1、4.4 常系數(shù)齊次線性微分方程組本節(jié)研究常系數(shù)齊次線性微分方程組本節(jié)研究常系數(shù)齊次線性微分方程組解的情況，特別是方程基本解組的情形，解的情況，特別是方程基本解組的情形，Axx 所以方程組的解在區(qū)間所以方程組的解在區(qū)間),( 上存在唯一上存在唯一. .即尋找即尋找n n個線性無關的解個線性無關的解),(,),(),(21txtxtxn常數(shù)矩陣常數(shù)矩陣nnj iaA )(在在 ),( 上連續(xù)，上連續(xù)，一一 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A有單特征根時的有單特征根時的解解 AMMD1使使是對角矩陣是對角矩陣, nAMMD 000000211設矩陣設矩陣 有有n n個不同特征根，個不同特征根，由線性代數(shù)知識，一定存

2、在一個非奇異由線性代數(shù)知識，一定存在一個非奇異矩陣矩陣 ,MA這里這里), 2 , 1(nii 是矩陣是矩陣A A的特征根的特征根. . MMDAM, nMAM 00000021記記, ,設設 nnnnnnnmmmmmmmmm21222122121111, nmj imM )(對應的特征向量，對應的特征向量，為矩陣為矩陣 的特征根的特征根n ,21i AiiiA 作線性代換作線性代換,Myx 并代入方程可得并代入方程可得DyAMyMy1寫成純量形式寫成純量形式, ,可得方程組可得方程組nnnytyytyyty dd,dd,dd222111積分上面各個方程得解積分上面各個方程得解: :Axx t

3、nnttnecyecyecy ,212211tnnttnecyecyecy ,212211tnttne:ce:ce:cy 1000100012121,Myx Axx 因此方程因此方程 通解為通解為Dyy DyAMyMy1Myx 將將y y代入代入可得方程組可得方程組的基解矩陣為的基解矩陣為),()(2121tnttneeet Axx 定理定理4.13 4.13 設矩陣設矩陣A A有有n n個不同的特征根個不同的特征根 n ,21的通解為的通解為且其相對應的特征向量為且其相對應的特征向量為n ,21, ,則方程組則方程組Axx tnnttnecececx 212211例例1 1 求解方程組求解方

4、程組xx 1236解解 先求矩陣先求矩陣A A的特征根的特征根012712362 因而因而, ,矩陣矩陣A A的特征根為的特征根為4, 321 對對1 可求得其特征向量可求得其特征向量.)1 , 1(1T 對對2 也可求也可求得其相應的特征向量為得其相應的特征向量為.)2 , 3(2T 因而因而, ,方程組的通解為方程組的通解為ttececx42312311 例例2 2 求解方程組求解方程組xx 11212410617解解 該方程對應的矩陣該方程對應的矩陣A A的特征根滿足的特征根滿足0)5)(3)(2(11212410617 對特征根對特征根, 21 其相對應的特征向量其相對應的特征向量1

5、滿足滿足11111212410617 特征向量特征向量.)1, 1, 1(1T , 21 .)1, 1, 1(1T 特征根特征根5, 332 對應的特征向量分別為對應的特征向量分別為,)1, 2, 1(2T .)2, 6, 3(3T 線性齊次方程組的通解為線性齊次方程組的通解為tttecececx533221263121111 11212410617若矩陣若矩陣A A 的特征根具有復特征根的情形的特征根具有復特征根的情形, ,這時方程就會出現(xiàn)實變量數(shù)復值函數(shù)解這時方程就會出現(xiàn)實變量數(shù)復值函數(shù)解. .求出方程組的求出方程組的n n個實的線性無關的實值解個實的線性無關的實值解定理定理2 2 若實系

6、數(shù)線性齊次方程組若實系數(shù)線性齊次方程組 有有復值解復值解 則其實部則其實部 和虛部和虛部都是解都是解. .Axx )()()(tivtutx )(tv)(tu )()()(d)(dd)(dd)(dtivtutAttvittuttx 證明證明是方程組是方程組的解的解, ,)()()(tivtutx Axx )()(dt(t)d),()(d)(dtvtAvtutAttu 即即和和都是齊次方程組的解都是齊次方程組的解. .)(tu)(tv實矩陣實矩陣A A有復特征根一定共軛成對出現(xiàn)有復特征根一定共軛成對出現(xiàn). . 對應的特征向量也與對應的特征向量也與對應的特征向量共軛對應的特征向量共軛, ,因此齊次

7、方程組出現(xiàn)一對共軛的復值解因此齊次方程組出現(xiàn)一對共軛的復值解. .iba 假如假如 是特征根是特征根,iba 也是特征根也是特征根. .則共軛復數(shù)則共軛復數(shù)例例3 3 求解方程組求解方程組xx 1251解解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A A的特征方程為的特征方程為0912512 故有特征根故有特征根ii3,321 且是共軛的且是共軛的. .i 31 對應的特征向量對應的特征向量T),(21 滿足方程滿足方程031253121 iiTi)31, 5( 取基礎解系非零解）：取基礎解系非零解）：原微分方程組有解原微分方程組有解 t it it ieieeitx333)31(5315)( )3cos33(sin

8、3sin33cos3sin53cos5ttitttit tttittt3cos33sin3sin53sin33cos3cos5原方程組的通解原方程組的通解 tttctttctx3cos33sin3sin53sin33cos3cos5)(21例例4 4 求解方程組求解方程組解解 該方程組的系數(shù)矩該方程組的系數(shù)矩陣陣 321332123211942dd1055dd20105ddxxxtxxxxtxxxxtx 942105520105A特征方程特征方程0)54)(5()det(2 EA的的特特征征向向量量取取對對應應51 ,)1 , 0 , 2(1T ,)(111tetx 對應解對應解,22的的特特

9、征征向向量量對對應應i 故原方程有復值解故原方程有復值解)sin(cos21451510202145151020)(2)2(titeiiieiiittti ).214,515,1020(iii 取取tettittttittttitt2)sin14cos2(sin2cos14)cos5sin15(sin5cos15)sin20cos10(sin10cos20 取取)(t 的實部和虛部的實部和虛部, ,得原方程的兩個線性無關解。得原方程的兩個線性無關解。故原方程組的通解為故原方程組的通解為)()()()(332211txctxctxctx 1是是 對應的特征子空間的一個基對應的特征子空間的一個基.

10、 .則存在則存在 12k 且且 對應的特征子空間維數(shù)為對應的特征子空間維數(shù)為1,1,1定理定理 設設nn1矩陣矩陣 A A 有一個重特征根有一個重特征根重數(shù)重數(shù)121)(EA的向量的向量 使得使得 2111( )tx te和和 11221( )ttx tete是齊次線性方程組兩個線性無關的解是齊次線性方程組兩個線性無關的解. . 二二 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A 有重特征根時的解有重特征根時的解 把把11221( )ttx tete代入方程代入方程)()(tAxtx證明證明 只需證明只需證明11221( )ttx tete是齊次線性方程組的解，且是齊次線性方程組的解，且 與與 線性無關。線性無關。)(

11、2tx)(1txttteteeAxx1111112122ttteAeA11)()(1112121因為因為1對應的特征向量，對應的特征向量，是矩陣是矩陣A A的特征根的特征根1，所以，所以. 022Axx2且且 滿足滿足121)(EA這說明這說明)(2tx是齊次線性方程組的解是齊次線性方程組的解. .ttetAeA11120122211tccc)(1tx下面證明下面證明和和)(2tx線性無關線性無關. .1c事實上，若存在常數(shù)事實上，若存在常數(shù)和和2c滿足滿足0)(111122112211tttteececxcxc兩邊乘以兩邊乘以 得得te1兩邊對兩邊對t求導得求導得. 012c因為因為, 01

12、因而必有因而必有. 02c代入得代入得. 011c即有即有. 01c即說明即說明)(1tx和和)(2tx線性線性無關無關. .定理給出了求解方程定理給出了求解方程 的通解的一種方法的通解的一種方法. .Axx 例例 求解方程組求解方程組解解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣 A A 的特征方程為的特征方程為xx52221210430) 1)(1(52221210432因此矩陣因此矩陣 A A 有單特征根有單特征根1112和二重根和二重根對對11，有特征向量，有特征向量T) 1 , 2 , 1 (1T)0 , 1 , 1(2, 12對對有特征向量有特征向量ttteetx233)(設設滿足方程滿足方程23)( E

13、AT)21, 0 , 1 (3方程有解方程有解)()(2332211ttttetececectx5222121043A121)(EA定理定理 設設nn1矩陣矩陣A A有一有一 重特征重特征根根重數(shù)重數(shù)k3k 且其相應的特征子空間是一維的，且其相應的特征子空間是一維的，1是該是該特征子空間的一個基，則一定存在向量特征子空間的一個基，則一定存在向量 滿足滿足2而且對而且對 也一定存在也一定存在 滿足滿足32231)(EA,)(111tetx則則ttteetx11122)(tttetteetx1112)(21233是齊次線性方程組的三個線性無關的解是齊次線性方程組的三個線性無關的解. .)(2201

14、31111)(txtx例例 求解方程組求解方程組解解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A A的特征方程為的特征方程為0)2(2201311113對應的特征向量對應的特征向量21可取可取T) 1 , 0 , 1 (1，對應解對應解tetx211)(，設設ttetetx21222)(這里這里 滿足方程組滿足方程組2解該方程組，解該方程組，取取T)0 ,21,21(2tttetetetx221222332)(設設這里這里 滿足方程滿足方程3T)0 , 0 ,21(3解該方程組，解該方程組， 取取三個解三個解 線性無關。線性無關。)(),(),(321txtxtx121)(EA231)(EA220131111A21T

15、) 1 , 0 , 1 (1221131)(EA存在不全為零常數(shù)存在不全為零常數(shù) 和和 以及向量以及向量 滿足滿足321定理定理 設設nn1矩陣矩陣 A A 有一有一 重特征根重特征根重數(shù)重數(shù)k3k 且其對應的特征子空間的維數(shù)為且其對應的特征子空間的維數(shù)為2 2，1有兩個線性無關的特征向量有兩個線性無關的特征向量 和和 ，21使得使得,)(111tetx,)(122tetxttetetx11)()(221133是是 方程的三個線性無關的解方程的三個線性無關的解. .Axx )(201111100)(txtx例例 求解方程組求解方程組解解 系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣A A的特征方程為的特征方程為0) 1(

16、201111103對應的特征向量對應的特征向量11).0 , 1 , 0(),1 , 0 , 1 (21attetetx1)()(221133設設221131)(EA滿滿足足方程組有解的充要條件是方程組有解的充要條件是,12選取選取, 112?)(,)0 , 0 , 1(33txT得得ttttetececectx111001010101)(321201111100A三三 矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質矩陣指數(shù)函數(shù)的定義和性質 設設A A是是常數(shù)矩陣常數(shù)矩陣, ,定義矩陣指數(shù)函數(shù)定義矩陣指數(shù)函數(shù) ! 2!exp20kAAAEkAAkkk其中其中E E為為n n階單位矩陣階單位矩陣, ,kA是矩陣是矩陣

17、A A的的k k 次冪次冪. .必須證明矩陣級數(shù)是收斂的必須證明矩陣級數(shù)是收斂的. .nn 事實上事實上, ,對一切正整數(shù)對一切正整數(shù)k,k,有有!kAkAkk 所以矩陣級數(shù)是收斂的所以矩陣級數(shù)是收斂的. .而數(shù)項級數(shù)而數(shù)項級數(shù) ! 22kAAAEk是收斂的是收斂的, 0!)exp(kkkktAAt可以證明右端在任何有限區(qū)間上都是一致收斂的可以證明右端在任何有限區(qū)間上都是一致收斂的. .矩陣指數(shù)函數(shù)有下面的性質：矩陣指數(shù)函數(shù)有下面的性質：1 1 若矩陣若矩陣A A和和B B是可交換的是可交換的, ,即即AB=BA,AB=BA,那么那么BABAexpexp)exp( 定義矩陣指數(shù)函數(shù)定義矩陣指數(shù)

18、函數(shù)2 2 對任何矩陣對任何矩陣1)(exp(, AA存在存在, ,且且)exp()(exp(1AA 3 3 若若T T是非奇異矩陣是非奇異矩陣, ,那那么么TATATT)exp()exp(11 定理定理 6 6 矩陣矩陣)exp()(Att 是方程組是方程組 的基解矩陣的基解矩陣. .證明證明) )(exp()( Att )!1(! 2! 11232ktAtAtAAkk)()exp(tAAtA ,)0(E , 1det)0(det E Axx 所以所以)exp()(Att 是方程組是方程組 的基解矩陣的基解矩陣. .Axx cAttx)exp()( 方程組的通解為方程組的通解為這里這里c是一個常數(shù)向量是一個常數(shù)向量.cAtx)exp(00 00)exp(xAtc 定理定理 6 6 矩陣矩陣)exp()(Att 是方程組是方程組 的基解矩陣的基解矩陣. .Axx 方程組方程組00)(xt 的特解的特解? ?Axx 滿足初始條件滿足初始條件00)exp()exp()(xAtAtt 00)(expxttA 假設假設)(t 是方程組的另外一個與是方程組的另外一個與不同的基解矩陣不同的基解矩陣, ,則存在非則存在非)exp(At奇異常數(shù)矩陣奇異常數(shù)矩陣C C滿足滿足Ct