1、第第6章章連續時間系統的連續時間系統的s域分析域分析齊開悅齊開悅 博士博士Analysis and Characterized of LTI Systems Using the Laplace Transform一一. . 系統函數的概念：系統函數的概念： 以卷積特性為基礎，可以建立以卷積特性為基礎，可以建立LTI系統的拉系統的拉氏變換分析方法，即氏變換分析方法，即( )( )( )Y sX sH s 其中其中 是是 的拉氏變換，稱為的拉氏變換，稱為系統函數系統函數或或轉移函數轉移函數。( )H s( )h t6.1 引言引言-用拉氏變換分析與表征用拉氏變換分析與表征LTI系統系統 如果如果

2、的的ROC包括包括 軸，則軸，則 和和 的的ROC必定包括必定包括 軸，以軸，以 代入，即有代入，即有j( )X s( )H sjsj()()()Y jX jH j 這就是這就是LTI系統的傅里葉分析。系統的傅里葉分析。 即是系統即是系統的的頻率響應頻率響應。()H j 這些方法之所以成立的本質原因在于這些方法之所以成立的本質原因在于復指數函復指數函數是一切數是一切LTI系統的特征函數系統的特征函數。當以。當以 為基底為基底分解信號時，分解信號時，LTI系統系統對輸入信號的響應就是對輸入信號的響應就是j te( )X s()()X jH jste( )( )X sH s ； 而以而以 為基底分

3、解信號時，系為基底分解信號時，系統的輸出響應就是統的輸出響應就是 。用系統函數表征用系統函數表征LTI系統系統穩定性：穩定性： 如果系統穩定，則有如果系統穩定，則有 。因此因此 必存在必存在, 意味著意味著 的的ROC必然包必然包括括 軸。軸。( )h tdt ( )H s()H jj 綜合以上兩點，可以得到：綜合以上兩點，可以得到：因果穩定系統的因果穩定系統的 ，其全部極點必須位于，其全部極點必須位于S平面的左半邊。平面的左半邊。( )H s例例1.某系統的某系統的 顯然該系統是因果的，確定系統的穩定性。顯然該系統是因果的，確定系統的穩定性。2( )( )( )tth te u teu t2

4、1123( ),1232sH sssssROC:Re 1s 顯然，顯然，ROC是最右邊極點的右邊。是最右邊極點的右邊。ROC包括包括 軸軸j系統也是穩定的。系統也是穩定的。的全部極點都在的全部極點都在S平面的左半邊。平面的左半邊。( )H s1,2ss 極點：極點：確定其可能的收斂域及所對應信號的屬性。確定其可能的收斂域及所對應信號的屬性。1( )(1)(2)X sss例例3.右邊信號右邊信號12j左邊信號左邊信號12j雙邊信號雙邊信號12j判斷因果性和穩定性！判斷因果性和穩定性！結結 論：論：1. 如果如果LTI系統的系統函數是有理函數，且全部系統的系統函數是有理函數，且全部極點位于極點位于

5、S平面的左半邊，收斂域是最右邊極平面的左半邊，收斂域是最右邊極點的右側。則系統是因果、穩定的。點的右側。則系統是因果、穩定的。 2. 如果如果LTI系統的系統函數是有理函數，且系統系統的系統函數是有理函數，且系統因果，則系統函數的因果，則系統函數的ROC是最右邊極點的右是最右邊極點的右邊。若系統反因果，則系統函數的邊。若系統反因果，則系統函數的ROC是最是最左邊極點的左邊。左邊極點的左邊。 3.如果如果LTI系統是穩定的，則系統函數的系統是穩定的，則系統函數的ROC必然必然包括包括 軸。軸。j三三. 由由LCCDE描述的描述的LTI系統的系統函數：系統的系統函數：對對00( )( )kkNNk

6、kkkkkd y td x tabdtdt做雙邊拉氏變換，可得做雙邊拉氏變換，可得00( )( )( ),( )( )NkkkNkkkb sY sN sH sX sD sa s是一個有理函數是一個有理函數的的ROC需要由系統的相關特性來確定。需要由系統的相關特性來確定。( )H s1）如果已知）如果已知LCCDE描述的系統是因果的，則描述的系統是因果的，則 的的ROC必是最右邊極點的右邊。必是最右邊極點的右邊。( )H s2）如果已知）如果已知LCCDE描述的系統是穩定的，則描述的系統是穩定的，則 的的ROC 必包括必包括 軸。軸。( )H sj 沖激響應沖激響應h(t)與系統函數與系統函數H

7、(s) 從時域和變換域兩方從時域和變換域兩方面表征了同一系統的面表征了同一系統的本性本性。 在在s域域分析中，借助系統函數在分析中，借助系統函數在s平面平面零點與極點零點與極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統響應的許多分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統響應的許多規律。系統的規律。系統的時域、頻域特性時域、頻域特性集中地以其系統函數的集中地以其系統函數的零、極點分布表現出來。零、極點分布表現出來。 主要優點：主要優點：1可以預言系統的時域特性；可以預言系統的時域特性；2便于劃分系統的各個分量便于劃分系統的各個分量 （自由強迫，瞬態穩態）；（自由強迫，瞬態穩態）；3可以用來說明系統的正弦穩態

8、特性。可以用來說明系統的正弦穩態特性。二H(s)零、極點與h(t)波形特征的對應)()()()()()()()()(2121nkmjpspspspszszszszsKsBsAsH K 系系統統函函數數的的零零點點 ,21nzzz 系系統統函函數數的的極極點點 ,21nppp 在在s平面上，畫出平面上，畫出H(s)的零極點圖：的零極點圖： 極點：用極點：用表示表示，零點：用零點：用表示表示 mjjzs1)( nkkps1)(6.2.1零極點與時域特性1系統函數的零、極點例4)2j)(2j()1()1j1)(1j1()(2 sssssssH極點：極點：, 121 pp零點：零點： j0j 1j 1

9、2j 2j1 畫出零極點圖：畫出零極點圖：, 2j3 p2j4 p, 01 z, 1j12 z, 1j13 z2H(s)極點分布與原函數的對應關系 jO 0j0j 幾種典型情況幾種典型情況一階極點在原點，在原點，0,1)(1 pssH)()()(1tusHLth apassH 1,1)( , 0),(e)(, , 0),(e)(, , 0指數增加指數增加在右實軸上在右實軸上指數衰減指數衰減在左實軸上在左實軸上 atuthatuthaatat在虛軸上在虛軸上,j,)(122pssH )(sin)(，等幅振蕩，等幅振蕩ttuth ,)()(22ssH 共軛根共軛根,j,j21 pp當當 ，極點在左

10、半平面，衰減振蕩，極點在左半平面，衰減振蕩當當 ，極點在右半平面，增幅振蕩，極點在右半平面，增幅振蕩0 0 二階極點,1)(2極點在原點極點在原點ssH )(,),()(thtttuth極點在實軸上，極點在實軸上，,)(1)(2assH 0)(, 0),(e)( thttuttht 在虛軸上，在虛軸上，,)(2)(222sssH 增幅振蕩增幅振蕩 )(,),(sin)(thtttutth , t)(sH 有實際物理意義的物理系統都是有實際物理意義的物理系統都是因果系統因果系統，即隨，即隨 ， 這表明的極點位于這表明的極點位于左左半平面，由此可知，半平面，由此可知，收斂域收斂域包括虛軸包括虛軸，

11、 均存在，兩者可通用，只均存在，兩者可通用，只需需 將即可。將即可。 )(j FsF和和 js 0th6.2.2自由響應與強迫響應,暫態響應與穩態相應激勵：激勵：)()(sEte vkkullPszssE11)()()(系統函數：系統函數：)()(sHth niimjjPszssH11)()()(響應：響應：)()(sRtr niimjjpszs11)()( vkkkpsA1 )()(1sRLtr自由響應分量自由響應分量 強制響應分量強制響應分量 vkkullPszs11)()( )(sR niiipsA1 )(sR vktpktuAk1)(e nitpituAi1)(e試分別求它們的完全響應

12、，并指出其零輸入響應，零狀試分別求它們的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態響應，自由響應，強迫響應各分量，暫態響應分量和態響應，自由響應，強迫響應各分量，暫態響應分量和穩態響應分量。穩態響應分量。例給定系統微分方程給定系統微分方程 tettetrttrttr3dd2dd3dd22 20, 10/ rrtute，起起始始狀狀態態為為激激勵勵 sEessEsRrssRrsrsRs30203002 解：解：方程兩端取拉氏變換方程兩端取拉氏變換零輸入響應零狀態響應:零輸入響應為零輸入響應為 03003232rrsrsEssRss則則 2332zs sssEssR 0 e3e4)(2zi ttrtt:

13、即零狀態響應為即零狀態響應為 )0( 5 . 1e2e5 . 0)(2zs ttrtt zi2003032srrrRsss穩態響應暫態響應，自由響應強迫響應 ssR15 . 1 215 . 2112 ss)0( e5 . 2 e2 2 ttt極點位于極點位于s s左半平面左半平面 5 . 1)( tr極點位于虛軸極點位于虛軸暫態響應暫態響應穩態響應穩態響應 ssR15 . 1 215 . 2112 ss)0( e5 . 2 e2 2 tttH(s)的極點的極點 5 . 1)( trE(s)的極點的極點自由響應自由響應強迫響應強迫響應幾點認識自由響應自由響應的極點只由系統的極點只由系統本身的特性

14、本身的特性所決定，與激勵所決定，與激勵函數的形式無關，然而系數函數的形式無關，然而系數 都有關。都有關。 sEsHAAki,與與響應函數響應函數r(t)由兩部分組成：由兩部分組成：系統函數系統函數的極點的極點自由自由響應分量；響應分量；激勵函數激勵函數的極點的極點強迫強迫響應分量。響應分量。定義定義系統行列式（特征方程）的根為系統的系統行列式（特征方程）的根為系統的固有頻率固有頻率（或稱（或稱“自然頻率自然頻率”、“自由頻率自由頻率”）。）。H(s)的極點都是系統的固有頻率；的極點都是系統的固有頻率；H(s)零、極點相消時，某些固有頻率將丟失零、極點相消時，某些固有頻率將丟失。暫態響應和穩態響

15、應瞬態響應瞬態響應是指激勵信號接入以后，完全響應中瞬時出現是指激勵信號接入以后，完全響應中瞬時出現的有關成分，隨著的有關成分，隨著t增大，將消失。增大，將消失。穩態響應穩態響應完全響應瞬態響應完全響應瞬態響應左半平面的極點產生的函數項和瞬態響應對應左半平面的極點產生的函數項和瞬態響應對應。例(1)在在零初始狀態零初始狀態下，對原方程兩端取拉氏變換下，對原方程兩端取拉氏變換)(6)(2)(6)(5)(22ssEsEssRssRsRs 。和和零零狀狀態態響響應應，求求系系統統的的沖沖激激響響應應，激激勵勵為為已已知知系系統統)( )()()e1()(d)(d6d)(d2)(6d)(d5d)(dzs

16、2222trthtutettettetrttrttrt 222s6s24 ( )2s5s622R ssH sE sss)(e4)(2)(2tuttht 所以所以(2)()()(zstethtr )()()( ZSsEsHsR 或或因為因為)1(1222)(ZS ssssssR1226)1)(2()12(2 sssss所以所以)(e6)(e2)(2ZStututrtt 所以所以221()()2(1)ssHsEsss s niimjjsniimjjspzKPszsKsHH11j11jjjjjjjNzjej iiiMPjej 平面內。平面內。矢量圖畫于復矢量圖畫于復都看作兩矢量之差，將都看作兩矢量之

17、差，將、將將 -j jijp z 有有關關。的的特特性性與與零零極極點點的的位位置置可可見見H j令分子中每一項令分子中每一項分母中每一項分母中每一項6.3 由系統函數的零極點分布確定頻率特性畫零極點圖OjzjjNj 發發生生變變化化。都都、和和、則則矢矢量量變變是是滑滑動動矢矢量量，iijjMN , jjiipMi jej ：極極點點jjzNj jej ：零零點點 nmnmMMMNNNKHjj2j1jj2j1eeeeeej2121 nmnmMMMNNNK 2121j21j21ee nmMMMNNNKH2121j nm 2121 當當 沿虛軸移動時，各復數因子沿虛軸移動時，各復數因子( (矢量

18、矢量) )的模和輻角都的模和輻角都隨之改變，于是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。隨之改變，于是得出幅頻特性曲線和相頻特性曲線。 由矢量圖確定頻率響應特性例例1 電路的電路的s域分析域分析ORC1 j1M1CR tv1 tv2研究下圖所示研究下圖所示RCRC低通濾波網絡低通濾波網絡的頻響特性的頻響特性。 VVHjjj12 寫出網絡轉移函數表達式寫出網絡轉移函數表達式 RCsRCsVsVsH11112解解: : VVMRC j12j1ee111 頻響特性頻響特性 VVMRCH j12j1ee11j1 ORC1 j1M1ORC112VV121ORC1 45 90 112,11MRCVV式中：式中：

19、處處于于低低通通網網絡絡，截截止止頻頻率率位位RC1 。源，且源，且是受控電壓是受控電壓注意，圖中注意，圖中的頻響特性的頻響特性系統系統研究右圖所示二階研究右圖所示二階2211312,jjjCRCRkvVVHRC 其轉移函數為其轉移函數為 221111121111CRsskCRsCRsVsVsH 相當于低通與高通級聯構成的帶通系統。相當于低通與高通級聯構成的帶通系統。 解：解：低通濾波器低通濾波器高通濾波器高通濾波器 1R1C2C2R3kv tv2 tv1 tv3例例2 電路的電路的s域分析域分析頻響特性頻響特性Oj1M1 111CR 2M221CR 2 1N1 01 11222111 zCR

20、pCRp零點：零點：，極點：極點：2211CRCRk2k12VV221CR 111CR O O 9090 4545 例例V00A,00CLvi起始狀態為起始狀態為 波波形形求求電電流流電電源源閉閉合合，接接入入直直流流式式開開關關，為為下下圖圖所所示示電電路路起起始始狀狀態態tiEt,S00 SLCRE tiLssC1RsE sI(1)(2)(3) 列方程列方程 sEsICssRIsLsI 1解：解：域等效模型域等效模型的的st0極點極點 sEsICssRIsLsI 1 LCsLRsLEsCRLssEsI1112LCRLRLp12221 LCRLRLp12222 211pspsLEsI 故 2

21、121111pspsppLE ：極點極點2, 1pp逆變換逆變換 tptpppLEti21ee21 設設LCLR1,20 則則20222021,pp 回路回路無損耗的無損耗的，第一種情況：第一種情況：LC0 LCQR2Q00回路，回路，的的較小，高較小，高即即第二種情況：第二種情況：0 第三種情況第三種情況 ，不能振蕩，不能振蕩較大，低較大，低第四種情況第四種情況QR0 波形波形 回回路路無無損損耗耗的的，LC0 第一種情況：第一種情況：01jp 02jp ttLEti00jj0eej21 tLCE0sin 階躍信號對回路作用的結果產生不衰減的正弦振蕩。階躍信號對回路作用的結果產生不衰減的正弦

22、振蕩。 第二種情況：第二種情況： LCQR2Q00回路，回路，的的較小，高較小，高即即引入符號引入符號20d 所以所以dj02 dpj1 dpj2 ttdddLEtijjeej21 tLEdtdsine 就越小，衰減越慢就越小，衰減越慢越小，越小，衰減振蕩，衰減振蕩，RLR,2 第三種情況：第三種情況：0 LCLR12 pp 21 21sLEsI tLRttLELEti2ee 生振蕩，是臨界情況生振蕩，是臨界情況越大，阻尼大，不能產越大，阻尼大，不能產R第四種情況：第四種情況： ，不能振蕩，不能振蕩較大，低較大，低QR0 tttLEti202202eee21202 tLEt202202sinh

23、e1雙曲線雙曲線:這時有重根的情況這時有重根的情況波形波形Ot ti0 0 0 0 補充：系統函數的代數屬性與補充：系統函數的代數屬性與系統的級聯并聯型結構系統的級聯并聯型結構System Function Algebra and Block Diagram Representations一一. .系統互聯時的系統函數：系統互聯時的系統函數：1. 級聯：級聯：12( )( )( )H sH sHsROC :12RR包括包括3. 反饋聯結：反饋聯結：1( )( )( ) ( )X sX sG s Y s11( )( )( )Y sX s H s1( )( ) ( )( )X sG s Y s H s2. 并聯：并聯：12( )( )( )H sH sHsROC:12RR包括包括11( )( )( )( )1( )( )Y sH sH sX sG s H sROC:12RR包括包括例 211 sssG sG sF sY sX k當常數當常數k滿足什么條件時，系統是穩定的？滿足什么條件時，系統是穩定的？ skYsFsX 加法器輸出端的信號加法器輸出端的信號 sXsGsY 輸出信號輸出信號如圖所示