1、利用空間向量解決立體幾何中的垂直問題利用空間向量解決立體幾何中的垂直問題授課人：程光旭 p1.1.共面向量定理共面向量定理: :如果兩個向量如果兩個向量 不共線不共線, ,則向量則向量 與向量與向量 共面的充要條件是存在實數對共面的充要條件是存在實數對x,y,x,y,使使, a b, a bPxayb p2、空間向量的基本定理、空間向量的基本定理 如果三個向量如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量不共面，那么對空間任一向量 ，存，存在一個唯一的有序實數對在一個唯一的有序實數對x x、y y、z z，使，使, ,a b c p pxaybzc1)1)數量積性質數量積性質 求向量的長度求向量的長

2、度( (模模) )的依據的依據對于非零向量對于非零向量 ，有：，有：,a b 二、數量積的性質二、數量積的性質(1) a e=|a|cos a,e (2) aba b=0 2(3) |a| =a a 證明向量垂直的依據證明向量垂直的依據2)2)數量積滿足的運算律數量積滿足的運算律 分配律）交換律）()(3()2)()() 1cabacbaabbababa留意：留意： 數量積不滿足結合律，即數量積不滿足結合律，即)()cbacba（a b(4) cos a,b =|a|b| 求向量夾角的依據求向量夾角的依據g gmn l例例1：已知：已知m, n是平面是平面內的兩條相交直線，直線內的兩條相交直線

3、，直線 l 與與的交點為的交點為B，且，且l m ，l n，求證：，求證：l 分析：由定義可知，只需證分析：由定義可知，只需證l l與平面內任意直線與平面內任意直線g g 垂直。垂直。l g n m 要證要證l l與與g g垂直，只需證垂直，只需證 l g l g = 0= 0而而 m , n 不平行，由共面向量不平行，由共面向量定理知，存在唯一的有序實數定理知，存在唯一的有序實數對對(x, y), 使得使得 g =x m + y n 要證要證 l g = 0, l g = 0,只需只需 l g = xl m + y l g = xl m + y l n = 0l n = 0故故 l g =

4、0 l g = 0而而 l m = 0 l m = 0 ，l n = 0l n = 0例2：知：在空間四邊形OABC中，OABC，OBAC，求證：OCABACOBCBOA，證明：由已知ABCO0)(0)(0,0OAOCOBOBOCOAACOBBCOA所以OAOBOCOBOBOAOCOA所以00)(0OCBAOCOBOAOCOBOCOA所以ABOC 所以(1)(1)已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于 ，點分別是邊的中點。，點分別是邊的中點。求證：。求證：。ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCD 1ACAB2MNAD （）MNAB 同理，同理，M

5、NCD 21MN AB(AB AC+AB AD AB )2 21a +aa=22 22 21 11 1 （- -） 0 02 22 2NMABDC變式訓練一）例例3DCBDABCA60ABCDA B C DA ABA ADBAD 在平行六面體中，底面是菱形，。（1）求證：AABD；AB（2）當AC平面A BD時，求的值。AA2 （ ）已知在平行六面體ABCD-A B C D 中，有AA =AB=AD，且 A AD= A AB= BAD= ，求證：AC平面A BD。DCBDABCA00ABADAABDABADA BABAABDABADAAABADA BABADAAABAA 證明： AC所以AC（） （）AC（） （）又因為A BBD=B所以AC平面A BD變式訓練二）課堂小結：課堂小結：l1.會用平面內不共線的兩向量表示同一平面內其它向量；