1、 第三章第三章微分方程模微分方程模 型浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐基地3.1 微分方程的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例微分方程的幾個(gè)簡(jiǎn)單實(shí)例 在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系在許多實(shí)際問(wèn)題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題，為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來(lái)研究該問(wèn)題， 本節(jié)將通過(guò)一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模的本節(jié)將通過(guò)一些最簡(jiǎn)單的實(shí)例來(lái)說(shuō)明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問(wèn)題的研究中，微分方程是十分常一般方法。在連續(xù)變量問(wèn)題

2、的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。用的數(shù)學(xué)工具之一。 例例1 （理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微（理想單擺運(yùn)動(dòng)）建立理想單擺運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。分方程，并得出理想單擺運(yùn)動(dòng)的周期公式。 從圖從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為中不難看出，小球所受的合力為mgsin，根據(jù)根據(jù)牛頓第二定律牛頓第二定律可得：可得： sinmlmg 從而得出兩階微分方程：從而得出兩階微分方程： 0sin0(0)0, (0)gl（3.1）這是理想單擺應(yīng)這是理想單擺應(yīng)滿足的運(yùn)動(dòng)方程滿足的運(yùn)動(dòng)方程 （3.13.1）是一個(gè)兩階非線性方程，不是一個(gè)兩階非線性方程，不易求解。當(dāng)易求解

3、。當(dāng)很小時(shí)，很小時(shí)，sin，此時(shí)，此時(shí)，可考察（可考察（3.13.1）的近似線性方程：）的近似線性方程： 00(0)0, (0)gl（3.2）由此即可得出由此即可得出2gTl （3.23.2）的解為）的解為: : (t)= 0cost gl其中其中 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),(t)=04Tt 42g Tl故有故有MQPmgl圖圖3-1 （3.13.1）的）的近似方程近似方程例例2 我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為6060哩，潛水艇最哩，潛水艇最大航速為大

4、航速為3030節(jié)而巡邏艇最大航速為節(jié)而巡邏艇最大航速為6060節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。水艇。 這一問(wèn)題屬于對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。討論以下簡(jiǎn)單情形：這一問(wèn)題屬于對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。討論以下簡(jiǎn)單情形： 敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直 線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。 設(shè)巡邏艇在設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為程為r=r(

5、)，見(jiàn)圖，見(jiàn)圖3-2。BAA1drdsd圖3-2由題意，由題意， ，故，故ds=2dr2dsdrdtdt圖圖3-2可看出，可看出， 222()()()dsdrrd故有故有:2223()()drrd即即:3rdrd（3.3）解為：解為：3rAe（3.4） 先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離先使自己到極點(diǎn)的距離等于潛艇到極點(diǎn)的距離,然然后按后按（3.4）對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。對(duì)數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：追趕方法如下：例例3 一個(gè)半徑為一個(gè)半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開(kāi)始時(shí)盛滿了的半球形容器內(nèi)開(kāi)始時(shí)盛滿了水，但由于其底部一個(gè)面積為水，但由于其底部一個(gè)面積為Scm2的小孔在的小

6、孔在t=0時(shí)刻時(shí)刻被打開(kāi)，水被不斷放出。問(wèn)：容器中的水被放完總共被打開(kāi)，水被不斷放出。問(wèn)：容器中的水被放完總共需要多少時(shí)間？需要多少時(shí)間？ 解解: 以容器的底部以容器的底部O點(diǎn)為點(diǎn)為 原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖原點(diǎn)，取坐標(biāo)系如圖3.3所示。所示。令令h(t)為為t時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立時(shí)刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分滿足的微分方程。方程。 設(shè)水從小孔流出的速度為設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計(jì)水，由力學(xué)定律，在不計(jì)水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：( )0.6 2tgh因體積守衡，又可得：因體積守衡，又可得： 2dVr dhs

7、dt 易見(jiàn)：易見(jiàn)： 22()rRRh故有：故有： 2() 0.62RRhdhSghdt220.62() ShgdhdtRRh 即：即： 這是可分離變量的一階微分方程，得這是可分離變量的一階微分方程，得 220() 0.62RRRhTdhSgh302(2)0.62RR hhdhSg53520224214350.6292RRRhhSgSgRxySO圖圖3-3hr例例4 一根長(zhǎng)度為一根長(zhǎng)度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為的溫度恒為T(mén)1，另一端溫度恒為，另一端溫度恒為T(mén)2，（，（T1、T2為常數(shù)，為常數(shù)，T1 T2）。）。金屬桿橫截面積

8、為金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長(zhǎng)度為，截面的邊界長(zhǎng)度為B，它完全暴露在空氣中，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為空氣溫度為T(mén)3，（，（T3釷釷234-24天天-釙釙234-6/5分分-鈾鈾234-257億年億年-釷釷230-8萬(wàn)年萬(wàn)年-鐳鐳226-1600年年-氡氡222-19/5天天-釙釙218-3分分-鉛鉛214-27分分-釙釙214-鉛鉛210-20年年-鉍鉍210-5天天-釙釙210-138天天-鉛鉛206（一種非放射性物質(zhì)）（一種非放射性物質(zhì)）注：時(shí)間均為半衰期注：時(shí)間均為半衰期 (2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中

9、的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在地衰減，補(bǔ)充著其后繼元素。各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測(cè)量的資料，地巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測(cè)量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬(wàn)分之殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬(wàn)分之2.7（一般含量（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于量高于23%的。的。 簡(jiǎn)化假定簡(jiǎn)化假定：本問(wèn)題建模是為了

10、鑒定幾幅不超過(guò)本問(wèn)題建模是為了鑒定幾幅不超過(guò)300年的古畫(huà)，為了使模型年的古畫(huà)，為了使模型盡可能簡(jiǎn)單，可作如下假設(shè)：盡可能簡(jiǎn)單，可作如下假設(shè)： (1)由于鐳的半衰期為由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過(guò)年，經(jīng)過(guò)300年左右，應(yīng)用微分年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的方程方法不難計(jì)算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個(gè)常數(shù)。 (2)鉛鉛210210的衰變?yōu)椋旱乃プ優(yōu)椋?鉛鉛210T=22年年釙釙210鉛鉛206T=138天天若畫(huà)為真品，顏料應(yīng)有若畫(huà)為真品，顏料應(yīng)有300年

11、左右或年左右或300年以上的歷史，容易證年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差極微，的分解數(shù)（相差極微，已無(wú)法區(qū)別）。可用前者代替后者，因釙的半衰期較短，易于已無(wú)法區(qū)別）。可用前者代替后者，因釙的半衰期較短，易于測(cè)量測(cè)量 。建模：建模： (1)記提煉白鉛的時(shí)刻為記提煉白鉛的時(shí)刻為t=0，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛，當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210的分子的分子數(shù)為數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同。可以推算出當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛與鉛的單位時(shí)間分解數(shù)相同。可以推

12、算出當(dāng)時(shí)每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于每分鐘分解數(shù)不能大于30000個(gè)。個(gè)。0030000uUy若若20030000 60 24 3651.02 10uU則則（個(gè)）這些鈾約重這些鈾約重 20231.02 102380.046.02 10（克）即每克白鉛約含即每克白鉛約含0.040.04克鈾，含量為克鈾，含量為4% 4% 以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫(huà)上的鉛分解數(shù)大于的上界，若畫(huà)上的鉛分解數(shù)大于該值，說(shuō)明畫(huà)是贗品；但若是小該值，說(shuō)明畫(huà)是贗品；但若是小于不能斷定畫(huà)一定是真品。于不能斷定畫(huà)一定是真品。 (2)設(shè)設(shè)t時(shí)刻時(shí)刻1克白鉛中鉛克白鉛中鉛210含量

13、為含量為y(t)，而鐳的單位時(shí)間分，而鐳的單位時(shí)間分解數(shù)為解數(shù)為r（常數(shù)），則（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：滿足微分方程： dyyrdt 由此解得由此解得：00()()0( )1t tt try tey e00()()0( )1t tt tyy t er e故：故： 畫(huà)中每克白鉛所含鉛畫(huà)中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)目前的分解數(shù)y(t)及目前鐳的分解及目前鐳的分解數(shù)數(shù)r均可用儀器測(cè)出，從而可求出均可用儀器測(cè)出，從而可求出y0的近似值，并利用（的近似值，并利用（1）判）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。斷這樣的分解數(shù)是否合理。Carnegie-MellonCarnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)

14、家們利用上述模型對(duì)部分有疑問(wèn)大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對(duì)部分有疑問(wèn)的油畫(huà)作了鑒定，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（見(jiàn)表的油畫(huà)作了鑒定，測(cè)得數(shù)據(jù)如下（見(jiàn)表3-13-1）。）。 油畫(huà)名稱油畫(huà)名稱210210分解數(shù)（個(gè)分解數(shù)（個(gè)/ /分）分）鐳鐳226226分解數(shù)（個(gè)分解數(shù)（個(gè)/ /分）分）1 1、在埃牟斯的門(mén)徒、在埃牟斯的門(mén)徒 0.82 2、濯足、濯足12.612.60.260.263 3、看樂(lè)譜的女人、看樂(lè)譜的女人10.34 4、演奏曼陀琳的女、演奏曼陀琳的女人人70.175 5、花邊織工、花邊織工1.46 6、笑女、笑女

15、6.0計(jì)算計(jì)算y0 （個(gè)（個(gè)/ /分）分）98050980501571301571301273401273401022501022501274.81274.8-10181-10181表表3-1 3-1 對(duì)對(duì)“在埃牟斯的門(mén)徒在埃牟斯的門(mén)徒”，y y0 09805098050（個(gè)（個(gè)/ /每克每分鐘），它必定是一每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（幅偽造品。類似可以判定（2 2），（），（3 3），（），（4 4）也是贗品。而（）也是贗品。而（5 5）和（）和（6 6）都不會(huì)是幾十年內(nèi)偽制品，因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的都不會(huì)是幾十年內(nèi)偽制品，因?yàn)榉派湫晕镔|(zhì)已處于接近平衡

16、的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。平衡不可能發(fā)生在十九世紀(jì)和二十世紀(jì)的任何作品中。 判定判定結(jié)果：結(jié)果： 利用放射原理，還可以對(duì)其他文物的年代進(jìn)行測(cè)定。利用放射原理，還可以對(duì)其他文物的年代進(jìn)行測(cè)定。例如對(duì)有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測(cè)例如對(duì)有機(jī)物（動(dòng)、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測(cè)定方法是放射性碳定方法是放射性碳1414測(cè)定法，這種方法具有較高的精確度，測(cè)定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射中含有微量的中微

17、子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳性碳1414（C C1414）。有機(jī)物存活時(shí)，它們通過(guò)新陳代謝與外界）。有機(jī)物存活時(shí)，它們通過(guò)新陳代謝與外界進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的進(jìn)行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C C1414處于放射性平衡中。一旦有機(jī)處于放射性平衡中。一旦有機(jī)物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過(guò)對(duì)比測(cè)定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如，過(guò)對(duì)比測(cè)定，可以估計(jì)出它們生存的年代。例如，19501950年年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有HammurabiHammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測(cè)定，王朝字樣的木炭，經(jīng)測(cè)定，其其C C1

18、414衰減數(shù)為衰減數(shù)為4.094.09個(gè)個(gè)/ /每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中中C C1414衰減數(shù)為衰減數(shù)為6.686.68個(gè)個(gè)/ /每克每分鐘，每克每分鐘，C C1414的半衰期為的半衰期為55685568年，年，由此可以推算出該王朝約存在于由此可以推算出該王朝約存在于3900-40003900-4000年前。年前。 例例6 6 新產(chǎn)品的推廣新產(chǎn)品的推廣 經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速經(jīng)濟(jì)學(xué)家和社會(huì)學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問(wèn)題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析度問(wèn)題。怎樣建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？

19、以下是第二次世界出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。 設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為設(shè)需求量有一個(gè)上界，并記此上界為K，記，記t時(shí)刻已銷售出的時(shí)刻已銷售出的電飯包數(shù)量為電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為，則尚未使用的人數(shù)大致為Kx(t)，于是由統(tǒng)，于是由統(tǒng)計(jì)籌算律：計(jì)籌算律： ()dxx Kxdt記比例系數(shù)為記比例系數(shù)為k k，則則x(t)滿足：滿足： ()dxkx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解為：模型，解為： ( )1KktKx tCe還有兩個(gè)奇解還有兩個(gè)

20、奇解: x=0和和x=K 對(duì)對(duì)x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：求一階、兩階導(dǎo)數(shù)： 22( )(1)KktKktcK kex tCe323(1)( )(1)KktKktKktCK k eCex tCex(t)0，即，即x(t)單調(diào)增加。單調(diào)增加。令令x(t0)=0，有，有2)(0Ktx當(dāng)當(dāng)tt0時(shí)，時(shí)，x(t)單調(diào)減小。單調(diào)減小。在銷出量小于最大需求量的一在銷出量小于最大需求量的一半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，半時(shí)，銷售速度是不斷增大的，銷出量達(dá)到最大需求量的一半銷出量達(dá)到最大需求量的一半時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷時(shí)，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開(kāi)始下降。售速度將開(kāi)始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加

21、所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有以廣告宣傳；從有20%20%用戶到有用戶到有80%80%用戶這段時(shí)期，應(yīng)該大批量用戶這段時(shí)期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時(shí)轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。做可以取得較高的經(jīng)濟(jì)效果。 3.33.3 為什么要用三級(jí)火箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星為什么要用三級(jí)火箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說(shuō)明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說(shuō)明為什么不能用一級(jí)火箭而必須用多級(jí)火箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？級(jí)火箭來(lái)發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級(jí)火箭系統(tǒng)？ 1 1、為什么不能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星、為什么不能用一級(jí)

22、火箭發(fā)射人造衛(wèi)星? ? （1 1）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度）衛(wèi)星能在軌道上運(yùn)動(dòng)的最低速度 假設(shè)：假設(shè)：（i i） 衛(wèi)星軌道為過(guò)地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星衛(wèi)星軌道為過(guò)地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星 在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在此軌道上作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 （iiii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi) 星的引力忽略不計(jì)。星的引力忽略不計(jì)。 分析：分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為: 2kmFr在地面有在地面有: :2kmmgR得得: : k=gR2 R R為地球半徑，為地球半徑，約為約為64006

23、400公里公里 故引力故引力: : 2RFmgr假設(shè)(ii)dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力故又有故又有: :2mFr從而從而: :gRr設(shè)設(shè)g=9.81g=9.81米米/ /秒秒2 2，得，得: : 衛(wèi)星離地面高度衛(wèi)星離地面高度 ( (公里公里) )衛(wèi)星速度衛(wèi)星速度 ( (公里公里/ /秒秒) )100100200200400400600600800800100010007.807.807.697.697.587.587.477.477.377.377.867.86（2 2）火箭推進(jìn)力及速度的分析）火箭

24、推進(jìn)力及速度的分析 假設(shè)：假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計(jì)火箭重力及空氣阻力均不計(jì) 分析：分析：記火箭在時(shí)刻記火箭在時(shí)刻t的質(zhì)量和速度分別為的質(zhì)量和速度分別為m(t)和和(t) 2()( )()dmm ttm ttOtdt 有：有：記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為記火箭噴出的氣體相對(duì)于火箭的速度為u（常數(shù)），（常數(shù)）， 由動(dòng)量守恒定理：由動(dòng)量守恒定理： 2( ) ( )() ()()( ( )dmm ttm tttttOttudt 0 0和和m m0 0一定的情況下，一定的情況下，火箭速度火箭速度(t)(t)由噴發(fā)由噴發(fā)速度速度u u及質(zhì)量比決定。及質(zhì)量比決定。 ddmmudtdt 故：故：由

25、此解得：由此解得：00( )ln( )mtum t( (3.11) ) （2 2）火箭推進(jìn)力及速度的分析）火箭推進(jìn)力及速度的分析 現(xiàn)將火箭現(xiàn)將火箭衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分： （i）mP（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（有效負(fù)載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量（結(jié)構(gòu)質(zhì)量如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。如外殼、燃料容器及推進(jìn)器）。 最終質(zhì)量為最終質(zhì)量為mP + mS ，初始速度為，初始速度為0，所以末速度：所以末速度：lnOPSmumm根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，能，u只能達(dá)到只能達(dá)到3公里公里/秒，即使秒，即使發(fā)射空殼火

26、箭，其末速度也不發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過(guò)超過(guò)6.6公里公里/秒。秒。 目前根本不目前根本不可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星可能用一級(jí)火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其火箭推進(jìn)力在加速整個(gè)火箭時(shí)，其實(shí)際效益越來(lái)越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)實(shí)際效益越來(lái)越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過(guò)程中量在燃料燃燒過(guò)程中不斷減少，那不斷減少，那么末速度能達(dá)到要求嗎？么末速度能達(dá)到要求嗎？2 2、理想火箭模型、理想火箭模型 假設(shè)：假設(shè)： 記結(jié)構(gòu)質(zhì)量記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在在mS + mF中占的比例為中占的比例為，假設(shè)火，假設(shè)火箭能隨時(shí)拋棄無(wú)用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以箭能隨時(shí)拋棄無(wú)用的結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以與與（1

27、-）的比例同時(shí)減少。）的比例同時(shí)減少。 建模建模: : 由由 2( ) ( )() ()( )(1)( ( )()dmdmm ttm tt v tttttutdtdtOt 得到：得到：(1)dmdmmudtdt 解得：解得： 0( )(1)ln( )mtum t 理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料理想火箭與一級(jí)火箭最大的區(qū)別在于，當(dāng)火箭燃料耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為耗盡時(shí)，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP， 所以最終速度為：所以最終速度為： 0(1)lnPmum只要只要m0足夠大，我們可以足夠大，我們可以使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具使衛(wèi)星達(dá)到我們希望它具有的任意速度。

28、有的任意速度。考慮到空氣阻力和重力等因素，估考慮到空氣阻力和重力等因素，估計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星計(jì)（按比例的粗略估計(jì)）發(fā)射衛(wèi)星要使要使=10.5公里公里/秒才行，則可推秒才行，則可推算出算出m0/ mp約為約為51,即發(fā)射一噸重的即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭噸重的理想火箭 3 3、理想過(guò)程的實(shí)際逼近、理想過(guò)程的實(shí)際逼近多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng)多級(jí)火箭衛(wèi)星系統(tǒng) 記火箭級(jí)數(shù)為記火箭級(jí)數(shù)為n，當(dāng)?shù)冢?dāng)?shù)趇級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第級(jí)火箭的燃料燒盡時(shí)，第i+1級(jí)火級(jí)火箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無(wú)用的第箭立即自動(dòng)點(diǎn)火，并拋棄已經(jīng)無(wú)用的第i級(jí)火箭。用級(jí)火箭。用mi表示第表示第i級(jí)火

29、箭的質(zhì)量，級(jí)火箭的質(zhì)量，mP表示有效負(fù)載。表示有效負(fù)載。 先作如下假設(shè)：先作如下假設(shè)： （i）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的）設(shè)各級(jí)火箭具有相同的 ,即即i級(jí)火箭中級(jí)火箭中mi為結(jié)構(gòu)為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（質(zhì)量，（1-）mi為燃料質(zhì)量。為燃料質(zhì)量。 （ii）設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，設(shè)燃燒級(jí)初始質(zhì)量與其負(fù)載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為并記比值為k k。 考慮二級(jí)火箭：考慮二級(jí)火箭： 由由3.11式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為：式，當(dāng)?shù)谝患?jí)火箭燃燒完時(shí)，其末速度為： 12212lnPPmmmummm當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為：當(dāng)?shù)诙?jí)火箭燃盡時(shí)，末速度為： 2122222122lnlnPPP

30、PPPmmmmmmmuummmmmmm該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加該假設(shè)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道，先權(quán)作的味道，先權(quán)作討論的方便吧討論的方便吧又由假設(shè)（又由假設(shè)（ii），），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，代入上式，仍設(shè)仍設(shè)u=3公里公里/秒，且為了計(jì)算方便，近似取秒，且為了計(jì)算方便，近似取=0.1，則可，則可得：得： 1222122113ln0.10.111PPPPmmmmmmmmmm2113ln6ln0.110.11kkkk要使要使2=10.5公里公里/秒，則應(yīng)使秒，則應(yīng)使: 10.5615.750.11kek即即k11.2，而，而: 12149PPmmmm類似地，可以推算出三級(jí)火箭：類似地，可以

31、推算出三級(jí)火箭： 1232333123233lnPPPPPPmmmmmmmmmummmmmmmmm在同樣假設(shè)下在同樣假設(shè)下: : 33113ln9ln0.110.11kkkk要使要使3=10.5公里公里/秒，則秒，則(k+1)/(0.1k+1)3.21，k3.25，而，而（m1+ m2+ m3+ mP）/ mP77。 三級(jí)火箭比二級(jí)火箭三級(jí)火箭比二級(jí)火箭幾乎節(jié)省了一半幾乎節(jié)省了一半 是否三級(jí)火箭就是最省是否三級(jí)火箭就是最省呢？最簡(jiǎn)單的方法就是呢？最簡(jiǎn)單的方法就是對(duì)四級(jí)、五級(jí)等火箭進(jìn)對(duì)四級(jí)、五級(jí)等火箭進(jìn)行討論。行討論。考慮考慮n n級(jí)火箭：級(jí)火箭： 記記n級(jí)火箭的總質(zhì)量（包含有效負(fù)載級(jí)火箭的總質(zhì)

32、量（包含有效負(fù)載mP）為）為m0 ，在，在相同的假設(shè)下可以計(jì)算出相應(yīng)的相同的假設(shè)下可以計(jì)算出相應(yīng)的m0/ mP的值，見(jiàn)表的值，見(jiàn)表3-2n（級(jí)數(shù)）（級(jí)數(shù)）1 2 3 4 5 （理想）（理想） 火箭質(zhì)量（噸）火箭質(zhì)量（噸）/ 149 77 65 60 50表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使都需配備一個(gè)推進(jìn)器，所以使用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合用四級(jí)或四級(jí)以上火箭是不合算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最算的，三級(jí)火箭提供了一個(gè)最好的方案。好的方案。當(dāng)然若燃料的價(jià)錢(qián)很便宜當(dāng)然若燃料的價(jià)錢(qián)很便宜而推進(jìn)器的價(jià)錢(qián)很貴切且而推進(jìn)器的價(jià)錢(qián)很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，

33、制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級(jí)火箭。也可選擇二級(jí)火箭。4 4、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì) 3 3中已經(jīng)能說(shuō)過(guò)假設(shè)中已經(jīng)能說(shuō)過(guò)假設(shè)(ii)(ii)有點(diǎn)強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該有點(diǎn)強(qiáng)加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)假設(shè)，在各級(jí)火箭具有相同在各級(jí)火箭具有相同的粗糙假設(shè)下，來(lái)討論火箭的粗糙假設(shè)下，來(lái)討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 W1=m1+ mn+ mP W2=m2+ mn+ mPWn= mn+ mPWn+1= mP記記應(yīng)用（應(yīng)用（3.113.11）可求得末速度：）可求得末速度： 1212231lnnnnnWWWumWmWmW1121,nnnWWkkWW記記112121ln1111nnn

34、nnWWWWuWWWW則則11211 21231nnnWWWWk kkWWWW又又問(wèn)題化為，在問(wèn)題化為，在n一定的條件下，求使一定的條件下，求使k1 k2kn最小最小 1ln(1)(1)nnkkukk解條件極值問(wèn)題：解條件極值問(wèn)題： 12121min. .(1)(1)nnnk kkk kkstCkk或等價(jià)地求解無(wú)約束極值問(wèn)題：或等價(jià)地求解無(wú)約束極值問(wèn)題： 12121min(1)(1)nnnk kkk kkaCkk可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足：可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)應(yīng)滿足： 12nkkk火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)討論火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)討論中我們得到與假設(shè)（中我們得到與假設(shè)（ii）相符的結(jié)果，這說(shuō)明前相符的結(jié)果，

35、這說(shuō)明前面的討論都是有效的！面的討論都是有效的！3.43.4 藥物在體內(nèi)的分布藥物在體內(nèi)的分布 何為房室系統(tǒng)？何為房室系統(tǒng)？ 在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采用一種在用微分方程研究實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們常常采用一種叫叫“房室系統(tǒng)房室系統(tǒng)”的觀點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。根據(jù)研究對(duì)象的特的觀點(diǎn)來(lái)考察問(wèn)題。根據(jù)研究對(duì)象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整征或研究的不同精度要求，我們把研究對(duì)象看成一個(gè)整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€(gè)相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。 房室具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室

36、具有以下特征：它由考察對(duì)象均勻分布而成，房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部房室中考察對(duì)象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換交換”且交換滿足著總量且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來(lái)研究另一問(wèn)題。法來(lái)研究另一問(wèn)題。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布 藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正

37、比的，即：濃度成正比的，即： dxkxdt出藥物分布的單房室模型藥物分布的單房室模型 單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻單房室模型是最簡(jiǎn)單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時(shí)刻都是均勻分布的，設(shè)都是均勻分布的，設(shè)t時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為時(shí)刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種；系統(tǒng)處于一種動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：動(dòng)態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式： dxdxdxdtdtdt入出 藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常關(guān)。下面，我們來(lái)研究一下在幾種常見(jiàn)的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。見(jiàn)的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。 機(jī)體環(huán)境藥物總量(

38、 )x tdxdt入dxdt出圖3-8 假設(shè)藥物均勻分布情況情況1 1 快速靜脈注射快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境( )x tdxdt出(0)xD只輸出不輸入房室其解為：其解為：( )ktx tDe藥物的濃度：藥物的濃度： ( )ktDc teV 與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時(shí)間稱為藥物的血漿半衰期：的時(shí)間稱為藥物的血漿半衰期： 12ln2tk負(fù)增長(zhǎng)率的Malthus模型 在快速靜脈注射時(shí)，總量為在快速靜脈注射時(shí)，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始

39、總量為，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：滿足微分方程： 0(0)dxkxdtxD（3.12） 情況情況2 2 恒速靜脈點(diǎn)滴恒速靜脈點(diǎn)滴 機(jī)體環(huán)境( )x tdxdt出(0)0 x恒定速率輸入房室0Kdtdx藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即藥物似恒速點(diǎn)滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即: : 0dxKdt則體內(nèi)藥物總量滿足：則體內(nèi)藥物總量滿足： 0dxkxKdt（x(0)=0） （3.13） 這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為：這是一個(gè)一階常系數(shù)線性方程，其解為： 0( )(1)ktKx te

40、k0( )(1)ktKC teVk或或易見(jiàn)易見(jiàn)：0lim( )KC ttVk 稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度 對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為對(duì)于多次點(diǎn)滴，設(shè)點(diǎn)滴時(shí)間為T(mén)1，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)，兩次點(diǎn)滴之間的間隔時(shí)間設(shè)為間設(shè)為T(mén)2，則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上則在第一次點(diǎn)滴結(jié)束時(shí)病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后式得出。其后T2時(shí)間內(nèi)為情況時(shí)間內(nèi)為情況1 1。故：。故：0( )(1)ktKC teVk（第一次） 0tT1 11()0( )(1)kTk t TKC teeVkT1tT1 +T2 類似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)類似可討論以后各次點(diǎn)滴時(shí)的情況，區(qū)別只在初值上的的情況，區(qū)別只在初值上的不同。

41、第二次點(diǎn)滴起，患者不同。第二次點(diǎn)滴起，患者 體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。 情況情況3 3 口服藥或肌注口服藥或肌注 y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物 口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥口服藥或肌肉注射時(shí)，藥物的吸收方式與點(diǎn)滴時(shí)不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記，即若記t時(shí)刻殘留藥物

42、時(shí)刻殘留藥物量為量為y(t)，則，則y滿足：滿足： 1(0)dyk ydtyD D為口服或肌注藥物總量 因而因而：1( )k ty tDe11(0)k tdxkxk DedtxD所以所以：解得解得：111( )()k tktk Dx teekk111( )()()k tktk DC teeV kk從而藥物濃度從而藥物濃度： 圖圖3-93-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表急救等緊

43、急情況；口服、肌注與點(diǎn)滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時(shí)刻，血藥的有效濃度保持時(shí)間也不盡相同。時(shí)間也不盡相同。圖3-9 我們已求得三種常見(jiàn)給藥方式下的血藥濃度我們已求得三種常見(jiàn)給藥方式下的血藥濃度C C( (t t) )，當(dāng)然也，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時(shí)間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。 新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的基礎(chǔ)研究、小新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的基

44、礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗(yàn)、專業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫量試制、中間試驗(yàn)、專業(yè)機(jī)構(gòu)評(píng)審及臨床研究。當(dāng)一種新藥品、新疫苗研制出來(lái)后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何苗研制出來(lái)后，研究人員必須用大量實(shí)驗(yàn)搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時(shí)參考。在實(shí)驗(yàn)中研究人員要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特要測(cè)定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時(shí)間及給點(diǎn)找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間

45、隔時(shí)間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在藥次數(shù)等），這些研究與試驗(yàn)據(jù)估計(jì)最少也需要數(shù)年時(shí)間。在20032003年年春夏之交的春夏之交的SARSSARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門(mén)能趕快拿出（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門(mén)能趕快拿出一種能治療一種能治療SARSSARS的良藥或預(yù)防的良藥或預(yù)防SARSSARS的有效疫苗來(lái)，但這只能是一種空的有效疫苗來(lái)，但這只能是一種空想。想。SARSSARS的突如其來(lái)，形成了的突如其來(lái)，形成了“外行不懂、內(nèi)行陌生外行不懂、內(nèi)行陌生”的情況。國(guó)內(nèi)的情況。國(guó)內(nèi)權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是權(quán)威機(jī)構(gòu)一度曾認(rèn)為這是“衣原體衣原體”引起的肺炎，可

46、以用抗生素控制引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實(shí)上，抗生素類藥物對(duì)和治療。但事實(shí)上，抗生素類藥物對(duì)SARSSARS的控制與治療絲毫不起作用。的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅(jiān)持認(rèn)為SARSSARS是病毒是病毒感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（感染引起的肺炎，兩個(gè)月后（4 4月月1616日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn)日），世界衛(wèi)生組織正式確認(rèn)SARSSARS是冠狀病毒的一個(gè)變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是冠狀病毒的一個(gè)變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認(rèn)并非是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的

47、）。發(fā)現(xiàn)病原是由權(quán)威機(jī)構(gòu)定義的，而是經(jīng)對(duì)猩猩的多次實(shí)驗(yàn)證實(shí)的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當(dāng)然就更困難了，企圖幾個(gè)月解決問(wèn)題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。了，企圖幾個(gè)月解決問(wèn)題注定只能是一種不切實(shí)際的幻想。 上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故上述研究是將機(jī)體看成一個(gè)均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機(jī)體事實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血被稱單房室模型，但機(jī)體事實(shí)上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過(guò)血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過(guò)交液，通過(guò)血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個(gè)部位，又通過(guò)交換進(jìn)入各個(gè)

48、器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模換進(jìn)入各個(gè)器官。因此，要建立更接近實(shí)際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)圖3-10 圖圖3-103-10表示的是一種常見(jiàn)的兩房室模型，表示的是一種常見(jiàn)的兩房室模型，其間的其間的k k1212表示由室表示由室I I滲透到室滲透到室IIII的變化率前的變化率前的系數(shù)，而的系數(shù)，而k k2121則表示由室則表示由室IIII返回室返回室I I的變化的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，率前的系數(shù)，它

49、們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當(dāng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定，使之盡可能地接近實(shí)其值應(yīng)當(dāng)用實(shí)驗(yàn)測(cè)定，使之盡可能地接近實(shí)際情況。際情況。 當(dāng)差異較大的部分較多當(dāng)差異較大的部分較多時(shí)，可以類似建立多房時(shí)，可以類似建立多房室系統(tǒng)室系統(tǒng)，即，即N N房室系統(tǒng)房室系統(tǒng)hy3.53.5 傳染病模型傳染病模型 傳染病是人類的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因傳染病是人類的大敵，通過(guò)疾病傳播過(guò)程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，

50、我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點(diǎn)來(lái)看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。 醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)民族或地區(qū)，當(dāng)某種傳染病流傳時(shí)，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個(gè)常數(shù)。即既非所有人都會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾病）的波及人數(shù)不會(huì)得病也非毫無(wú)規(guī)律，兩次流行（同種疾病）的波及人數(shù)不會(huì)相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來(lái)加以證明。 問(wèn)題的提出：?jiǎn)栴}的提出

51、： 設(shè)某地區(qū)共有設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時(shí)刻共有人，最初時(shí)刻共有i人得病，人得病，t時(shí)刻已時(shí)刻已感染（感染（infective）的病人數(shù)為）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位，假定每一已感染者在單位時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給時(shí)間內(nèi)將疾病傳播給k個(gè)人（個(gè)人（k稱為該疾病的傳染強(qiáng)度），且稱為該疾病的傳染強(qiáng)度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會(huì)康復(fù)模型模型1 此模型即此模型即MalthusMalthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)間的的病人增長(zhǎng)情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價(jià)值，但隨著時(shí)

52、間的推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。推移，將越來(lái)越偏離實(shí)際情況。 已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對(duì)每一類中的個(gè)體則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。則不加任何區(qū)分，來(lái)建立兩房室系統(tǒng)。 ( )odikidti oi則可導(dǎo)出：則可導(dǎo)出：故可得：故可得： ( )ktoi ti e（3.15） 模型模型2 記記t時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)時(shí)刻的病人數(shù)與易感染人數(shù)（susceptible）分別為分別為i(t)與與s(t)，初始時(shí)刻的病人數(shù)為，初始時(shí)刻的

53、病人數(shù)為 i。根據(jù)病人不死也不會(huì)康。根據(jù)病人不死也不會(huì)康復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律，復(fù)的假設(shè)及（競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)）統(tǒng)計(jì)籌算律， 1oooicni 其中：其中：(1)(1)(1)( )1k ntok ntoc nei tc e解得：解得：（3.17）( )( )1( )odikisdti ts tni oi可得：可得：（3.16） 統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，( (3.173.17) )預(yù)報(bào)結(jié)果比預(yù)報(bào)結(jié)果比( (3.153.15) )更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線更接近實(shí)際情況。醫(yī)學(xué)上稱曲線 為傳染病為傳染病曲線，并稱曲線，并稱 最大值時(shí)刻最大值時(shí)刻t1為此傳染病的流行為此傳染病的流行高峰。高峰。dit

54、dtdidt220d idt令：令：1ln(1)octk n 得：得：此值與傳染病的實(shí)際高峰期非常接近，可用作醫(yī)學(xué)上的預(yù)報(bào)公式。 模型模型2 2仍有不足之處，它仍有不足之處，它無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)無(wú)法解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，象，且當(dāng)時(shí)間趨與無(wú)窮時(shí)，模型預(yù)測(cè)最終所有人都得模型預(yù)測(cè)最終所有人都得病，與實(shí)際情況不符。病，與實(shí)際情況不符。 為了使模型更精為了使模型更精確，有必要再將確，有必要再將人群細(xì)分，建立人群細(xì)分，建立多房室系統(tǒng)多房室系統(tǒng)infectiverecoveredsusceptiblekl (1) (2)( )( )( )1 (3), ( )0odiksilidtdr

55、lidts ti tr tni(o)i r o（3.18） l 稱為傳染病恢復(fù)系數(shù) 求解過(guò)程如下：求解過(guò)程如下： 對(duì)（對(duì)（3）式求導(dǎo)，由（）式求導(dǎo)，由（1）、（）、（2）得：）得： dskdrksisdtldt ( )( )kr tlos ts e解得：解得：記：記： lk則：則：1( )( )r tos ts e 將人群劃分為三類（見(jiàn)右圖）：易感染者、已感染將人群劃分為三類（見(jiàn)右圖）：易感染者、已感染者和已恢復(fù)者（者和已恢復(fù)者（recovered）。分別記）。分別記t時(shí)刻的三類人數(shù)為時(shí)刻的三類人數(shù)為s(t)、i(t)和和r(t)，則可建立下面的三房室模型：，則可建立下面的三房室模型： 模型模

56、型3infectiverecoveredsusceptiblekl 由由(1)(1)式可得：式可得： didsdsdslidtdtdts dt 從而解得：從而解得：1( )( )( )( )ln( )( )1( )( )ooor tos ti tiss tss ts er tni ts t 積分得：積分得：( )( )( )lnooos ti tiss ts（3.19） 不難驗(yàn)證，當(dāng)t+時(shí)，r(t)趨向于一個(gè)常數(shù)，從而可以解釋醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象。 為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（為揭示產(chǎn)生上述現(xiàn)象的原因（3.183.18）中）中的第（的第（1 1）式改寫(xiě)成：）式改寫(xiě)成： ()diki sdt 其中其中

57、 通常是一個(gè)與疾病種類有關(guān)的通常是一個(gè)與疾病種類有關(guān)的較大的常數(shù)。較大的常數(shù)。kl下面對(duì)下面對(duì) 進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖進(jìn)行討論，請(qǐng)參見(jiàn)右圖0didt如果如果 ，則有則有 ，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。，此疾病在該地區(qū)根本流行不起來(lái)。os如果如果 ，則開(kāi)始時(shí)，則開(kāi)始時(shí) ，i(t)單增。但在單增。但在i(t)增加的同時(shí)，增加的同時(shí)，伴隨地有伴隨地有s(t)單減。當(dāng)單減。當(dāng)s(t)減少到小于等于減少到小于等于 時(shí)，時(shí)， i(t)開(kāi)始減開(kāi)始減小，直至此疾病在該地區(qū)消失。小，直至此疾病在該地區(qū)消失。os0didt鑒于在本模型中的作用，鑒于在本模型中的作用， 被被醫(yī)生們稱為此疾病在該地區(qū)醫(yī)生們稱為此疾病在

58、該地區(qū)的閥值。的閥值。 的引入解釋了為什的引入解釋了為什么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)么此疾病沒(méi)有波及到該地區(qū)的所有人。的所有人。圖3-14 綜上所述，模型綜上所述，模型3 3指出了傳染病的以下特征：指出了傳染病的以下特征： （1 1）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流）當(dāng)人群中有人得了某種傳染病時(shí)，此疾病并不一定流傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。傳，僅當(dāng)易受感染的人數(shù)與超過(guò)閥值時(shí)，疾病才會(huì)流傳起來(lái)。 （2 2）疾病并非因缺少易感染者而停止傳播，相反，是因?yàn)椋┘膊〔⒎且蛉鄙僖赘腥菊叨Ｖ箓鞑ィ喾矗且驗(yàn)槿鄙賯鞑フ卟磐Ｖ箓鞑サ模駝t將導(dǎo)致所有人得病。缺少傳播者才停止

59、傳播的，否則將導(dǎo)致所有人得病。 （3 3）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。）種群不可能因?yàn)槟撤N傳染病而絕滅。 模型檢驗(yàn)：模型檢驗(yàn)： 醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)醫(yī)療機(jī)構(gòu)一般依據(jù)r(t)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù)來(lái)統(tǒng)計(jì)疾病的波及人數(shù) ，從廣義上，從廣義上理解，理解，r(t)為為t時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)時(shí)刻已就醫(yī)而被隔離的人數(shù)，是康復(fù)還是死亡對(duì)模型并無(wú)影響。模型并無(wú)影響。(1)drlinrsdt rloSS e及：及：注意到：注意到：可得可得：(1)rodrl nrs edt （3.20） 通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)通常情況下，傳染病波及的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比不會(huì)太大，故太

60、大，故 一般是小量。利用泰勒公式展開(kāi)取前三項(xiàng)，有：一般是小量。利用泰勒公式展開(kāi)取前三項(xiàng)，有： r211()2rrre 代入（代入（3.203.20）得近似方程：）得近似方程：2112oooSSdrrl nSrdt 積分得：積分得：21( )1tanh()2ooSr tmmltS 其中：其中：1222(1)1oooSS nSm 11tanh1oSm這里雙曲正切函數(shù)這里雙曲正切函數(shù) ：tanhuuuueeuee2222()()4tanh()()uuuuuuuudeeeeudueeee而：而：對(duì)對(duì)r(t)求導(dǎo)求導(dǎo) ：2221sec22odrlmhmltdtS（3.21）曲線曲線 2221sec22o