1、常用十個泰勒展開公式泰勒公式,泰勒公式1真的非常有名，我相信上過高數課的一定都記得它的大名。即使你翹掉了所有的課，也一定會在考前重點里見過。我對它的第一映像就是比較難，而且感覺沒有太多意思，就是一個近似的函數而已。最近重溫了一下有了一些新的心得，希望盡我所能講解清楚。泰勒公式的用途在看具體的公式和證明之前，我們先來了解一下它的用途，然后帶著對用途的理解再去思考它出現的背景以及原理會容易許多。這也是我自學這么久總結出來的規律。泰勒公式本質解決的是近似的問題，比如說我們有一個看起來很復雜的方程，我們直接計算方程本身的值可能非常麻煩。所以我們希望能夠找到一個近似的方法來獲得一個足夠近似的值。從這里，

2、我們得到了兩個重點，一個是近似的方法，另一個是近似的精度。我們既需要找到合適的方法來近似，同時也需要保證近似的精度是可控的。否則一切都沒有意義，結合實際其實很好理解，比如我們用機床造一個零件。我們都知道世界上不存在完美的圓，實際上我們也并不需要完美，但是我們需要保證偏差是可控的，并且在一定的范圍內。泰勒公式也是一樣，它既可以幫助我們完成近似，也可以保證得到的結果是足夠精確的。泰勒公式的定義我們下面來看看泰勒公式的定義，我們已經知道了它的用途是求一個函數的近似值。但是我們怎么來求呢，其實一個比較樸素的思路是通過斜率逼近。舉個例子:這是一張經典的導數圖，從上圖我們可以看到，隨著從的減小，點P0和P

3、也會越來越接近，這就帶來了Ay越來越接近Axf'(xO)。當然，當Ax比較大的時候顯然誤差就會比較大，為了縮小誤差，我們可以引入二階導數、三階導數以及高階導數。由于我們并不知道函數究竟可以有多少階導數，我們不妨假設f(x)在區間內一直有(n+1)階導數，我們試著寫出一個多項式來逼近原函數：耳(龍)=珂丄ax-腳)+陰佃-j%仗一刊T我們希望這個式子與原值的誤差越小越好，究竟要多小才算足夠好呢？數學家們給出了定義，希望它是(x-x0)An的高階無窮小。也就是說誤差比上(x-x0)An的極限是0。我們前面說了，我們是通過導數來逼近的，所以我們假設：珊珂)-子盡-尸匈耳5)-嚴依必,或)“何

4、血)按照這個假設我們可以很方便地得到系數了，其實很簡單，我們構造系數使得求導之后相乘的常數項全部約掉。f佃ci如十伽)2!as-F(遲d用!為一嚴(叼我們把這兩個式子帶入一下，可以得到：凡=十帆)+')(龍衍)+了$訂仙一唧尸豐+-旳廠泰勒公式的證明來逼近了原其實上面的式子就是泰勒公式的內涵了，也就是說我們通過高階導函數。最后我們只需要證明這個式子就是我們想要的，也就是它的誤差足夠小。我們同樣用一個函數R(x)來表示P_n(x)與原函數f(x)的差值。我們直接比較比較困難，所以數學家采取了一系列花里胡哨、嘆為觀止的操作。我們帶入一下可以發現，R(x0)=0,不僅如此:R(利)左'

5、;(切)=0以上步驟完全不需要證明，我們直接帶入求導就可以得到。因為存在X-xO的項，很明顯當x=x0的時候，可以得到如上的結論。到這里，我們需要進行一個猜測，這里的步驟有一點跳躍。就連課本上都沒有詳細的解釋，沒有詳細解釋的原因也很簡單，因為需要用到積分的知識。而讀者在這里是還沒有接觸過積分的，不過，我們不是嚴謹的論文，可以稍稍放松一些。其實根據上面的公式，我們是可以有些猜測的。根據上面的規律，以及我們的目標證明這個R(x)函數是一個關于(x-x0)5的無窮小所以我們可以猜測它應該是一個與(x-xO)A(n+1)相關的函數。有了這個猜測之后，我們套用一下柯西中值定理：型型f進)F®)

6、_F麗我們令f(x)二R_n(x),F(x)=(x-xO)A(n+1),套用中值定理可以得到:有了這個結論之后，我們再對函數R'_n(x)和(n+1)(x-xO)An在區間(xO,E1)上再次應用柯西中值定理:接下來就是熟悉的套娃環節了，經過一共n+1次套娃之后，我們可以得到:我們對P_n(x)求n+1次導數，可以得到0,因為所有項最多只有n次，求n+1次導數之后全部變成0。也就是說所以我們把這項代入上式，可以得到:證明一下誤差接下來我們要證明這個誤差R_n(x)是(x-x0)An的高階無窮小。到這里，證明就很簡單了，在固定的區間(a,b)中，很明顯函數M(n+1)(x)存在最大值，我

7、們假設這個最大是M。也就是說嚴1佃)<e(a,6)那么：lim亠叫<lim尹耳=ILm斗斛爐池佃*；沁価一忑*嚴*w(仇+1)!由于x逼近x0，M是一個常數，所以這個極限趨向于0,我們可以用極限的定義很容易證明。于是我們證明了，誤差R_n(x)是比(x-x0)An更高階的無窮小。所以我們可以得到：子(E)/(c)+f'(£()(£-Ho)丄了護)(丄-Eft)2H-仗-卸)"-耳(:C)由于我們一共用到了n階導數來表達原函數，所以我們稱為這是原函數f(x)的n階泰勒展開。最后的R_n(x)，我們稱它為拉格朗日余項。我們也可以簡寫為o(x-x0)

8、5，它稱為佩亞諾型余項，其實和拉格朗日余項是一回事，只是寫的形式不同。我們如果令x0=0的話，還可以將式子進一步化簡。由于E在0和x中間，所以我們可以令=0x,原公式可以寫成：伽=側+廠麗+即殲+讐宀曙錚嚴(°<$7和上面的式子相比，這個式子要簡單許多，它也有一個名字川叫做麥克勞林公式。在麥克勞林公式下的佩亞諾余項寫成o(Xn)，看起來非常簡單。如果覺得上面的式子有點多記不過來可以忽略原式,只需要記住麥克勞林公式即可。對于拉格朗日余項，我們也只會在計算誤差的時候用到，在不需要考慮誤差的場景下也可以忽略。舉例下面我們來看一個實際的例子，來感受一下泰勒公式的強大。我們都知道有一些函

9、數的值我們很難直接計算，比如f(x)=eAx，和正弦余弦函數等。由于e本身就是一個無理數，有沒有想過我們怎么來求一個帶e的函數值？其實很多時候，就是用的泰勒公式。我們就用f(x)=eAx舉例，看看怎么利用泰勒公式來計算。為了簡化計算，我們顯然考慮麥克勞林公式。由于x=0時，eAx=1,并且f'(x)=eAx=1o所以我們可以得到：廣®嚴嚴邈)一/=丄我們代入泰勒公式，可以得到:我們如果把最后一項當成誤差，那么可以得到:當n=10時，x=1,產生的誤差為：我們稍微算一下就可以知道，這個誤差小于1e-6，已經足夠接近了。也就是說我們把原本不太好計算的函數轉化成了若干個多項式的和,

10、可以非常簡單地獲得個足夠接近的近似值。并且除此之外，我們還能算出它的最大誤差，實在是非吊元美了。思考到這里還沒有結束，看完所有的推導和計算之后，不知道你們有沒有一個疑惑，這么一個牛叉并且復雜并且有用的公式，泰勒是怎么靈光一閃想到的？好像用一時的靈感很難解釋。畢竟人的靈感往往都是一瞬間對某個點的頓悟，而這么多公式和結論是很難頓悟的。之前上學的時候我完全沒有意識到這個問題，這次重溫的時候才覺得不對。當然你可能會說這里有這么多數學家的名字，顯然不是一個人的功勞。但即使是這樣，我仍然好奇，究竟是什么起因引出了這么偉大的公式？直到我無意間看到知乎撒歡大神2啲回答才恍然大悟。我們設想一個問題，如果f(x)二g(x)，那么顯然f(x)和g(x)的各階導數全都相等。那么問題來了，如果我們人為地構造一個函數h(x)，使得它的各階導數和g(x)吻合，那么是不是可以認為這個我們人為構造出來的函數也和g(x)相等呢？然而有些函數的高階導數是無窮無盡的，我們不可能人工全部擬合，所以只能退而求其次，擬合其中的n項。顯然這樣會有誤差，那么我們需要知道誤差的大小。于是就有了后面的拉格朗日余項大小的推算。泰勒公式的出現和推導過程正是基于這樣的思路，想到這里,我又有了新的想法。如果把各階導數的項看成是特征，那么這個問題其實轉化成了機器學習當中的回歸