1、求解微分方程小結(jié)張成偉 PB08207215微積分總是那么讓人琢磨不透，用了幾個(gè)月才把極限搞懂了一點(diǎn)。接著又是定積分和不定積分的大量運(yùn)算，現(xiàn)在又是微分方程的令人頭暈?zāi)垦！２贿^，經(jīng)過一段時(shí)間的學(xué)習(xí)，仔細(xì)的總結(jié)一下，不難發(fā)現(xiàn)，其實(shí)求解微分方程基本上是一個(gè)程序化的過程，不太需要特殊的思維技巧和各種繁瑣的運(yùn)算。求導(dǎo)是一個(gè)“熵增”的過程，而求積分則是一個(gè)不折不扣的“熵減”過程，求解微分方程更是一個(gè)難上加難的過程。由于微分方程的特殊性質(zhì)和我們除了他們的有限能力。我們只能求解其中很簡單，有規(guī)律可循的一小部分：一階微分方程，可降解的二階微分方程，二階線性微分方程和二階常系數(shù)線性微分方程 ，以及一些可用特殊代換

2、（如歐拉代換）的其他微分方程：對(duì)于更加繁雜的，我們只能望洋興嘆，無能為力了。下面我們就來簡單梳理一下求解微分方程的方法與過程。首先，求解微分方程有一定的理論基礎(chǔ)。課本的5.1節(jié)的三個(gè)定理得出了一階和二階線性方程解的存在性，唯一性和連續(xù)依賴性。再由疊加原理，我們知道如果y1(x) 和y2(x)是線性齊次方程的解，則c1y1(x)+c2 y2(x)都是方程的解。非齊次方程的解y等于其對(duì)應(yīng)齊次方程的通解加上其非齊次方程的特解，即y=yp+yh。有了以上理論基礎(chǔ)，我們就對(duì)求解一階線性微分方程和可降解的二階線性微分方程得心應(yīng)手了。接著，我們又在5.3節(jié)中通過定理5.3.2，5.3.3和5.3.4知道了二

3、階線性齊次微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解的存在性，有疊加原理可求出齊次方程的通解。求解二階線性齊次方程有迎刃而解。對(duì)于非齊次方程，我們只需再求其一個(gè)特解與其齊次方程通解結(jié)合即可得其非齊次通解。以下是求解微分方程的程序化過程： 一：判斷方程的性質(zhì)。判斷它是以上我們能求的方程中的哪一種。二：“對(duì)癥下藥”：1.如方程為最簡單的一階線性微分方程，我們可以通過分離變量求解。形如y=可直接分離變量；形如y=（x/y）可通過變化y=ux轉(zhuǎn)化為分離變量型方程 ;形如y=f(a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y+c2)( a1 b1 c1 a2,b2,c2都是常數(shù)，c1 c2 不同時(shí)為0，a1 b1 a2,b2,

4、不同時(shí)為0) 1) a1b2不等于a2b1可求方程組 a1k+b1h=c1 有唯一解 a2k+b2h=c2 于是有y=f(a1(x+k)+ b1(y+h)/( a2(x+k)+ b2(b+h)用變量代換u=x+k,v=y+h即可化為齊次方程。2）a1b2= a2b1 ，如果a1不等于0，則可取=（a2 /a1）=（b2 /b1） ，于是有y=f(a1x+b1y+c1)/(a2x+b2y)+c2) 再用變量代換z= a1x+b1y即可化為齊次方程。2對(duì)于一般的一階線性微分方程y+P (x)y=Q(x)它的齊次方程 y+P (x)y=0 我們可用分離變量求解。非齊次方程，我們可以通過等號(hào)兩邊同時(shí)乘

5、以一個(gè)積分因子e容易求出其通解 y= e-Q(x)e另外，我們還可以通過“常數(shù)變易法”求解，但筆者認(rèn)為阿上述方法更簡單一些對(duì)于形如y+P (x)y=Q(x)yn的Bernoulli方程，我們可以通過適當(dāng)變換（除以yn）化為以上可以求解的方程形式。3若方程為可降階的二階微分方程1） 不含未知函數(shù)的二階方程f(x,y,y)=0我們只要令p=y,就有p=y,即可化為f(x,p,p)=0,即可求解。2） 對(duì)于不含自變量的方程f(y,y,y)=0 我們也可通過變換 p=y 降為一階方程，但此時(shí)要注意y=pp (此時(shí)p是關(guān)于y的方程)，于是防城就化為 f(y,p,pp)=0,先把y當(dāng)成自變量求出p，再用y

6、代替p的一階微分方程。4若方程為二階線性微分方程 1） 對(duì)于齊次方程，我們可以求出兩個(gè)線性無關(guān)解，然后線性組合即得通解。我們可以通過已知或觀察得出一到兩個(gè)特解，如果只觀察出一個(gè)。我們可以通過設(shè)另一線性無關(guān)解y2(x)=zy1(x), 代入方程即可求出另一特解 y2(x)= y1(x)（y1(x)）-2e-dx 2） 于非齊次的二階線性微分方程我們已經(jīng)求出其次方程的通解 yh=c1y1(x)+c2y2(x), 只需再求出非其次方程的一個(gè)特解即可。考慮用“常數(shù)變易法”設(shè)yp= c1(x)y1(x)+c2(x) y2(x) 代入方程令c1(x)y1(x)+c2(x) y2(x)=0可得c1(x)y1

7、(x) +c2(x) y2(x)=f(x) 由兩方程聯(lián)立可求出c1(x)和c2(x)，進(jìn)而求出c1(x)和c2(x)的一對(duì)解即可。然后y= yp+yh即得通解5二階常系數(shù)線性微分方程1） 對(duì)于齊次方程y”+py+qy=0,只需求其特征方程2+p+q=0的根i若特征方程有兩個(gè)不等實(shí)根，1 不等于2 則有 ex1和e x2 為齊次方程兩解，易證它們線性無關(guān)，于是通解為y=c1 ex1+c2 e x2ii 若特征方程有兩個(gè)相等實(shí)根，1=-(1/2)p, 一個(gè)特解為y1(x)=e-(1/2)p,易求另一特解y2(x)=xe-(1/2)p所以方程通解y= e-(1/2)p(c1+c2x).iii. 若有共軛復(fù)根 1 =+i, 2 =-i(不等于0)。 方程通解為y=ex(c1cosx+c2sinx)。2） 對(duì)于非齊次方程y”+py+qy=f(x)我們已經(jīng)會(huì)求其齊次方程的通解，只需再求該非齊次方程的一個(gè)特解即可。我們可用“常數(shù)變易法”求解，該法上面已經(jīng)說明，在此不再贅述。對(duì)于某些特殊形式的f(x)可有一些特殊的解法（待定系數(shù)法），書中介紹詳細(xì)，我也不再贅述。另外：對(duì)于形如x2y”+pxy+qy=f(x)的歐拉方程。用變量代換x=et(x>0)或x=e-t(x<0)可以把上述方程化為常系數(shù)線性方程，即可由上述方法求解方程的解。 三代入驗(yàn)證方