1、 第三章 隨機振動的相關分析隨機振動的相關分析 第三章 隨機振動的相關分析n 相關的含義相關的含義n 相關的數學表達相關的數學表達相關系數相關系數n 自相關函數自相關函數 n 互相關函數互相關函數n3.1 相關的含義相關問題：研究兩個變量之間的關系問題。（1）如： 則x、y兩者函數相關。（2）對于兩個隨機變量而言，無法寫出確 切的函數關系。 baxy波形相似的直觀比較兩個隨機變量之間只能是概率相關關系研究隨機變量相關的目的：（1）從一個隨機變量的取值，來推測另一個 隨機變量的取值范圍。（2）相關函數是計算譜密度的重要依據。n3.2 相關的數學表達相關系數 設通過測試得到一組關于某兩個隨機變量x

2、、y的實際測試“數據對”，將每個數據對用直角坐標平面上的一個點來表示。 a圖中兩個變量不相關； b圖中兩個變量相關（b）圖：需要討論的是如何找到一個線性方程，使它能最好的代表這組數據： 設此線性方程具有形式： 如何確定a、b使其能夠最好地代表這組數據。 應用最小二乘法 任一數據的縱坐標 yi 與直線ya xib 之差為 （殘差），殘差的均方值最小時，得到的直線 方程為最優方程。baxy)(baxyyiii2222222222222222)(bXabEYbEXYaEXEaYEabXbYaXYbXaYEbaXYEyEbaxy2222222222222222)(bXabEYbEXYaEXEaYEab

3、XbYaXYbXaYEbaXYEyE要求 最小，則2yE 02220222222XaEYEbbyEXbEXYEXaEayE殘差的均方值：得到：222 ()() xyxbE YaE XE XYE XYE X E YaE XE X02220222222XaEYEbbyEXbEXYEXaEayE均方值均值方差由以上（2）式222)(xyxYXEXEXEYEXEXYEaXaEYEb分母為方差)(YEXEXYEYEXEYEXEXEYEXYEYEXEXYEYXXYEYXEyxxyyxxyyx分子隨機變量X的離差與Y的離差乘積的數學期望稱為隨機變量X與Y的相關矩，又成為協方差222)(xyxYXEXEXEY

4、EXEXYEaXaEYEbxyyxyxxyYXE)(xyxyaxxyxyyXaEYEb現定義 為相關系數xyxyaxxyxyyXaEYEbxxxyyyxybaxy代入：與此類似：要求 最小，則可得:2xE yyxyxxyx兩式相同，兩個變量具有線性的函數關系1xyyyxyyxyxxxyx1xyxxxyyyxybaxyyyxyxxyx如：兩個變量具有線性的函數關系，則有： 形式，反之：如果兩個變量間具有 這樣的函數關系，則相關系數1xybaxy證明略X、Y完全相關時：X、Y完全不相關時：0 xyxy取值在正負1之間，絕對值越大，相關程度越強yxyxxyYXE)(其分子稱為協方差或相關矩1xy 一

5、般情況下，相關系數的絕對值小于1，即1xy表明不能用一個信號精確表示另一個信號，但可以用一個信號近似地表示另個信號，其近似程度用相關系數來描述n3.3 自相關函數)()()(tXtXERx)(xRxyyxyxyxyxxyXYEYXE)( 分析 與 之間的關系為描述隨機過程兩個不同時刻狀態之間的聯系，引入自相關函數1212( , )R t tE x x對于各態歷經隨機過程：(與時差有關)yxyxyxyxxyXYEYXE)(如令隨機變量)()(tXYtXX)()()()()()()()()()()()()(txtxtxtxxtxtxtxtxyxyxtxtxRtXtXEXYE則：相關系數 可以描述兩

6、個隨機變量之間的線性程度， 公式中 和 都是常數， 可以描述兩個隨機過程之間的相關關系。( ) ()( )()( )()( )x t x txx tx tx tx tR對于平穩隨機過程：xtxtx )()(xtxtx )()(故：22)()()(xxxtxtxR)(xR xyxy2x2x相關系數與相關函數之間的比較相關系數與相關函數之間的比較n相關系數是一個數。其缺陷：分子是兩個信號的內積，如sinx和cosx,從波形上看只是相位不同，而相關系數為零（因為正弦和余弦正交）。n引入相關函數，將原來兩函數直接內積改為一個函數和另一個函數的延遲作內積。使描述兩隨機變量相關程度的方式由一個數變為函數。

7、 n相關函數：不僅與兩個波形的特點有關，還與兩個波形之間的相對移動值有關。全面反映了兩個波形的相似性。 例：已知組成隨機振動過程的樣本函數幾何，求不同時刻之間的相關性。（理解相關函數概念）1111( ,)lim( ) ()NxxiiNiRt tx t x tN例:求正弦函數的自相關函數解：該正弦函數的自相關函數為式中 為振動周期，令 ，則 。于是 0020001lim1sinsinTxTTRx t x tdtTxttdtTtddt02T0T 222000sinsincos22xxxRd 正弦函數的自相關函數是一個余弦函數，在=0時具有最大值，但它不隨的增加而衰減至零。它保留了原正弦信號的幅值幅

8、值和頻率信息和頻率信息，而丟失了初始相位信息工程應用 區別信號類型 檢測混雜在隨機信號中的周期成分。如：測量座椅的振動信號，獲得其自相關函數，可以判別座椅上是否有周期信息。如果存在周期信號，可根據其頻率查找相應振源。自相關函數有以下性質： 1、由 22)()()(xxxtxtxR以及11)()(txtx可知：222222)(1)(1xxxxxxxxRR最大值：最小值：)(xR故22xx22xx2、 時：2)(xxR)()()()0(2tXEtXtXERx222)(xxtXE222)(xxtXE22)0(xxxR0即： 時， 具有最大值,此時相當 于自己與自己的關系，當然完全相關)0(xR0時，

9、0)(22)()(xxxtxtxR3、 是偶函數（證明略）)(xRn3.4 互相關函數 自相關函數是描述同一平穩過程兩個不同截口之間的線性依從關系； 互相關函數是描寫兩個平穩過程，不同截口之間的關系。 在X(t)上選一個時間t1，對應隨機變量X(t1) 在Y(t)上選一個時間t1+，對應隨機變量Y(t1+) 兩者之間的互相關函數為：)()()()()(11tYtXEtYtXERXY)()()()()(11tYtXEtYtXERXY上式表示：在Y(t)上選則的時間截口比在X(t)上選擇的時間截口要落后一個時間如果在X(t)上選則的時間截口比在Y(t)上選擇的時間截口落后一個時間，則其相關函數表示

10、為：)()()()()(11tXtYEtXtYERYX由于平穩隨機假設故上述公式中均與時刻無關例：設有兩個周期信號x(t)和y (t)試求其互相關函數 xyR 00sinsinx txty tyt解： 因為函數是周期信號，可以用一個共同周期內的平均值代替其整個歷程的平均值，故 00000001lim1sinsin1cos2TxyTTRx t y tdtTxtytdtTx y此例可知，兩個均值為0且同頻率的信號，其互相關函數保留了圓頻率、幅值、及相位差值信息例：若兩個周期信號的圓頻率不等試求其互相關函數解：因為兩信號不具有共同的周期，所以有根據正余弦函數的正交性，可知 0102sinsinx t

11、xty tyt 00012001lim1limsinsinTxyTTTRx t y tdtTx yttdtT 0 xyR 如果x(t)和y (t)兩信號是同頻率的周期信號或者包含有同頻率的成分，那么即使趨于無窮，互相關函數也不收斂并會出現該頻率的周期成分。 如兩信號含頻率不等的周期成分，則兩者不相關。 同頻相關，不同頻不相關。 用途：（1）、相關濾波器 （2）、測速 （3）、測距用途舉例1：測定汽車速度 在相隔L米的距離布置兩個光電信號器，汽車通過時，檢測出反射光的兩個電信號，做出兩者的互相關函數，從第一個峰值的時間移動值（毫秒）計算出汽車行駛速度。 （相關測速）內部測速：變速箱內部齒輪轉速計

12、算 ABS剎車上的轉速儀用途舉例2：確定操縱機構等的靈敏度。 如：以方向盤的轉角為輸入，前橋轉向角為輸出，可得兩者的互相關函數的峰值。其峰值滯后時間越小表示操縱機構接受指令后到執行的時間間隔越短，機構的靈敏度越高。用途舉例3：尋找主要振源 確定車輛座椅振動的主要來源 如：測量座椅振動信號、發動機振動信號、輪軸振動信號；分別得到座椅與發動機振動的互相關以及座椅與輪軸振動的互相關函數。通過比較確定其主要振源。用途舉例4：測距（閱讀） 準確定位深埋在地下的輸油管裂縫位置： 輸油管裂縫處視為聲源，向兩側傳播聲信號。 第一次開掘處如未找到漏損處，則放一傳聲器。 第二次開掘處如未找到漏損處，則再放一傳聲器

13、，兩者間 距s傳感器。 求兩傳聲器所測信號的互相關函數，根據其時差確定管路 破損位置。 聲波在管路中的傳播速度已知v 首先判斷漏損點是否在兩傳感器之間，如時差小于s傳感器/ V 則漏損點必然在兩傳聲器之間。 1122lvtlvt212122()12llssv ttvsv由此判斷出的泄漏點位置誤差很小，在天然氣管道、石油管道故障排查時常用方法。用途舉例5：（閱讀） 用互相關函數測定材料的隔聲性能 聲源在A室中，首先在不放隔聲板的情況下，測量a、b處的噪聲信號并做互相關分析； 裝上隔聲材料后，做同樣的分析。 比較兩次得到的互相關函數，后者互相關數值大大降低，此值越低表明材料的隔聲效果越好。 互相關

14、函數具有以下性質： 1、令tt)()()(tYtXERXY)()()()()()()(YXRtXtYEtXtYEtYtXE)()(XYXYRR)(XYR 同理：一般情況： 不等于)()(XYXYRR故： 不是偶函數)(XYR圖 兩個平穩過程的互相關函數n2、設有兩個隨機過程X(t),Y(t)11)()()()()()()()()()()()()()()()(tytxtytxtytxtYtXtytxtytxtytxRtYtXE由于是平穩隨機過程：YtYYtYXtXXtX)()()()(故：同理：yxyxXYyxyxR)(yxyxYXyxyxR)(yxyxXYyxyxR)(yxyxYXyxyxR)( 與 有相同的數值范圍)(XYR)(XYR 3、多數隨機過程，時間相隔越長，相關性越弱時，0yxyxXYXYR故：yxYXXYRR觀察 時互相關函數的取值4、互相關函數與自相關函數之間的關系)0()0()(2YXXYRRR)0()0()(2YXXYRRRyxyxXYyxyxR)(222222222222)()0()0(xyyxyxyxy