1、第九章第九章 線性方程組線性方程組9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組9.4 運用與實際運用與實際9.5 拓展與提高拓展與提高 一 知識構造框圖 第九章第九章 線性方程組線性方程組二二 教學的根本要求和重點、難點教學的根本要求和重點、難點第九章第九章 線性方程組線性方程組 1. 根本要求根本要求 (1)線性方程組的消元法。(2)用矩陣的初等行變換斷定關于線性方程組解 的情況和求齊次線性方程組普通解的方法。(3)線性方程組的經濟運用。第九章第九章 線性方程組線性方程組 2. 重點與難點重點與難點 (1) (1)重

2、點重點 消元法、矩陣的初等行變換、線性方程組消元法、矩陣的初等行變換、線性方程組解的斷定、齊次線性方程組的普通解。解的斷定、齊次線性方程組的普通解。 (2) 難點 線性方程組解的斷定、求齊次線性方程組的普通解。9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法第九章第九章 線性方程組線性方程組線性方程組的普通方式為線性方程組的普通方式為 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb ，9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法系數矩陣系數矩陣 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211增廣矩陣增廣矩陣 m

3、mnmmnnbaaabaaabaaaA212222211112119.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法例例1 解線性方程組解線性方程組，25342333513121321321321xxxxxxxxx解：第一步：交換第一解：第一步：交換第一個方程和第二個方程的個方程和第二個方程的位置，得位置，得 ，25342131213335321321321xxxxxxxxx9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法第二步：上式第一個方程乘第二步：上式第一個方程乘-1/2和和-2分別加到第二個和分別加到第二個和第三個方程，得第三個方程，得 1232323533311122224xxxxxxx ，第

4、三步：上式第二個方程第三步：上式第二個方程兩邊乘以兩邊乘以 -2，得，得，42133353232321xxxxxxx9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法第四步：上式第二個方程乘以2加到第三個方程，得 123233533312xxxxxx，2,3,4321xxx方程組的解為 階梯形方程組階梯形方程組 9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法 把方程組化為階梯形方程組，需求反復運用以下三種變換： 1交換兩個方程的位置；2用一個非零數乘某個方程；3用一個非零數乘某個方程加在另一個方程上。 將任一個方程組進展上述變換所得到的新方程組與原方程組是同解方程組。上述三種變換稱為線性方程組的初等變

5、換。9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法例例1的求解過程用矩陣的初等行變換表示如下：的求解過程用矩陣的初等行變換表示如下： 4120033125211213312523311121212135)2()(343135),(34353121215533( 2)21331330111011102140012B 階梯形矩陣B對應的階梯形方程組是：，213333232351xxxxxx2,3,4321xxx9.1 線性方程組的消元法線性方程組的消元法 另外，假設將矩陣另外，假設將矩陣B用初等行變換化為行用初等行變換化為行簡化階梯形矩陣簡化階梯形矩陣100401030012那么矩陣的最后一列元素就

6、是方程組的解。那么矩陣的最后一列元素就是方程組的解。 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組第九章第九章 線性方程組線性方程組9.2.1 解的斷定解的斷定 普通地，含有n個未知量、m個方程的線性方程組為11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb ，9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組其增廣矩陣為其增廣矩陣為mmnmmnnbaaabaaabaaaA212222211112119.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組經過初等行變換后可以化成以下的方式：經過初等行變換后可以化成以下的方式：0000000000010

7、00100011122121111rrrnrrnrnrccaacaacaanr9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組當時當時cr+1=0，上式變成，上式變成000000100010001122121111rrnrrnrnrcaacaacaa9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組當當rn時，這個線性方程組可相應地化為時，這個線性方程組可相應地化為rnrnrrrrnnrrnnrrcxaxaxcxaxaxcxaxax112211221111119.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組)()()(11211222111111nrnrrrrrnnrrnnrrxaxacxxaxacxxaxacx所以所

8、以 恣意取定的一組值，都可求得這個線性方程組的相應的一個解。此時，該線性方程組有無窮多解。 nrrxxx,219.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組當當r=n時，這個線性方程組可相應地化為時，這個線性方程組可相應地化為1122nnxcxcxc，此時，該線性方程組有獨一確定的一個解。此時，該線性方程組有獨一確定的一個解。 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組當時當時cr+10，線性方程組相應地化為，線性方程組相應地化為，1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrccxaxaxcxaxaxcxaxax最后一個方程不成立，即原方程組無解。最后一個方程不成立，即原方程組無

9、解。 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 定理定理9.1 設有設有m個方程、個方程、n個未知量的線性個未知量的線性方程組，其系數矩陣方程組，其系數矩陣A的秩為的秩為r(A)，增廣矩陣，增廣矩陣 的秩為的秩為 ，那么有如下結論：，那么有如下結論： A)(Ar(1)(1)線性方程組有解的充分必要條件是線性方程組有解的充分必要條件是 )()(ArAr(2)(2)假設假設 ，線性方程組有且只需獨一解；，線性方程組有且只需獨一解；nArAr)()(3)(3)假設假設 ，那么線性方程組有無窮多解；，那么線性方程組有無窮多解；( )( )r Ar An(4)(4)假設假設 ，那么線性方程組沒有解。，那

10、么線性方程組沒有解。)()(ArAr9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組9.2.2 求解舉例求解舉例例例2 斷定以下線性方程組能否有解？斷定以下線性方程組能否有解？，831234321332321321321321xxxxxxxxxxxx9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組解：解： 21630401170227101332183111213413213321)1()3()2(A31003100227101332145150011438002271013321)()()1()3()7(1513819.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組( 1)123130172200130000 ( )

11、( )3r Ar A原方程組有解原方程組有解 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 例例3 k為何值時為何值時,線性方程組無解、有獨一線性方程組無解、有獨一解或有無窮多解解或有無窮多解 。 1554212321321321xxxxxkxxkxx60556301211215542111121312)5(kkkkkkArrrr解：解： 9.2 非齊次線性方程組非齊次線性方程組 900453012112235kkkkrr45( )( )kr Ar A 時，原方程組無解。451( )( )3kkr Ar An 且時，原方程組有惟一解。1( )( )2kr Ar An時，原方程組有無窮多解。9.3

12、齊次線性方程組齊次線性方程組第九章第九章 線性方程組線性方程組9.3.1 解的情況解的情況 定義定義9.2 常數項都等于零的線性方程組稱常數項都等于零的線性方程組稱為齊次線性方程組。其普通方式為為齊次線性方程組。其普通方式為，000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組 定理9.2 設齊次線性方程組系數矩陣A的秩r(A)=r。(1)(1)假設假設r=nr=n，那么齊次方程組只需零解，那么齊次方程組只需零解; ;(2)假設假設rn，那么齊次方程組有無窮多個非零解。，那么齊次方程組有無窮多個非零解。9.3 齊次

13、線性方程組齊次線性方程組定理定理9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組，000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解的充分必要條件是它的系數行列式有非零解的充分必要條件是它的系數行列式| 0A 9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組例例4 當當m取什么值時，線性方程組有非零解。取什么值時，線性方程組有非零解。 1231123212332323336xxxmxxxxmxxxxmx解：原方程組可化成解：原方程組可化成 ，0)6(3303)1 (2032)1 (321321321xmxxxxmxxxxm9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組根據定

14、理根據定理9.3，它有非零解的充分必要條件是，它有非零解的充分必要條件是0633312321mmm(1)(9)0m mm9,1,0mmm時方程組有非零解。時方程組有非零解。 9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組 例 5 求方程組的普通解。 037033004324324214324321xxxxxxxxxxxxx解：解： 1370135011104321137030311110432113)1(rrA9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組1232134222( 5)710121012011101110024001200480048rrrrrrr 132343( 1)410000101001200

15、00rrrrrr 9.3 齊次線性方程組齊次線性方程組對應的同解方程組是對應的同解方程組是 020043421xxxxx得到原方程組的普通解是得到原方程組的普通解是 4342120 xxxxxx4為自在未知量。為自在未知量。. 9.4 運用與實際運用與實際9.4.1 運用運用 第九章第九章 線性方程組線性方程組價值型投入產出數學模型價值型投入產出數學模型 表中xi表示第i個消費部門的總產值；xij表示第j部門在消費過程中耗費第i部門的產品數量；yi表示第i部門最終產品量；dj,vj,mj分別表示第j部門的固定資產折舊、勞動報酬、純收入數值；zj表示第j部門新發明的價值。9.4 運用與實際運用與

16、實際9.4 運用與實際運用與實際 每一個消費部門分配給各部門作為消費的投入產品數量與作為最終產品運用的產品數量之和等于該部門的總產品數量。 1111211221222212nnnnnnnnxxxxyxxxxyxxxxy 稱為分配平衡方程組。 9.4 運用與實際運用與實際 在某一消費部門中，各部門對它投入的產品數量與該部門的固定資產折舊、新發明價值之和等于它的總產品數量。即 111211112122222212nnnnnnnnnxxxxdzxxxxdzxxxxdz 稱為耗費平衡方程組。 9.4 運用與實際運用與實際 定義定義9.3 第第j部門消費單位產品直接耗費部門消費單位產品直接耗費第第i部門

17、的產品量，稱為第部門的產品量，稱為第j部門對第部門對第i部門的部門的直接耗費系數，記作直接耗費系數，記作aij，即，即 ),2, 1,(njixxajijij各部門之間的直接耗費系數構成的n階矩陣111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa稱為直接耗費系數矩陣。 9.4 運用與實際運用與實際直接耗費系數矩陣直接耗費系數矩陣A具有如下的性質：具有如下的性質：性質性質9.1 一切元素是非負的，且一切元素是非負的，且 01( ,1, 2,)ijaijn。性質性質9.2 各列元素的絕對值之和均小于各列元素的絕對值之和均小于1。9.4 運用與實際運用與實際 第j部門消費產品時經過其它各部門間

18、接耗費第i部門的產品稱為第j部門對第i部門的間接耗費。直接耗費與間接耗費之和稱為完全耗費。 9.4 運用與實際運用與實際 定義定義9.4 第第j部門消費單位產品時對第部門消費單位產品時對第i部部門完全耗費的產品量稱為第門完全耗費的產品量稱為第j部門對第部門對第i部門的部門的完全耗費系數，記作完全耗費系數，記作bij，即，即 1( ,1,2, )nijijirrjrbab aijn 其中 表示間接耗費的總和。nrrjirab19.4 運用與實際運用與實際各部門之間的完全耗費系數構成的矩陣各部門之間的完全耗費系數構成的矩陣nnnnnnbbbbbbbbbB212222111211稱為完全耗費系數矩陣

19、。稱為完全耗費系數矩陣。 直接耗費系數矩陣與完全耗費系數矩陣之直接耗費系數矩陣與完全耗費系數矩陣之間有如下關系，即間有如下關系，即1()BEAE9.4 運用與實際運用與實際 例6 知某一經濟系統的投入產出表如下: 求(1) 總產品x1，x2，x3；(2) 固定資產折舊d1，d2，d3；(3) 直接耗費系數矩陣A 。(4) 完全耗費系數矩陣B。9.4 運用與實際運用與實際解：(1) 根據分配平衡方程組,可得 603812010754002015754515150333323132232221211312111YxxxxYxxxxYxxxx 所以各部門的總產品分別是 60,75,75321xxx9

20、.4 運用與實際運用與實際 (2) 根據耗費平衡方程組 333332313322232221221113121111mVdxxxxmVdxxxxmVdxxxx3102012015605102502015751015251015075333323133322322212221131211111mVxxxxdmVxxxxdmVxxxxd即各部門的固定資產折舊分別是 3,5,10321ddd9.4 運用與實際運用與實際(3)直接耗費系數矩陣為 321111333231232221131211000000 xxxxxxxxxxxxA17517516001515001520000100120000.20

21、.250.20.266700.133300.29.4 運用與實際運用與實際(4) (4) 由于由于 10000.20.2510.20.250100.20.266700.20.733300010.133300.20.133300.8EA 用矩陣的初等行用矩陣的初等行變換可求得變換可求得 31. 105. 018. 009. 045. 13 . 035. 03 . 011. 1)(1AI所以完全消所以完全消耗系數矩陣耗系數矩陣 31. 005. 018. 009. 045. 03 . 035. 03 . 011. 0)(1IAIB9.4 運用與實際運用與實際 以分配平衡方程組為例引見有關平衡方程組

22、的求解問題。 分配平衡方程組可化成如下的普通線性方程組，nnnnnnnnnnyxaxaxayxaxaxayxaxaxa)1 ()1 ()1 (221122222121112121111.知 xj，可以求出 yi。 2.假設知 yi，可以得到一個含有n個未知量xj和n個方程的線性方程組。9.4 運用與實際運用與實際 例例7 設某工廠有三個車間，在某一消費周設某工廠有三個車間，在某一消費周期內，各車間之間的直接耗費系數如表所示，已期內，各車間之間的直接耗費系數如表所示，已知這三個車間的總產值分別是知這三個車間的總產值分別是400、250、300。求求(1)各車間的最終產品；各車間的最終產品；(2)

23、各車間之間的流量。各車間之間的流量。9.4 運用與實際運用與實際解：由于解：由于 300,250,400321xxx2453025300)1 (3132121111xaxaxay903020080)1 (3232221212xaxaxay1752402540)1 (3332321313xaxaxay123245,90,175yyy9.4 運用與實際運用與實際(2)根據直接耗費系數的計算公式，可得 )3,2, 1,(jixaxjijij300,250,400321xxx可得流量為 303001 . 0,252501 . 0,10040025. 0131211xxx303001 . 0,50250

24、2 . 0,804002 . 0232221xxx603002 . 0,252501 . 0,404001 . 0333231xxx9.4 運用與實際運用與實際9.4.2 用用Mathematica解線性方程組解線性方程組 解線性方程組的方法是，利用模板直接輸入增廣矩陣，然后將其化成簡化階梯形矩陣，得到線性方程組的解。 例例8 解線性方程組解線性方程組 1231231223722837xxxxxxxx 9.4 運用與實際運用與實際解：利用模板直接輸入增廣矩陣解：利用模板直接輸入增廣矩陣 In 1 :A123-72 -12 -81307 In 2 :RowReduceA/MatrixForm O

25、ut 21 0 010 1 020 0 1-41231,2,4xxx 9.5 拓展與提高拓展與提高1. n維向量級其相關性維向量級其相關性 定義定義9.5 n個數個數 組成的有組成的有序數組序數組 稱為稱為n維向量，數維向量，數 叫做叫做n維向量的維向量的 分量。分量。 naaa,21),(21naaanaaa,219.5 拓展與提高拓展與提高 定義定義9.6 設有設有m個個n維向量維向量 ，假設有一個向量假設有一個向量 可以寫成如下的方式：可以寫成如下的方式： 其中其中 是常數，那么稱是常數，那么稱 是是 的線性組合，或稱的線性組合，或稱 可用可用 線性表示。線性表示。m,21mmkkk22

26、11),2,1(mikim,21m,219.5 拓展與提高拓展與提高線性方程組11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb mmnnnnmmbbbaaaaaaaaa2121222122121111,nnxxx22119.5 拓展與提高拓展與提高 定義定義9.7 設設 是是m個個n維向量，維向量，假設存在假設存在m個不全為零的數個不全為零的數 ，使得，使得那么稱那么稱 這這m個向量線性相關；否那么就個向量線性相關；否那么就稱這稱這m個向量線性無關。個向量線性無關。m,21mkkk,2102211mmkkkm,219.

27、5 拓展與提高拓展與提高 定理定理9.3 設設 是一組是一組n維向量，維向量，這這m個向量線性相關的充分必要條件是其中至少個向量線性相關的充分必要條件是其中至少有一個向量可以用其他向量線性表示。有一個向量可以用其他向量線性表示。m,219.5 拓展與提高拓展與提高 定義定義9.8 設有一個設有一個n維向量的集合維向量的集合(其中能夠其中能夠有有限個向量，也能夠含有無窮多個向量有有限個向量，也能夠含有無窮多個向量)，如在，如在這一向量集合中存在一組向量這一向量集合中存在一組向量 適宜適宜如下條件：如下條件：(1) 線性無關；線性無關；(2)在原在原向量集合中恣意取出一個向量向量集合中恣意取出一個

28、向量 加進去，那么加進去，那么 線性相關。那么稱之為向量集合的線性相關。那么稱之為向量集合的一個極大線性無關向量組，簡稱極大無關組。一個極大線性無關向量組，簡稱極大無關組。m,21m,21m,219.5 拓展與提高拓展與提高定義定義9.9 設齊次線性方程組設齊次線性方程組11 1122121 122221 122000nnnnmmmnna xa xa xa xa xa xa xaxax 假設0000 ,21212222111211nmnmmnnxxxxaaaaaaaaaA那么可寫成矩陣方式 0Ax9.5 拓展與提高拓展與提高 定理定理9.4 設設 是齊次線性方程組的解向是齊次線性方程組的解向量

29、，那么量，那么 也是方程組的解向量。也是方程組的解向量。12,21 定理定理9.5 設設 是齊次線性方程組的解向量，是齊次線性方程組的解向量，k是恣意常數，那么是恣意常數，那么 也是方程組的解向量。也是方程組的解向量。 k 推論推論 設設 是齊次線性方程組是齊次線性方程組的解向量，那么對恣意的的解向量，那么對恣意的m個數個數 ，那，那么么 也是的解向量。也是的解向量。 m,21mmkkk2211mkkk,219.5 拓展與提高拓展與提高2. 關于線性方程組解的構造關于線性方程組解的構造(1)(1)齊次線性方程組解的構造齊次線性方程組解的構造0000 ,21212222111211nmnmmnnxxxxaaaaaaaaaA設 為下式的一組線性無關的解向量，s,21假設恣意一個解均可表為 的線性組合，那么稱之為的一個根底解系。 s,219.5 拓展與提高拓展與提高齊次線性方程組根底解系的求法如下：齊次線性方程組根底解系的求法如下： 對系數陣A作初等行變換，可得 00000000001000100011212111