1、3.3.2 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值 龍口一中C區(qū) 曲中彩一、一、1.解解2463)(2 xxxf，令令0)( xf)2)(4(3 xx32( )32420f xxxx求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間124,2xx得臨界點區(qū)間區(qū)間(-，-4)-4(-4，2)2(2，+)f (x)00f(x)f(x)在在(-，-4)、 (2，)內(nèi)單調(diào)遞增，內(nèi)單調(diào)遞增，你記住了嗎？有沒搞錯，有沒搞錯，怎么這里沒有填上？怎么這里沒有填上？求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù)求臨界點求臨界點列表列表寫出單調(diào)性寫出單調(diào)性+-f (x)0 (x+4)(x-2)0 x2f(x)在在(-4，2)內(nèi)單調(diào)遞減。內(nèi)單調(diào)遞減。f (x)0 (x+4)(x-2)0

2、 -4x0 0 得得f(x)f(x)的單調(diào)的單調(diào)遞增區(qū)間遞增區(qū)間; ; 解不等式解不等式 f/f/（x x）0 0 右側(cè)右側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極大值是極大值; (2):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) f/(x)0 , 那么那么f(x0)是極小值是極小值.解方程解方程f/(x)=0.當(dāng)當(dāng)f/(x)=0時時: x(-,-a) -a(-a,0) (0,a) a(a,+) f(x) + 0 - - 0 + f(x) 極大值極大值-2a 極小值極小值2a 故當(dāng)故當(dāng)x=-a時時,f(x)有極大值有極大值f(-a)=-2a;當(dāng)當(dāng)x=a時時,f(x)有極有極小值小值f(a)=2a.

3、例例2:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.)0()(2 axaxxf解解:函數(shù)的定義域為函數(shù)的定義域為),0()0 ,( .)(1)(222xaxaxxaxf 令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).0)( xf當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,f(x)的變化情況如下表的變化情況如下表:)(xf 練習(xí)練習(xí)1:求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.216xxy 解解:.)1 ()1 ( 6222xxy 令令 =0,解得解得x1=-1,x2=1.y 當(dāng)當(dāng)x變化時變化時, ,y的變化情況如下表的變化情況如下表:y x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值極大值-3 極小值極小

4、值3 因而因而,當(dāng)當(dāng)x=-1時有極大值時有極大值,并且并且,y極大值極大值=3;而而,當(dāng)當(dāng)x=1時有極小值時有極小值,并且并且,y極小值極小值=- 3.例例3:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在x=0,x=4處取得極值處取得極值,且極小且極小值為值為-1, 求求a、b的值的值. (2)假設(shè)假設(shè) ,函數(shù)函數(shù)f(x)圖象上的任意一點圖象上的任意一點的切線斜的切線斜 率為率為k,試討論試討論k-1成立的充要條件成立的充要條件 . 1 , 0 x解解:(1)由由 得得x=0或或x=4a/3.故故4a/3=4, a=6.023)(2 axxxf由于當(dāng)由于當(dāng)x0

5、時時, 故當(dāng)故當(dāng)x=0時時,f(x)達到極小值達到極小值f(0)=b,所以所以b=-1. 0)(, 0)( xfxf(2)等價于當(dāng)?shù)葍r于當(dāng) 時時,-3x2+2ax-1恒成立恒成立,即即g(x)= 3x2-2ax-10對一切對一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x 1 , 0 x由于由于g(0)=-10,故只需故只需g(1)=2-2a0,即即a1.反之反之,當(dāng)當(dāng)a1時時,g(x)0對一切對一切 恒成立恒成立. 1 , 0 x所以所以,a1是是k-1成立的充要條件成立的充要條件. 例例4:已知已知f(x)=ax5-bx3+c在在x= 1處有極值處有極值,且極且極大值為大值為 4,極小值為極小值為0.

6、試確定試確定a,b,c的值的值. 解解:).35(35)(2224baxxbxaxxf 由題意由題意, 應(yīng)有根應(yīng)有根 ,故故5a=3b,于是于是:10)( xxf).1(5)(22 xaxxf(1)設(shè)設(shè)a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 極小值極小值 極大極大值值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=3,b=5,c=2.(2)設(shè)設(shè)a0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值極小值 極大值極大值 )1,( ),

7、1( )(xf 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1(0) 1 (4cbacbaff又又5a=3b,解得解得a=-3,b=-5,c=2.練習(xí)練習(xí)1:已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在在x=1處有極值為處有極值為 10,求求a、b的值的值.解解: =3x2+2ax+b=0有一個根有一個根x=1,故故3+2a+b=0.)(xf 又又f(1)=10,故故1+a+b+a2=10.由由、解得解得 或或.33114 baba當(dāng)當(dāng)a=-3,b=3時時, ,此時此時f(x)在在x=1處無處無極值極值,不合題意不合題意.0) 1( 3)(2 xxf當(dāng)當(dāng)a=4,b=-11時時,).1)(11

8、3(1183)(2 xxxxxf-3/11x1時時, ,此時此時x=1是極是極值點值點.0)(0)( xfxf從而所求的解為從而所求的解為a=4,b=-11.第二課時第二課時一、復(fù)習(xí)一、復(fù)習(xí): :1.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)在在x0及其附近有定義及其附近有定義,如果如果f(x0)的值比的值比x0 附近所有各點的函數(shù)值都大附近所有各點的函數(shù)值都大,我們說我們說f(x0)是函數(shù)是函數(shù)y=f(x) 的一個極大值的一個極大值;如果如果f(x0)的值比的值比x0附近所有各點的函附近所有各點的函 數(shù)值都小數(shù)值都小,我們說我們說f(x0)是函數(shù)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值的一個極小值.極極 大值與極小值統(tǒng)

9、稱極值大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在在x0處連續(xù)時處連續(xù)時,判別判別f(x0)是極大是極大(小小)值的方值的方 法是法是: (1):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么,f(x0)是極大值是極大值;, 0)(, 0)( xfxf (2):如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) 右側(cè)右側(cè) 那么那么,f(x0)是極小值是極小值., 0)(, 0)( xfxf3.理解函數(shù)極值的定義時應(yīng)注意以下幾點理解函數(shù)極值的定義時應(yīng)注意以下幾點:(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念函數(shù)的極值是一個局部性的概念,極值點是區(qū)間內(nèi)極值點是區(qū)間內(nèi) 部的點而不會是端點部的點而不會是端點.(

10、2)若若f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,那么那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定在某區(qū)間內(nèi)一定 不是單調(diào)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不即極大值不 一定比極小值大一定比極小值大,極小值不一定比極大值小極小值不一定比極大值小.(4)函數(shù)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點的分布是它的極值點的分布是 有規(guī)律的有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值 點點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點同樣相鄰兩個極小值點之

11、間必有一個極大值點. 一般地一般地,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值 點時點時,函數(shù)函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點 是交替出現(xiàn)的是交替出現(xiàn)的.(5)導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是而不是 充分條件充分條件.(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,理解可導(dǎo)函數(shù)在理解可導(dǎo)函數(shù)在 其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系其定義域上的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系

12、,掌握利掌握利 用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法.例例1:已知函數(shù)已知函數(shù) f(x)滿足條件滿足條件:當(dāng)當(dāng)x2時時, ;當(dāng)當(dāng) x2,由條件由條件可知可知 ,即即:2 x0)(2 xf; 02)()(2 xxfxg當(dāng)當(dāng) 時時,x20,0)( xf故故 有不相等的兩實根有不相等的兩實根、,設(shè)設(shè).0)( xf又設(shè)又設(shè)g(x)=-ax2-2bx+a, 由于由于-a0,g(x)的圖象開口的圖象開口向下向下,g(x)的值在的值在的右正左負(fù)的右正左負(fù),在在的左正右負(fù)的左正右負(fù).注意到注意到 與與g(x)的符號相同的符號相同,可知可知為極小值點為極小值點,為極大值點為極大值點.)(xf (2)由由f()=-1和和f()=1可得可得:.1122 baba兩式相加兩式相加,并注意到并注意到+=-2b/a,于是有于是有:. 0, 02, 0, 02)2(22 babbaba 從而方程從而方程 可化為可化為x2=1,它的兩根為它的兩根為+1和和-1,即即=-1,=1.0)( xf由由. 2121)(2 a