1、小學數學知識點最全總結小學數學知識點最全總結，必須起來！ 1、歸一問題 【含義】 在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數量。這類應用題叫做歸一問題。 【數量關系】 總量÷份數1份數量 1份數量×所占份數所求幾份的數量 另一總量÷（總量÷份數）所求份數 【解題思路和方法】 先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數量。 例1 買5支鉛筆要0.6元錢，買同樣的鉛筆16支，需要多少錢？ 解（1）買1支鉛筆多少錢？0.6÷50.12（元）（2）買16支鉛筆需要多少錢？0.12×161.92（元）列成綜合算

2、式0.6÷5×160.12×161.92（元）答：需要1.92元。 例2 3臺拖拉機3天耕地90公頃，照這樣計算，5臺拖拉機6天耕地多少公頃？ 解（1）1臺拖拉機1天耕地多少公頃？90÷3÷310（公頃）（2）5臺拖拉機6天耕地多少公頃？10×5×6300（公頃）列成綜合算式90÷3÷3×5×610×30300（公頃）答：5臺拖拉機6天耕地300公頃。 例3 5輛汽車4次可以運送100噸鋼材，如果用同樣的7輛汽車運送105噸鋼材，需要運幾次？ 解（1）1輛汽車1次能運多少噸鋼

3、材？100÷5÷45（噸）（2）7輛汽車1次能運多少噸鋼材？5×735（噸）（3）105噸鋼材7輛汽車需要運幾次？105÷353（次）列成綜合算式105÷（100÷5÷4×7）3（次）答：需要運3次。 2、歸總問題 【含義】 解題時，常常先找出“總數量”，然后再根據其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。所謂“總數量”是指貨物的總價、幾小時（幾天）的總工作量、幾公畝地上的總產量、幾小時行的總路程等。 【數量關系】 1份數量×份數總量 總量÷1份數量份數 總量÷另一份數另一每份數量 【解題思

4、路和方法】 先求出總數量，再根據題意得出所求的數量。 例1 服裝廠原來做一套衣服用布3.2米，改進裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原來做791套衣服的布，現在可以做多少套？ 解（1）這批布總共有多少米？3.2×7912531.2（米）（2）現在可以做多少套？2531.2÷2.8904（套）列成綜合算式3.2×791÷2.8904（套）答：現在可以做904套。 例2 小華每天讀24頁書，12天讀完了紅巖一書。小明每天讀36頁書，幾天可以讀完紅巖？ 解（1）紅巖這本書總共多少頁？24×12288（頁）（2）小明幾天可以讀完紅巖？288÷

5、368（天）列成綜合算式24×12÷368（天）答：小明8天可以讀完紅巖。 例3 食堂運來一批蔬菜，原計劃每天吃50千克，30天慢慢消費完這批蔬菜。后來根據大家的意見，每天比原計劃多吃10千克，這批蔬菜可以吃多少天？ 解（1）這批蔬菜共有多少千克？50×301500（千克）（2）這批蔬菜可以吃多少天？1500÷（5010）25（天）列成綜合算式50×30÷（5010）1500÷6025（天）答：這批蔬菜可以吃25天。 3、和差問題 【含義】 已知兩個數量的和與差，求這兩個數量各是多少，這類應用題叫和差問題。 【數量關系】 大

6、數（和差）÷2 小數（和差）÷2 【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。 例1 甲乙兩班共有學生98人，甲班比乙班多6人，求兩班各有多少人？ 解 甲班人數（986）÷252（人）乙班人數（986）÷246（人）答：甲班有52人，乙班有46人。 例2 長方形的長和寬之和為18厘米，長比寬多2厘米，求長方形的面積。 解 長（182）÷210（厘米）寬（182）÷28（厘米）長方形的面積10×880（平方厘米）答：長方形的面積為80平方厘米。 例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙兩袋共重32千克，乙丙兩

7、袋共重30千克，甲丙兩袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。 解 甲乙兩袋、乙丙兩袋都含有乙，從中可以看出甲比丙多（3230）2千克，且甲是大數，丙是小數。由此可知 甲袋化肥重量（222）÷212（千克）丙袋化肥重量（222）÷210（千克）乙袋化肥重量321220（千克）答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。 例4 甲乙兩車原來共裝蘋果97筐，從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐，兩車原來各裝蘋果多少筐？ 解 “從甲車取下14筐放到乙車上，結果甲車比乙車還多3筐”，這說明甲車是大數，乙車是小數，甲與乙的差是（14×23）

8、，甲與乙的和是97，因此甲車筐數（9714×23）÷264（筐）乙車筐數976433（筐）答：甲車原來裝蘋果64筐，乙車原來裝蘋果33筐。 4、和倍問題 【含義】 已知兩個數的和及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做和倍問題。 【數量關系】 總和÷（幾倍1）較小的數 總和較小的數較大的數 較小的數×幾倍較大的數 【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 例1 果園里有杏樹和桃樹共248棵，桃樹的棵數是杏樹的3倍，求杏樹、桃樹各多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？248÷（31

9、）62（棵）（2）桃樹有多少棵？62×3186（棵）答：杏樹有62棵，桃樹有186棵。 例2 東西兩個倉庫共存糧480噸，東庫存糧數是西庫存糧數的1.4倍，求兩庫各存糧多少噸？ 解（1）西庫存糧數480÷（1.41）200（噸）（2）東庫存糧數480200280（噸）答：東庫存糧280噸，西庫存糧200噸。 例3 甲站原有車52輛，乙站原有車32輛，若每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，幾天后乙站車輛數是甲站的2倍？ 解 每天從甲站開往乙站28輛，從乙站開往甲站24輛，相當于每天從甲站開往乙站（2824）輛。把幾天以后甲站的車輛數當作1倍量，這時乙站的車輛數就是

10、2倍量，兩站的車輛總數（5232）就相當于（21）倍， 那么，幾天以后甲站的車輛數減少為（5232）÷（21）28（輛）所求天數為（5228）÷（2824）6（天）答：6天以后乙站車輛數是甲站的2倍。 例4 甲乙丙三數之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三數各是多少？ 解 乙丙兩數都與甲數有直接關系，因此把甲數作為1倍量。 因為乙比甲的2倍少4，所以給乙加上4，乙數就變成甲數的2倍； 又因為丙比甲的3倍多6，所以丙數減去6就變為甲數的3倍； 這時（17046）就相當于（123）倍。那么， 甲數（17046）÷（123）28 乙數28×24

11、52 丙數28×3690答：甲數是28，乙數是52，丙數是90。 5、差倍問題 【含義】 已知兩個數的差及大數是小數的幾倍（或小數是大數的幾分之幾），要求這兩個數各是多少，這類應用題叫做差倍問題。 【數量關系】 兩個數的差÷（幾倍1）較小的數 較小的數×幾倍較大的數 【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。 例1 果園里桃樹的棵數是杏樹的3倍，而且桃樹比杏樹多124棵。求杏樹、桃樹各多少棵？ 解（1）杏樹有多少棵？124÷（31）62（棵）（2）桃樹有多少棵？62×3186（棵）答：果園里杏樹是62棵，桃樹是186

12、棵。 例2 爸爸比兒子大27歲，今年，爸爸的年齡是兒子年齡的4倍，求父子二人今年各是多少歲？ 解（1）兒子年齡27÷（41）9（歲）（2）爸爸年齡9×436（歲）答：父子二人今年的年齡分別是36歲和9歲。 例3 商場改革經營管理辦法后，本月盈利比上月盈利的2倍還多12萬元，又知本月盈利比上月盈利多30萬元，求這兩個月盈利各是多少萬元？ 解 如果把上月盈利作為1倍量，則（3012）萬元就相當于上月盈利的（21）倍，因此 上月盈利（3012）÷（21）18（萬元）本月盈利183048（萬元）答：上月盈利是18萬元，本月盈利是48萬元。 例4 糧庫有94噸小麥和138噸

13、玉米，如果每天運出小麥和玉米各是9噸，問幾天后剩下的玉米是小麥的3倍？ 解 由于每天運出的小麥和玉米的數量相等，所以剩下的數量差等于原來的數量差（13894）。把幾天后剩下的小麥看作1倍量，則幾天后剩下的玉米就是3倍量，那么，（13894）就相當于（31）倍，因此 剩下的小麥數量（13894）÷（31）22（噸）運出的小麥數量942272（噸）運糧的天數72÷98（天）答：8天以后剩下的玉米是小麥的3倍。 6、倍比問題 【含義】 有兩個已知的同類量，其中一個量是另一個量的若干倍，解題時先求出這個倍數，再用倍比的方法算出要求的數，這類應用題叫做倍比問題。 【數量關系】 總量&

14、#247;一個數量倍數 另一個數量×倍數另一總量 【解題思路和方法】 先求出倍數，再用倍比關系求出要求的數。 例1 100千克油菜籽可以榨油40千克，現在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷10037（倍）（2）可以榨油多少千克？40×371480（千克）列成綜合算式40×（3700÷100）1480（千克）答：可以榨油1480千克。 例2 今年植樹節這天，某小學300名師生共植樹400棵，照這樣計算，全縣48000名師生共植樹多少棵？ 解（1）48000名是300名的多少倍？48000&#

15、247;300160（倍）（2）共植樹多少棵？400×16064000（棵）列成綜合算式400×（48000÷300）64000（棵）答：全縣48000名師生共植樹64000棵。 例3 鳳翔縣今年蘋果大豐收，田家莊一戶人家4畝果園收入11111元，照這樣計算，全鄉800畝果園共收入多少元？全縣16000畝果園共收入多少元？ 解（1）800畝是4畝的幾倍？800÷4200（倍）（2）800畝收入多少元？11111×2002222200（元）（3）16000畝是800畝的幾倍？16000÷80020（倍）（4）16000畝收入多少元？22

16、22200×2044444000（元）答：全鄉800畝果園共收入2222200元，全縣16000畝果園共收入44444000元。 7、相遇問題 【含義】 兩個運動的物體同時由兩地出發相向而行，在途中相遇。這類應用題叫做相遇問題。 【數量關系】 相遇時間總路程÷（甲速乙速）總路程（甲速乙速）×相遇時間 【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式。 例1 南京到上海的水路長392千米，同時從兩港各開出一艘輪船相對而行，從南京開出的船每小時行28千米，從上海開出的船每小時行21千米，經過幾小時兩船相遇？ 解 392÷（2821）8

17、（小時）答：經過8小時兩船相遇。 例2 小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒鐘跑5米，小劉每秒鐘跑3米，他們從同一地點同時出發，反向而跑，那么，二人從出發到第二次相遇需多長時間？ 解 “第二次相遇”可以理解為二人跑了兩圈。 因此總路程為400×2 相遇時間（400×2）÷（53）100（秒）答：二人從出發到第二次相遇需100秒時間。 例3 甲乙二人同時從兩地騎自行車相向而行，甲每小時行15千米，乙每小時行13千米，兩人在距中點3千米處相遇，求兩地的距離。 解 “兩人在距中點3千米處相遇”是正確理解本題題意的關鍵。從題中可知甲騎得快，乙騎得慢，甲過了

18、中點3千米，乙距中點3千米，就是說甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此， 相遇時間（3×2）÷（1513）3（小時）兩地距離（1513）×384（千米）答：兩地距離是84千米。 8、追及問題 【含義】 兩個運動物體在不同地點同時出發（或者在同一地點而不是同時出發，或者在不同地點又不是同時出發）作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內，后面的追上前面的物體。這類應用題就叫做追及問題。 【數量關系】 追及時間追及路程÷（快速慢速）追及路程（快速慢速）×追及時間 【解題思路和方法】 簡單的題目直接利用

19、公式，復雜的題目變通后利用公式。 例1 好馬每天走120千米，劣馬每天走75千米，劣馬先走12天，好馬幾天能追上劣馬？ 解（1）劣馬先走12天能走多少千米？75×12900（千米）（2）好馬幾天追上劣馬？900÷（12075）20（天）列成綜合算式75×12÷（12075）900÷4520（天）答：好馬20天能追上劣馬。 例2 小明和小亮在200米環形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他們從同一地點同時出發，同向而跑。小明第一次追上小亮時跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。 解 小明第一次追上小亮時比小亮多跑一圈，即200米，此時小亮跑了（5

20、00200）米，要知小亮的速度，須知追及時間，即小明跑500米所用的時間。又知小明跑200米用40秒，則跑500米用40×（500÷200）秒，所以小亮的速度是（500200）÷40×（500÷200） 300÷1003（米）答：小亮的速度是每秒3米。 例3 我人民解放軍追擊一股逃竄的敵人，敵人在下午16點開始從甲地以每小時10千米的速度逃跑，解放軍在晚上22點接到命令，以每小時30千米的速度開始從乙地追擊。已知甲乙兩地相距60千米，問解放軍幾個小時可以追上敵人？ 解 敵人逃跑時間與解放軍追擊時間的時差是（2216）小時，這段時間敵人

21、逃跑的路程是10×（226）千米，甲乙兩地相距60千米。由此推知 追及時間10×（226）60÷（3010）220÷2011（小時）答：解放軍在11小時后可以追上敵人。 例4 一輛客車從甲站開往乙站，每小時行48千米；一輛貨車同時從乙站開往甲站，每小時行40千米，兩車在距兩站中點16千米處相遇，求甲乙兩站的距離。 解 這道題可以由相遇問題轉化為追及問題來解決。從題中可知客車落后于貨車（16×2）千米，客車追上貨車的時間就是前面所說的相遇時間， 這個時間為16×2÷（4840）4（小時）所以兩站間的距離為（4840）×

22、;4352（千米）列成綜合算式（4840）×16×2÷（4840） 88×4 352（千米）答：甲乙兩站的距離是352千米。 9、植樹問題 【含義】 按相等的距離植樹，在距離、棵距、棵數這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。 【數量關系】 線形植樹棵數距離÷棵距1 環形植樹棵數距離÷棵距 方形植樹棵數距離÷棵距4 三角形植樹棵數距離÷棵距3 面積植樹棵數面積÷（棵距×行距）【解題思路和方法】 先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。 例1 一條河堤136米，每隔

23、2米栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解 136÷2168169（棵）答：一共要栽69棵垂柳。 例2 一個圓形池塘周長為400米，在岸邊每隔4米栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？ 解 400÷4100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。 例3 一個正方形的運動場，每邊長220米，每隔8米安裝一個照明燈，一共可以安裝多少個照明燈？ 解 220×4÷841104106（個）答：一共可以安裝106個照明燈。 例4 給一個面積為96平方米的住宅鋪設地板磚，所用地板磚的長和寬分別是60厘米和40厘米，問至少需要多少塊地板磚？ 解 96÷（0.6

24、×0.4）96÷0.24400（塊）答：至少需要400塊地板磚。 例5 一座大橋長500米，給橋兩邊的電桿上安裝路燈，若每隔50米有一個電桿，每個電桿上安裝2盞路燈，一共可以安裝多少盞路燈？ 解（1）橋的一邊有多少個電桿？500÷50111（個）（2）橋的兩邊有多少個電桿？11×222（個）（3）大橋兩邊可安裝多少盞路燈？22×244（盞）答：大橋兩邊一共可以安裝44盞路燈。 10、年齡問題 【含義】 這類問題是根據題目的內容而得名，它的主要特點是兩人的年齡差不變，但是，兩人年齡之間的倍數關系隨著年齡的增長在發生變化。 【數量關系】 年齡問題往

25、往與和差、和倍、差倍問題有著密切聯系，尤其與差倍問題的解題思路是一致的，要緊緊抓住“年齡差不變”這個特點。 【解題思路和方法】 可以利用“差倍問題”的解題思路和方法。 例1 爸爸今年35歲，亮亮今年5歲，今年爸爸的年齡是亮亮的幾倍？明年呢？ 解 35÷57（倍）（35+1）÷（5+1）6（倍）答：今年爸爸的年齡是亮亮的7倍， 明年爸爸的年齡是亮亮的6倍。 例2 母親今年37歲，女兒今年7歲，幾年后母親的年齡是女兒的4倍？ 解（1）母親比女兒的年齡大多少歲？37730（歲）（2）幾年后母親的年齡是女兒的4倍？30÷（41）73（年）列成綜合算式（377）÷

26、（41）73（年）答：3年后母親的年齡是女兒的4倍。 例3 甲對乙說：“當我的歲數曾經是你現在的歲數時，你才4歲”。乙對甲說：“當我的歲數將來是你現在的歲數時，你將61歲”。求甲乙現在的歲數各是多少？ 解 這里涉及到三個年份：過去某一年、今年、將來某一年。列表分析p ： 過去某一年 今年 將來某一年 甲   歲     歲  61歲 乙   4歲      歲  歲 表中兩個“”表示同一個數，兩個“”表示同一個數。 因為兩個人的年齡差總相等：461，也就是4，61成等差數列，所以，61應該比4大3個年齡差

27、， 因此二人年齡差為（614）÷319（歲）甲今年的歲數為611942（歲）乙今年的歲數為421923（歲）答：甲今年的歲數是42歲，乙今年的歲數是23歲。 11、行船問題 【含義】 行船問題也就是與航行有關的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差。 【數量關系】（順水速度逆水速度）÷2船速（順水速度逆水速度）÷2水速 順水速船速×2逆水速逆水速水速×2 逆水速船速×2順水速順水速水速×

28、;2 【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。 例1 一只船順水行320千米需用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？ 解 由條件知，順水速船速水速320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷81525（千米）船的逆水速為251510（千米）船逆水行這段路程的時間為320÷1032（小時）答：這只船逆水行這段路程需用32小時。 例2 甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？ 解 由題意得甲船速水速360÷1036 甲船速水速3

29、60÷1820 可見（3620）相當于水速的2倍， 所以，水速為每小時（3620）÷28（千米）又因為，乙船速水速360÷15， 所以，乙船速為360÷15832（千米）乙船順水速為32840（千米）所以，乙船順水航行360千米需要 360÷409（小時）答：乙船返回原地需要9小時。 12、列車問題 【含義】 這是與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。 【數量關系】 火車過橋：過橋時間（車長橋長）÷車速 火車追及：追及時間（甲車長乙車長距離）÷（甲車速乙車速）火車相遇：相遇時間（甲車長乙車長距離）÷

30、（甲車速乙車速）【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。 例1 一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900米的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需要3分鐘。這列火車長多少米？ 解 火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和。 （1）火車3分鐘行多少米？900×32700（米）（2）這列火車長多少米？27002400300（米）列成綜合算式900×32400300（米）答：這列火車長300米。 例2 一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？ 解 火車過橋所用的時間是2分5秒125秒，所走的路程

31、是（8×125）米，這段路程就是（200米橋長），所以，橋長為 8×125200800（米）答：大橋的長度是800米。 例3 一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？ 解 從追上到追過，快車比慢車要多行（225140）米，而快車比慢車每秒多行（2217）米，因此，所求的時間為（225140）÷（2217）73（秒）答：需要73秒。 例4 一列長150米的列車以每秒22米的速度行駛，有一個扳道工人以每秒3米的速度迎面走來，那么，火車從工人身旁駛過需要多少時間？ 解 如果把人看作

32、一列長度為零的火車，原題就相當于火車相遇問題。 150÷（223）6（秒）答：火車從工人身旁駛過需要6秒鐘。 13、時鐘問題 【含義】 就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。 【數量關系】 分針的速度是時針的12倍， 二者的速度差為11/12。 通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。 【解題思路和方法】 變通為“追及問題”后可以直接利用公式。 例1 從時針指向4點開始，再經過多少分鐘時針正好與分針重合？ 解 鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走5/60

33、1/12格。每分鐘分針比時針多走（11/12）11/12格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以 分針追上時針的時間為20÷（11/12）22（分）答：再經過22分鐘時針正好與分針重合。 例2 四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？ 解 鐘面上有60格，它的1/4是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×415）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×415）格。再根據1分鐘分針比時

34、針多走（11/12）格就可以求出二針成直角的時間。 （5×415）÷（11/12）6（分）（5×415）÷（11/12）38（分）答：4點06分及4點38分時兩針成直角。 例3 六點與七點之間什么時候時針與分針重合？ 解 六點整的時候，分針在時針后（5×6）格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。 （5×6）÷（11/12）33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。 14、盈虧問題 【含義】 根據一定的人數，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人

35、數或物品數，這類應用題叫做盈虧問題。 【數量關系】 一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有： 參加分配總人數（盈虧）÷分配差 如果兩次都盈或都虧，則有： 參加分配總人數（大盈小盈）÷分配差 參加分配總人數（大虧小虧）÷分配差 【解題思路和方法】 大多數情況可以直接利用數量關系的公式。 例1 給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？ 解 按照“參加分配的總人數（盈虧）÷分配差”的數量關系： （1）有小朋友多少人？（111）÷（43）12（人）（2）有多少個蘋果？3×12

36、1147（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。 例2 修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全長仍得延長4天。這條路全長多少米？ 解 題中原定完成任務的天數，就相當于“參加分配的總人數”，按照“參加分配的總人數（大虧小虧）÷分配差”的數量關系，可以得知 原定完成任務的天數為（260×8300×4）÷（300260）22（天）這條路全長為300×（224）7800（米）答：這條路全長7800米。 例3 學校組織春游，如果每輛車坐40人，就余下30人；如果每輛車坐45人，就剛好坐完。問有多少車？多少人？ 解

37、 本題中的車輛數就相當于“參加分配的總人數”，于是就有（1）有多少車？（300）÷（4540）6（輛）（2）有多少人？40×630270（人）答：有6輛車，有270人。 15、工程問題 【含義】 工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。 【數量關系】 解答工程問題的關鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數（它表示單位時間內完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據工作量、工作效率、工作時

38、間三者之間的關系列出算式。 工作量工作效率×工作時間 工作時間工作量÷工作效率 工作時間總工作量÷（甲工作效率乙工作效率）【解題思路和方法】 變通后可以利用上述數量關系的公式。 例1 一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現在兩隊合作，需要幾天完成？ 解 題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數量，因此，把此項工程看作單位“1”。由于甲隊獨做需10天完成，那么每天完成這項工程的1/10；乙隊單獨做需15天完成，每天完成這項工程的1/15；兩隊合做，每天可以完成這項工程的（1/101/15）。 由此可以列出算式：1÷

39、;（1/101/15）1÷1/66（天）答：兩隊合做需要6天完成。 例2 一批零件，甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成。現在兩人合做，完成任務時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？ 解一 設總工作量為1，則甲每小時完成1/6，乙每小時完成1/8，甲比乙每小時多完成（1/61/8），二人合做時每小時完成（1/61/8）。因為二人合做需要1÷（1/61/8）小時，這個時間內，甲比乙多做24個零件，所以（1）每小時甲比乙多做多少零件？ 24÷1÷（1/61/8）7（個）（2）這批零件共有多少個？ 7÷（1/61/8）168（個）答：這批零件共有1

40、68個。 解二 上面這道題還可以用另一種方法計算： 兩人合做，完成任務時甲乙的工作量之比為1/61/843 由此可知，甲比乙多完成總工作量的43/431/7 所以，這批零件共有24÷1/7168（個）例3 一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成。現在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？ 解 必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數表示，就會給計算帶來方便，因此，我們設總工作量為12、10、和15的某一公倍數，例如最小公倍數60，則甲乙丙三人的工作效率分別是 60÷12560÷10660÷154

41、因此余下的工作量由乙丙合做還需要（605×2）÷（64）5（小時）答：還需要5小時才能完成。 例4 一個水池，底部裝有一個常開的排水管，上部裝有若干個同樣粗細的進水管。當打開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池；當打開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在要用2小時將水池注滿，至少要打開多少個進水管？ 解 注（排）水問題是一類特殊的工程問題。往水池注水或從水池排水相當于一項工程，水的流量就是工作量，單位時間內水的流量就是工作效率。 要2小時內將水池注滿，即要使2小時內的進水量與排水量之差剛好是一池水。為此需要知道進水管、排水管的工作效率及總工作量（一池水）。只要設某一

42、個量為單位1，其余兩個量便可由條件推出。 我們設每個同樣的進水管每小時注水量為1，則4個進水管5小時注水量為（1×4×5），2個進水管15小時注水量為（1×2×15），從而可知 每小時的排水量為（1×2×151×4×5）÷（155）1 即一個排水管與每個進水管的工作效率相同。由此可知 一池水的總工作量為1×4×51×515 又因為在2小時內，每個進水管的注水量為1×2， 所以，2小時內注滿一池水 至少需要多少個進水管？（151×2）÷（1

43、5;2）8.59（個）答：至少需要9個進水管。 16、正反比例問題 【含義】 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關系叫做正比例關系。正比例應用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。 兩種相關聯的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關系叫做反比例關系。反比例應用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用。 【數量關系】 判斷正比例或反比例關系是解這類應用題的關鍵。許多典型應用題都可以轉化為正反比例問題去解決，而且比較簡

44、捷。 【解題思路和方法】 解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數）轉化為比，應用比和比例的性質去解應用題。 正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。 例1 修一條公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的變成未修的1/2，求這條公路總長是多少米？ 解 由條件知，公路總長不變。 原已修長度總長度1（13）14312 現已修長度總長度1（12）13412 比較以上兩式可知，把總長度當作12份，則300米相當于（43）份，從而知公路總長為300÷（43）×123600（米）答：這條公路總長3600米。 例2 張晗做4道應用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應

45、用題？ 解 做題效率一定，做題數量與做題時間成正比例關系 設91分鐘可以做X應用題則有28491X 28X91×4X91×4÷28X13答：91分鐘可以做13道應用題。 例3 孫亮看十萬個為什么這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天就可以看完？ 解 書的頁數一定，每天看的頁數與需要的天數成反比例關系 設X天可以看完，就有2436X15 36X24×15X10答：10天就可以看完。 17、按比例分配問題 【含義】 所謂按比例分配，就是把一個數按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數量的份

46、數，另一種是直接給出份數。 【數量關系】 從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數比的前后項之和 【解題思路和方法】 先把各部分量的比轉化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。 例1 學校把植樹560棵的任務按人數分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？ 解 總份數為474845140 一班植樹560×47/140188（棵）二班植樹560×48/140

47、192（棵）三班植樹560×45/140180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。 例2 用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是345。三條邊的長各是多少厘米？ 解 3451260×3/1215（厘米）60×4/1220（厘米）60×5/1225（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米、20厘米、25厘米。 例3 從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子分總數的1/2，二兒子分總數的1/3，三兒子分總數的1/9，并規定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊。 解 如果用總數乘以分率的方法解答，

48、顯然得不到符合題意的整數解。如果用按比例分配的方法解，則很容易得到 1/21/31/9962 9621717×9/179 17×6/17617×2/172答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。 例4 某工廠第一、二、三車間人數之比為81221，第一車間比第二車間少80人，三個車間共多少人？ 解 80÷（128）×（81221）820（人）答：三個車間一共820人。 18、百分數問題 【含義】 百分數是表示一個數是另一個數的百分之幾的數。百分數是一種特殊的分數。分數常常可以通分、約分，而百分數則無需；分數既可以表示“率”，也可

49、以表示“量”，而百分數只能表示“率”；分數的分子、分母必須是自然數，而百分數的分子可以是小數；百分數有一個專門的記號“%”。 在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。 【數量關系】 掌握“百分數”、“標準量”“比較量”三者之間的數量關系： 百分數比較量÷標準量 標準量比較量÷百分數 【解題思路和方法】 一般有三種基本類型： （1）求一個數是另一個數的百分之幾； （2）已知一個數，求它的百分之幾是多少； （3）已知一個數的百分之幾是多少，求這個數。 例1 倉庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾

50、？ 解（1）用去的占720÷（7206480）10%（2）剩下的占6480÷（7206480）90%答：用去了10%，剩下90%。 例2 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數比女職工少百分之幾？ 解 本題中女職工人數為標準量，男職工比女職工少的人數是比較量所以（525420）÷5250.220% 或者1420÷5250.220%答：男職工人數比女職工少20%。 例3 紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數多百分之幾？ 解 本題中以男職工人數為標準量，女職工比男職工多的人數為比較量，因此（525420）÷

51、4200.2525% 或者525÷42010.2525%答：女職工人數比男職工多25%。 例4 紅旗化工廠有男職工420人，有女職工525人，男、女職工各占全廠職工總數的百分之幾？ 解（1）男職工占420÷（420525）0.44444.4%（2）女職工占525÷（420525）0.55655.6%答：男職工占全廠職工總數的44.4%，女職工占55.6%。 19、“牛吃草”問題 【含義】 “牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。 【數量關系】 草總量原有草量草每天生長量×天數 【解題思路和方法

52、】 解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。 例1 一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？ 解 草是均勻生長的，所以，草總量原有草量草每天生長量×天數。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設每頭牛每天吃草量為1，按以下步驟解答： （1）求草每天的生長量 因為，一方面20天內的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內的草總量又等于原有草量加上20天內的生長量，所以 1×10×20原有草量20天內生長量 同理1

53、5;15×10原有草量10天內生長量 由此可知（2010）天內草的生長量為 1×10×201×15×1050 因此，草每天的生長量為50÷（2010）5（2）求原有草量 原有草量10天內總草量10內生長量1×15×105×10100（3）求5天內草總量 5天內草總量原有草量5天內生長量1005×5125（4）求多少頭牛5天吃完草 因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。 因此5天吃完草需要牛的頭數125÷525（頭）答：需要5頭牛5天可以把草吃完。 例2 一只船有一個漏洞，

54、水以均勻速度進入船內，發現漏洞時已經進了一些水。如果有12個人淘水，3小時可以淘完；如果只有5人淘 水，要10小時才能淘完。求17人幾小時可以淘完？ 解 這是一道變相的“牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數（相當于“牛數”），求時間。設每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算： （1）求每小時進水量 因為，3小時內的總水量1×12×3原有水量3小時進水量 10小時內的總水量1×5×10原有水量10小時進水量 所以，（103）小時內的進水量為1×5×101×12×314 因此，每小時的進水量為14÷

55、（103）2（2）求淘水前原有水量 原有水量1×12×33小時進水量362×330（3）求17人幾小時淘完 17人每小時淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（172），所以17人淘完水的時間是 30÷（172）2（小時）答：17人2小時可以淘完水。 20、雞兔同籠問題 【含義】 這是古典的算術問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。 【數量關系】 第一雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有 兔數（實際腳數2×雞兔總數）÷（42）假設全都是兔，則有 雞數（4×雞兔總數實際腳數）÷（42）第二雞兔同籠問題： 假設全都是雞，則有 兔數（2×雞兔總數雞與兔腳之差）÷（42）假設全都是兔，則有 雞數（4×雞兔總數雞與兔腳之差）÷（42）【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。如果先假設都是雞，然后以兔換雞；如果先假設都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設，再置換，使問題得到解