1、2020年中考復習之提高篇二次函數壓軸題（含答案）31. （2019撫順）（12分）如圖1,在平面直角坐標系中，一次函數 y -x 3的圖象與x軸 4交于點A,與y軸交于B點，拋物線y x2 bx c經過A, B兩點，在第一象限的拋物線上取一點 D ,過點D作DC x軸于點C ,交直線 AB于點E .（1）求拋物線的函數表達式（2）是否存在點D ,使得 BDE和 ACE相似？若存在，請求出點 D的坐標，若不存在，請說明理由；（3）如圖2, F是第一象限內拋物線上的動點 （不與點D重合），點G是線段AB上的動點.連接DF , FG ,當四邊形DEGF是平行四邊形且周長最大時，請直接寫出點G的坐標

2、.2 (2019沈陽)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+2 (aw。與x軸交于A, B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,拋物線經過點D(-2, -3)和點E (3, 2), 點P是第一象限拋物線上的一個動點.(1)求直線DE和拋物線的表達式;(2)在y軸上取點F (0, 1),連接PF, PB,當四邊形 OBPF面積是7時，求點P的坐標；(3)在(2)的條件下，當點 P在拋物線對稱軸的右側時，直線DE上存在兩點 M, N (點M在點N的上方)，且MN = 2/，動點Q從點P出發，沿P- M9 NHA的路線運動到終點 A, 當點Q的運動路程最短時，請直接寫出此時點N的坐標

3、.3 (2018年遼寧本溪).如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(a w瑾過A (-1,0), B (3, 0), C (0, 3)三點，其頂點為 D,連接BD,點是線段BD上一個動點(不與 B、 D重合)，過點P作y軸的垂線，垂足為E,連接BE.(1)求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；(2)如果P點的坐標為(x, y), 4PBE的面積為s,求S與x的函數關系式，寫出自變量 x的 取值范圍，并求出S的最大值；(3)在(2)的條件下，當SX得最大值時，過點 Pdx的垂線，垂足為F,連接EF,把 PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為P',請直接寫出P'點

4、坐標，并判斷點P'是否在該拋物線上.4. （2018年大連）如圖，點A, B, C都在拋物線y=ax2 - 2amx+am2+2m - 5 （其1中4<a<0）上，AB/x 軸，/ABC=135 ,且 AB=4.（1）填空：拋物線的頂點坐標為 （用含m的代數式表示）；（2）求4ABC的面積（用含a的代數式表示）；（3）若 ABC的面積為2,當2m-50x&2m2時，y的最大值為2,求m的值.5. (2018遼寧沈陽)如圖，在平面角坐標系中，拋物線 Ci： y=ax2+bx-1經過 點A ( - 2, 1)和點B (- 1, - 1),拋物線C2: y=2x2+x+1

5、 ,動直線x=t與拋物 線C1交于點N ,與拋物線C2交于點M .(1)求拋物線C1的表達式；(2)直接用含t的代數式表示線段MN的長；(3)當4AMN是以MN為直角邊的等腰直角三角形時，求t的值；(4)在(3)的條件下，設拋物線C1與y軸交于點P,點M在y軸右側的拋物 線C2上，連接AM交y軸于點k,連接KN ,在平面內有一點Q,連接KQ和 QN,當KQ=1且/KNQ=/BNP時，請直接寫出點 Q的坐標.x=t備用圖I備用圖26. (2018 盤錦)如圖，已知 A ( 2, 0), B (4, 0),拋物線 y=ax2+bx 1 過 A、iB兩點，并與過A點的直線y= - 2x - 1父于點

6、C.(1)求拋物線解析式及對稱軸；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點 P,使四邊形ACPO的周長最小？若存 在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)點M為y軸右側拋物線上一點，過點 M作直線AC的垂線，垂足為N.問：是否存在這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與 AOC相似， 若存在，求出點N的坐標，若不存在，請說明理由.7. (2017汝陽)如圖1,在平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線y=- 12X2V3-1Tx+8在與乂軸正半軸交于點A,與y軸交于點B,連接AB,點M, N分別是OA,AB的中點，RtACD/RtAABO,且 CDES臺終保持邊EDg過點M ,邊CDS過

7、點N, 邊DEfy軸交于點H,邊CDfy軸交于點G.(1)填空：OA勺長是 8, /ABO勺度數是30度;(2)如圖2,當DE/ AB,連接HN.求證：四邊形AMHN是平行四邊形；判斷點D是否在該拋物線的對稱軸上，并說明理由；(3)如圖3,當邊CDg過點。時，(此時點。與點G重合)，過點D彳乍DQII OB,交 AB延長線上于點Q,延長EC0點K,使DK=DN,過點KKI/ OB,在KI上取一點P, 使得/ PDK=45 (點P, Q在直線ED的同側)，連接PQ,請直接寫出PQ的長.圖】圖2鄙8. (12分)(2017?大連)在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+c的開口3向上，且

8、經過點A (0, 2)1(1)若此拋物線經過點B (2, -3),且與x軸相交于點E, F.填空：b= - 2a - 1 (用含a的代數式表示)；當E盧的值最小時，求拋物線的解析式；1(2)若aW當0<x<1,拋物線上的點到x軸距離的最大值為3時，求b的值.9:如圖，關于x的二次函數y=X2+bx+d勺圖象與x軸交于點A (1, 0)和點*y 軸交于點C (0, 3),拋物線的對稱軸與x軸交于點D.(1)求二次函數的表達式；(2)在y軸上是否存在一點P,使PBC%等腰三角形？若存在.請求出點P的 坐標)；(3)有一個點M從點A出發，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一 個點

9、N從 點D與點M同時出發，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動， 當點M到達點B時，點M、N同時停止運動，問點M、N運動到何處時， MNB面 積最大，試求出最大面積.10. (2019廣西省貴港市) 如圖，已知拋物線 y ax2 bx c的頂點為 A (4,3),與y軸相交于點B (0,-5),對稱軸為直線，點M是線段AB的中點.(1)求拋物線的表達式；(2)寫出點M的坐標并求直線 AB的表達式；(3)設動點F , 2分別在拋物線和對稱軸'上，當以H ,尸，口 ,“為頂點的四邊形是平行四邊形時，求 P , 0兩點的坐標.1B兩點，并與過 A點的直線y=- - x- 1交于點C.

10、2(1)求拋物線解析式及對稱軸；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使四邊形ACPO的周長最小？若存在， 求出點P的坐標，若不存在，請說明理由；(3)點M為y軸右側拋物線上一點，過點 M作直線AC的垂線，垂足為 N.問：是否存在 這樣的點N,使以點M、N、C為頂點的三角形與9OC相似，若存在，求出點 N的坐標， 若不存在，請說明理由.12. (2019遼寧中考模擬)如圖，直線 AB和拋物線的交點是 A (0, -3), B (5, 9),已知 拋物線的頂點D的橫坐標是2.(1)求拋物線的解析式及頂點坐標；(2)在x軸上是否存在一點 C,與A, B組成等腰三角形？若存在，求出點 C的坐標，若

11、 不在，請說明理由；(3)在直線AB的下方拋物線上找一點 P,連接PA, PB使得4PAB的面積最大，并求出這 個最大值.213. (2018遼寧中考模擬)拋物線 y=ax2+bx+3 (aQ經過點A ( - 1, 0), B (- , 0),且2與y軸相交于點C.(1)求這條拋物線的表達式；(2)求/ ACB的度數；(3)設點D是所求拋物線第一象限上一點，且在對稱軸的右側，點E在線段AC上，且DEXAC,當4DCE與9OC相似時，求點 D的坐標.14. (2019丹東市第六中學中考模擬)如圖所示，已知拋物線y=ax2 (aw。)與一次函數y= kx+b的圖象相交于 A(- 1, -1), B

12、 (2, - 4)兩點，點P是拋物線上不與 A, B重合 的一個動點，點 Q是y軸上的一個動點.(1)請直接寫出a, k, b的值及關于x的不等式ax2vkx-2的解集；(2)當點P在直線AB上方時，請求出 4PAB面積的最大值并求出此時點 P的坐標；(3)是否存在以P, Q, A, B為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出P, Q的坐標；若不存在，請說明理由.y-315. （2019 遼寧中考模擬）如圖，拋物線的圖象與x軸交于A B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點.（1）求A、B、C的坐標；（2）點M為線段AB上一點（點 M不與點A、B重合），過點M作x軸

13、的垂線，與直線 AC交 于點E,與拋物線交于點 P,過點P作PQ/ AB交拋物線于點 Q過點Q作QNLx軸于點N. 若點P在點Q左邊，當矩形PQMN勺周長最大時，求 AEM的面積；（3）在（2）的條件下，當矩形 PMNQJ周長最大時，連接 DQ.過拋物線上一點 F作y軸的 平行線，與直線 AC交于點G （點G在點F的上方）.若FG=J3 DQ,求點F的坐標.y軸于點 A B.點C的坐標是(-1, 0),拋物線y=ax2+bx-2經過A、C兩點且交y軸 于點D.點P為x軸上一點，過點 P作x軸的垂線交直線 AB于點M,交拋物線于點 Q,連 結DQ,設點P的橫坐標為 m (mwo).(1)求點A的

14、坐標.(2)求拋物線的表達式.(3)當以B、D、Q, M為頂點的四邊形是平行四邊形時，求 m的值.答案1 .【答案】拋物線的函數表達式為：y x2 -x 3.4(2)存在.點D的坐標為(13 , 3)或(23, 50); 4129(3)周長最大值89,G(13, ?).84162答案(1)故拋物線的表達式為：y=-1x2+9x+2,直線DE的表達式為：y = x 22-1 ；(2)點 P (2, 3)或(°, 5); (3) N (1,).2822解析：本題考查的是二次函數綜合運用，涉及到一次函數、圖形的平移、面積的計算等，其中(3),通過平移和點的對稱性，確定點Q運動的最短路徑，

15、是本題解題的關鍵.3【答案】(1) .拋物線的解析式為：y x2 2x 3, D的坐標為(1,4)(2)解：s x2 3x (1<x<3),當x 3 時，s取得最大值，最大值為 -24(3)解：P'坐標(,9 );所以P'不在拋物線上.10 5【考點】二次函數與一次函數的綜合應用，二次函數的實際應用-幾何問題【解析】【分析】(1)根據題意可知點A、C是拋物線與x軸的交點坐標，因此將 函數解析式設為兩根式，再將點C的坐標代入可求出函數解析式，再利用配方法 將函數解析式轉化為頂點式，就可得出頂點坐標。(2)利用待定系數法求出直線BD的解析式，再利用三角形的面積公式，求出

16、 s 與x的函數解析式，將此函數解析式轉化為頂點式，就可求解。(3)方法一：由(2)可得出點P的坐標及四邊形 PEOF是矩形，作點P關于 直線EF的對稱點 P '，連接P ' E P ' F過P '作P '也y軸于H , P ' F 交y軸于點M ,設MC=m,用含m的代數式表示出P' M,再利用勾股定理建 立關于m的方程，解方程求出m的值，由CM-P ' H=P ' M- P求七P ' ?然后利 用相似三角形的判定和性質可求出 OH的長，從而可求得點P '坐標；方法二：連 接 PP '，交 CF于

17、點 H ,分別過點 H、 P '作 PC 的垂線，垂 足為 M、N ，易證 CMHsHMP,得出對應邊成比例，設 CM = k , 則 MH=2k, PM=4k ,利用PC的長求出k的值，再利用三角形的中位線定理求 出PN、PN,再由CN=PN-PC,求出點P的坐標，然后將點P代入拋物線的解析式 就可判斷點P是否在拋物線上。18a 24. (1) (m, 2m 5). (2) . . Saabc = -AB?CD= .(3) m的值為歹或10+2八萬.5、【分析】(1)應用待定系數法；(2)把x=t帶入函數關系式相減；(3)根據圖形分別討論/ ANM=90、/AMN=90時的情況.(4

18、)根據題意畫出滿足條件圖形，可以找到 AN為4KNP對稱軸，由對稱性找 到第一個滿足條件Q,再通過延長和圓的對稱性找到剩余三個點. 利用勾股定理 進行計算.【解答】解：(1)拋物線C1：解析式為y=x2+x - 1(2) MN=t2+2(3) t的值為1或0(4) Q 點坐標為:(0, 2)、(-3, 3)、偌,圈)、，言【點評】本題為代數幾何綜合題，考查了二次函數基本性質.解答過程中應用了 分類討論、數形結合以及構造數學模型等數思想.6 .【解答】解：(1)拋物線解析式為：丫4一廠1對稱軸為直線x=-1 34(2)存在，則P點坐標為(1,-上) l<-I(3) N 點坐標為(4, -3

19、)或(2, - 1)7 .【考點】HF:二次函數綜合題.【分析】(1)先求拋物線與兩坐標軸的交點坐標，表示 。所口OB的長，利用正切 值可得/ ABO=30;(2)根據三角形的中位線定理證明 HN/AM,由兩組對邊分別平行的四邊形 是平行四邊形得結論；如圖1,作垂線段DR,根據直角三角形30度角的性質求DR=2,可知：點D的b橫坐標為-2,由拋物線的解析式可計算對稱軸是直線：x=-2= 2,所以點D在該拋物線的對稱軸上；(3)想辦法求出P、Q的坐標即可解決問題；【解答】解：(1)8, 30;(2)證明：v DE/ AB,OAf _ OH. . OM=AM, .OH=BHv BN=AN,HN/

20、AM,四邊形AMHN是平行四邊形；點D在該拋物線的對稱軸上，(3) PQ=1#.【點評】本題考查二次函數綜合題、平行四邊形的判定和性質、銳角三角函數、30度角的直角三角形的性質、等邊三角形的判定和性質、勾股定理、平行線分 線段成比例定理等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題，學會利用參數構建方程解決問題， 屬于中 考壓軸題.8 .【考點】HF:二次函數綜合題.【分析】（1）由A點坐標可求得c,再把B點坐標代入可求得b與a的關系式， 可求得答案；用a可表示出拋物線解析式，令y=0可得到關于x的一元二次方 程，利用根與系數的關系可用 a表示出EF的

21、值，再利用函數性質可求得其取得 最小值時a的值，可求得拋物線解析式；（2）可用b表示出拋物線解析式，可求得其對稱軸為 x=- b,由題意可得出當 x=0> x=1或x=- b時，拋物線上的點可能離x軸最遠，可分別求得其函數值，得 到關于b的方程，可求得b的值.【解答】解：（1）一. b= - 2a - 1 ；拋物線解析式為y=x2 - 3x+?； 2（2） b的值為1或-5.【點評】本題為二次函數的綜合應用，涉及待定系數法、函數的性質、一元二次 方程根與系數的關系、二次函數的最值、分類討論思想等知識.在（1）中注意利用待定系數法的應用，在（1）中用a表示出E盧是解題的關鍵，注意一 元二次

22、方程根與系數的關系的應用，在（2）中確定出拋物線上離x軸距離可能 最遠的點是解題的關鍵，注意分情況討論.本題考查知識點較多，綜合性較強， 難度較大.9:解：（1）表達式為：y=x2-4x+3;（2）點 P的坐標為：（0, 3+372）或（0, 3-372）或（0, -3）或（0, 0）;（3）當M （2, 0）、N （2, 2）或（2, -2）時 MNB面積最大，最大面積是 1。10、（1）y-x2 4x 5 （2） M（2, -2 ） , y=2x-5（ 3）P,Q的坐標分別為（6,1）或2（2,1） （4,-3）或（4,1）11111 .【答案】(1)拋物線解析式為：y亳,拋物線對稱軸為直

23、線x=1;(2)存在P點坐標為(1, - 1); (3) N點坐標為(4, -3)或(2, - 1)【解析】(1)由待定系數法求解即可；(2)將四邊形周長最小轉化為PC+POR小即可；(3)利用相似三角形對應點進行分類討論，構造圖形.設出點 N坐標，表示點 M坐標代入拋物線解析式即可.點睛：本題為代數幾何綜合題，考查了待定系數、兩點之間線段最短的數學模型 構造、三角形相似.解答時，應用了數形結合和分類討論的數學思想.12 3 486312 .【答案】(1)尸二 丁 一丁一3 ,頂點 D (2, -y ); (2) C (±4 而，0)9775或(5±2痙，0)或(有，0);

24、 (3)彳 Xi-iA【解析】(1)拋物線的頂點D的橫坐標是2,則乂=-丁 = 2,拋物線過A (0,-3),則：函數的表達式為：y=ax2+bx-3,把B點坐標代入函數表達式，即可求 解；(2)分AB=AG AB=BG AC=BC,三種情況求解即可；1(3)由 SaPAB-1?PH?Xb,即可求解.本題是二次函數綜合題.主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合 的綜合能力的培養.要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系.77513 .【答案】(1) y=- 2x2+x+3； (2) /ACB=45； (3) D.8 3Z【解析】試題分析：把點的坐標代入即可求得拋物線的解析式.(2)作BH,AC于點H,求出日H的長度，即可求出/ ACB的度數.延長CD交x軸于點G, DCaAOG只可能/ CAO=/DCE求出直線2口的 方程，和拋物線的方程聯立即可求得點口的坐標.14 .【答案】(1) a=-1, k=-1, b= -2, x< 1 或 x>2; (2) zPAB 面積 的最大值為 W ,此時點P的坐標為(：，-!)；( 3) P的坐標為