1、電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第1頁HIT_Prof. Liu X.S.信號與系統信號與系統 任課教師：劉曉勝任課教師：劉曉勝 教授教授 Email: L電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第2頁HIT_Prof. Liu X.S.第第3章連續時間信號與系統的頻域分析章連續時間信號與系統的頻域分析3.1 信號分解為正交函數信號分解為正交函數3.2 周期信號的傅里葉級數及基本性質周期信號的傅里葉級數及基本性質 3.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜3.4 非周期信號的頻譜非周期信號的頻譜3.5 常用非周期信號的傅里葉變換常用非周期信

2、號的傅里葉變換3.6 傅里葉變換的性質傅里葉變換的性質3.7 傅里葉反變換傅里葉反變換3.8 LTI系統的頻域分析系統的頻域分析3.9* 希爾伯特變換希爾伯特變換3.10 * 調制與解調調制與解調3.11 *連續時間信號的抽樣連續時間信號的抽樣電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第3頁HIT_Prof. Liu X.S.高等工科數學中學過傅里葉級數及傅里葉變高等工科數學中學過傅里葉級數及傅里葉變換，二者應用對象有什么不同？換，二者應用對象有什么不同？傅里葉級數與傅里葉變換在電氣工程領域的傅里葉級數與傅里葉變換在電氣工程領域的物理意義是什么？物理意義是什么？為什么對

3、信號進行頻域分析？為什么對信號進行頻域分析？將信號表示為不同頻率正弦分量的組合的意將信號表示為不同頻率正弦分量的組合的意義義?電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第4頁HIT_Prof. Liu X.S.02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)3.1 信號分解為正交函數信號分解為正交函數有限項正弦波疊加的連續時間信號有限項正弦波疊加的連續時間信號02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Ti

4、me (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5An

5、Frequency (rad/sec)02468101214161820-4-2024Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)A1=0.5，A2=1，A3=0A1=1，A2=0.5，A3=0A1=1，A2=1，A3=0A1=0.5，A2=1，A3=0.5A1=1，A2=0.5，A3=0.5A1=1，A2=1，A3=1ttAtAtAtx),2/8cos()3/4cos(cos)(321電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第5頁HIT_Prof. Liu X.S.n時域信號與幅

6、度譜時域信號與幅度譜02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-4-2024Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)A1=0.5，A2=1，A3=0.5A1

7、=1，A2=0.5，A3=0.5A1=1，A2=1，A3=102468101214161820-4-2024Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)02468101214161820-2-1012Example 3.1x(t)Time (sec)01234567891000.511.5AnFrequency (rad/sec)

8、2/8cos() 3/4cos(cos)(321tAtAtAtx3.1 信號分解為正交函數信號分解為正交函數電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第6頁HIT_Prof. Liu X.S.時域分析與頻域分析的時域分析與頻域分析的關鍵不同點關鍵不同點時域分析時域分析是想辦法將信號分解為單位沖激函數的移是想辦法將信號分解為單位沖激函數的移位加權和；只討論系統對單位沖激函數的響應。位加權和；只討論系統對單位沖激函數的響應。頻域分析頻域分析是想辦法將信號分解為不同頻率成分的單是想辦法將信號分解為不同頻率成分的單一正弦函數的某種方式和！只討論系統對一正弦函數的某種方式和！只討

9、論系統對sin(kt)的響應。的響應。 11102nnntnbtnaatfsincos 1102nnntnAAtfcosdtftf)()()(dthfty)()()(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第7頁HIT_Prof. Liu X.S.從信號分析的角度從信號分析的角度：將信號表示為不同頻率：將信號表示為不同頻率正弦信號的組合，為不同信號之間進行比較正弦信號的組合，為不同信號之間進行比較提供了較好的途徑。提供了較好的途徑。從系統分析的角度從系統分析的角度：已知單頻正弦信號激勵：已知單頻正弦信號激勵下的響應，利用疊加特性可求得多個不同頻下的響應，利用疊加特性可

10、求得多個不同頻率正弦信號同時激勵下的響應，而且可以看率正弦信號同時激勵下的響應，而且可以看出每個正弦頻率通過系統后的變化。出每個正弦頻率通過系統后的變化。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第8頁HIT_Prof. Liu X.S.3.1.1 正交函數集正交函數集矢量正交矢量正交與正交分解的概與正交分解的概念念矢量矢量Vx與與Vy正交的定義：正交的定義：),(),(321321與yyyyxxxxVVVVVVVV其內積為其內積為0，即：，即：310iyixiyxvvVV例：三維空間中，矢量例：三維空間中，矢量Vx=(2,0,0),Vy=(0,2,0),Vz=(0,0

11、,2) 組成的集合為一個正交矢量集。組成的集合為一個正交矢量集。矢量矢量A=(2,5,8),可以用可以用Vx，Vy，Vz分量的線性組成表分量的線性組成表示，即示，即 A=Vx+2.5Vy+4Vz電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第9頁HIT_Prof. Liu X.S.3.1.1 正交函數集正交函數集正交函數集正交函數集的概念的概念定義在定義在(t1,t2)區間兩個實函數，區間兩個實函數， ，若滿足：，若滿足：210)()(21ttdttt)(),(21tt 則稱則稱 在區間在區間(t1,t2)內正交。內正交。)(),(21ttn個實函數個實函數 構成一個函數集

12、構成一個函數集 ，若在若在(t1,t2)區間滿足：區間滿足：)(,),(),(21tttn2100ttijijiKjidttt,)()( 則稱則稱 其正交。其正交。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第10頁HIT_Prof. Liu X.S.3.1.1 正交函數集正交函數集完備正交函數集完備正交函數集的概念的概念如果在正交函數集如果在正交函數集 之外，之外，),2 ,1)(niti)(0)(212ttdttt不存在函數不存在函數 ，滿足：，滿足： 21,2 ,1,0)()(ttnidttt 則稱此函數集為完備正交函數集。則稱此函數集為完備正交函數集。復函數正交完

13、備集復函數正交完備集的概念的概念21,0,0)()(*ttijijiKjidttt電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第11頁HIT_Prof. Liu X.S.3.1.1 正交函數集正交函數集典型的典型的完備正交函數集完備正交函數集,sin,sin,cos,cos,cos,tnttmtt21 三角函數集：三角函數集：復函數集：復函數集：),(),(Tttnetjn00210T2式中：式中：電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第12頁HIT_Prof. Liu X.S.設有設有n個函數個函數 在區間構成一個正交函在區間構成一個正交函數

14、空間。將任一函數數空間。將任一函數 用這用這n個正交函數的線性組合來近個正交函數的線性組合來近似似，表示為，表示為 在這種近似表示中的在這種近似表示中的誤差誤差為為 平均平方誤差平均平方誤差為為 tttn,2121,tt tf njjjnntCtCtCtCtf12211 tCtftejnjj1 dttCtfttdttettttnjjjttN21122122121113.1.2 信號正交分解與最小均方誤差信號正交分解與最小均方誤差 信號信號正交分解正交分解電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第13頁HIT_Prof. Liu X.S.信號得到最佳信號得到最佳的近似表

15、示最好的準則應使為的近似表示最好的準則應使為最最小小，因此其必要的條件是，因此其必要的條件是于是可求得于是可求得N njdtttfKdttdtttfCttjjttjttjj, 2 , 1,12121212201,2,NjjnC 信號信號最小均方誤差最小均方誤差電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第14頁HIT_Prof. Liu X.S.當按上式來當按上式來選取系數選取系數 時，此時用正交信號函數集時，此時用正交信號函數集來近似函數時的平方誤差為最小來近似函數時的平方誤差為最小當為零時當為零時，便可精確地表示為，便可精確地表示為上式也就是上式也就是 的的廣義傅里葉

16、級數廣義傅里葉級數的形式。的形式。 jC tf njjjttnjttjjnjttjjttttnjjjNKCdttfttdtttfCdttCdttfttdttctftt1222121122212211221212121211211N tf njjjnntCtCtCtCtf12211 tf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第15頁HIT_Prof. Liu X.S.結論結論:1. 當當 時，集合時，集合 是是(t1,t2)上上的正交完備集，也稱為的正交完備集，也稱為基函數或基信號基函數或基信號，也就是說，也就是說函數函數f(t)在區間在區間(t1,t2)上可分解為無

17、窮多項正交函數上可分解為無窮多項正交函數之和；之和；2. 一個信號或函數可以用各種各樣的完備正交信號集一個信號或函數可以用各種各樣的完備正交信號集來表示來表示(正弦正弦、余弦余弦、指數指數、勒讓德多項式、雅克、勒讓德多項式、雅克比多項式、切比雪夫多項式、比多項式、切比雪夫多項式、小波變換小波變換基函數基函數)。,0Nn ), 2 , 1)(niti21122)(ttjjjKCdttf 巴塞瓦爾定理巴塞瓦爾定理(Parseval):在在 區間區間f(t)所含能量恒等于所含能量恒等于f(t)在完備正交函數在完備正交函數集中各正交分量能量的總和。集中各正交分量能量的總和。21,tt電氣工程系電氣工程

18、系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第16頁HIT_Prof. Liu X.S.傅里葉傅里葉法國數學家法國數學家傅里葉傅里葉(J. Fourier，1768-1830)傅里葉分析傅里葉分析(Fourier Analysis)方法方法(頻域分析方法頻域分析方法1822) 傅里葉級數分析傅里葉級數分析(Fourier Series Analysis) (對對周期信號周期信號進行頻域分析進行頻域分析 )傅里葉變換分析傅里葉變換分析(Fourier Transform Analysis) (對對任意信號任意信號進行頻域分析進行頻域分析 )快速傅里葉變換快速傅里葉變換(FFT) “傅里葉的論

19、著是一部偉大的數學詩.” 麥克斯韋“對自然界的深入研究是數學發現的最豐富的源泉.”傅里葉 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第17頁HIT_Prof. Liu X.S. 周期信號周期信號：周期信號是定：周期信號是定義在（義在（-，）區間，每隔）區間，每隔一定時間一定時間T，按相同規律重，按相同規律重復變化的信號。復變化的信號。 它可表示為它可表示為 mTtftf周期信號周期信號 式中式中m為任意整數。時間為任意整數。時間T稱為該信號的重復周期，稱為該信號的重復周期，簡稱簡稱周期周期。周期的倒數稱。周期的倒數稱為該信號的為該信號的頻率頻率。 3.2 周期信號的傅里

20、葉級數及基本性質周期信號的傅里葉級數及基本性質 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第18頁HIT_Prof. Liu X.S.由持續時間為一個由持續時間為一個周期的信號周期的信號,作周期作周期性的延拓而形成的性的延拓而形成的周期信號周期信號 周期信號周期信號特點特點： 它是一個無窮無盡變化的信號。它是一個無窮無盡變化的信號。 當在一個周期內的信號確定后，若將其移動當在一個周期內的信號確定后，若將其移動T的整的整數倍，則信號的波形保持不變，它也數倍，則信號的波形保持不變，它也可看成為將一可看成為將一個在周期個在周期T內所定義的信號作周期性的延拓而形成。內所定義的信

21、號作周期性的延拓而形成。 在一個周期在一個周期T內的時間積分內的時間積分是不變的，且與是不變的，且與T的起始的起始點的選擇無關，即點的選擇無關，即 aTbTabft dtft dt電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第19頁HIT_Prof. Liu X.S.3.2.1 傅里葉級數的三角形式傅里葉級數的三角形式 三角級數三角級數周期為周期為T、角頻率為角頻率為 0=2 f=2 /T，滿足狄里赫利，滿足狄里赫利(Dirichlet) (Dirichlet) 條件的條件的周期周期函數函數f(t) )可展成可展成三角形式三角形式的傅里葉級數的傅里葉級數( (Fourie

22、r series，FS) )為為: : NntdtntfTaTn,cos002 10002nnntnbtnaatfsincos 2202TTdttfTa NntdtntfTaTTn,cos2202 NntdtntfTbTTn,sin2202 NntdtntfTbTn,sin002任意周期積分！任意周期積分！ TdttfTa002cossin22sin)2cos1 (21sin2溫馨提示：溫馨提示：電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第20頁HIT_Prof. Liu X.S.必須滿足必須滿足Dirichlet條件：條件：一個周期函數展開成傅里葉級數的一個周期函數展

23、開成傅里葉級數的條件條件 f(t)在任意周期上是絕對可積的：在任意周期上是絕對可積的：Taadttf)(f(t)在任意周期上存在有限個的最大值和最小值；在任意周期上存在有限個的最大值和最小值；f(t)在任意周期上存在有限個間斷點。在任意周期上存在有限個間斷點。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第21頁HIT_Prof. Liu X.S.單余弦形式：單余弦形式： 1002nnntnAAtfcos00aA nnnAacosnnnAbsinnnnabarctan 10002nnntnbtnaatfsincos22nnnbaA)cos(101tA)cos(2022tA)

24、cos(nntnA0基波或一次諧波基波或一次諧波二次諧波二次諧波溫馨提示：溫馨提示：n次諧波次諧波周期函數傅里葉級數的周期函數傅里葉級數的余弦形式余弦形式 正余弦形式正余弦形式 ：電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第22頁HIT_Prof. Liu X.S.3.2.2 傅里葉級數的指數形式傅里葉級數的指數形式 歐拉公式歐拉公式:tnjtnetjn000sincos)(costjntjneetn00210)(sintjntjneejtn00210 101010000000002222222ntjnnntjnnnntjntjnntjntjnnnnnejbaejbaa

25、jeebeeaatnbtnaatfsincos 傅里葉級數指數形式傅里葉級數指數形式:電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第23頁HIT_Prof. Liu X.S.2nnnjbaF令：令： 2202TTntdtntfTacos NntdtntfTbTTn,sin2202由：由：知：知：22000000ajbaFbbaabnnnn,22nnnnnjbajbaF 01110100000000222nntjnntjnntjnnntjnntjnnnntjnnntjnnneFeFeFeFeFFejbaejbaatf得：得：電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與

26、系統HIT_EE第24頁HIT_Prof. Liu X.S.222222000112TTtjnTTTTnnndtetfTtdtntfjtdtntfTjbaF)(sin)(cos)(即即:傅里葉級數指數形式傅里葉級數指數形式: teFtfntjnn,1 22000000111/)(,)(TTtjnTttTtjntjnnetfTZnetfTdtetfTF電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第25頁HIT_Prof. Liu X.S. teFtfntjnn,0 100111022nnnnnntnAAtnbtnaatf)cos(sincos NntdtntfTaTTn22

27、02,cos NntdtntfTbTTn,sin2202由：由：單邊譜單邊譜2201TTtjnndtetfTF)(雙邊譜雙邊譜電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第26頁HIT_Prof. Liu X.S. 一般一般Fn為復數，稱為為復數，稱為復傅里葉級數系數復傅里葉級數系數(Complex Fourier Series Coefficients)復指數形式的傅里葉級數復指數形式的傅里葉級數和和三角形式的傅里葉級數三角形式的傅里葉級數是同一個是同一個函數的兩種不同表示方式，只是采用的數域不同。函數的兩種不同表示方式，只是采用的數域不同。 )(nnjnnjbaeAF

28、n2121222121nnnnbaAF)arctan(nnnab 二者關系二者關系是是n的偶函數的偶函數是是n的奇函數的奇函數nnnnnFFAacos)(sinnnnnnFFjAbnnFA2是是n的偶函數的偶函數是是n的奇函數的奇函數電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第27頁HIT_Prof. Liu X.S.電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第28頁HIT_Prof. Liu X.S.例例1：矩形脈沖序列：矩形脈沖序列 205002510112212222.dtdtdttxa , 2 , 1),2sin(21)cos()cos(

29、)cos(225 . 0025 . 120nnndttndttndttntxan , 2 , 1, 0)221)sin()sin()sin(225 . 0025 . 120nndttndttndttntxbnttnnntxoddnn 1),cos()2sin(1221)(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第29頁HIT_Prof. Liu X.S.周期信號的傅里葉級數的周期信號的傅里葉級數的物理意義物理意義周期信號周期信號(包括有拐角的信號包括有拐角的信號)都可以表示成一系列都可以表示成一系列正弦函數正弦函數(信號信號)的的和和！正弦波是無限平滑的函數；正弦波是

30、無限平滑的函數；無窮項求和是準確表示某些函數的關鍵！無窮項求和是準確表示某些函數的關鍵！電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第30頁HIT_Prof. Liu X.S.例例2： Gibbs(吉布斯吉布斯)現象現象-3-2-10123-0.200.20.40.60.811.2Example 3.4, N = 9Time (sec)x9(t)-3-2-10123-0.200.20.40.60.811.2Example 3.4, N = 21Time (sec)x21(t)-3-2-10123-0.200.20.40.60.811.2Example 3.4, N = 4

31、5Time (sec)x45(t)-3-2-10123-0.200.20.40.60.811.2Example 3.4, N = 3Time (sec)x3(t)N=3N=9N=21N=45當當N趨近于無窮時，這時趨近于無窮時，這時9%的過沖也存在！此現象被稱為的過沖也存在！此現象被稱為Gibbs現象。現象。根據根據Gibbs現象的結論，在現象的結論，在x(t)的不連續處，的不連續處，x(t)的傅里葉級數不等于的傅里葉級數不等于x(t), t+和和t-存在存在9%的過沖！的過沖！ttnnntxoddnn 1),cos()2sin(1221)(ttkkktxNoddkkN1),cos()2sin

32、(1221)(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第31頁HIT_Prof. Liu X.S.（1） 為為偶函數偶函數即即偶信號的傅氏級數不含正弦項，只含余弦項和偶信號的傅氏級數不含正弦項，只含余弦項和直流項直流項 tf ,sin)(coscos)(2100242220200022ntdtntfTbdttntfTtdtntfTaTTnTTTn,arctan210為整數22nmmababaAnnnnnnn3.2.3 函數的對稱性與傅里葉系數的關系函數的對稱性與傅里葉系數的關系 ( )ftf t電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第32頁

33、HIT_Prof. Liu X.S.（2） 為為奇函數奇函數 奇信號的傅氏級數不含余弦項，只含正弦項和直流項奇信號的傅氏級數不含余弦項，只含正弦項和直流項 tftf tf, 2 , 1212nmmbAnnn為整數 ,sin)(sin)(cos)(2104202200220022ntdtntfTtdtntfTbtdtntfTaTTTnTTn電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第33頁HIT_Prof. Liu X.S.注意：注意：任意函數都可分解為奇函數和偶函數兩部分，即任意函數都可分解為奇函數和偶函數兩部分，即 式中式中 表示表示奇函數部分奇函數部分， 表示表示偶

34、函數部分偶函數部分。有有 tftftfevod tfod tfev 22tftftftftftfevod電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第34頁HIT_Prof. Liu X.S.（3） 為為奇諧函數奇諧函數（半波像對稱信號半波像對稱信號）如果函數如果函數 的的前半周期波形移動前半周期波形移動T/2 后后，與，與后半周后半周期波形期波形對稱于橫軸對稱于橫軸，即滿足，即滿足 則這種函數稱為半波對稱函數，則這種函數稱為半波對稱函數，或稱為或稱為奇諧函數奇諧函數。在這種情況下，其傅里在這種情況下，其傅里級數展開式中將級數展開式中將只含有只含有奇次諧波分量而不含偶奇次

35、諧波分量而不含偶次諧波分量次諧波分量，即有：，即有： tf tf 2Ttftf0642420bbbaaa電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第35頁HIT_Prof. Liu X.S.（4）半波重疊信號半波重疊信號:波形平移半個周期后波形平移半個周期后所得出的波形所得出的波形與原波形重合與原波形重合的信的信號號其傅里葉級數展開式中將其傅里葉級數展開式中將只含有偶次諧波分量而不含只含有偶次諧波分量而不含奇次諧波分量奇次諧波分量，故它被稱之為，故它被稱之為偶諧函數偶諧函數。即。即0531531bbbaaa電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_E

36、E第36頁HIT_Prof. Liu X.S.例例3-1 將下圖所示的方波信號展開為傅里葉級數。將下圖所示的方波信號展開為傅里葉級數。解解: 函數可以表達為：函數可以表達為：202022TtEtTEtf,)(按照傅里葉級數定義，可得：按照傅里葉級數定義，可得：022222000200022000)(sin)sin(cos)(cos)(/TTTTntntnTnEtdtnETtdtnETa0na即即電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第37頁HIT_Prof. Liu X.S.即即為偶數0為奇數2nnnEbn,故得信號的傅里葉級數展開式為故得信號的傅里葉級數展開式為)

37、cos()cos()(cossin)(sin)(/nnEtntnTnEtdtnETtdtnETbTTTTn22222222000200022000)sinsinsin(sin)(tnntttEtf000015513312電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第38頁HIT_Prof. Liu X.S.例例3-2 將下圖的周期將下圖的周期 信號展開為三角函數形式的傅信號展開為三角函數形式的傅里葉級數。里葉級數。,n,a210=0=0解解: 因因f(t)為奇函數，所以為奇函數，所以f(t) 在在0t T/2區間，可表達為區間，可表達為2012/,)(TttTtf由定義得

38、由定義得2002001244TTntdtntTTtdtntfTbsinsin)(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第39頁HIT_Prof. Liu X.S.,),sinsinsin(sinsinsin)(2113312212200000101ntnntntttnntnbtfnnn故故,coscos)(21204181240020020002nnTntdtnnTntntTTTT即即nbn2電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第40頁HIT_Prof. Liu X.S.例例3-3 將下圖的周期將下圖的周期 矩形脈沖信號展開為復指數形式

39、矩形脈沖信號展開為復指數形式的傅里葉級數。的傅里葉級數。解：由定義得解：由定義得)(sinsin)()(222221100000220220222200000nSaTAnnTAnTjnAeeTjnAeTjnAdtAeTdtetfTFjnjntjntjnTTtjnn電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第41頁HIT_Prof. Liu X.S.由此可得由此可得f(t)的指數形式的傅里葉級數為的指數形式的傅里葉級數為ntjnntjneTnSaTAeTnTnTAtf00)(sin)(考慮到考慮到T20上式可以寫成上式可以寫成)(sinTnSaTATnTnTAFn故故f(

40、t)可表示為可表示為tjnnennTAtf02200sin)(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第42頁HIT_Prof. Liu X.S.3.2.4 函數的對稱性與傅里葉系數的關系函數的對稱性與傅里葉系數的關系 設設f(t)周期信號，周期為周期信號，周期為T0，基波角頻率為，基波角頻率為002T/f(t)與其傅里葉系數關系可以記為與其傅里葉系數關系可以記為nFtf)(線性性質線性性質f(t)的傅里葉級數具有如下的傅里葉級數具有如下基本性質基本性質：設設f(t)和和g(t)均以均以T0為周期的周期信號，為周期的周期信號，a , b為常數，且為常數，且nFtf)(

41、nGtg)(則有則有 nnGbFatgbtfa)()(nnbGaFtbgtaf)()(簡寫成簡寫成 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第43頁HIT_Prof. Liu X.S.時移性質時移性質設設f(t)以以T0為周期的周期信號，為周期的周期信號，t1為某一時間，且為某一時間，且nFtf)(則有則有 ntjnFettf101 )(例例3-4 求下圖所示周期信號求下圖所示周期信號g(t)的傅里葉級數表示式。的傅里葉級數表示式。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第44頁HIT_Prof. Liu X.S.coscossinsin)(

42、t t AAennAennTAtft jnntjnn3312222222000由由 )()(21tftg可得可得 sinsinsin)(t t AAeennAtgjnt jnn3312222221電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第45頁HIT_Prof. Liu X.S.卷積性質卷積性質設設f(t)和和g(t)均以均以T0為周期的信號，且為周期的信號，且nnGtgFtf)()(周期信號設周期信號設f(t)和和g(t)的卷積定義為的卷積定義為dtgftxT)()()(00 x(t)也是周期為也是周期為T0的周期信號，的周期信號， x(t)的傅里葉級數可的傅里葉級

43、數可以表示為以表示為nnTGFTdtgftx000)()()(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第46頁HIT_Prof. Liu X.S.例例3-5 求下圖所示周期三角脈沖信號求下圖所示周期三角脈沖信號g(t)的傅里葉級數的傅里葉級數表示式。表示式。(a) 周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號(b) 周期方波信號周期方波信號電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第47頁HIT_Prof. Liu X.S.解：設解：設f(t)為如圖為如圖(b)所示的周期方波信號，則所示的周期方波信號，則00Tdtfftg)()()(g(t)的波形如圖的波

44、形如圖(a)所示。所示。由例由例3-3可得可得f(t)的傅里葉系數為的傅里葉系數為)(42200nSaTAFn由傅里葉級數的卷積性質，可得由傅里葉級數的卷積性質，可得g(t)的傅里葉級數為的傅里葉級數為)(4202020nSaTAFTGnn所以周期三角脈沖信號所以周期三角脈沖信號g(t)的傅里葉級數的表達式為的傅里葉級數的表達式為tjnnenSaTAtg042020)()(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第48頁HIT_Prof. Liu X.S.微分性質微分性質設設f(t)是以是以T0為周期的周期信號，它的傅里葉系數為周期的周期信號，它的傅里葉系數Fn。nF

45、tf)(則有則有f(t)導數導數f(t) 的傅里葉系數為的傅里葉系數為nFjntf0 )(反之，若反之，若f(t) 的傅里葉系數為的傅里葉系數為Dn,則則f(t)的傅里葉系數為的傅里葉系數為00njnDFnn,nnFjnD0即存在如下關系即存在如下關系即存在如下關系即存在如下關系電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第49頁HIT_Prof. Liu X.S.例例3-6 求下圖求下圖(a)所示周期三角脈沖信號所示周期三角脈沖信號f(t)的傅里葉級的傅里葉級數表示式。數表示式。(a) 周期三角脈沖信號周期三角脈沖信號(b) 對周期三角脈沖信號求導對周期三角脈沖信號求導

46、解：對解：對f(t)求導，如圖求導，如圖(b)所示。設其傅里葉系數為所示。設其傅里葉系數為Dn，根據傅里葉級數的性質知根據傅里葉級數的性質知f(t)中的直流項不影響中的直流項不影響Dn 即傅里葉級數定義得即傅里葉級數定義得電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第50頁HIT_Prof. Liu X.S.010202000nTAdtetATDTTtjnn,)(利用傅里葉級數的微分性質，得利用傅里葉級數的微分性質，得02000nnjATjnAjnDFnn,由圖由圖(a)可得可得210000AdttfTFT)(所以所以)sinsin(sin)(,332222200000t

47、ttAAenjAAtfnntjn電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第51頁HIT_Prof. Liu X.S.歐拉 簡介Leonhard Euler 公元公元1707-1783年：出生在年：出生在瑞士瑞士的巴塞爾（的巴塞爾（Basel）城）城13歲就進巴塞爾大學讀書，得到當時最有名的數學家歲就進巴塞爾大學讀書，得到當時最有名的數學家約翰約翰伯努利伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指導年）的精心指導.他從他從19歲開始發表論文，直到歲開始發表論文，直到76歲，半個多世紀寫下了浩如煙海的書籍和歲，半個多世紀寫下了浩如煙海的書籍和論

48、文論文 歐拉是科學史上最多產的一位杰出的數學家，據統計他那不倦的一生，共歐拉是科學史上最多產的一位杰出的數學家，據統計他那不倦的一生，共寫下了寫下了886本書籍和論文本書籍和論文，其中分析、代數、數論占，其中分析、代數、數論占40%，幾何占，幾何占18%，物理和力學占物理和力學占28%，天文學占，天文學占11%，彈道學、航海學、建筑學等占，彈道學、航海學、建筑學等占3%，彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了彼得堡科學院為了整理他的著作，足足忙碌了四十七年四十七年 歐拉著作的驚人多產并不是偶然的，他可以在任何不良的環境中工作，他歐拉著作的驚人多產并不是偶然的，他可以在任何不良的環境中工作，他

49、常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩他那頑強的毅力常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩他那頑強的毅力和孜孜不倦的治學精神，使他在雙目失明以后，和孜孜不倦的治學精神，使他在雙目失明以后， 也沒有停止對數學的研也沒有停止對數學的研究，在失明后的究，在失明后的17年間年間，他還口述了幾本書和，他還口述了幾本書和400篇左右的論文篇左右的論文19世紀偉大數學家高斯世紀偉大數學家高斯(Gauss，1777-1855年年)曾說：曾說：“研究歐拉的著作永研究歐拉的著作永遠是了解數學的最好方法遠是了解數學的最好方法 歐拉還創設了許多數學符號，例如歐拉還創設了許多數學符號，例如(1736

50、年年)，i(1777年年)，e(1748年年)，sin和和cos(1748年年)，tg(1753年年)，x(1755年年)，(1755年年)，f(x)(1734年年)等等 電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第52頁HIT_Prof. Liu X.S.3.3 周期信號的頻譜周期信號的頻譜3.3.1 周期信號頻譜的特點周期信號頻譜的特點 )cos(sincosnnnnnntnAAtnbtnaatf01100022 teFtfntjnn,0周期函數可以分解成一系列正弦信號或指數信號之和周期函數可以分解成一系列正弦信號或指數信號之和或或 周期信號分解周期信號分解 周期信

51、號頻譜圖周期信號頻譜圖u 幅度頻譜，幅度譜：譜線，包絡線幅度頻譜，幅度譜：譜線，包絡線u 相位頻譜，相位譜相位頻譜，相位譜電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第53頁HIT_Prof. Liu X.S.周期脈沖信號的頻譜圖周期脈沖信號的頻譜圖電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第54頁HIT_Prof. Liu X.S.nnnnnTTTTTTtjnnAbabatdtntfTjtdtntfTdtetfTF212141411112222222200220sin)(cos)()( 周期信號幅度譜特點：周期信號幅度譜特點：周期信號的頻譜是離散

52、譜；周期信號的頻譜是離散譜；周期信號的頻譜只能在基波頻率的整數倍上，周期信號的頻譜只能在基波頻率的整數倍上，即諧波性；即諧波性；周期信號的譜線高度隨諧波次數的增高而逐漸周期信號的譜線高度隨諧波次數的增高而逐漸減小，即收斂性。減小，即收斂性。電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第55頁HIT_Prof. Liu X.S.例例3-7 已知周期信號已知周期信號f(t)的傅里葉級數表示式為的傅里葉級數表示式為)cos()sin(sincos)(1507303224232tttttf(1)求周期信號求周期信號f(t)的基波角頻率；的基波角頻率；(2)畫出周期信號的單邊幅度譜

53、和相位譜。畫出周期信號的單邊幅度譜和相位譜。解：利用三角函數公式化簡如下解：利用三角函數公式化簡如下).cos(sincos153252423ttt)cos()cos()sin(60390303303ttt)cos()cos()cos(30718015071507ttt故故f(t)可以表示為可以表示為)cos()cos().cos()(302726023221531252ttttf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第56頁HIT_Prof. Liu X.S.)cos()cos().cos()(3076032153252ttttf電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課

54、信號與系統信號與系統HIT_EE第57頁HIT_Prof. Liu X.S.3.3.2 周期矩形脈沖信號的頻譜周期矩形脈沖信號的頻譜 202ttAtf,)(一個周期內一個周期內故故f(t)可以表示為可以表示為,),(sinsin)(210221100222200nTnSaTATnTnTAnnTAdteTdtetfTFtjnTTtjnntjnneTnTnTAtf0sin)(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第58頁HIT_Prof. Liu X.S.取樣（抽樣）函數取樣（抽樣）函數具有以下具有以下特點特點： 是是偶函數偶函數；當時，當時， ，是以為振幅的，是以為振

55、幅的“正弦函數正弦函數”，因而對于，因而對于x的正負兩半軸的正負兩半軸都為都為衰減的正弦振蕩衰減的正弦振蕩；在處，即，在處，即，而在而在 處，有處，有 ； 0 x 1xSax1, 3 , 2 , 1nnx0sinx 0 xSa0 x1sinlim0 xxx dxxSadxxSa20 取樣取樣(抽樣抽樣)函數：函數：xxxSasin)(電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第59頁HIT_Prof. Liu X.S. 周期矩形脈沖信號的傅里葉復系數可改寫為周期矩形脈沖信號的傅里葉復系數可改寫為,),(sin210222000nnSaTAnnTAFn,2120kkn02

56、0nsinkn20包絡過零點包絡過零點電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第60頁HIT_Prof. Liu X.S.T20譜線間隔譜線間隔kTnn220kTn圖為圖為 的情況。的情況。T4電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第61頁HIT_Prof. Liu X.S.An是可正可負的，但根據是可正可負的，但根據cos()cos ，也可以也可以把把An調節為非負的。調節為非負的。 022200nnnnnabNnTnSaTAaATAaAarctan,nnnnnnnnnnAutnAAtnAAtnAtnA000000cos,cos,cosc

57、os相位關系相位關系電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第62頁HIT_Prof. Liu X.S.NnTnSaTAAn,0221201220kTknTkkTknkTn, 1002nnntnAAtfcos幅度譜和相位譜幅度譜和相位譜kTnk222kTnk22電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第63頁HIT_Prof. Liu X.S.前面結果可以進一步得出復指數形式的傅里葉級數前面結果可以進一步得出復指數形式的傅里葉級數系數為：系數為：TAaF20002nTnSaTAjbaFnnn,nnjnFjnneFeFFargZnTnSaTAF

58、n,ZkTknTkZkTknkTFnn,arg22121220電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第64頁HIT_Prof. Liu X.S.譜線的間距為譜線的間距為0。不變，不變，T 越大，譜線的間距越小；當越大，譜線的間距越小；當T時，信號由周期變為時，信號由周期變為非周期的，頻譜變成連續的。幅度則隨非周期的，頻譜變成連續的。幅度則隨T T的增大而減小。的增大而減小。T T 不變，不變，變小時，基頻不變，則譜線的間距不變。隨變小時，基頻不變，則譜線的間距不變。隨的減小，的減小，相鄰零點的間距相鄰零點的間距(2k/)變大，其間的譜線數增多，即包含的頻率變大，其間

59、的譜線數增多，即包含的頻率分量增多。但譜線幅度減小。分量增多。但譜線幅度減小。、與幅度譜關系與幅度譜關系kTnT20TAF 0電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第65頁HIT_Prof. Liu X.S.電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第66頁HIT_Prof. Liu X.S.Fn原則上從原則上從-到到+，但其包絡以，但其包絡以1/x的速度衰減。信號能量的速度衰減。信號能量主要集中在第一個零點以內。第一個零點以內所包含的頻率主要集中在第一個零點以內。第一個零點以內所包含的頻率分量稱為脈沖信號的頻帶，有效帶寬，頻帶寬度，帶寬等。

60、分量稱為脈沖信號的頻帶，有效帶寬，頻帶寬度，帶寬等。、與幅度譜關系與幅度譜關系)/,(f20或1或2電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信號與系統信號與系統HIT_EE第67頁HIT_Prof. Liu X.S.3.3.3 周期信號的功率譜周期信號的功率譜 21201220222222222222122111100nnnnnnnnnnTTtjnnntjnnTTTTTTAAFFFFFdtetfTFdteFtfTdttftfTdttfTtfp*/)()()()()()(Fn的幅度是該頻率分量的平均能量。信號平均功率為：的幅度是該頻率分量的平均能量。信號平均功率為：電氣工程系電氣工程系平臺課平臺課 信