1、第五章信道編碼習題解答1.寫出與10011的漢明距離為3的所有碼字。解：共有10個:01111,00101,00000,01010,01001,00110,11101,10100,11000,11110O2.已知碼字集合的最小碼距為d,問利用該組碼字可以糾正幾個錯誤？可以發現幾個錯誤？請寫出一般關系式。解：根據公式：(1)d之e+1可發現e個錯。(2) d至2t+1可糾正t個錯。得出規律：(1) d=1,則不能發現錯及糾錯。(2) d為奇數：可糾自二個碼元錯或發現d-1個碼元錯。2d(3) d為偶數：可糾一-1個碼元錯，或最多發現d-1個碼元錯。2(4)碼距越大，糾、檢錯能力越強。3 .試計算

2、(8,7)奇偶校驗碼漏檢概率和編碼效率。已知碼元錯誤概率為Pe=10。解：由于Pe=10”較小，可只計算錯兩個碼元(忽略錯4或6個碼元)的情況：_228!_8_7p=C8pe10=2.8106!2!匚7-87.5%84.已知信道的誤碼率Pe=10，若采用“五三”定比碼，問這時系統的等效(實際)誤碼率為多少？解：由于Pe=10較小，可只計算錯兩個碼元的情況P=C3c2P2(1-Pe尸yc2p；=6”5 .求000000,110110,011101,101011四個漢明碼字的漢明距離，并據此求出校正錯誤用的校驗表。解：先求出碼字間距離：0000001101100111011010110000004

3、44110110444011101444101011444漢明距離為4,可糾一位錯。由于一個碼字共有6個碼元，根據公式：2r之n+1=6+1=7得r=3即每個碼字應有3位監督碼元，6-3=3位信息碼元。XiX2X3X4X5X6000000直觀地寫出各碼字：110110011101101011X4=X1二X3X5=X2二X3X6=X1二X2校驗子ok*X1*X2*X3*X4*X5*X6S10101100S20011010S301100016 .寫出信息位k=6,且能糾正1個錯的漢明碼。解：漢明碼的信息碼元為六個，即：k=6。監督碼元數r應符合下式：2r至k+r+1=7+r取滿足上式的最小r：r=

4、4,即為（10,6）漢明碼。其碼字由10個碼元構成:先設計校驗表（不是唯一的）：校驗子ok*X1*X2*X3*X4*X5*X6*X7*X8*X9*X10S101110001000S201001100100S300101010010S400010110001*一*一*一*=X1X2X3X7S2=X1X4X5X8S5=X2X4X6X9*令X4X5X6為監督碼元，觀察規律則可寫出監督方程:從而寫出校驗子方程:列出校驗表：si=XX衿X4s2=X2X3X5S3=WX2HX6X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10。根據校驗表寫出校驗子方程:自=X35X6X10%7=為X2X3X8=X1X4X5X9=

5、X2X4X6X10=X3X5X6根據監督方程編碼，寫出（10,6）漢明碼碼字（大部分略，同學們可自行完成）:碼字號信息碼元監督碼元X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10100000000002000001001130000100101400001101105000100011060001010101:631111101100641111111111，、一-01001017 .已知糾正一位錯的（7,4）雙明碼的生成矩陣為：G=00100110001111-1）請寫出其監督矩陣；2）請寫出其校驗表；3）對信源序列1110,1010,0110,.進行編碼；4）對接收端接收到的碼字序列001110

6、1,1100100,1011001,進行譯碼。解：1）監督矩陣：右邊3X3是單位陣，左邊34子陣是生成矩陣右邊40子陣的轉置:1101100H=1011010-0111001-2）校驗表：每個校驗子列向量對應為監督矩陣的列向量，增加一個無差錯列向量000。校驗子ok*X1*X2*X3*X4*X5*X6*X7S101101100S201011010S300111001寫出監督方程，即監督碼元與信息碼元之間的關系:或者用由監督矩陣得到的監督方程編碼:編碼得：1110000,1010101,0110110,4）根據校驗子方程（校驗子方程是監督方程左右兩邊異或）*G二x1二x2二人二x5*S3=x2二

7、x3二x43x70011101S=001T*7*錯001110000111100100S=111Tx4錯110110011011011001S=011T*.x3錯10010011001譯碼得：0011,1101,1001,8.(7,4）循環他的生成多項式為g(x)32=xx13)根據C=XG編碼：x1x2x3x4x5x6x7=x1x2x3x4一10。11H=x1一1x2x3x4x5x6x7010X5x6x1二x2二x3二x4x4x7=x2二x3二x4S2=x1x3x4x61)2)3)解：1）生成矩陣：生成多項式系數降哥排列:1101,補零成n位的行向量：1101000,循環移位成k行的矩陣:G

8、47010監督矩陣：校驗多項式系數升哥排列：10111,1補零成n位的行向量：1011100,循環移位成r行的矩陣:孰=01100-H372)根據C=XG編碼:寫出其監督矩陣和生成矩陣；對信息碼元0110,1001進行編碼，分別寫出它們的系統碼和非系統碼;對接收端接收到的系統碼字0101111,0011100進行譯碼。對信息碼元0001用多項式除法編碼得循環碼字:將0001101錯成將0001101錯成將0001101錯成0001100,0001111,0001001,除以生成多項式得余式除以生成多項式得余式除以生成多項式得余式0001101O1,S2S1S0=001表示CO錯。*x,S2S1

9、S0=010表布CI專日。x2,S2S1S0=100表示C2錯。將0001101錯成寫出校驗表：1001101,x2+x,S2S1S0=110表示C6錯。校驗子無錯*C0*C1*C2*C3*C4*C5*C6S200011101S100100111得非系統碼字：0101110,1100101根據多項式除法（長除法見第9題解答）編碼得系統碼字：0110100,1001011,具體方法如下:r542r54xm(x)xx2xxm(x)=x+x=Q9=xQ9g(x)xx1xx1r542C(x)=xm(x)r(x)=xxx01101001001m(x)=x3+1xrm(x)=x6+x3C(x)=xrm(x

10、)r(x)=x6x3x110010112=x+x0011100寫成多項式，除以生成多項式得余式x2+x,S=110T,查表知C6*錯，即00111001011100,去尾部3位監督碼元，得信息碼元1011。32_9.已知（7,4）借環碼的生成多項式為：g（x）=x+x+1當收到一循環碼字為0010011時，根據校驗子判斷有無錯誤？哪一位錯了?解：g(x)=x3x210110m(x)=x2+xxrm(x)x6x3g(x)x3x21x5x3x2x+1除以生成多項式得余式-_._000100110或者：已知（3,1,3）卷積碼的基本監督矩陣：H=100000101對信源序列010110-進行編碼。解

11、：對于（3,1,3）卷積碼，若輸入信息碼元：mi-2,mi-1,mi,;則編碼后碼字：mi-2,Pa,i-2,Pb,i-2,mi-1,Pa,i-1,Pb,i-1,mi,Pa,i,Pb,i,根據監督方程編碼得：000,111,010,110,101,011,（默認初始化狀態為0）11.已知（4,3,3）卷積碼的基本監督矩陣：H=110010101111】,對輸入信息碼元：101100110111進行編碼。解：根據k=3分組，計算1位監督碼元置于后，得卷積碼字：1010,1001,1100,1111,*（提小：編碼后的碼子形式為：a0a1a2P0a3a4a5pia6a7a8P2根據監督矩陣知其計算方法，前三個碼字計算為：*.P0二a二a1二a2*PI=a0二a?二a3二a4二a*rrcrrrP2=a0二a1二a3二a二a6二a7二a8第四個碼字起，移動對應位置使P2為當前要求的監督碼元，計算為：*當收到一循環碼字0010011時其對應的多項式為：X4+X+1。列豎式做多項式除法（以下左式）：X1X3X21,X4X1X4X3XX31X3X212XX