1、2022-6-111第二章 插值法2022-6-112第二章 插值法 2.1 引言引言 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 2.3 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式 2.4 差分與等距節點插值差分與等距節點插值 2.5 埃爾米特插值埃爾米特插值 2.6 分段低次插值分段低次插值 2.7 三次樣條插值三次樣條插值2022-6-113本章要點用簡單的函數(如多項式函數)作為一個復雜函數的近似,最簡單實用的方法就是插值.本章主要介紹有關插值法的一些基本概念，及多項式插值的基礎理論和幾個常用的插值方法：拉格朗日插值、分段線性插值、牛頓插值、埃爾米特插值和三次樣條插值.2022-6-114 2.1 引

2、言引言且不利于在計算機上其函數形式可能很復雜對函數,),(xf個不同的點上的一組在區間可以獲得量假如可以通過實驗或測運算1,)(,nbaxfbxxxxan210nixfyii,2 , 1 , 0),(上的函數值能否存在一個性能優良、便于計算的函數滿足比如多項式函數),(xP一、插值問題2022-6-115niyxPii,2 , 1 ,0)()()(xfxP近似代替并且用這就是插值問題，上式為插值條件的插值函數為函數稱函數)()(xfxP則稱之為插值多項式為多項式函數如果,)(xP稱為插值節點點, 2 , 1 , 0,nixi稱為插值區間區間,ba個等分點上若給定如函數5,0,sinxy 其插值

3、函數的圖象如下圖2022-6-11600.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy00.511.522.533.500.10.20.30.40.50.60.70.80.91sinx的 插 值xy)()(xPxf和插值函數對于被插函數處的函數值必然相等在節點ix)()(xfxP的值可能就會偏離但在節點外必然存在

4、著誤差近似代替因此)()(xfxP2022-6-117二、插值法的類型上的代數插值多項式為在區間設函數,)(baxfy nnnxaxaxaaxP2210)(且滿足niyxPiin,2 , 1 ,0)(其中 為實數，就稱P(x)為插值多項式，相應的插值法稱為多項式插值；若P(x)為分段的多項式，就稱為分段插值；若P(x)為三角多項式，就稱為三角插值。ia本章只討論多項式插值與分段插值2022-6-118 2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值 此插值問題可表述為如下： 問題問題 求作次數 多項式 ，使滿足條件 這就是所謂的拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）插值）插值。n ), 1 , 0( ,ni

5、yxLiin)(xLn 拉格朗日（Lagrange）插值公式(以下統稱為Lagrange插值公式)的基本思想是，把pn(x)的構造問題轉化為n+1個插值基函數li(x)(i=0,1,n)的構造。2022-6-1192022-6-1110問題問題 已知函數y=f(x)在點x0,x1上的值為y0,y1，求 作一次一次式 ，使滿足條件 其幾何意義，就是通過兩點 的一條直線。 2.2.1 線性插值與拋物插值線性插值與拋物插值111001)(,)(yxLyxL),(),(1100yxByxA一、線性插值一、線性插值點斜式點斜式)(1xL2022-6-1111L12022-6-1112由直線兩點式可知，通

6、過A，B的直線方程為 稱為線性插值(n=1的情況)，分為內插與外推。)()(1001010 xLxxxxyyyy適用情況：適用情況：|01xx 很小時2022-6-1113)()()11001xlyxly(xL也可表示為如下對稱形式：其中，0101)(xxxxxl1010 xxxx(x)l顯然，;)(xl,)(xl;)(xl,)(xl010101111000為線性插值基函數及函數1 0(x)l(x)l2022-6-1114 線性插值的局限性線性插值的局限性2022-6-1115線性插值舉例線性插值舉例例1: 已知 ， ，求代入點斜式插值多項式得 y=10.71428精確值為 10.723805

7、，故這個結果有3位有效數字。10100 11121 115y)()(0010101xxxxyyyxL2022-6-1116 問題問題 求作二次二次式 ，使滿足條件二次插值的幾何解釋是用通過三個點 的拋物線來近似考察曲線，故稱為拋物插值。類似于線性插值，構造基函數，要求滿足下式：)(2xL二、拋物插值二、拋物插值) 1, 1()(2kkkjyxLjj)()()()11kk112xlyxlyxly(xLkkkk2022-6-11172022-6-1118x0=100, x1=121, x2=144f(x0)=10, f(x1)=11, f(x2)=12 (121100)(121144)L2(115

8、) =(100121)(100144)(115121)(115144)* 10+(115100)(115144)* 11+(144100)(144121)(115100)(115121)* 12= 10.7228拋物插值拋物插值舉例2(x0 x1)(x0 x2)(xx1)(xx2)f(x0) +(x1x0)(x1x2)(xx0)(xx2)f(x1)+(x2x0)(x2x1)(xx0)(xx1)f(x2)L L2 2(x)=(x)=和用線性插值相比，有效數字增加一位2022-6-1119為了構造 ，我們先定義n次插值基函數。)(xLn2.2.2 拉格朗日n次插值多項式定義：若n次多項式),1 ,

9、 0()(nixli在n+1個節點nxxx10上滿足條件。次插 值插值基上的為節點)(,),(),(次多 項多個1就稱 這1010n,x,xxxlxlxlnnnn2022-6-1120)()()()()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxlnkiiikixxxx0)()(), 2 , 1 , 0(nk)()(10nxxxxxx(x)n 1令)(xkn 1則)()()(1110nkkkkkkkxxxxxxxxxxn+1次多項式對n=1及n=2時的情況前面已經討論，用類似的推導方法，可得到n次插值基函數為：2022-6-1121)()()()

10、()()()(11101110nkkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl), 2 , 1 , 0(nk且)(xLnnkknknkxxxxy011)()()()()()(11knknxxxx從而2022-6-1122為記為項式為插值基函數的插值多以上在節點于是)(), 1 , 0()(,), 1 , 0()(,xLnixlnixxfyniiininijjjijnnnyxxxxxlyxlyxlyxL001100)()()()()()(總總結結稱)(xLn為y=f(x)的拉格朗日插值多項式稱), 1 , 0)(nixli為n次拉格朗日插值基函數2022-6-1123例3：求

11、過點(2，0) (4，3) (6，5) (8，4) (10，1)的 拉格朗日插值多項式。2022-6-11242022-6-11252022-6-11262022-6-1127拉格朗日插值多項式的缺點：（1）插值基函數計算復雜（2）高次插值的精度不一定高2022-6-1128 2.2.3 插值余項與誤差估計插值余項與誤差估計一、插值余項插值的從上節可知Lagrangexfy)(,niiinxlyxL0)()(滿足nixfxLiin, 1 , 0)()(,bax但)()(xfxLn不會完全成立因此，插值多項式存在著截斷誤差,那么我們怎樣估計這個截斷誤差呢？2022-6-1129)(xLn)(xR

12、n)()!1()(1)1(xnfnn,)()(01niinxxx其中.,),(xba且依賴于2022-6-1130)()()(xLxfxRnn令上顯然在插值節點為), 1 , 0(nixi)()()(iniinxLxfxRni, 1 , 0,0個零點上至少有在因此1,)(nbaxRn)()()(1xxKxRnn設)()()(101nnxxxxxxx為待定函數)(xK其中)()()()()(1xxKxLxfxRnnn證明：證明：假設在區間a,b上f(x)的插值多項式為)(xLn2022-6-1131)()()()(1xxKxLxfnn0)(x則有0的區分與注意xt)(ix且)()()(1inin

13、xxKxR0即個零點上至少有在區間若令因此,2,)(,nbatxxi,0)(xni, 1 , 0nixi, 2 , 1 , 0,0)()()()()(1xxKxLxfnn)()()()(1ininixxKxLxf)()()()()(1txKtLtftnn若引入輔助函數2022-6-1132根據羅爾定理,個零點上有至少在區間1),()(nbat再由羅爾定理,個零點上有至少在區間nbat),()( 依此類推階導數為零的使得內至少有一個點在區間1)(,),(ntba0)()1(n)()1(tn)()()()()1(1)1()1(txKtLtfnnnnn由于2022-6-1133)!1()()()1(

14、nfxKn)()()(1xxKxRnn)()!1()(1)1(xnfnn所以)()()(截斷誤差的余項為插值多項式稱xLxRnn)()()()()()1(1)1()1()1(nnnnnnxKLf因此)!1()()()1(nxKfn02022-6-1134|)(|xRn則)()!1()(1)1(xnfnn)()!1(11xnMnn注意（1）余項表達式只有在f(x)的高階導數存在時 才能應用。（2）在ba,內的具體位置通常不可能給出，所以，設)() 1(1maxxfMnbxan2022-6-1135例1:225,169,144,)(,. 1三個節點為若中在上節例xxf線性插值的余項為設Lagran

15、gexR)(1插值的余項為二次LagrangexR)(2解:.)175(截斷誤差近似值的線性和二次插值做試估計用fLagrangexxf21)(2341)( xxf2583)( xxf|)(|max2251692xfMx |)169(| f 41014. 1|)(|max2251443xfMx |)144(| f 61051. 12022-6-1136| )175(|2|)225175)(169175(|300| )175(|3|)225175)(169175)(144175(|9300| )175(|1R)175(! 2122M3001014. 121421071. 1| )175(|2R)

16、175(! 3133M93001051. 161631035. 22022-6-1137例2.5 , 5,11)(2xxxf設函數ninhihxnni, 1 ,0,10,515 , 5個節點等份取將插值多項式次的作試就Lagrangenxfn)(10, 8 , 6 , 4 ,2并作圖比較.解:211)(iiixxfy插值多項式次作LagrangennjnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10, 8 , 6 , 4 ,2n2022-6-1138-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.

17、52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數的拉格朗日插值多項式的比較圖Runge現象2022-6-1139結果表明,并不是插值多項式的次數越高,插值效果越好,精度也不一定是隨次數的提高而升高,這種現象在上個世紀初由Runge發現,故稱為Runge現象. P44 1、2本章作業1、給定正弦函數

18、表如下，試用拉格朗日二次插值，求sin0.57891的近似值并估計誤差。0.50.60.70.479340.564640.644222、已知函數表x1.131.151.171.20y=f(x)1.1911.3951.5931.790應用拉格朗日插值公式計算f(1.16)2022-6-1141 2.3 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式2022-6-1142 2.3.1 均差及其性質均差及其性質)(xljnjiiijixxxx0)()(nj,2 , 1 ,0我們知道,拉格朗日插值多項式的插值基函數為形式上太復雜,計算量很大,并且重復計算也很多由線性代數的知識可知,任何一個n次多項式都可以表示成

19、, 1,0 xx ),)(10 xxxx)()(110nxxxxxx,共n+1個多項式的線性組合2022-6-1143)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxP具有如下形式設插值多項式)(xP2022-6-1144000)(afxP有)()(011011xxaafxP00fa 01011xxffa)()()(12022021022xxxxaxxaafxP12010102022xxxxffxxffa2022-6-1145一、差商(均差)定義2.nifxxfii, 1 ,0,)(處的函數值為在互異的節點設稱)0()()(,000kxxxfxfxxfkkk)(,

20、)(0差商一階均差關于節點為kxxxf2022-6-1146二、均差具有如下性質：2022-6-1147,110kkxxxxfkjkjjjjjjjxxxxxxxxxf0110)()()()(2022-6-11482022-6-1149)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四階均差三階均差二階均差一階均差三、均差的計算方法(表格法):,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf規定函數值為零階均差均差表2022-6-11502.3.2

21、 牛頓插值公式2022-6-11512022-6-1152)(xRn)()!1()()()(1)1(xnfxNxfnnn)(,110 xxxxxfnn我們稱 為牛頓(Newton)均差插值多項式。)(xNn稱)(xRn 為牛頓均差插值多項式的截斷誤差。2022-6-11532022-6-11542022-6-1155顯然：2022-6-1156例1：2022-6-1157解：2022-6-11582022-6-1159四、拉格朗日插值與牛頓插值的比較2022-6-1160P59 13、14本章作業2022-6-1161 2.4 差分與等距節點插值差分與等距節點插值2022-6-1162一、差分

22、定義3.稱處的函數值為在等距節點設, 1 , 0,)(0nkfkhxxxfkkkkkfff1處的一階向前差分在為kxxf)(1, 1 ,0nk1kkkfff處的一階向后差分在為kxxf)(nk,2 , 1 2.4.1 差分及其性質差分及其性質2022-6-1163kmkmkmfff111階向前差分處的在為mxxfk)(階向后差分處的在為mxxfk)(依此類推111kmkmkmfff可以證明mkmkmff1kkff222kkff333kkff如kkkfff12處的二階向前差分在為kxxf)(12kkkfff處的二階向后差分在為kxxf)(2022-6-11644433221100fxfxfxfx

23、fxfxkk四階差分三階差分二階差分一階差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表4f3f2f1f42f32f22f43f33f44f2022-6-1165二、在等距節點的前提下,差商與差分有如下關系,1iixxfhfi,21iiixxxf212hffii222hfihfi 12212hffii2222hfi,321iiiixxxxf312223hffii33! 3 hfiiiiixxff112211,iiiiiixxxxfxxf332121,iiiiiiiixxxxxfxxxf2022-6-11663322223hffii333! 3 hfi,1miiixxxf依此類推m

24、imhmf!mmimhmf!,10kxxxfkkhkf!0kkkhkf!2022-6-1167 2.4.2 等距節點插值公式等距節點插值公式一、牛頓前插公式2022-6-11682022-6-1169二、牛頓向后(差分)插值公式2022-6-11702022-6-1171 牛頓插值法的優點是計算較簡單,尤其是增加節點時,計算只要增加一項,這是拉格朗日插值無法比的. 但是牛頓插值仍然沒有改變拉格朗日插值的插值曲線在節點處有尖點，不光滑，插值多項式在節點處不可導等缺點.三、牛頓插值公式與拉格朗日插值相比2022-6-1172 2.5 埃爾米特插值法埃爾米特插值法2022-6-1173 2.5 埃爾

25、米特插值法埃爾米特插值法2022-6-11742022-6-11752022-6-11762022-6-11772022-6-11782022-6-11792022-6-11802022-6-11812022-6-11822022-6-11832022-6-11842022-6-11852022-6-11862022-6-1187解：解：1 )2022-6-11882022-6-11892022-6-11902022-6-11912022-6-11922022-6-11932022-6-11942022-6-11952022-6-11962022-6-1197P60 15、16本章作業2022

26、-6-1198 2.6 分段插值法分段插值法2022-6-1199例2.5 , 5,11)(2xxxf設函數ninhihxnni, 1 ,0,10,515 , 5個節點等份取將插值多項式次的作試就Lagrangenxfn)(10, 8 , 6 , 4 ,2解:211)(iiixxfy插值多項式次作LagrangennjnjiiijijnxxxxxxL002)()(11)(10, 8 , 6 , 4 ,2n 2.6.1 高次插值的病態性質高次插值的病態性質2022-6-11100-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0

27、.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)-5-4-3-2-1012345-1.5-1-0.500.511.52n=2n=4n=6n=8n=10f(x)=1/(1+x2)不同次數的拉格朗日插值多項式的比較圖Runge現象2022-6-11101結果表明,并不是插值多項式的次數越高,

28、插值效果越好,精度也不一定是隨次數的提高而升高,這種現象在上個世紀初由Runge發現,故稱為Runge現象. 2022-6-11102 2.6.2 分段線性插值分段線性插值一、 分段線性插值的構造2022-6-11103-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-4-3-2-101

29、234-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81的圖象分段線性插值)(1xLy 的一條折線10,實際上是連接點,n, ,i),y(xii也稱折線插值,如右圖曲線的光滑性較差，在節點處有尖點。但如果增加節點的數量。減小步長,會改善插值效果)()(lim10 xfxLh上連續在若,)(baxf因此則2022-6-111042022-6-111052022-6-11106)()(max1xIxfhxxxkk| )( |max2121kkxxxxxxxMkk228)()(maxhMxIxfhbxa分段線性插值的誤差估計可利用插值余項得到或二、 分段線性插值的誤差估計其中)(max

30、2xfMbxa 2022-6-11107 2.6.3 分段三次埃爾米特插值分段三次埃爾米特插值2022-6-111082022-6-111092022-6-111102022-6-111112022-6-111122022-6-111132022-6-111142022-6-11115)(1xI2022-6-11116P59 18、19本章作業2022-6-11117 2.7 三次樣條插值三次樣條插值2022-6-11118 2.7 三次樣條插值三次樣條插值什么是樣條:是指飛機或輪船等的制造過程中為描繪出光滑的外形曲線(放樣)所用的工具.樣條本質上是一段一段的三次多項式拼合而成的曲線在拼接處,

31、不僅函數是連續的,且一階和二階導數也是連續的1946年,Schoenberg將樣條引入數學,即所謂的樣條函數2022-6-11119 2.7.1 三次樣條插值三次樣條插值2022-6-111202022-6-111212022-6-111222022-6-11123 2.7.2 樣條插值函數的建立樣條插值函數的建立三對角方程組三對角方程組2022-6-11124jjjjjjhxxMhxxMxs 11)(), 1 , 0()(njMxSjj 表達表達)(xS，由于，由于1,jjxx)(xS 在區間在區間上是線性函數，可表示為上是線性函數，可表示為)(xs 1)(jjyxs對積分兩次并利用可定出積分常數，于是得三次樣條表達式2022-6-11125) 1, 1 , 0()6()6(6)(6)()(211123131njhxxhMyhxxhMyhxxMhxxMxSjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjhMMhyyhxxM