1、1會計學教育學數學學習的心理基礎與過程教育學數學學習的心理基礎與過程、外延的擴張性、表征的多樣性概念性、過程、模型的現實性數概念的特點4321、模型的現實性1概念性、過程2圖形中整體的一部分子集集合關系除法中等分除的商小數數軸上的一點比 作為數學概念的分數，由于表征形式的不同，而產生了多種意義，包括： 萊什等人進一步從有理數的子結構的角度深入討論了分數的意義，除了上述六種意義外，他們還討論了分數作為“算子”的意義，把分數看做是一個變換，給出了各種意義之間的關系（下頁）由圖可見：1.拆分和部分整體的子結構是其他子結構的基礎2.子結構中的比是促成掌握等價概念的中介3.算子和度量子結構在加法和乘法理

2、解中具有重要的意義由于分數具有多重的意義，而且這些意義之間具有一定的層次性，因此，兒童分數的形成不是一個簡單的過程拆分和部分整數比算子商度量等價乘法解決問題加法分數意義關系網皮亞杰對3-8歲兒童的分數概念發展過程：1. 4歲4歲半兒童對于將一個物品分為兩半非常困難，在分割之前沒有預想的計劃或圖示2.4歲6歲兒童對于規則的、小范圍的東西有分為兩半的能力，如果整體增加，分成一半遲緩3.6歲7歲能過成功的實施三等分，不必利用試誤的方法4.10歲左右兒童能實施六等分，首先是以三等分法分一個餅，然后三塊餅進行二等分赫伯特和特尼森研究58歲分數概念發展情形改成長度模式為伯特爾和薩瓦達發現，兒童處理等分長方

3、形或圓形區域，其分數概念的發展順序為61513141216151413121151915131814121、3221、6231小數和分數異同的比較小數知識（真）分數知識類似（）不同（）A.小數的值1.在0和1之間表達一個值2.整數被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個小數存在B小數符號1.一個單位被分成幾個的數隱含在數字的位置中2.有多少等份表示在小數的量中3.整數僅可被分成10的冪次方A.分數的值1.在0和1之間表達一個值2.整數被分成很多較小的等分3.在0和1之間有無限個小數存在B分數符號1.一個單位被等分成由分母明確界定的2.有多少等份表示在分數的分子中3.整數可被分成任一個等份的

4、數（）（）（）（ ）（ ）（ ）小數和整數知識的比較小數知識整數知識類似（）不同（）A.數值1.數字從5到右時，值會變小2.左邊數字是右邊相同數字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個數的右邊增加“0”時，其值不變5.從小數點開始往右其值遞減B數位1.小數點以后名稱按數字次序讀出2.小數部分從十分位開始3.位名順序是從左到右4.讀數字的順序是十分位，百分位，千分位，-C讀法小數點左邊整數部分按照整數讀法，右邊的數字依數字次序讀出A.數值1.數字從5到右時，值會變小2.左邊數字是右邊相同數字的10倍3.“0”有位值的意義4.一個數的左邊增加“0”時，其值不變5.從小數點開始往左其值遞減B數位1.

5、沒有小數點以后的數字2. 從個分位開始3.位名順序是從右到左4.讀數字的順序是千分位，百分位，十分位，-C讀法依整數十進制結構讀出（）（）（）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）從整數的位值概念來看小數概念的形成u位值彼此之間關系以10為基底的指數形式表示出位名 -千位 百位 十位 個位位值 -數字 - u為了使個位也能無限制地向右延伸過去，可將指數范圍擴大至負整數;利用往左擴展一位是乘以10的結果，因此往右擴展一位除以10的結果，有了新符號（小數符號）及新位名的產生： 指數 小數 新位名 =0.1 十分位 =0.2 百分位 -310210110010a3a1a2a01-102 -101989

6、年的數學課程與評價標準1.能了解數的基本意義2.能探索數字之間的多重關系3.能了解數字的相對大小關系4.能了解運算對數字的影響5.能發展參考物參考物來測量一般的物體2000年的數學課程與評價標準1.能了解數字及其表征的方法、數字之間的關系和數字系統2.了解運算的意義以及運算之間的關聯性3。流利的計算并做合理的估計湯普森和瑞特梅爾（數意識分成四種成分）1.能了解數字的意義與關系2.能了解數字的相對大小3能了解運算對數字的影響4.能了解如何使用參考點于日常生活情景麥克英特（數意識包涵的六種能力）1.了解數字的意義與大小的能力2.了解并使用等值形式及表征數字能力3.了解運算的意義和影響的能力4.了解

7、并善用等值形式解題的能力5.發展計算和數數策略的能力6.運用參考點的能力肖德恩數意識包含九種成分1.數字的分解與組合2.辨認數字相對大小的能力3.處理數字絕對大小的能力4.使用參考點的能力5.以有意義的方式連接數字、運算及相關符號的能力6.了解運算對數字的影響7.以創新的方式進行心算，使運算更為方便的能力8.發展估算的能力，并指導何時估算是適當的9.使數字意義化的能力斯塔奇和格爾曼學前兒童也能理解將元素并入或移出集合的效應有關加減運算問題的基礎知識是所謂的部總知識1.部分和總體之間的運算關系知識2.加法交換律知識3.加法和減法互補關系知識格里爾的教學主張1.算術運算教學應該關聯到廣泛情景2.重

8、視兒童非形式的求解方法菲斯賓等人的研究主張每一個算術基本運算，一般都結合著一個隱藏的潛意識的、原始的直觀模式。當解一個含有兩項數值資料的應用問題時，對運算的選擇并非直接發生，通過一個中介模式發生，且這個模式會對選擇過程加以一些限制u乘除法的研究u小數與分數的運算塔特蘇特分數加法錯誤類型1.帶分數轉換假分數的錯誤2.整數轉換為等值分數的錯誤3.通分時轉換等值分數的錯誤4.求公分母的錯誤5.加法程序的錯誤6.不會化簡或約分派特爾1.分子加分子，分母加分母2.求出公分母后放在分母。而分子為原分子相加3.分母相乘，分子相加4.分母相乘，分子相乘估算技能的形成u強調估算技能的原因 與數學應用有關、源于對

9、數意識的重視u一個好的估算著至少應有的素質l重組：改變數字數據以方便心算l轉換：把原有的結構轉成更易處理的形式l調節：計算中及后，可調節估算值至接近的近似值u估算技能與心算技能密切相關，重視心算技能培養的原因 1.心算是大多數人運用的主要的計算方式 2.在大多數情況下，心算是最簡單易行的 3.做心算有利于對數的特性的理解 4.心算過程本身就是一種創造性的問題解決活動算法思想的初步形成u算法的一般要求可以歸納為： 算法的可行性、確定性、有窮性、有效性、普遍性 在小學階段學在小學階段學習算法的思想習算法的思想1.在世界范圍內，算法都是小學數學課程的傳統內容2.算法可以有效的解決一類問題3算法是一種

10、經過壓縮的、一般化的解題課程4算法是自動化的5.算法是目標指向的6.算法可以為計算過程提供書面的記錄7.算法是可教的8.對于教師來說，算法易于處理與評價算法程序過早教學有一些不利因素l算法程序常常與人們的習慣思維不一致l算法的運算會誘使學生放棄他們自己的想法l算法不利于數意識的形成l算法使學生習慣于依賴數字的空間排列l算法會使學生盲目接受運算的結果l在實際生活中，書面算法很少使用9.3算術中的問題解決u在探討小學生解決算術問題方面三種研究方法： 個別交談、反應潛伏期、用手指和客觀直接模仿，或直接回憶加法表算術問題的基本類型及其解題策略 1.加減法應用題的基本類型 2.乘除法應用題的基本類型 乘

11、：大小改變、交叉運算、比例因子 除：求同單位量之間的比率、求異單位量之間的比率、除數為異單位量之間比率的除法、除數為大小改變因子的乘法、求反因子 四則運算的統一分類：如馬紹爾將算術文字題分為五個類型：改變、重組、比較、重復、變化算術問題的難度分析影響算術問題難度的主要因素： 1、未知數的位置 ：在“改變”類型中，不管是添加型或拿走行，未知數所在的位置越在前面，難度越高。是由于語意結構與兒童解題的策略產生沖突 2、語言的表述：解題的難度受題目中的敘述語的不一致性的影響 3、數字的形式：對于乘法應用題來說，問題類型對學生的影響不大，數字形式才是關鍵 4、問題的結構 ：學生在解決除法問題時往往會形成

12、“等分模式”的思維定勢 5、 單位的變化 6、問題的表征9.4數與運算的教學數與運算教學的認知分析u認知層次基倫分數概念學習5個連續層面1.把分數作為整體的一部分2.對一個事先分成若干的整體，通過數其中一部分的份數而得到分數3.把整體平均分成若干，對整體的份數和部分的份數分別進行計算4.通過數“份數”對兩個同分母分數求和5.根據分數加法原理，對兩個異分母分數求和哈特從位值研究小數6個認知層面1.千位數以內的位值概念2.一位小數3.二三位小數4.與左邊的位值關系5.更復雜的位值關系6.從除的結果發展到小數之間的小數有無限多個德恩特蒙特小數學習的五個層面1.具體物的層次2.操作說明的層次3.程序的

13、層次4.心智模式層次5抽象的層次u難點解析u小學的教學與有理數概念有關 多數發展都產生于重要的認知改組的初期 重要的質變發生在那些用來描述這些結構并使其模型化的表征系統中 表征系統的作用是迥異不同的 有理數概念包含了一大套整合了得子結構和加工過程u有理數概念的教學難點主要集中在小數和分數上 計數系統知識、運算規則知識、數量表示的知識u整數的減法和帶余除法的困難（例哈特等人的研究） 學生在標小數點上有難度例2.3*10=2.30 學生容易產生“乘法使結果變大”“除法使結果變小”的 想法 學生缺少小數的稠密性概念 缺乏位值概念，比較大小有困難概念誤解u數與運算部分中分數概念的誤解大體以下三方面：

14、單位量問題、等分觀念的錯差、受整數圖示的影響u小數概念方面小數運算過程中三個關鍵點： 如何將運用問題或橫式問題改為豎式計算 計算數值的答案 決定小數點的位值u乘除法的學習中學生容易產生的各種錯誤： 1以為要使結果變小就用除法2相信乘數越大、積就越大 3.習慣用大數除以小數 4.等分除與包含除混淆 5.會以表面線索來解題 6.不考慮包含除的余數 7.以為除法就是等分除 8.“幾個幾”與“幾的倍數”混淆有關數與運算教學的幾點建議u數與運算的教學幾點建議 提倡算法的多樣化 既注重句法規則，又關注語義分析 要合理的使用教學模型 要關注表象操作層面圖形中整體的一部分子集集合關系除法中等分除的商小數數軸上的一點比 作為數學概念的分數