1、奇偶性與單調性及典型例題函數的單調性、奇偶性是高考的重點內容之一，考查內容靈活多樣.本節主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調性的定義，掌握判定方法，正確認識單調函數與奇偶函數的圖象.難點磁場()設a>0,f(x)=是R上的偶函數，(1)求a的值；(2)證明：f(x)在(0,+°0)上是增函數.案例探究例1已知函數f(x)在(一1,1)上有定義，f()=1,當且僅當0Vx<1時f(x)<0,且對任意x、yC(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：f(x)為奇函數；(2)f(x)在(一1,1)上單調遞減.命題意圖：本題主要考查函數的奇偶性、單調性的判定以及運算能力

2、和邏輯推理能力.屬*題目.知識依托：奇偶性及單調性定義及判定、賦值法及轉化思想錯解分析：本題對思維能力要求較高，如果"賦值"不夠準確，運算技能不過關，結果很難獲得.技巧與方法：對于(1),獲得f(0)的值進而取x=-y是解題關鍵；對于(2),判定的范圍是焦點.證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.-f(x)=-f(-x).1.f(x)為奇函數.(2)先證f(x)在(0,1)上單調遞減.令0<x1<x2<1,貝Uf(x2)-f(x1)=f(x2)-f(x1)=f()0&l

3、t;x1<x2<1,.-.x2-x1>0,1-x1x2>0,>0,又(x2x1)-(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0x2x1<1x2x1,，0<<1,由題意知f()<0,即f(x2)<f(x1).f(x)在(0,1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0.1. f(x)在(1,1)上為減函數.例2設函數f(x)是定義在R上的偶函數，并在區間(一8,0)內單調遞增，f(2a2+a+1)<f(3a22a+1).求a的取值范圍，并在該范圍內求函數y=()的單調遞減區間.命題意圖：本題主要考查函數奇偶性、單調性的基本

4、應用以及對復合函數單調性的判定方法.本題屬于級題目.知識依托：逆向認識奇偶性、單調性、指數函數的單調性及函數的值域問題錯解分析：逆向思維受阻、條件認識不清晰、復合函數判定程序紊亂技巧與方法：本題屬于知識組合題類，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法解：設0<x1<x2,則一x2<x1<0,丁f(x)在區間(一8,0)內單調遞增，.f(x2)<f(-x1),1.f(x)為偶函數，f(-x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)<f(x1).f(x)在(0,+8)內單調遞減.由f(2a2+a+1)<

5、;f(3a2-2a+1)得：2a2+a+1>3a22a+1.解之，得0<a<3.又a2-3a+1=(a-)2.，函數y=()的單調減區間是,+00結合0<a<3,得函數y=()的單調遞減區間為,3).精選資料，歡迎下載錦囊妙計本難點所涉及的問題及解決方法主要有：(1)判斷函數的奇偶性與單調性若為具體函數，嚴格按照定義判斷，注意變換中的等價性若為抽象函數，在依托定義的基礎上，用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性.同時，注意判斷與證明、討論三者的區別，針對所列的"磁場"及"訓練"認真體會，用好數與形白統一.復合函數的奇偶性、單調

6、性.問題的解決關鍵在于：既把握復合過程，又掌握基本函數.(2)加強逆向思維、數形統一.正反結合解決基本應用題目，下一節我們將展開研究奇偶性、單調性的應用.殲滅難點訓練一、選擇題A.f(x)=(x1)C.f(x)=D.f(x)=)B.f(x)=B.關于y軸對稱D.關于直線x=1對稱1 .()下列函數中的奇函數是2 .()函數f(x)=的圖象(A.關于x軸對稱C.關于原點對稱二、填空題3 .()函數f(x)在R上為增函數，則y=f(|x+1|)的一個單調遞減區間是4 .()若函數f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0<x1<x2),11.在x2,

7、+8上單調遞增，則b的取值范圍是.三、解答題5 .()已知函數f(x)=ax+(a>1).(1)證明：函數f(x)在(一1,+°°)上為增函數.(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負數根.6 .()求證函數f(x)=在區間(1,+°°)上是減函數.7 .()設函數f(x)的定義域關于原點對稱且滿足：(i)f(x1x2)=;(ii)存在正常數a使f(a)=1.求證：(1)f(x)是奇函數.(2)f(x)是周期函數，且有一個周期是4a.8.()已知函數f(x)的定義域為R,且對mnCR,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)1,且f(-)=0,當x&g

8、t;時，f(x)>0.(1)求證：f(x)是單調遞增函數；(2)試舉出具有這種性質的一個函數，并加以驗證參考答案難點磁場(1)解：依題意，對一切xR,有f(x)=f(x),即+aex.整理，得(a)(ex)=0.因此，有a=0,即a2=1，又a>0,a=1(2)證法一:設0vx1vx2,則f(x1)-f(x2)=精選資料，歡迎下載由x1>0,x2>0,x2>x1,>0,1-e<0,.f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)Vf(x2)f(x)在(0,+8)上是增函數證法二：由f(x)=ex+ex,彳導f'(x)=exex=ex(e2x1)

9、.當xC(0,+8)時，ex>0,e2x1>0.此時f'(x)>0,所以f(x)在0,+8)上是增函數.殲滅難點訓練一、1.解析：f(x)=-f(x),故f(x)為奇函數.答案：C2.解析：f(-x)=-f(x),f(x)是奇函數，圖象關于原點對稱.答案：C二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(8,1上遞減，又y=f(x)在R上單調遞增，y=f(|x+1|)在(00,1上遞減.答案：(00,14.解析：.1f(0)=f(x1)=f(x2)=0,f(0)=d=0.f(x)=ax(xx1)(xx2)=ax3a(x1+x2)x2+ax1x2x,b=-a(x1+x2),又f

10、(x)在x2,+°0單調遞增，故a>0.又知0Vx1vx,得x1+x2>0,b=a(x1+x2)<0.答案：(8,0)三、5.證明：(1)設一1vx1vx2v+00,則x2x1>0,>1且>0,>0,又x1+1>0,x2+1>0>0,于是f(x2)f(x1)=+>01. f(x)在(一1,+°°)上為遞增函數.(2)證法一：設存在x0V0(x0W1)滿足f(x0)=0,則且由0VV1得0vV1,即vx0<2與x0<0矛盾，故f(x)=0沒有負數根.證法二：設存在x0V0(x0W1)使f(

11、x0)=0,若1vx0v0,則V2,<1,f(x0)v1與f(x0)=0矛盾，若x0v1,則>0,>0,f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負數根.6 .證明:xw0,1.f(x)=,設1vx1vx2v+8,貝(J.f(x1)>f(x2),故函數f(x)在(1,+8)上是減函數.(本題也可用求導方法解決)7 .證明：(1)不妨令x=x1x2,則f(x)=f(x2x1)=f(x1x2)=f(x).1-f(x)是奇函數.(2)要證f(x+4a)=f(x),可先計算f(x+a),f(x+2a).f(x+a)=fx(a)=.f(x+4a)=f(x+2

12、a)+2a=f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數.8 .(1)證明：設x1vx2,則x2x1>,由題意f(x2x1)>0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1f(x1)=f(x2x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2x1)-1=f(x2x1)+f()1=f：(x2-x1)->0,f(x)是單調遞增函數.(2)解：f(x)=2x+1.驗證過程略.精選資料，歡迎下載o難點8奇偶性與單調性(二)函數的單調性、奇偶性是高考的重點和熱點內容之一，特別是兩性質的應用更加突出.本節主要幫助考生學會怎樣利用兩性質解題，掌握基本方法，形成應用意識難點磁場()已知偶函數f(x

13、)在(0,+8)上為增函數，且f(2)=0,解不等式flog2(x2+5x+4)>0.案例探究例1已知奇函數f(x)是定義在(一3,3)上的減函數，且滿足不等式f(x-3)+f(x23)<0,設不等式解集為A,B=AUx|1<x<,求函數g(x)=-3x2+3x-4(xCB)的最大值.命題意圖：本題屬于函數性質的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬級題目.知識依托：主要依據函數的性質去解決問題.錯解分析：題目不等式中的"f"號如何去掉是難點，在求二次函數在給定區間上的最值問題時，學生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去&

14、quot;f"號，轉化為xcos不等式，利用數形結合進行集合運算和求最值.解：由且xw0,故0<x<,又f(x)是奇函數，f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(3,3)上是減函數,.x-3>3-x2,即x2+x6>0,解得x>2或x<-3,綜上得2<x<,即A=x|2<x<,，B=AJx|1<x<=x|1<x<,又g(x)=3x2+3x4=3(x)2知：g(x)在B上為減函數，g(x)max=g(1)=4.例2已知奇函數f(x)的定義域為R,且f(x)在0,+8)上是增函

15、數，是否存在實數m,使f(cos203)+f(4m-2mcos0)>f(0)對所有00,都成立？若存在，求出符合條件的所有實數m的范圍，若不存在，說明理由.命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬題目.知識依托：主要依據函數的單調性和奇偶性，利用等價轉化的思想方法把問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題.錯解分析：考生不易運用函數的綜合性質去解決問題，特別不易考慮運用等價轉化的思想方法.技巧與方法：主要運用等價轉化的思想和分類討論的思想來解決問題解：f(x)是R上的奇函數，且在0,+8)上是增函數，f(x)是R上的增函數.于是不等式可等價地

16、轉化為f(cos203)>f(2mcos04m),即cos203>2mcos04m,即cos20mcos0+2m2>0.設t=cos0,則問題等價地轉化為函數g(t)=t2mt+2m-2=(t-)2-+2m-2在0,1上的值恒為正，又轉化為函數g(t)在0,1上的最小值為正.，當<0,即m<0時，g(0)=2m2>0m>1與m<0不符；當0ww1時，即0wmc2時，g(m)=+2m-2>042<m<4+2,.4-2<m<2.當>1,即m>2時，g(1)=m1>0m>1.'.m>2

17、綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>-2.錦囊妙計本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1)運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕精選資料，歡迎下載馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力(2)應用問題.在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉化和數形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題殲滅難點訓練一、選擇題1 .()設f(x)是(一8,+oo)上的奇函數，f(x+2)=f(x),當0wxW1時，f(x)=x,則f(7

18、.5)等于()A.0.5B.0.5C.1.5D.-1.52 .()已知定義域為(一1,1)的奇函數y=f(x)又是減函數，且f(a-3)+f(9a2)<0,則a的取值范圍是()A.(2,3)B.(3,)C.(2,4)D.(-2,3)二、填空題3 .()若f(x)為奇函數，且在(0,+8)內是增函數，又f(-3)=0,則xf(x)<0的解集為.4 .()如果函數f(x)在R上為奇函數，在(1,0)上是增函數，且f(x+2)=f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關系.三、解答題5 .()已知f(x)是偶函數而且在(0,+°°)上是減函數，判斷f(x)在(8

19、,0)上的增減性并加以證明.6 .()已知f(x)=(a£R)是R上的奇函數，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函數f-1(x);(3)對任意Z定的kCR+,解不等式f1(x)>lg.7 .()定義在(一8,4上的減函數f(x)滿足f(msinx)<f(+cos2x)對任意xCR都成立，求實數m的取值范圍.8 .()已知函數y=f(x)=(a,b,cCR,a>0,b>0)是奇函數，當x>0時，f(x)有最小值2,其中bCN且f(1)<.(1)試求函數f(x)的解析式；(2)問函數f(x)圖象上是否存在關于點(1,0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐

20、標；若不存在，說明理由.參考答案難點磁場解：f(2)=0,.原不等式可化為flog2(x2+5x+4)>f(2).又f(x)為偶函數，且f(x)在(0,+00)上為增函數，f(x)在(一8,0)上為減函數且f(2)=f(2)=0，不等式可化為log2(x2+5x+4)>2或log2(x2+5x+4)<-2由得x2+5x+4>4x<-5或x>0由得0vx2+5x+4w得wxv4或1vxw由得原不等式的解集為精選資料，歡迎下載x|xw5或wxW4或一1VxW或X>0殲滅難點訓練一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=f(5.5)=f(3.5+2)=f

21、(3.5)=f(1.5+2)=f(1.5)=f(0.5+2)=f(0.5)=f(0.5)=0.5.答案：B2.解析：f(x)是定義在(一1,1)上的奇函數又是減函數，且f(a-3)+f(9-a2)<0.f(a3)vf(a2-9).a(2,3).答案：A二、3.解析：由題意可知：xf(x)<0xC(3,0)U(0,3)答案：(3,0)U(0,3)4.解析：f(x)為R上的奇函數f()=-f(-),f()=-f(),隼)=-f(-1),又f(x)在(1,0)上是增函數且>一一1.-f(-)>f(-)>f(-1),f()<f()<f(1).答案：f()<

22、;f()<f(1)三、5.解：函數f(x)在(一8,0)上是增函數，設x1vx2v0,因為f(x)是偶函數，所以f(-x1)=f(x1),f(x2)=f(x2),由假設可知一x1>x2>0,又已知f(x)在(0,+8)上是減函數，于是有f(x1)vf(x2),即f(x1)vf(x2),由此可知，函數f(x)在(一8,0)上是增函數.6 .解：(1)a=1.(2)f(x)=(xeR)f1(x)=log2(-1<x<1.(3)由log2>log210g2(1x)vlog2k,當0vkv2時,不等式解集為x|1-k<x<1;當k>2時，不等式解集

23、為x|-1<x<1.7 .解：，對xCR恒成立，mC,3U.8 .解:(1).f(x)是奇函數，f(-x)=-f(x),即c=0,a>0,b>0,x>0,.f(x)=>2,當且僅當x=時等號成立,于是2=2,a=b2,由f(1)得即v,，2b25b+2v0,解得vb<2,又bCN,.b=1,.a=1,.f(x)=x+.(2)設存在一點(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關于(1,0)的對稱點(2-x0,y0)也在y=f(x)圖象上，則消去y0得x02-2x01=0,x0=1土.y=f(x)圖象上存在兩點(1+,2),(1,2)關于(1,0)對稱.

24、函數的單調性、奇偶性是高考的重點和熱點內容之一，特別是兩性質的應用更加突出.本節主要幫助考生學會怎樣利用兩性質解題，掌握基本方法，形成應用意識難點磁場()已知偶函數f(x)在(0,+8)上為增函數，且f(2)=0,解不等式flog2(x2+5x+4)>0.案例探究例1已知奇函數f(x)是定義在(一3,3)上的減函數，且滿足不等式f(x-3)+f(x2-3)<0,精選資料，歡迎下載o設不等式解集為A,B=AUx|1<x<,求函數g(x)=3x2+3x4(xCB)的最大值.命題意圖：本題屬于函數性質的綜合性題目，考生必須具有綜合運用知識分析和解決問題的能力，屬*級題目.知識

25、依托：主要依據函數的性質去解決問題.錯解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點，在求二次函數在給定區間上的最值問題時，學生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉化為xcos不等式，利用數形結合進行集合運算和求最值.解：由且xw0,故0<x<,又f(x)是奇函數，f(x-3)<-f(x2-3)=f(3-x2),又f(x)在(3,3)上是減函數,.x-3>3-x2,即x2+x6>0,解得x>2或x<3,綜上得2<x<,即A=x|2<x<,.B=AUx|1<x<=x|1<x<,又g(x)=-

26、3x2+3x-4=-3(x-)2知：g(x)在B上為減函數，g(x)max=g(1)=4.例2已知奇函數f(x)的定義域為R,且f(x)在0,+8)上是增函數，是否存在實數m,使f(cos20-3)+f(4m2mcos。)>f(0)對所有0C0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實數m的范圍，若不存在，說明理由.命題意圖：本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運算能力，屬題目.知識依托：主要依據函數的單調性和奇偶性，利用等價轉化的思想方法把問題轉化為二次函數在給定區間上的最值問題.錯解分析：考生不易運用函數的綜合性質去解決問題，特別不易考慮運用等價轉化的思想方法

27、.技巧與方法：主要運用等價轉化的思想和分類討論的思想來解決問題解：f(x)是R上的奇函數，且在0,+8)上是增函數，f(x)是R上的增函數.于是不等式可等價地轉化為f(cos203)>f(2mcos04m),即cos203>2mcos04m,即cos20mcos0+2m2>0.設t=cos0，則問題等價地轉化為函數g(t)=t2-mt+2m-2=(t)2-+2m-2在0,1上的值恒為正，又轉化為函數g(t)在0,1上的最小值為正.，當<0,即m<0時，g(0)=2m2>0m>1與m<0不符；當0ww1時，即0<2時，g(m)=+2m2>

28、;04-2<m<4+2,；,42<m<2.當>1,即m>2時，g(1)=m1>0m>1.，m>2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>-2.錦囊妙計本難點所涉及的問題以及解決的方法主要有：(1)運用奇偶性和單調性去解決有關函數的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力(2)應用問題.在利用函數的奇偶性和單調性解決實際問題的過程中，往往還要用到等價轉化和數形結合的思想方法，把問題中較復雜、抽象的式子轉化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數的單調性求實際應用題中的最值問題殲

29、滅難點訓練一、選擇題1 .()設f(x)是(一8,+oo)上的奇函數，f(x+2)=f(x),當0WxW1時，f(x)=x,則f(7.5)等于()精選資料，歡迎下載A.0.5B.0.5C,1.5D.1.52 .()已知定義域為(一1,1)的奇函數y=f(x)又是減函數，且f(a3)+f(9-a2)<0,則a的取值范圍是()A.(2,3)B.(3,)C.(2,4)D.(-2,3)二、填空題3 .()若f(x)為奇函數，且在(0,+°°)內是增函數，又f(3)=0,則xf(x)<0的解集為.4 .()如果函數f(x)在R上為奇函數，在(1,0)上是增函數，且f(x+

30、2)=f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關系.三、解答題5 .()已知f(x)是偶函數而且在(0,+8)上是減函數，判斷f(x)在(一8,0)上的增減性并加以證明.6 .()已知f(x)=(a£R)是R上的奇函數，(1)求a的值；(2)求f(x)的反函數f-1(x);對任意Z定的kCR+,解不等式f1(x)>lg.7 .()定義在(8,4上的減函數f(x)滿足f(msinx)<f(+cos2x)對任意xCR都成立，求實數m的取值范圍.8 .()已知函數y=f(x)=(a,b,cCR,a>0,b>0)是奇函數，當x>0時，f(x)有最小值2,其中bCN且f(1)<.試求函數f(x)的解析式；(2)問函數f(x)圖象上是否存在關于點(1,0)對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.參考答案難點磁場解：f(2)=0,.原不等式可化為flog2(x2+5x+4)>f(2).又f(x)為偶函數，且f(x)在(0,+00)上為增函數，.f(x)在(一8,0)上為減函數且f(-2)=f(2)=0，不等式可化為log2(x2+5x+4)>2或log2(x2+5x+4)<-2由得x2+5x+4>4.x<5或x>0由得0vx2+5x+4w得wxv4或一1vxw由得原不等