




版權說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權,請進行舉報或認領
文檔簡介
1、第九章 第76煉 圓錐曲線中的存在性問題 解析幾何第76煉 圓錐曲線中的存在性問題一、基礎知識 1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時,通常先假定所求的要素(點,線,圖形或是參數(shù))存在,并用代數(shù)形式進行表示。再結(jié)合題目條件進行分析,若能求出相應的要素,則假設成立;否則即判定不存在2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式:未知要素用字母代替(1)點:坐標 (2)直線:斜截式或點斜式(通常以斜率為未知量)(3)曲線:含有未知參數(shù)的曲線標準方程3、解決存在性問題的一些技巧:(1)特殊值(點)法:對于一些復雜的題目,可通過其中的特殊情況,解得所求要素的必要條件,然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立。(2)核心
2、變量的選?。阂驗榻鉀Q存在性問題的核心在于求出未知要素,所以通常以該要素作為核心變量,其余變量作為輔助變量,必要的時候消去。(3)核心變量的求法:直接法:利用條件與輔助變量直接表示出所求要素,并進行求解間接法:若無法直接求出要素,則可將核心變量參與到條件中,列出關于該變量與輔助變量的方程(組),運用方程思想求解。二、典型例題:例1:已知橢圓的離心率為,過右焦點的直線與相交于兩點,當?shù)男甭蕿闀r,坐標原點到的距離為。 (1)求的值 (2)上是否存在點,使得當繞旋轉(zhuǎn)到某一位置時,有成立?若存在,求出所有的的坐標和的方程,若不存在,說明理由解:(1) 則,依題意可得:,當?shù)男甭蕿闀r 解得: 橢圓方程為:
3、 (2)設, 當斜率存在時,設 聯(lián)立直線與橢圓方程: 消去可得:,整理可得: 因為在橢圓上 當時, 當時,當斜率不存在時,可知 ,則不在橢圓上綜上所述:,或,例2:過橢圓的右焦點的直線交橢圓于兩點,為其左焦點,已知的周長為8,橢圓的離心率為(1)求橢圓的方程(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點,且?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請說明理由解:(1)由的周長可得: 橢圓(2)假設滿足條件的圓為,依題意,若切線與橢圓相交,則圓應含在橢圓內(nèi)若直線斜率存在,設,與圓相切 即聯(lián)立方程: 對任意的均成立將代入可得: 存在符合條件的圓,其方程為:當斜率不存在時,可知切線
4、為若,則 符合題意若,同理可得也符合條件綜上所述,圓的方程為:例3:已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,左,右焦點分別為和(1)求橢圓的方程(2)設橢圓與軸負半軸交點為,過點作斜率為的直線,交橢圓于兩點(在之間),為中點,并設直線的斜率為 證明:為定值 是否存在實數(shù),使得?如果存在,求直線的方程;如果不存在,請說明理由解:(1)依題意可知:可得:橢圓方程為:,代入可得:橢圓方程為:(2) 證明:設,線段的中點設直線的方程為:,聯(lián)立方程: 化為:由解得: 且 假設存在實數(shù),使得,則即因為在橢圓上,所以,矛盾所以不存在符合條件的直線例4:設為橢圓的右焦點,點在橢圓上,直線與以原點為圓心,以橢圓的長半軸長為半
5、徑的圓相切(1)求橢圓的方程(2)過點的直線與橢圓相交于兩點,過點且平行于的直線與橢圓交于另一點,問是否存在直線,使得四邊形的對角線互相平分?若存在,求出的方程;若不存在,說明理由解:(1)與圓相切 將代入橢圓方程可得:橢圓方程為:(2)由橢圓方程可得:設直線,則聯(lián)立直線與橢圓方程:消去可得:同理:聯(lián)立直線與橢圓方程:消去可得:因為四邊形的對角線互相平分四邊形為平行四邊形解得:存在直線時,四邊形的對角線互相平分例5:橢圓的左右焦點分別為,右頂點為,為橢圓上任意一點,且的最大值的取值范圍是,其中(1)求橢圓的離心率的取值范圍(2)設雙曲線以橢圓的焦點為頂點,頂點為焦點,是雙曲線在第一象限上任意一
6、點,當取得最小值時,試問是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由解:(1)設由可得:代入可得: (2)當時,可得:雙曲線方程為,設,當軸時, 因為所以,下面證明對任意點均使得成立考慮由雙曲線方程,可得:結(jié)論得證時,恒成立例6:如圖,橢圓的離心率是,過點的動直線與橢圓相交于兩點,當直線平行于軸時,直線被橢圓截得的線段長為(1)求橢圓的方程(2)在平面直角坐標系中,是否存在與點不同的定點,使得對于任意直線,恒成立?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由解:(1) 橢圓方程為由直線被橢圓截得的線段長為及橢圓的對稱性可得:點在橢圓上 橢圓方程為(2)當與軸平行時,由對稱性可
7、得:即在的中垂線上,即位于軸上,設當與軸垂直時,則 可解得或不重合 下面判斷能否對任意直線均成立若直線的斜率存在,設,聯(lián)立方程可得:由可想到角平分線公式,即只需證明平分只需證明 因為在直線上,代入可得:聯(lián)立方程可得:成立平分 由角平分線公式可得:例7:橢圓的上頂點為,是上的一點,以為直徑的圓經(jīng)過橢圓的右焦點(1)求橢圓的方程(2)動直線與橢圓有且只有一個公共點,問:在軸上是否存在兩個定點,它們到直線的距離之積等于1?若存在,求出這兩個定點的坐標;如果不存在,請說明理由解:由橢圓可知:為直徑的圓經(jīng)過 由在橢圓上,代入橢圓方程可得:橢圓方程為(2)假設存在軸上兩定點,設直線 所以依題意: 因為直線
8、與橢圓相切,聯(lián)立方程:由直線與橢圓相切可知化簡可得:,代入可得:,依題意可得:無論為何值,等式均成立所以存在兩定點:例8:已知橢圓的左右焦點分別為,點是上任意一點,是坐標原點,設點的軌跡為(1)求點的軌跡的方程(2)若點滿足:,其中是上的點,且直線的斜率之積等于,是否存在兩定點,使得為定值?若存在,求出定點的坐標;若不存在,請說明理由(1)設點的坐標為,點的坐標為,則由橢圓方程可得: 且 代入到可得:(2)設點, 設直線的斜率分別為,由已知可得:考慮是上的點 即的軌跡方程為,由定義可知,到橢圓焦點的距離和為定值為橢圓的焦點 所以存在定點例9:橢圓的焦點到直線的距離為,離心率為,拋物線的焦點與橢
9、圓的焦點重合,斜率為的直線過的焦點與交于,與交于(1)求橢圓及拋物線的方程(2)是否存在常數(shù),使得為常數(shù)?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由解:(1)設的公共焦點為 (2)設直線,與橢圓聯(lián)立方程:直線與拋物線聯(lián)立方程: 是焦點弦 若為常數(shù),則 例10:如圖,在平面直角坐標系中,橢圓的離心率為,直線與軸交于點,與橢圓交于兩點,當直線垂直于軸且點為橢圓的右焦點時,弦的長為(1)求橢圓的方程(2)是否存在點,使得為定值?若存在,請求出點的坐標,并求出該定值;若不存在,請說明理由解:(1)依題意可得: 當與軸垂直且為右焦點時,為通徑 (2)思路:本題若直接用用字母表示坐標并表示,則所求式子較為復雜
10、,不易于計算定值與的坐標。因為要滿足所有直線,所以考慮先利用特殊情況求出點及定值,再取判定(或證明)該點在其它直線中能否使得為定值。解:(2)假設存在點,設若直線與軸重合,則若直線與軸垂直,則關于軸對稱設,其中,代入橢圓方程可得: ,可解得: 若存在點,則。若,設設,與橢圓聯(lián)立方程可得:,消去可得:,同理:代入可得:所以為定值,定值為若,同理可得為定值綜上所述:存在點,使得為定值三、歷年好題精選1、已知中心在原點,焦點在坐標軸上的橢圓過點,離心率為,過直線上一點引橢圓的兩條切線,切點分別是(1)求橢圓的方程(2)若在橢圓上的任一點處的切線方程是,求證:直線恒過定點,并求出定點的坐標(3)是否存
11、在實數(shù),使得恒成立?(點為直線恒過的定點),若存在,求出的值;若不存在,請說明理由2、已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合,是橢圓上的一點(1)求橢圓的方程(2)設分別是橢圓的左右頂點,是橢圓上異于的兩個動點,直線的斜率之積為,設與的面積分別為,請問:是否存在常數(shù),使得恒成立?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由3、已知橢圓經(jīng)過點,離心率為,左,右焦點分別為和(1)求橢圓的方程(2)設橢圓與軸負半軸交點為,過點作斜率為的直線,交橢圓于兩點(在之間),為中點,并設直線的斜率為 證明:為定值 是否存在實數(shù),使得?如果存在,求直線的方程;如果不存在,請說明理由4、已知圓,定點,點為圓上的動點,點在
12、上,點在上,且滿足 (1)求點的軌跡的方程(2)過點作直線,與曲線交于兩點,是坐標原點,設,是否存在這樣的直線,使得四邊形的對角線相等(即)?若存在,求出直線的方程;若不存在,試說明理由5、(2014,福建)已知雙曲線的兩條漸近線分別為, (1)求雙曲線的離心率(2)如圖,為坐標原點,動直線分別交直線于兩點(分別在第一、四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在請說明理由習題答案:1、解析:(1) 橢圓過點 ,再由可解得: 橢圓方程為: (2)設切點坐標為,直線上一點,依題意可得:兩條切線方程為: ,由切線均過可得:均在直線
13、上因為兩點唯一確定一條直線,即過定點,即點的坐標為(3)聯(lián)立方程: ,不妨設 ,使得恒成立2、解析:(1)拋物線的焦點為 依題意可知: 橢圓方程為: (2)由(1)可得:,若直線斜率存在設, 到直線的距離 到直線的距離 聯(lián)立方程: (*) ,代入到(*)可得: 或 當時,交點與重合,不符題意,代入到可得: ,即 3、解:(1)依題意可知:可得:橢圓方程為:,代入可得:橢圓方程為:(2) 證明:設,線段的中點設直線的方程為:,聯(lián)立方程: 化為:由解得: 且 假設存在實數(shù),使得,則即因為在橢圓上,所以,矛盾所以不存在符合條件的直線4、解析:(1)由可得為的中點,且 為的中垂線 點的軌跡是以為焦點的橢圓,其半長軸長為,半焦距 軌跡方程為: (2)因為 四邊形為平行四邊形若,則四邊形為矩形,即 若
溫馨提示
- 1. 本站所有資源如無特殊說明,都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
- 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等,如果需要附件,請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
- 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙,網(wǎng)頁內(nèi)容里面會有圖紙預覽,若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
- 4. 未經(jīng)權益所有人同意不得將文件中的內(nèi)容挪作商業(yè)或盈利用途。
- 5. 人人文庫網(wǎng)僅提供信息存儲空間,僅對用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護處理,對用戶上傳分享的文檔內(nèi)容本身不做任何修改或編輯,并不能對任何下載內(nèi)容負責。
- 6. 下載文件中如有侵權或不適當內(nèi)容,請與我們聯(lián)系,我們立即糾正。
- 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。
最新文檔
- 2024年中國覆膜砂行業(yè)市場調(diào)查報告
- 數(shù)控沖床操作安全操作規(guī)程
- 湖南省邵陽市邵東縣創(chuàng)新實驗學校2025年高一下化學期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析
- 治安宣傳活動方案
- 梁平策劃活動方案
- 江淮晨報助學活動方案
- 漢服宣傳春節(jié)活動方案
- 江陰汽車消費活動方案
- 比亞迪蹦床活動方案
- 植樹節(jié)愛心團隊活動方案
- 《等腰三角形的性質(zhì)》課件
- 工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)與船舶行業(yè)融合應用參考指南 2025
- 應征公民政治考核表(含示例)
- 南通國家級南通經(jīng)濟技術開發(fā)區(qū)公開招聘招商人員筆試歷年參考題庫附帶答案詳解析
- 2025年廣東省深圳市中考道德與法治 總復習法治教育檢測卷(含答案)
- 先天性甲狀腺功能減退癥診治指南(2025)解讀
- 《心血管系統(tǒng)超聲檢查》課件
- 江西單招解剖試題及答案
- 肝癌中西醫(yī)治療
- GA/T 2159-2024法庭科學資金數(shù)據(jù)清洗規(guī)程
- 商標侵權培訓課件
評論
0/150
提交評論