1、精選優質文檔-傾情為你奉上水箱水流量問題 班級：計算122姓名：李克文 學號： 水箱的水流量問題（一）問題的提出：許多供水單位由于沒有測量流入或流出水箱流量的設備，而只能測量水箱中的水位。試著通過測得的某時刻水箱中水位的數據，估計在任意時刻（包括水泵灌水時間）t流出水箱的流量f(t)。假設：(1)影響水箱流量的唯一因素是該區域公眾對水的普通需要。(2)水泵的灌水速度為常數。(3)從水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度。(4)每天的用水量分布都是相似的。(5)水箱的流水速度可用光滑曲線來近似。(6)當水箱的水容量達到514.8g時，開始泵水；達到677.6時，便停止泵水。給出下面原始數據表，

2、其中長度單位為E（1E=30.24cm）。水箱為圓柱體，其直徑為57E。時間/s水位E時間/s水位E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340（二）關鍵字 水箱 ，水

3、流量，水箱容積 ，時間。（三）問題分析與建立模型引入如下記號： V水的容積； Vi時刻ti（h）水的容積（單位G，1G=3.785L（升）； f（t）時刻ti流出水箱的水的流速，它是時間的函數（G/h）；p水泵的灌水速度（G/h）。根據要求先將上表中的數據做變換，時間單位用小時（h），水位高轉換成水的體積（V=R2h），得下表。時間（h）水量（103G）時間（h）水量（103G）0606.112.954639.50.921593.713.876622.41.843583.014.982604.62.950571.615.904589.33.871562.616.826575.04.978552

4、.117.932558.85.900544.119.038542.67.001533.649.959528.27.929525.420.839514.88.968514.822.015/9.981/22.958/10.926/23.880663.410.954677.624.987648.512.033657.725.908637.6注：第一段泵水的始停時間及水量為 t始=8.968（h），v始=514.8103（G） t末=10.926（h），v末=677.6103（G）第二段泵水的始停時間及水量為 t始=20.839（h），v始=514.8103（G） t末=22.958（h），v末=67

5、7.6103（G）2由于要求的是水箱流量與時間的關系，因此須由上表的數據計算出相鄰時間區間的中點及在時間區間內水箱中流出的水的平均速度： 平均流速=（區間左端點的水量區間右端點的水量）/區間中點值得下表：時間區間的中點值（h）平均流量（103G/h）0.460614.01.38212.02.39610.03.4119.64.4259.65.4398.96.459.67.4688.98.44810.09.474/10.45/10.94/11.4918.612.4920.013.4219.014.4316.015.4416.016.3716.017.3814.018.4914.019.5016.0

6、20.4015.021.43/22.49/23.42/24.4314.025.4512.0做出散點圖如圖15-1:圖15-1 散點圖從圖中可以看出數據分布不均勻，局部緊密，因此不能采用插值多項式處理數據，而用曲線擬合的最小二乘法。（四）計算過程1 算法： 第1步:輸入數據xi，yi；第2步:進行擬合；第3步:作出散點圖； 第4步:作出擬合函數圖； 第5步:進行誤差估算。2 實現: 在算法步2中使用Fit 函數，步3、步4使用Plot ，步5選用Integrate 函數。3 誤差估計： 誤差估算時，由于水泵的灌水速度為一常數，水箱中水的體積的平均變化速度應近似等于水泵的灌水速度P減去此段時間從水

7、箱中流出的平均速度。即 此處f（t）在t區間的兩端點間進行積分。 如果此模型確實準確地模擬了這些數據，那么在不同的灌水周期中，按此模型計算出的水泵灌水速度應近似為常數。下面通過水泵開始和停止工作的兩段區間，即t8.968，10.926 及t20.839，22.958來進行檢驗。 第一段： 對應于 t始=8.968（h）， t末=10.926（h） 水量分別為 v始=（G），v末=（G） 故 V1=-=（G） t1=10.926-8.986=1.958（h） =83150（G/h） 第二段： 對應于 t始=20.839（h）， t末=22.958（h） 水量分別為 v始=（G）， v末=（G）所

8、以 V2=-=（G） t2=22.958-20.839=2.119（h） =76830（G/h） P1=83150+ P2=76830+ （五）結果分析 通過水泵開始和停止工作的兩段時間檢驗水泵灌水速度應近似為常數；其中由1，x，x2，x3，x8擬合的函數f（t）所產生的誤差為8.217%，由1，x3，x5，sin(0.1x)，cos(0.1x)擬合達到8.224%。由此可見如選擇不同的基函數，將得不同的誤差。但是只要基函數選擇恰當，所產生的誤差也可以保持為相對穩定最小常數來支持該模型。同時，一旦確定了最佳f（t），我們便可通過Integrate 函數估算出一天的用水總量，從而根據常規每100

9、0人用水量來推測出該地區的人口數，另外，還可求得水箱的平均流速。 評價1、 優點：（1） 任意時刻從水箱中流出的水速都可通過該模型計算出來；（2） 可推測幾天的流速；（3） 可以將該建模過程推廣到用電及用氣的估算上。2、缺點：（1） 如能知道水泵的抽水速度，就能更準確地估算水泵灌水期間水的流速；（2） 通過考慮體積測量的差異建模，該作法包含著某種不準確性。 源程序：L=0.460，14.0，1.382，12.0，2.396，10.0，3.411，9.6， 4.425，9.6，5.439，8.9，6.45，9.6，7.468，8.9， 8.448，10.0，11.49，18.6，12.49，20

10、.0，13.42，19.0， 14.43，16.0，15.44，16.0，16.37，16.0，17.38，14.0， 18.49，14.0，19.50，16.0，20.40，15.0，24.43，14.0， 25.45，12.0fx=FitL，1，x3，x5，Sin0.1x，Cos0.1x，xgraph1=ListPlotL，DisplayFunctionIdentitygraph2=ListPlotfx，x，0.46，25.45，DisplayFunctionIdentity；Showgraph1，graph2，DisplayFunction$DisplayFunction， PlotRa

11、ngeAll圖15-2 水箱水流量擬合圖v1=-；t2=10.926-8.968；m1=v1/t1；v2=-；t1=22.958-20.839；m2=v2/t2；p1=m1+Integratefx，x，8.968，10.926/t1p2=m2+Integratefx，x，20.839，22.958/t2%=（p1-p2）p2運行結果為：112.541-0.x3+0.x5-97.968Cos0.1x-33.1108Sin0.1x83159.9 76840.8 0.（六）模型評價該模型數學概念簡單, 并且容易實現, 任意時刻從水箱中流出水的速度都可通過該模型計算出來, 可以推測速度. 但數據太少, 只能參照一天的數據. 另外, 如果知道水泵的灌水速度, 就能更準確地估算水泵灌水期間水的流速.（七）模型的分析與改進1）模型評價1、模型的優缺點優點：1.模型可以用于有一個標準水箱的小鎮使用，容易推廣；2.模型用到的知識簡單易懂,模型容易完成；3.模型不僅提供了水流量及一天用水量的較為