1、2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之立體幾何（2021年10月）一.選擇題（共12小題）1. （2021秋開平區(qū)校級月考）已知之=（2, 0, 1）, b=（3, 2, -5）,則向量E在向量Z上的投影向量是()A. .1 (3, 2, - 5)B. -1- (3, 2, - 5)538C. A (2, 0, 1)D. A. (2, 0, 1)5382. (2021 秋海淀區(qū)校級月考)已知；=(2, 1, -3), b= < - 1. 2, 3), c=(7, 6, A),若7, b« W共面，則人等于()A. - 3B. 3C. - 9D. 93. （2021秋九龍坡區(qū)校級月考）

2、已知直線/的方向向量是（3, 2, 1）,平面a的法向量是u= （-1,2, - 1）,則/與a的位置關(guān)系是（）B. l/aA. /.LaC. /與a相交但不垂直D. /a 或/ua4. （2021秋海淀區(qū)校級月考）如圖，在棱長為1的正方體ABC£）-4BiCiOi中，點P為線段ACi上的動點（包含端點），則下列說法正確的是（A.存在點尸使得AP與81c不垂直B.不存在點P使得|QiP|+HiP|=2成立C.不存在點尸使得。I尸與BC所成角為三3D.存在點P使得平面BCP與平面DCP所成角為2L35. （2021秋鐵東區(qū)校級月考）如圖，平面ABCZXL平面ABEF,四邊形ABCO是正

3、方形，四邊形ABE尸是矩形，若G是E尸的中點，阿口，正,前=-2,則三棱錐C-A8G的外接球的表面積是（A /yT7F G EA. 6nB. IOttC. 8nD. 127T6. （2021春浙江期中）下列說法正確的是（）A.直四棱柱是長方體B.兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺C.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D.平行六面體不是棱柱7. （2021浙江開學(xué)）如圖所示，RtAAB'C為水中放置的4BC的直觀圖，其中B'O'=2, O'C=,則ABC 的面積是（）A. 65/2B. 3V2C. 6D. 38. （2021玉州區(qū)校級開學(xué)）設(shè)a, b是兩條不同

4、的直線，a,。是兩個不同的平面.有下列 四個命題：若 aC0=a, b/a,則5a 且 b仇若 a_L。，aua, bu0, aX.h,則 a_LB；若 a_Lb, a_La, /?±P，則 a_LB：若 a_LB，a±p,則001.其中正確的命題有（）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個9. （2021春廣東期中）已知點E在正方體ABC。-481cl。的側(cè)面A4B1B內(nèi)（含邊界）, 尸是A4的中點，若D1ELCF,貝ij tan/BCE的最小值為（）A.逅B. V2-1C. V3-1 D.返5510. (2021秋西城區(qū)校級月考)如圖，已知在長方體ABC。-4B1C1

5、。中，AB=BC=4,CCi = 2,則直線8。和平面OBBiOi所成角的正弦值為(A. 返B. 在C.D. VlQ.2251011. (2015海淀區(qū)校級模擬)如圖，在空間四邊形A8CO中，兩條對角線AC, 8。互相垂 直，且長度分別為4和6,平行于這兩條對角線的平面與邊AB, BC, CD, D4分別相交 于點E, F, G, H,記四邊形EFG"的面積為 >,設(shè)些=x,則()AB: FA.函數(shù)y=f(x)的值域為(0, 4B.函數(shù)y=/(x)的最大值為8C.函數(shù)(x)在(0, 2)上單調(diào)遞減3D.函數(shù) y=f (x)滿足/ (x) =/ (1 - x)12. (2021秋

6、開平區(qū)校級月考)給出以下命題，其中正確的是()A.直線/的方向向量為Z= (1, - 1, 2),直線”的方向向量為E=(2, 1, -j-)>則 /與加垂直B.直線/的方向向量為彳=(0, 1, - 1),平面a的法向量為；=(1, -1, - 1),則 l-LaC.平面a、0的法向量分別為虧=(°，1，3),石=(1, 0, 2),則a0D.平面 a 經(jīng)過三個點 A (1, 0, - 1), B (0, - 1, 0), C ( - 1, 2, 0),向量1=(1, w, t)是平面a的法向量，則+/=l 二.填空題（共5小題）13. （2021秋楊浦區(qū)校級月考）一個圓柱的

7、側(cè)面展開圖是一個面積為4M的正方形，則這 個圓柱的體積為.14. （2021秋東西湖區(qū)校級月考）水平放置的矩形A8CD AB=3cm, AD=cm,則其直觀 圖的面積為.15. （2021秋黃浦區(qū)校級月考）圓錐的底面積和側(cè)面積分別為9冗和15n,則該圓錐母線與 底面所成角為 （用反三角表示）.16. （2021秋海淀區(qū)校級月考）已知空間三點。（0, 0, 0）, A （ - 1, 1, 0）, B （0, 2, 1）, 在直線OA上有一點滿足BH1OA,則點H的坐標(biāo)為 .17. （2021秋大連月考）如圖所示，點A、B、C分別在空間直角坐標(biāo)系。-孫z的三條坐 標(biāo)軸上，前=（0, 0, 2平面A

8、8C的一個法向量為=（2, 1, 2），平面A8C與平面 ABO的夾角為6,則cos0=.三.解答題（共5小題）18. （2021秋鐵東區(qū)校級月考）已知點A （1, -2, 0）和向量？=（-3, 4, 12）-（1）若AB = a，求點8的坐標(biāo)；（2）若x軸上的一點C滿足,正求AC的長.19. （2021秋武昌區(qū)校級月考）如圖，在長方體AG中，AB=BC=2,，點£、F分別是面4Ci、面BCi的中點.（1）求證：BE平面O14C；（2）求證：AF±BE；（3）求異面直線AF與8。所成角的余弦值.20. (2021秋九龍坡區(qū)校級月考)在四棱錐尸-A8CO中，底面ABCC是矩

9、形，密，平面 ABCD, PA=AD4, A8=2.線段AC的中點為。，點M為PO上的點，且MO=Lc.2(1)求證：平面平面尸C£；(2)求二面角8-A例-C平面角的余弦值.21. (2021秋海淀區(qū)校級月考)如圖所示，平面ABCC平面8CEF,且四邊形A8C。為矩 形，四邊形 BCEF 為直角梯形，BF/CE, BCLCE, OC=CE=4, BC=BF=2.(I )求證：A尸平面COE；(II)求平面COE與平面AE尸所成銳二面角的余弦值；(Ill)求點C到平面AEF的距離.D22. (2021秋平邑縣校級月考)如圖所示，點P是矩形ABCC所在平面外一點，且以，平ffi ABC

10、D, M, N分別是PC,產(chǎn)力上的點，且理=3, N為P。的中點.MC(1)求滿足誣=方標(biāo)+了語z下的實數(shù)x, y, z的值；(2)若附=A8=1, AD=2,求 MN 的長.2022年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之立體幾何(2021年10月)參考答案與試題解析選擇題(共12小題)1.(2021秋開平區(qū)校級月考)已知之=(2, 0, 1), b=(3, 2, - 5),則向量E在向量7 上的投影向量是()A. A (3, 2, - 5)B. -L (3, 2, -5)538C. A (2, 0, 1)D. -L (2, 0, 1)538【考點】空間向量的數(shù)量積運算；向量的投影.【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法

11、；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.【分析】先求出向量E在向量；上的投影，再求解向量E在向量7上的投影向量即可.【解答】解：(2, 0, 1), b=(3, 2, - 5),則向量蠢向量；上的投影為m/X'+OqZ+lX(-5)=在, lai 屈5所以向量E在向量Z上的投影向量是返0, 1).故選：c.【點評】本題考查空間向量的投影問題，空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算以及空間向量模 的坐標(biāo)運算，解題的關(guān)鍵是掌握空間向量的投影向量的求解方法，考查了邏輯推理能力 與化簡運算能力，屬于基礎(chǔ)題.2. (2021 秋海淀區(qū)校級月考)己知;=(2, 1, - 3), b= < - !1 2, 3

12、), c=(7, 6,入)，若之，b. 3共面，則人等于()A. - 3B. 3C. -9D. 9【考點】共線向量與共面向量.【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.【分析】由Z，b. W共面，設(shè)：=，"E+nW，列方程組能求出入的值.【解答】解：a=（2, 1, -3）, b=（ - 1. 2, 3）, c=（7, 6, A）,a，b，c共面,二設(shè) a=mb+nc，則（2，1 > -3） = （ - m+ln, 2m+6n, 3m+Xn）,-m+7n=2"'< 2m+6n=l ' 解得n=, 443m+ n=-3解得人=-9.故選：

13、C.【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查共面向量定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.3. （2021秋九龍坡區(qū)校級月考）已知直線/的方向向量是a=（3, 2, 1）,平面a的法向量是u=（-1，2, - 1）,貝I /與a的位置關(guān)系是（）A. /±aB. l/aC. /與a相交但不垂直D. /a或/ua【考點】向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；直線的方向向量、空間直線的向量參數(shù) 方程；平面的法向量.【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.【分析】由展：=0,知；_L；,從而確定/與a的位置關(guān)系.【解答】解：因為a，u= - 3+4 -1=0,所以a，u，所以/與a的

14、位置關(guān)系是l/a或/ua.故選：D.【點評】本題考查平面的法向量，宜線的方向向量，空間向量的數(shù)量積，考查運算求解 能力，屬于基礎(chǔ)題.4. （2021秋海淀區(qū)校級月考）如圖，在棱長為1的正方體A8cO-A181GO1中，點P為線段4。上的動點（包含端點），則下列說法正確的是（A.存在點尸使得DP與BiC不垂直B.不存在點P使得|DiP|+|AiP|=2成立C.不存在點尸使得。1尸與BC所成角為三3D.存在點P使得平面BCP與平面0c尸所成角為三3【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；異面直線及其所成的角.【專題】證明題：運動思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；直觀想象.【分析】利用線面垂直的定義易判斷A選項，取

15、特殊位置可驗證8, C.【解答】解：A：因為P在面。1GBA內(nèi)，而面。C1BA,所以81ULC1P,所以無論尸怎么移動，都有81CLD1尸，不存在尸點使£>1P與BC1不垂直，故A錯.B：當(dāng)P在正方體中心時，|OiP|+|4P|=加，當(dāng) P 在 A 或 Ci 時，|QiP|+|4P|=l+&即；VKIdfI+|afKi+&，故存在點P,使|£）iP|+|A甲=2成立，故8錯.C：因為8CAi£h,即OiP與8C所成的角即O1P與AiOi所成的角，P在。時，O1尸與4D的夾角為 工，2P在4時，。尸與401夾角為 工，4石 7T / 7T 1

16、7T而<<，432所以存在符合條件的點尸，故C錯.故選：D.【點評】本題考查了立體幾何動態(tài)點問題，屬于難題.5. （2021秋鐵東區(qū)校級月考）如圖，平面ABCC平面ABEF,四邊形A8CC是正方形,四邊形ABEF是矩形，若G是EF的中點，研口，菽.前=-2,則三棱錐C-ABG的外接球的表面積是（）A. 6nB. 10nC. 8nD. 12n【考點】球的體積和表面積.【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運算.【分析】利用已知結(jié)合數(shù)量積的運算求解AB,可得AAGC為直角三角形，再由aABC 為直角三角形，可知AC為三棱錐C-A8G的外接球的直徑，再由球的表面積公式得答 案

17、.【解答】IW： VAC = AB+AD. BG = BE-BA=-yAB- .»»91. AC BG = （AB+AD） （AF），又,.,A8、AF, 4。兩兩相互垂宜，e- AC«BG=-AB2=-2'即ab=2，AG2=AF2+FG2=2, GC2=BC+BE+EG2=6,AC2=4S2+BC2=8,則AAGC為直角三角形，又AAfiC為直角三角形，AC為三棱錐C -ABG的外接球的直徑，則三棱錐C-ABG的外接球的表面積S=4兀X （苧）2=8n.故選：C.【點評】本題考查多面體外接球表面積的求法，考查空間向量的應(yīng)用，考查空間想象能 力與思維能力

18、，考查運算求解能力，是中檔題.6. （2021春浙江期中）下列說法正確的是（）A.直四棱柱是長方體B.兩個平面平行，其余各面是梯形的多面體是棱臺C.正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D.平行六面體不是棱柱【考點】棱柱的結(jié)構(gòu)特征；棱錐的結(jié)構(gòu)特征：棱臺的結(jié)構(gòu)特征.【專題】綜合題；對應(yīng)思想；分析法；立體幾何；數(shù)學(xué)抽象.【分析】利用棱柱、棱臺、正棱錐、平行六面體的定義，對四個選項逐一判斷即可.【解答】解：由直四棱柱的定義可知，長方體是直四棱柱，但當(dāng)?shù)酌娌皇情L方形時，直 四棱柱就不是長方體，故選項A錯誤；兩個面平行，其余各面是梯形的多面體，當(dāng)側(cè)棱延長后不交于同一點時，就不是棱臺，故選項8錯誤；由正棱錐的定義

19、可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故選項C正確；由棱柱的定義可知，平行六面體一定是棱柱，故選項。錯誤.故選：C.【點評】本題考查了空間幾何體的基本概念，主要考查了棱柱、棱臺、正棱錐、平行六 面體的定義以及應(yīng)用，考查了邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.7. （2021浙江開學(xué)）如圖所示，RtAAbC為水中放置的ABC的直觀圖，其中B'O'=2, OC=,則ABC 的面積是（）T /a C xA. 6a/2B. 3>/2C. 6D. 3【考點】平面圖形的直觀圖；空間幾何體的直觀圖；斜二測法畫直觀圖.【專題】計算題：方程思想：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算.【分析】根據(jù)題意，

20、由直觀圖和原圖的之間的關(guān)系，由直觀圖畫法規(guī)則將AA' B' C 還原為4BC,求出40、BC的值，直接求解其面積即可.【解答】解：根據(jù)題意，RtAAbC中，B,C=3, AO，=&,由直觀圖畫法規(guī)則將川 B1 C還原為ABC,BC=3, AO=2近，則AABC的面積5=/乂3X20=3丘,故選：B.【點評】本題考查斜二測畫法中原圖和直觀圖之間的關(guān)系，注意斜二測畫法，屬于基礎(chǔ) 題.8. （2021 玉州區(qū)校級開學(xué)）設(shè)m 是兩條不同的直線，a, 0是兩個不同的平面.有下列 四個命題：若 aC0=a, b/a,則 6a 且 b0；若 a_L0, “ua, bc.p, a

21、77;b,則 a_L0；若 aJ_。，a_La, b_L。，則 a_Lp；若 aJ_0, a±p,則.。.其中正確的命題有（）A. 0個B. 1個C. 2個D. 3個【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.【專題】整體思想；分析法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；直觀想象.【分析】由空間中直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系分析；由平面與平面垂直 的判定分析.【解答】解：若aCB=a, h/a,則ba且0或5在一個平面內(nèi)且與另一平面平 行，故錯誤；若a_L0, “ua,8u0, alb,則只有滿足an時才一定有故錯誤；若a_L6, a_La,則ba或&quo

22、t;ua,又b_L0,所以a_L0,故正確；若aJ_0, a±P，則aa或“ua,故錯誤.正確的命題有1個.故選：B.【點評】本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關(guān)系的判定及應(yīng)用，考查空間想象能力與思維能力，是基礎(chǔ)題.9. (2021春廣東期中)已知點E在正方體ABCO-4B6D的側(cè)面相1B1B內(nèi)(含邊界),廠是A4的中點，若則tan/BCE的最小值為()A.逅B. V2-1C. V3-I D.返55【考點】空間向量的夾角與距離求解公式.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間向量及應(yīng)用；直觀想象.【分析】在RtZBEC中，tanNBCE=坦，所以當(dāng)E8取最小值時，tanNBC

23、E最小.通BC過建立空間直角坐標(biāo)系確定動點E的軌跡，再求EB的最小值.【解答】解：在RtZBEC中，tan/BCE=坦，所以當(dāng)EB取最小值時，tan/BCE最小.BC設(shè)A4 = 2,以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則 C(2, 2, 0), F (0, 0, 1), Di (0, 2, 2),設(shè) E (x, 0, z).所以而=(-2, -2, 1), d7e=(x, -2, z-2)，由條件有而席=-2x+z+2=0，即2x - z - 2=0.取AB中點M,則E點的軌跡為線段B1M.當(dāng) 81M 時，BE 最小，此時 8£=衛(wèi)，所以 tanN8CE=£5_=Y5

24、.V5BC 5故選：A.【點評】本題考查空間中垂直關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10. （2021秋西城區(qū)校級月考）如圖，已知在長方體A8CZ）-48iCi£）i中，AB=BC=4,CCi = 2,則直線8。和平面O881D1所成角的正弦值為（）A.返B.立C.D.22510【考點】直線與平面所成的角.【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)學(xué)運算.【分析】要求線面角，先尋找斜線在平面上的射影，因此，要尋找平面的垂線，利用已知條件可得.【解答】解：由題意，連接4G,交BiDi于點O.長方體 A8CD-4B1C1D1 中,AB=BC=4所以N08C為直線BC和平面DBBiDi所成角，在 RtZ80

25、Ci 中，OCi=2&, BC=2遙直線BC和平面DBBiDi所成角的正弦值為叵,5故選：C.【點評】本題的考點是直線與平面所成的角，主要考查線面角，關(guān)鍵是尋找線面角，通 常尋找斜線在平面上的射影.11. (2015海淀區(qū)校級模擬)如圖，在空間四邊形A8C。中，兩條對角線AC, 8/)互相垂 直，且長度分別為4和6,平行于這兩條對角線的平面與邊A8, BC, CD, D4分別相交 于點E, F, G, H,記四邊形EFG”的面積為y,設(shè)些=x,則()ABFA.函數(shù)y=/(x)的值域為(0, 4B.函數(shù)y=/(x)的最大值為8C.函數(shù)(x)在(0, -?-)上單調(diào)遞減D.函數(shù) y=f (

26、x)滿足/ (x) =/(1 - x)【考點】直線與平面平行.【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.【分析】根據(jù)空間四邊形的性質(zhì)證明四邊形EFGH為矩形，然后根據(jù)比例關(guān)系求出函數(shù)/(x)的表達式，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可.【解答】解：平面EFG”，BD平面EFGH,：.AC/EF. AC/HG, BD/EH. BD/FG,則四邊形EFGH為平行四邊形， ,兩條對角線AC, 80互相垂直，：.EHLEF,則四邊形EFG”為矩形， EH一BD. BH_AE_AB-BE_1-BE “ - 1 X BD AB AB AB即 EH= (1 - x) BD=6 (1

27、-x),同理至=理=羽AC AB則 EF=xAC=4x,則四邊形 EFG”的面積為丁=£7/痔=416 (1 - x) =24 (x-f) = - 24 (x- A) 2+6,2VxG (0, 1),.當(dāng)x=l時，函數(shù)取得最大值6,故A, 8錯誤.2函數(shù)的對稱軸為X=L，則函數(shù)在(0, 1)上是單調(diào)遞減函數(shù)，在(1, 1)上是單調(diào)遞 222增函數(shù)，故C錯誤；;函數(shù)的對稱軸為x=，2函數(shù) y=/(x)滿足/Xx) =/(1 - %),故。正確，故選：D.【點評】本題考查命題真假的判斷，考查宜線與平面的位置關(guān)系、一元二次函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.12. (2021

28、秋開平區(qū)校級月考)給出以下命題，其中正確的是()A.直線/的方向向量為：=(1, - 1, 2),直線膽的方向向量為E=(2, 1, 則 I與m垂直B.直線/的方向向量為之=(0, 1, - 1),平面a的法向量為三=(1, - 1, -1),則 /±aC.平面a、0的法向量分別為五=(0, 1, 3),石=(1, 0, 2),則a0D.平面 a 經(jīng)過三個點 A (1, 0, - 1), B (0, - 1, 0), C ( - 1, 2, 0),向量7= (1, ",t)是平面a的法向量，則+/=1【考點】平面的法向量.【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.

29、【分析】選項4,由a，b=0，知aLb，即/，用；選項3,由an=。，知a，n，即/a或/ua；選項C,由二一1#(),且不W入知q與0既不垂直，也不平行；111 u2 111 n2選項。，由可得關(guān)于“和r的方程組，解之即可.,AC »n=0【解答】解：選項A,因為ZE=2-1-2義工=0,所以二,三，所以LLm,即4正確；2選項B,因為a。n=0 - 1+1=0，所以aLn，所以/a或/ua,即B錯誤；選項C,因為五E=0+0+6=6W0,且五W入石所以a與0既不垂直，也不平行， 即C錯誤；選項。，AB=(-1,7，1)，AC=( -2, 2, 1),則y?=0, Bp/-1-u+

30、t=0 ,AC-n=0 l-2+2u+t=0f 1解得“，所以"+!=§,即。錯誤.t=l 3I 3故選：A.【點評】本題考查平面法向量，直線方向向量，空間向量的數(shù)量積，考查空間立體感和運算能力，屬于基礎(chǔ)題.二.填空題（共5小題）13. （2021秋楊浦區(qū)校級月考）一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個面積為4M的正方形，則這 個圓柱的體積為 27T2 .【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；棱柱、棱錐、棱臺的體積.【專題】轉(zhuǎn)化思想；定義法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算.【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,由題意可得圓柱的高與底面周長相等，均為2m求出r, 由圓柱的體積公式求解即可.【解答】解：設(shè)圓柱的

31、底面半徑為r,因為圓柱的側(cè)面展開圖是一個面積為4n2的正方形，則圓柱的高與底面周長相等，均為2n,則 2nr=2n,解得 r=l,所以圓柱的體積為如2.故答案為：2n2.【點評】本題考查了圓柱的側(cè)面積展開圖的理解與應(yīng)用，圓柱體積公式的應(yīng)用，考查了 邏輯推理能力與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.14. （2021秋東西湖區(qū)校級月考）水平放置的矩形A8CD, AB=3cm, AD=cm,則其直觀 圖的面積為 2叵川一 4【考點】平面圖形的直觀圖.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；立體幾何；數(shù)學(xué)運算.【分析】根據(jù)水平放置的平面圖形的面積與其直觀圖的面積比為S' =-2=，計算即可. 2V2【解答】解：水平放置

32、的矩形43CO, AB=3cmf AD=cm,面積為S=3X1=3 （c/n2）； 則其直觀圖的面積為S' =_g= = T= = 3返272 W2 4故答案為：4【點評】本題考查了平面直觀圖的面積計算問題，是基礎(chǔ)題.15. （2021秋黃浦區(qū)校級月考）圓錐的底面積和側(cè)面積分別為9n和15n,則該圓錐母線與 底面所成角為_arccos3_ （用反三角表示）5【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）；直線與平面所成的角.【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.【分析】設(shè)底面圓的半徑為r,母線長為/,該圓錐母線與底面所成角為a,利用已知條件，求出工，再利用邊角關(guān)系求出cosa,即可

33、得到答案. r【解答】解：因為圓錐的底面積和側(cè)面積分別為9n和15m設(shè)底面圓的半徑為r,母線長為/,該圓錐母線與底面所成角為a,則生L 工，Kr2 r 3所以該圓錐母線與底面所成角的余弦值cosa=E=旦，1 5則該圓錐母線與底面所成角為arccos.5故答案為：arccosl.D【點評】本題考查了圓錐的側(cè)面積公式的應(yīng)用，線面角的求解，解題的關(guān)鍵是確定工的1值，考查了邏輯推理能力與轉(zhuǎn)化化歸能力，屬于基礎(chǔ)題.16. (2021秋海淀區(qū)校級月考)已知空間三點0 (0, 0, 0), A ( - 1, 1, 0), B (0, 2, 1),在直線04上有一點滿足BH1OA,則點H的坐標(biāo)為 (-1,1

34、,0).【考點】空間中的點的坐標(biāo)；向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與線性運算和數(shù)量積運算，求解即可.【解答】解：由 O(0，0, 0), A ( - 1, 1, 0), B (0, 2, 1),/.0A= ( - 1, 1, 0),且點在直線0A上，可設(shè)”(-入，入，0),則而=(-入，入-2, - 1),又 B”_LOA,即(-入，A - 2> - 1)*( - 1» 1, 0) =0,即 A+A - 2=0,解得人=1，二點 (-1, , 0).故答案為：(-1,1, 0)

35、.【點評】本題考查了空間向量的坐標(biāo)表示與運算問題，是基礎(chǔ)題.17. （2021秋大連月考）如圖所示，點A、B、C分別在空間直角坐標(biāo)系。-孫z的三條坐 標(biāo)軸上，oc=（o, 0, 2平面ABC的一個法向量為三=G，1, 2），平面A8c與平面【考點】二面角的平面角及求法.【專題】轉(zhuǎn)化思想；向量法；空間角；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.【分析】確定平面ABO的一個法向量，然后由空間向量的夾角公式求解即可.【解答】解：由題意可知，qc=（o, 0, 2）是平面的一個法向量，又平面ABC的一個法向量為1, 2），平面A8C與平面A8O的夾角為所以COS0 =cos<QC，n>h底。I _ g _=?

36、lOCl In I 2XV4+1+4 3故答案為：2.3【點評】本題考查了二面角的求解，平面法向量的理解與應(yīng)用，空間向量夾角公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三.解答題（共5小題）18. （2021秋鐵東區(qū)校級月考）已知點A （1, - 2, 0）和向量；=（一3, 4, 12）-（1）若屈=W，求點8的坐標(biāo);（2）若x軸上的一點C滿足；,正吟，求AC的長.【考點】空間向量的夾角與距離求解公式；空間向量運算的坐標(biāo)表示.【專題】方程思想；定義法；空間向量及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運算.【分析】（1）由OB=OA + a，能求出8占坐標(biāo).(2)設(shè)C(x, 0, 0),則正=(x- 1, 2,

37、 0),由x軸上的一點C滿足正啜,利用向量垂直的性質(zhì)求出x- 1=&,由此能求出AC的長.3【解答】解：(1) .點 A (1, -2, 0)和向量Z=(_3, 4, 12)，AB = a.*. 0B=0A + a=(1， -2, 0) + ( - 3, 4, 12) = ( - 2, 2, 12).二8點坐標(biāo)為(-2, 2, 12).(2)設(shè) C (x, 0, 0),則菽=(x- 1, 2, 0),軸上的一點C滿足；,正=_,AC a= " 3 (x - 1) +8=0,解得 x - 1 =,3MC的長為：(1)2 + 22=V【點評】本題考查點的坐標(biāo)、線段長的求法，考查向

38、量加法、向量垂直的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.19. (2021秋武昌區(qū)校級月考)如圖，在長方體AC1中，AB=BC=2, 441 =我，點E、F分別是面A1C1、面8。的中點.(1)求證：8E平面Q14C；(2)求證：AF_L8E；(3)求異面直線A尸與8。所成角的余弦值.【考點】異面直線及其所成的角；直線與平面平行；直線與平面垂直.【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；立體幾何；邏輯推理：數(shù)學(xué)運算.【分析】(I)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，空間向量共面定理，即可證明線面平行：(2)求出兩條直線的方向向量，由向量垂直的充要條件證明即可；(3)求出兩條直線的方向

39、向量，由向量的夾角公式求解可即.【解答】(1)證明：以點O為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則 A(2, 0, 0), C(0, 2, 0), B(2, 2, 0),D1(0, 0, 加)E(l, 1, &), F(l, 2,冬，因為通=(1, 1, -&)，幣=(2, 0, -&), DC=(O, 2, -近)，所以邪卷所7年證，故而，不，而共面，又BEC平面DAC,故8E平面D1AC；(2)證明：因為正=(-1，2, 冬，BE=(-1, -1, V2)所以正,麗=1-2+1=0，則正1BE.故AnL8E；(3)解：因為正=(-1, 2,喙)，DB=(2, 2,

40、 0)«所以I cos而，而|/離_=1_產(chǎn)=卓IAF I I DB I Ji+4+y X-4+4+011故異面宜線AF與BD所成角的余弦值為它五.【點評】本題考查了空間向量在立體幾何的綜合應(yīng)用，異面直線所成角的求解，線面平 行的證明，線線垂直的證明，在求解有關(guān)空間角問題的時候，一般會建立合適的空間直 角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.20. (2021秋九龍坡區(qū)校級月考)在四棱錐P-A8co中，底面4BCO是矩形，以，平面ABCD, R=AD=4, AB=2.線段AC的中點為。，點M為PD上的點，且MO=Lc.2(1)求證：平面平面尸C£)；(

41、2)求二面角B-AM-C平面角的余弦值.【考點】平面與平面垂直；二面角的平面角及求法.【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；數(shù)學(xué)運算.【分析】(1)利用線面、面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理即可證明；(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面與平面AMC的法向量，進而即可求出 面面角的余弦值.【解答】解：(1)證明：由題意，M在以8。為直徑的球面上，則：以_1_ 平面 ABC。，：.PALAB,又；ABLAD, PAQAD=A,.48_L平面以。，J.AB1.PD,尸£>_L平面ABM,又POu平面PCD,平面平面PCD.(2)由(1)可知：POJ_平面 ABM,又在 RtZB4O, P

42、A=AD, ：.PM=MD. 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則 A (0, 0, 0), P (0, 0, 4), B (2, 0, 0), C (2, 4, 0), D (0, 4, 0), M (0, 2, 2),由(1)可知：而是平面ABM的一個法向量，PD= (0, 4, -4),一 又 AM=(0, 2, 2), AC=C (2, 4, 0),設(shè)平面AMC的一個法向量為11=(X，y，z),n*AI=0n AC =0.2y+2z=0 I2x+4y=0令y=l,貝x= - 2,.平面AMC的一個法向量為n=(-2, 1, - 1),用平面的法向量求出面面角是解題的關(guān)鍵.所以 cos&l

43、t;； pn>=返，PD V6X4V2 3二面角B-AM - C平面角的余弦值為瓜.性質(zhì)定理及通過建立空間直角坐標(biāo)系利21. (2021秋海淀區(qū)校級月考)如圖所示，平面ABC。_L平面8CEF,且四邊形A8CO為矩形，四邊形 8CE尸為直角梯形，BF/CE, BCLCE, OC=CE=4, BC=BF=2.(1 )求證：AF平面CDE；(II )求平面CDE與平面4E尸所成銳二面角的余弦值;(III)求點C到平面AEF的距離.二面角的平面角及求法；點、線、面間的距離計算.【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；向量法；邏輯推理.【分析】以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為y軸，CO所在直線為

44、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.(1)而為平面CDE的一個法向量，證明AF平面CDE,只需證明五通=0X2+2X0+ ( -4) X0=0；(II )求出平面CCE的一個法向量、平面AEF一個法向量，利用向量的夾角公式，即可求平面CDE與平面4EF所成銳二面角的余弦值；(III)由點到面的距離公式可得.【解答】(I )證明：.四邊形8CEF為宜角梯形，四邊形ABCO為矩形，J.BCLCE, BC±CD,又.平面A8C£)J_平面BCEF,且平面ABCCCl平面BCEF=BC,：.DC±¥ffi BCEF.以C為原點，CB所在直線為x軸，CE所在直線為)，軸，CQ

45、所在宜線為z軸建立如圖所 示空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意我們可得以下點的坐標(biāo)：A (2, 0, 4), B (2, 0, 0), C (0, 0, 0), D (0, 0, 4), E (0, 4, 0), F (2, 2, 0),則下=(0, 2, -4), CB= (2, 0, 0).:BCLCD, BCJ.CE,而為平面CDE的一個法向量.又 AF-CB=0. 4FC平面 CDE./平面CDE.(H)由(/)知而=(2, 0, 0)為平面CZJE的一個法向量， 由(/)知AE= ( - 2, 4, -4), AF= (O, 2, -4)設(shè)平面AEF的一個法向量n=(X，y，z),mii fn

46、'AE=0 . f-2x+4y-4z=0則., (9n»AF=0 12y-4z=0令 z= 1,則 y=2, x=2,平面4EF的一個法向量；=(2, 2, 1),cos <_2 赤 >=_ 二 。殳.=-2,n，CB ra -I CBl 3X2-3平面CCE與平面AE尸所成銳二面角的余弦值為Z；3(/)由(/)知以=(2, 0, 4),又平面AEF的一個法向量；=(2, 2, 1),所以點C到平面AEF的距離d2： d=&【點評】本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角及三角函數(shù)及空間坐標(biāo)系等基 礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查用

47、向量方法解決數(shù)學(xué)問題 的能力.22. （2021秋平邑縣校級月考）如圖所示，點P是矩形ABCD所在平面外一點，且附，平 iff! ABCD, M, N分別是PC,尸。上的點，且里=3, N為尸。的中點.MC. . . . . .（1）求滿足MN=xAB+yAI>zAP的實數(shù)x, y, z的值；（2）若雨=AB=1, AD=2,求 MN 的長.【考點】點、線、面間的距離計算.【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯推理；數(shù)學(xué)運算.【分析】（1）取PC的中點E,連接NE,利用空間向量基本定理以及空間向量的線性運算將誣進行轉(zhuǎn)化，得到誣=-衛(wèi)族-工語工而，即可求出x，y，z的值444（

48、2）利用向量垂直的充要條件以及向量模的運算性質(zhì)求解即可.【解答】解：（1）取PC的中點E,連接NE,則誦=而-EM=CD-(PM-PE)2=|cd-=1cd-PC24=( - AF+AB+AD)24=-3屈-工鬲工融444所以x=-3, y= -z=；4 -44(2)因為以=AB=1, AD=2,且抬_L4B, AB1AD, PAJlAD,而|誦| 2 = | V而令疝卷三| 2=(qAB) ,(AD) 2+(-AP) 2=_9_ 41 =2記下F W，所以|不|=114故MN的長為IL4【點評】本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，空間向量基本定理的應(yīng)用、空間向 量線性運算以及空間向量模的求

49、解，考查了邏輯推理能力、轉(zhuǎn)化化歸能力與化簡運算能 力，屬于中檔題.考點卡片1 .空間中的點的坐標(biāo)【知識點的知識】1、在X、y、Z軸上的點分別可以表示為(“，0, 0), (0, b, 0), (0, 0, c), 在坐標(biāo)平面xOy, xOz, yOz內(nèi)的點分別可以表示為(a, b, 0), (a, 0, c), (0, b, c).2、點P (a, b, c)關(guān)于x軸的對稱點的坐標(biāo)為(a, - b, - c,)點P (a, b, c)關(guān)于y軸的對稱點的坐標(biāo)為(-a, b, - c,)； 點、P (a, b, c)關(guān)于z軸的對稱點的坐標(biāo)為(-a, - b, c,)； 點P (a, b, c)關(guān)于

50、坐標(biāo)平面xQy的對稱點為(a, b, - c,)； 點P (a, b, c)關(guān)于坐標(biāo)平面xOz的對稱點為(a, - b, c,)； 點P (a, b, c)關(guān)于坐標(biāo)平面yOz的對稱點為(-a, b, c,)； 點P (a, h, c)關(guān)于原點的對稱點(-a, - h, - c> ).3、已知空間兩點P (xi, y , zi ), Pi(X2, y2, Z2)則線段PP1的中點坐標(biāo)為,X1+X2丫+丫2 zl+z2,-2，-222 .棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認(rèn)識】1 .棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互 相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.棱

51、柱用表示底面各頂點的字母來表示(例： ABCD-A' B' C' D').2 .認(rèn)識棱柱底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面.側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面.側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱.頂點：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點.高：棱中兩個底面之間的距離.3 .棱柱的結(jié)構(gòu)特征1兩個底面互相平行 棱柱2.側(cè)面都是四邊形3側(cè)棱互相平行根據(jù)棱柱的結(jié)構(gòu)特征，可知棱柱有以下性質(zhì):(1)側(cè)面都是平行四邊形(2)兩底面是全等多邊形(3)平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形(4)長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的

52、平方和.4 .棱柱的分類(1)根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形的棱柱稱為三棱柱、四 棱柱、五棱柱.(2)根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為 正多邊形，則稱其為正棱柱.側(cè)棱不垂直底面11金圖RH-學(xué)側(cè)面是矩形(四棱柱)直棱柱正樓柱5.棱柱的體積公式設(shè)棱柱的底面積為5,高為h,Vmt=SXh.3.棱錐的結(jié)構(gòu)特征【知識點的認(rèn)識】1 .棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何 體叫做棱錐.用頂點和底面各頂點的字母表示，例：S - ABCD.2 .認(rèn)識棱錐棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側(cè)面.棱

53、錐的側(cè)棱；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.棱錐的頂點；棱錐中各個側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點.棱錐的高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高.棱錐的對角面；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面.3 .棱錐的結(jié)構(gòu)特征岳轉(zhuǎn)fl.底面是多邊形棱卑2.側(cè)面是三角形根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比.4 .棱錐的分類棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.正 棱錐的各個側(cè)面都是全等的等腰三角形.5

54、 .棱錐的體積公式設(shè)棱錐的底面積為5,高為h,V楂推=A/z.3BC4.棱臺的結(jié)構(gòu)特征 【知識點的認(rèn)識】1 .棱臺：棱錐被平行于底面的平面所截，截面和底面間的部分叫做棱臺.2 .認(rèn)識棱臺棱臺的上底面：原棱錐的截面叫做棱臺的上底面.棱臺的下底面：原棱錐的底面叫做棱臺的下底面.棱臺的側(cè)面：棱臺中除上、下底面外的所有面叫做棱臺的側(cè)面.棱臺的側(cè)棱：相鄰兩側(cè)面的公共邊叫做棱臺的側(cè)棱.棱臺的高：當(dāng)棱臺的底面水平放置時，鉛垂線與兩底面交點間的線段或距離叫做棱臺的高. 棱臺的斜高：棱臺的各個側(cè)面的高叫做棱臺的斜高.3 .棱臺的結(jié)構(gòu)特征1底面是多邊形樓2.側(cè)面是梯形校口 3.兩底面互相平行4.平行于底面的截面與

55、底面相仿正棱臺的性質(zhì)：(1)側(cè)棱相等，側(cè)面是全等的等腰梯形，斜高相等.(2)兩底面中心連線、相應(yīng)的邊心距和斜高組成一個直角梯形；兩底面中心連線、側(cè)棱和 兩底面相應(yīng)的半徑也組成一個直角梯形.(3)棱臺各棱的反向延長線交于一點.4 .棱臺的分類由三棱錐，四棱錐，五棱錐，等截得的棱臺，分別叫做三棱臺，四棱臺，五棱臺，等.正棱臺：由正棱錐截得的棱臺叫做正棱臺.5 .棱臺的體積公式設(shè)棱臺上底面面積為S,下底面面積為S',高為，V棱介忖x (S+S，+Vsxsy )xh- o6 .旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺)【知識點的認(rèn)識】旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作 旋轉(zhuǎn)面；該定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體.1.圓柱定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體圜林叫做圓柱.圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱0。' .認(rèn)識圓柱圓柱的特征及性質(zhì)軸：