風中心位于點如圖，臺風中心位于點P，并沿東北方向，并沿東北方向PQ移動，已知臺風移動的速度為移動，已知臺風移動的速度為30千米千米/時，受影響區

11、域的半徑為時，受影響區域的半徑為200千米，千米，B市位于點市位于點P的北偏東的北偏東75方向上，距離方向上，距離P點點320千米千米處處 (1)說明本次臺風會影響說明本次臺風會影響B市；市； (2)求這次臺風影響求這次臺風影響B市的時間市的時間 解題示范解題示范規范步驟，該得的分，一分不丟！規范步驟，該得的分，一分不丟！解：解：(1)作作BHPQ于點于點H，在，在RtBHP中，由條件知，中，由條件知， PB320，BPQ754530， 得得BH320sin30160200， 本次臺風會影響本次臺風會影響B市市 44分分 (2)如圖，若臺風中心移動到如圖，若臺風中心移動到P1時，臺風時，臺風

12、開始影響開始影響B市，臺風中心移動到市，臺風中心移動到P2時，時， 臺風影響結束臺風影響結束 由由(1)得得BH160，由條件得，由條件得BP1BP2200， P1P22 240， 88分分 臺風影響的時間臺風影響的時間t 8(小時小時) 1010分分 20021602 24030 探究提高探究提高 此類問題一般求出危險區域中心的距離，看其是否小于圓形此類問題一般求出危險區域中心的距離，看其是否小于圓形危險區域的半徑，其實質是判斷圓和直線的位置關系求影響危險區域的半徑，其實質是判斷圓和直線的位置關系求影響情況，通常以此為圓心，以臺風影響半徑為半徑畫圓，交臺風情況，通常以此為圓心，以臺風影響半徑

13、為半徑畫圓，交臺風行進路線于兩點，這兩點之間的距離就是受影響其間臺風所經行進路線于兩點，這兩點之間的距離就是受影響其間臺風所經過的路程，其中最靠近臺風方向的一點表示臺風開始影響，另過的路程，其中最靠近臺風方向的一點表示臺風開始影響，另一點表示臺風結束影響一點表示臺風結束影響知能遷移知能遷移4(2012烏魯木齊烏魯木齊)某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所某過街天橋的截面圖為梯形，如圖所示，其中天橋斜面示，其中天橋斜面CD的坡度為的坡度為i1 ，(i1 是指鉛直是指鉛直高度高度DE與水平寬度與水平寬度CE的比的比)，CD的長為的長為10m，天橋另一斜面，天橋另一斜面AB坡角坡角ABG45. (1)寫

14、出過街天橋斜面寫出過街天橋斜面AB的坡度；的坡度； (2)求求DE的長；的長； (3)若決定對該過街天橋進行改建，使若決定對該過街天橋進行改建，使AB斜面的坡度變緩，將其斜面的坡度變緩，將其45坡角改為坡角改為30，方便過路群眾，改建后斜面為，方便過路群眾，改建后斜面為AF.試計算此試計算此改建需占路面的寬度改建需占路面的寬度FB的長的長(結果精確結果精確0.01)3 3 解：解：(1)在在RtAGB中，中，ABG45， AGBG， AB的坡度的坡度 1. (2)在在RtDEC中，中，tanC ， C30. 又又CD10，DE CD5. (3)由由(1)知，知，AGBG5，在，在RtAFG中，

15、中，AFG30， tanAFG ，即，即 ， 解得解得FB5 53.66. 答：改建后需占路面寬度約為答：改建后需占路面寬度約為3.66 m.AGBG DEEC 13 33 12 AGFG 33 5FB5 3 2424添加輔助線，把分散條件集中起來添加輔助線，把分散條件集中起來試題試題如圖，如圖，AD是是BC邊上的高，邊上的高，AD DC BD1 2 3， 求求BAC的度數的度數學生答案展示學生答案展示 不能添加輔助線來考慮，從而無法下手不能添加輔助線來考慮，從而無法下手剖析剖析 如圖，延長如圖，延長BA，過，過C畫畫CEAB，只要求，只要求BAC的外角即可的外角即可易錯警示易錯警示正解過正解

16、過C作作CEBA，交，交BA的延長線于點的延長線于點E. 設設ADm，則，則DC2m，BD3m， AC m， AB m. BB，ADBCEB90， BECBDA. m. CE m. 在在RtAEC中，中，sinEAC ， EAC45， BAC135.AD2DC2 m2 2m 2 AD2BD2 m2 3m 2 5 10 CEADBCAB3m2m105m10102 102 ECAC 102m5m 批閱筆記批閱筆記 如果題目中的條件比較分散，所給的圖形不夠完整，我們如果題目中的條件比較分散，所給的圖形不夠完整，我們可以通過作垂線，作平行線等添輔助線的方法，將斜三角形可以通過作垂線，作平行線等添輔助線

17、的方法，將斜三角形的問題轉化為解直角三角形的數學模型的問題轉化為解直角三角形的數學模型(化斜為直的思想化斜為直的思想)，把分散的條件集中起來，構造直角三角形、相似三角形，以把分散的條件集中起來，構造直角三角形、相似三角形，以達到解題目的達到解題目的方法與技巧方法與技巧 1. 準確理解三角函數概念，熟練運用正弦、余弦、正切的定準確理解三角函數概念，熟練運用正弦、余弦、正切的定義義 2. 形成解直角三角形思考過程的程序：在不同的條件下，應形成解直角三角形思考過程的程序：在不同的條件下，應有不同的考慮；無論什么條件下，分別求解各未知元素時，應有不同的考慮；無論什么條件下，分別求解各未知元素時，應盡量

18、代入已知的數值，少用在前面的求解中剛剛算出的數值，盡量代入已知的數值，少用在前面的求解中剛剛算出的數值，以減少以錯傳誤的機會以減少以錯傳誤的機會 3. 解直角三角形應用題的思考方法：解直角三角形應用題的思考方法： (1)尋求各類應用題的共同思考步驟：尋求各類應用題的共同思考步驟： 審題，把情景盡可能弄通、弄細致，甚至畫個示意圖；審題，把情景盡可能弄通、弄細致，甚至畫個示意圖； 把示意圖轉化為幾何圖；把示意圖轉化為幾何圖；思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，從要求的量所在的直角三角形分析，解之，若條件不足，轉而先去解所缺條件所在的直角三角形，然后返回；若條件仍轉而先去解所缺條件所在的直角三角形，然后返回；若條件仍不足，再去解第二次所缺條件所在的直角三角形，直至與全部不足，再去解第二次所缺條件所在的直角三角形，直至與全部已知條件掛上鉤，然后層層返回已知條件掛上鉤，然后層層返回 (2)積累各種類型