1、第二章 極限與連續(xù)極限是高等數(shù)學(xué)中最主要的概念之一，也是研究微積分的重要工具，如導(dǎo)數(shù)、定積分、重積分等定義都需要用極限來(lái)定義，因此，掌握極限的思想和方法是學(xué)好微積分學(xué)的基本前提 第一節(jié) 極限的定義 教學(xué)目的：1.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系。2.理解無(wú)窮小、無(wú)窮大的概念，掌握無(wú)窮小的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小求極限。教學(xué)重難點(diǎn)：1.極限的概念和左極限與右極限概念及應(yīng)用；2.無(wú)窮小及無(wú)窮小的比較；本節(jié)將在中學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)列的極限的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)函數(shù)的極限、極限性質(zhì)、無(wú)窮小的定義及性質(zhì)、無(wú)窮大的定義及其與無(wú)窮小的關(guān)系一、數(shù)列的極限定義 對(duì)于數(shù)列，如果當(dāng)無(wú)

2、限增大時(shí)，無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)， 則稱為數(shù)列的極限記作 或 （）亦稱數(shù)列收斂于；如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的數(shù)列極限的運(yùn)算法則為：如果, ，那么法則1 () ；法則2 () ；法則3 (是常數(shù))；法則4 (以上法則1，法則2可以推廣到有限個(gè)數(shù)列的和與積的情形二、函數(shù)的極限1當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義 如果當(dāng)?shù)慕^對(duì)值無(wú)限增大（即）時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，那么稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為 或 當(dāng)時(shí)，如圖15（b）所示, 函數(shù)當(dāng)?shù)慕^對(duì)值無(wú)限增大時(shí), 函數(shù)的圖象無(wú)限接近于軸也就是，當(dāng)時(shí)，無(wú)限地接近于常數(shù)零，即在上述定義中，自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大指的是既取正值無(wú)限增大（記為），同時(shí)也取負(fù)值而絕

3、對(duì)值無(wú)限增大（記為）但有時(shí)自變量的變化趨勢(shì)只能或只需取這兩種變化的一種情形，為此有下面的定義：定義 如果當(dāng)(或)時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)A，那么A稱為函數(shù)當(dāng)(或)時(shí)的極限，記為 或當(dāng)時(shí)，； 或當(dāng)時(shí)，由圖15（b）可以看出，及，這兩個(gè)極限與相等，都是0由圖111（b）可以看出，由于當(dāng)和時(shí)，函數(shù)不是無(wú)限趨近于同一個(gè)確定的常數(shù)，所以不存在由上面的討論，我們得出下面的定理：定理 的充要條件是： （證明略）2當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極限定義 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)近旁（點(diǎn)本身可以除外）內(nèi)有定義，如果當(dāng)趨于（但）時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，那么稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限，記為 或 當(dāng)時(shí)，例1 考察極限 (為常數(shù))和解

4、 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值恒為，所以因?yàn)楫?dāng)時(shí)，的值無(wú)限接近于，所以3當(dāng)時(shí)，的左、右極限因?yàn)橛凶笥覂煞N趨勢(shì)，而當(dāng)僅從某一側(cè)趨于時(shí)，只需討論函數(shù)的單邊趨勢(shì)，于是有下面的定義：定義 如果當(dāng)從左側(cè)趨近（記為）時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，那末稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的左極限，記為 如果當(dāng)從右側(cè)趨近（記為）時(shí)，函數(shù)無(wú)限趨近于一個(gè)確定的常數(shù)，那末稱為函數(shù)當(dāng)時(shí)的右極限，記為 定理 的充要條件是：（證明略）例2 討論函數(shù)當(dāng)時(shí)的極限解 觀察圖21可知：，因此，當(dāng)時(shí)，的左右極限存在但不相等，由定理2知，極限 不存在例3 研究當(dāng)0時(shí), 的極限解 觀察圖22可知：由于,所以當(dāng)時(shí)，的左, 右極限都存在且相等由定理2知0時(shí), 的極限存在，

5、且等于圖2111122Ox1yy=xyx圖22Oxy三、無(wú)窮小量實(shí)際問(wèn)題中，常有極限為零的變量例如，電容器放電時(shí)，其電壓隨著時(shí)間的增加而逐漸減小并趨近于零對(duì)于這樣的變量，有下面的定義：1無(wú)窮小量的定義定義 極限為零的變量稱為無(wú)窮小量，簡(jiǎn)稱為無(wú)窮小如果，則變量是時(shí)的無(wú)窮小，如果，則稱是時(shí)的無(wú)窮小，類似的還有，等情形下的無(wú)窮小根據(jù)定義可知，無(wú)窮小是一種變化狀態(tài)，而不是一個(gè)量的大小，無(wú)論多么小的一個(gè)數(shù)都不是無(wú)窮小，只有零是唯一的一個(gè)可作為無(wú)窮小的常數(shù)，無(wú)窮小是有極限變量中最簡(jiǎn)單而最重要的一類，在數(shù)學(xué)史上，很多數(shù)學(xué)家都致力于“無(wú)窮小分析”2無(wú)窮小量的性質(zhì)定理 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和為無(wú)窮小（證明略）注意

6、，無(wú)窮個(gè)無(wú)窮小之和未必是無(wú)窮小，如時(shí)，都是無(wú)窮小，但是，當(dāng)時(shí)，所以不是無(wú)窮小定理 有界函數(shù)與無(wú)窮小的積為無(wú)窮小 （證明略）推論1 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小. （證明略）推論2 有限個(gè)無(wú)窮小的積為無(wú)窮小（證明略）例4 求極限解 因?yàn)槭钱?dāng)時(shí)的無(wú)窮小，而是一個(gè)有界函數(shù)，所以3函數(shù)極限與無(wú)窮小的關(guān)系設(shè)，即時(shí)無(wú)限接近于常數(shù)A，有就接近于零，即是時(shí)的無(wú)窮小，若記，于是有定理3 （極限與無(wú)窮小的關(guān)系）的充分必要條件是，其中是的無(wú)窮小例如當(dāng)時(shí)，有，其中就是時(shí)的無(wú)窮小四、 無(wú)窮大量1無(wú)窮大的定義定義6 若當(dāng)（）時(shí)，函數(shù)的絕對(duì)值無(wú)限增大，則稱函數(shù)為當(dāng)(或)時(shí)的無(wú)窮大.函數(shù)當(dāng)（或）時(shí)為無(wú)窮大，它的極限是不存在的，

7、但為了便于描述函數(shù)的這種變化趨勢(shì)，我們也說(shuō)“函數(shù)的極限為無(wú)窮大”，并記為 或 例如，當(dāng)時(shí)，是一個(gè)無(wú)窮大，又例如， 當(dāng)時(shí)，是一個(gè)無(wú)窮大注意，說(shuō)一個(gè)函數(shù)是無(wú)窮大，必須指明自變量的變化趨向；無(wú)窮大是一個(gè)函數(shù)，而不是一個(gè)絕對(duì)值很大的常數(shù)2無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系我們知道，當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮小，是無(wú)窮大；當(dāng)時(shí)，是無(wú)窮大，是無(wú)窮小一般地，在自變量的同一變化過(guò)程中，如果為無(wú)窮大，則是無(wú)窮小；反之，如果為無(wú)窮小，且，則是無(wú)窮大利用這個(gè)關(guān)系，可以求一些函數(shù)的極限例5 求極限解 因?yàn)椋蔁o(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系，所以五、無(wú)窮小量比較由無(wú)窮小的性質(zhì)，我們知道兩個(gè)無(wú)窮小的和、差及乘積仍是無(wú)窮小但兩個(gè)無(wú)窮小的商卻會(huì)出現(xiàn)不同的情況例如

8、，當(dāng)時(shí)， 、均為無(wú)窮小，而，兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限的不同情況，反映了不同的無(wú)窮小趨向于零的“快慢”程度一般地，對(duì)于兩個(gè)無(wú)窮小之比有下面定義：定義 設(shè)和都是同一過(guò)程的兩個(gè)無(wú)窮小量，即，1若，則稱是的高階無(wú)窮小量；記作，此時(shí)也稱是的低階無(wú)窮小量2若，則稱與是同階的無(wú)窮小量記作3若，則稱與是等價(jià)無(wú)窮小量記作例16 當(dāng)時(shí)，比較無(wú)窮小與的階解 由于 ，且，所以當(dāng)時(shí)，與是同階無(wú)窮小例17 當(dāng)時(shí)，證明與等價(jià)解 由于 ，且所以，當(dāng)時(shí)，與為等價(jià)無(wú)窮小習(xí)題訓(xùn)練1利用函數(shù)圖像，觀察函數(shù)的變化趨勢(shì)，并寫出其極限：（1）； （2）；（3） ； （4）；（5）； （6）2設(shè)，作出它的圖象，求出當(dāng)時(shí)，的左極限、右極限，并判斷

9、當(dāng)時(shí)，的極限是否存在？3設(shè)，求和 ，并判斷在時(shí)的極限是否存在？4設(shè)，求，5下列函數(shù)在自變量怎樣變化時(shí)是無(wú)窮小？無(wú)窮大？（1） ； （2）； （3） ； （4）6求下列函數(shù)的極限：（1） ； （2）；（3） ； （4）第二節(jié) 極限的運(yùn)算 教學(xué)目的：1.掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則;2.掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法。 教學(xué)重難點(diǎn)：1.極限的四則運(yùn)算法則；2.兩個(gè)重要極限；一、函數(shù)極限的運(yùn)算法則與數(shù)列極限類似，函數(shù)的極限也有如下四則運(yùn)算法則：設(shè)，則法則1 ；法則2 ；法則3 ；法則4 （法則1和法則2可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)的情形，上述法則對(duì)于時(shí)同樣成立例1 求極限解 2由例1可見(jiàn)，若函數(shù)為多項(xiàng)式

10、，則有例2 求極限解 由例2可見(jiàn)，若為有理分式函數(shù)，且時(shí)，則有例3 求極限 解 本題分子分母的極限皆為零，但它們有公因式，則例4 求極限()解 當(dāng)時(shí)，故不能直接應(yīng)用法則1因?yàn)椋?() 例5 求極限解 分子分母極限均不存在，不能直接運(yùn)用法則分子分母同除以，則二、兩個(gè)重要極限在計(jì)算函數(shù)極限時(shí)，有時(shí)需要利用和這兩個(gè)極限 1O圖231根據(jù)在0附近的圖形（如圖23）可以看出，當(dāng)時(shí)，即一般，若在某極限過(guò)程中，則在該過(guò)程中有我們來(lái)求下列函數(shù)的極限例6 求極限解 2例7 求極限解 例8 求極限 解 令, 則時(shí)，有，所以 1例9 求極限解 1例10 求極限解 令，則時(shí)，且， 則2根據(jù)表21，我們可以觀察時(shí)，

11、的變化趨勢(shì)2.704812.716922.718152.718272.708282.732002.719642.718422.718302.71828表21可以看出，當(dāng)時(shí)，函數(shù)常數(shù)，它是一個(gè)無(wú)理數(shù)，即利用代換，則當(dāng)時(shí)，因此有于是得到該極限的另一種常用形式：上述公式可以推廣為：我們來(lái)求下列函數(shù)的極限例11 求極限解 例12 求極限解 先將改寫成如下形式：，再令，由于當(dāng)時(shí)，從而例13 求極限解 令，當(dāng)時(shí)，所以例14 求極限解 例15 求極限解因?yàn)椋睿瑒t，當(dāng)時(shí)，從而四、用Matlab求極限極限運(yùn)算是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，Matlab提供了計(jì)算函數(shù)極限的命令，對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)求極限，用Matlab計(jì)算將既快

12、又準(zhǔn)，而且很方便，下面用例題的形式給予演示例18 求極限解 在命令窗口中輸入： syms x %確定x為變量，沒(méi)再次確定的，計(jì)算的時(shí)候都將視為常量； y=tan(3*x2)/(2*x2+3*(sin(x)3); %確定函數(shù)； limit(y) %求極限命令輸出結(jié)果ans = 3/2說(shuō)明例19 求極限解 在命令窗口輸入： syms x y=1/(x*(log(x)2)-1/(x-1)2; limit(y,x,1,right) %right為右極限 輸出結(jié)果ans = 1/12說(shuō)明例20 求極限 解 在命令窗口中輸入： syms x y=(1+3/x)x; limit(y,x,inf) %inf表

13、示無(wú)窮大 輸出結(jié)果：ans = exp(3) % exp（x）表示 說(shuō)明習(xí)題訓(xùn)練1求函數(shù)的極限.（1）； （2）；（3）； （4）； （5）； （6）；（7）； （8）2求下列函數(shù)的極限.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）（為正整數(shù)）3當(dāng)時(shí)，與相比，哪一個(gè)是高階無(wú)窮小？4當(dāng)時(shí)，無(wú)窮小和是否同階？是否等價(jià)？5證明當(dāng)時(shí), 與是同階無(wú)窮小量6用Matlab求下列極限（1）； （2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）*第三節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性教學(xué)目的：1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類型。2.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

14、和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。 教學(xué)重難點(diǎn)：1.函數(shù)連續(xù)性及初等函數(shù)的連續(xù)性；2.區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì);3.間斷點(diǎn)及其分類； 自然界中有許多現(xiàn)象，如氣溫的變化，河水的流動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等，都是連續(xù)的變化著的.這些現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映，就是函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)的增量如果函數(shù)在點(diǎn)及其近旁有定義，當(dāng)自變量從變到時(shí)，函數(shù)相應(yīng)地從變到，此時(shí)稱與的差為函數(shù)的增量，記為，即例1 設(shè)函數(shù)，求函數(shù)當(dāng)由2變到2的增量解 二、函數(shù)的連續(xù)性1函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性O(shè)xyyf (x0+x)MNf (x0)x0x0+x圖24y = f (x)x現(xiàn)在從函

15、數(shù)的圖象來(lái)考察在給定點(diǎn)處及其左、右近旁函數(shù)的變化情況，如圖24所示，曲線在點(diǎn)處沒(méi)有斷開(kāi)，即當(dāng)保持不變，讓趨近零時(shí)，曲線上的點(diǎn)沿曲線趨近于，這時(shí)趨近于下面我們給出函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的定義：定義1 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處及其左、右近旁有定義，如果當(dāng)自變量在處的增量趨于零時(shí)，函數(shù)的增量也趨于零，即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)例2 證明函數(shù)在給定點(diǎn)處連續(xù)證 當(dāng)自變量在處取得增量時(shí), 函數(shù)的相應(yīng)的增量為因?yàn)?所以函數(shù)在給定點(diǎn)處連續(xù)在上面定義1中，若把改寫為，則，于是，1xy=xO1y圖25當(dāng)，就是，就是，因此在點(diǎn)處函數(shù)連續(xù)的定義又可以敘述為：定義2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處及左右近旁有定義，若當(dāng)時(shí)，的極限存在，且等于它在處的函數(shù)值即，則稱

16、函數(shù)在處連續(xù)例3作函數(shù)的圖象，并討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性解 數(shù)在內(nèi)有定義，圖象如圖25所示，因?yàn)椋谑怯校郑院瘮?shù)在點(diǎn)處連續(xù)2函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性定義3 若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)都是連續(xù)的，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，區(qū)間稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間下面先給出函數(shù)在一點(diǎn)左連續(xù)與右連續(xù)的概念設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果左極限存在且等于，即，那么稱函數(shù)在點(diǎn)左連續(xù)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有定義，如果右極限存在且等于，即，那么稱函數(shù)在點(diǎn)右連續(xù)定義4 如果在上有定義，在內(nèi)連續(xù)，且在右端點(diǎn)左連續(xù)，在左端點(diǎn)右連續(xù)，即，那么就稱函數(shù)在上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖象是一條連綿不斷的曲線.三、函數(shù)的間斷點(diǎn)如果函數(shù)在點(diǎn)處有下列三種情形之一：（1）在沒(méi)有

17、定義；（2）雖在有定義，但不存在；（3）雖在有定義，且存在，但那么稱函數(shù)在點(diǎn)為不連續(xù)，而點(diǎn)稱為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)或間斷點(diǎn)例4 求函數(shù)的間斷點(diǎn)解 由于函數(shù)在處沒(méi)有定義，故是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，如圖26示例5 求函數(shù)的間斷點(diǎn)解 分界點(diǎn)雖在函數(shù)的定義域內(nèi)，但, ，則極限不存在，故是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，如圖27所示例6 求函數(shù)的間斷點(diǎn)x12O1y圖26y=x21x1xy21O1-1圖2712O1y圖28x解 函數(shù)在點(diǎn)處有定義，且，但是，故，所以是函數(shù)的一個(gè)間斷點(diǎn)，如圖28所示間斷點(diǎn)通常可分為兩類：如果是的間斷點(diǎn)，但左、右極限都存在，那么稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)，例4、例5、例6中的間斷點(diǎn)都是第一類間斷點(diǎn)；不是第

18、一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn)例如是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)，是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)四、初等函數(shù)的連續(xù)性利用函數(shù)連續(xù)性定義，可以得定理 設(shè)函數(shù)和在點(diǎn)處連續(xù)，則函數(shù)， 在點(diǎn)處連續(xù)（證明略）定理 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)（證明略）可知一切基本初等函數(shù)在其有定義的區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)的，由初等函數(shù)的定義和上面的定理可知：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.這個(gè)結(jié)論很重要，因?yàn)榻窈笥懻摰闹饕浅醯群瘮?shù)，而初等函數(shù)的連續(xù)區(qū)間就是它有定義的區(qū)間若函數(shù)是初等函數(shù)，且為其定義區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)，則在點(diǎn)處連續(xù)，即有因此求初等函數(shù)，當(dāng)?shù)臉O限時(shí)，只需計(jì)算的值就可以了由于函數(shù)在處連續(xù)，有 說(shuō)明函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的前提下，極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可以交換運(yùn)算順序，這一結(jié)論給我們求函數(shù)的極限帶來(lái)很大方便例7 求下列極限：(1) ； (2) 解 (1) 因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其的定義域?yàn)槎裕?）因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，其定義域?yàn)椋海晕濉㈤]區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 下面介紹閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的兩個(gè)重要性質(zhì)定理 （最大值和最小值定理