1、金融時(shí)間序列變量研究除了要討論序列平穩(wěn)性之外，時(shí)間序列的波動(dòng)性也是研究中至關(guān)重要的因素。以2019年3月3日至2009年3月3日以來上證綜合指數(shù)的日對數(shù)收益率為例。-.12-.08-.04.00.04.08.12.16500100015002000R從上圖中可以看出，股票市場的日對數(shù)收益率的波動(dòng)有一定持續(xù)性，呈現(xiàn)出明顯的聚集現(xiàn)象，也稱為波動(dòng)性集群現(xiàn)象。這種集群現(xiàn)象也給進(jìn)行OLS估計(jì)帶來了一定的困難。這種集群現(xiàn)象的另一個(gè)側(cè)面反映出了被處理的數(shù)據(jù)具有較高的異方差。通常認(rèn)為，這時(shí)模型的殘差序列的方差具有明確的經(jīng)濟(jì)含義，即反映了資產(chǎn)的波動(dòng)率，而資產(chǎn)的波動(dòng)率又體現(xiàn)了資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。如果殘差的方差高，則表明資

2、產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)較大，在投資和定價(jià)過程中需要注意對風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估和控制。值得注意的是，只有高頻數(shù)據(jù)的回歸分析才會(huì)遇到這種集群效應(yīng)，也就是說，只有高頻數(shù)據(jù)的模型殘差的平方，才能反映出資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)大小。為了對資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行有效的衡量，通常，人們廣泛使用的是以自回歸條件異方差A(yù)RCH模型為核心的計(jì)量方法。 ARCHARCH模型的定義模型的定義 ARCHARCH模型是最簡單的條件異方差模型，在金融時(shí)間序列分析模型是最簡單的條件異方差模型，在金融時(shí)間序列分析領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。如果設(shè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。如果設(shè) 表示在表示在t t時(shí)刻某金融資產(chǎn)的時(shí)刻某金融資產(chǎn)的對數(shù)收益率，對數(shù)收益率， 為關(guān)于為關(guān)于 到到t t時(shí)刻的所有

3、歷史信息時(shí)刻的所有歷史信息, , 則標(biāo)的資則標(biāo)的資產(chǎn)產(chǎn) 條件期望和條件方差為條件期望和條件方差為 假定假定 服從一個(gè)簡單的時(shí)間序列模型，如平穩(wěn)的服從一個(gè)簡單的時(shí)間序列模型，如平穩(wěn)的ARMA(p,q)ARMA(p,q)模模型型, , 即即 其中其中 稱為殘差項(xiàng)或隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。稱為殘差項(xiàng)或隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。1|tttE rF221() |ttttE rF011pqtitiititijrraatrtrtrtasrtFARCH模型就是針對殘差序列 進(jìn)行建模的，其基本思想是：殘差序列 在t時(shí)刻的方差與上一時(shí)刻t-1的殘差平方存在相關(guān)性。也就是說，殘差項(xiàng)本身并不存在序列相關(guān)性，但是殘差項(xiàng)的平方卻存在序列相關(guān)。最簡

4、單的ARCH模型即ARCH(1)模型，可以寫作：其中， 為無序列相關(guān)的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)，即殘差項(xiàng)。這里假設(shè) 服從正態(tài)分布，此時(shí)ARCH模型也可以稱作正態(tài)ARCH(1)過程。上式的第一個(gè)模型表示原始變量回歸模型，也可稱之為條件均值等式；第二個(gè)模型表示方差的回歸模型，也被稱作條件方差等式。這兩個(gè)模型是ARCH模型的核心組成部分。21101222)(), 0(,tttttttttuuuENuuxytatatutuARCH(1)模型還有一種表現(xiàn)形式，即：其中 。不過為了描述方便，下面將使用前一種表現(xiàn)形式繼續(xù)介紹。1/ 2tttaz h2t01t1ha 01 , 0),1 , 0(10iidNZt通常，ARC

5、H模型，尤其是正態(tài)ARCH模型多用來擬合資產(chǎn)收益率的波動(dòng)情況，但是ARCH模型也存有一些不足之處，例如這個(gè)模型不能區(qū)分出波動(dòng)的正負(fù)性，因?yàn)椴▌?dòng)是以平方的形式表現(xiàn)的；同時(shí)這個(gè)模型也不能指出波動(dòng)產(chǎn)生的原因，只能提供一個(gè)波動(dòng)的描述方式。因此在具體運(yùn)用的過程中，需要根據(jù)實(shí)驗(yàn)?zāi)康慕Y(jié)合多種計(jì)量方法進(jìn)行。 ARCHARCH模型的估計(jì)與檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷墓烙?jì)與檢驗(yàn) 設(shè)設(shè) 是是ARMA(p,q)ARMA(p,q)方程的殘差，可以用平方序列方程的殘差，可以用平方序列 來檢驗(yàn)來檢驗(yàn) 的條件異方差性，一般采用拉格朗日乘子法，即檢的條件異方差性，一般采用拉格朗日乘子法，即檢驗(yàn)下列線性回歸方程的顯著性：驗(yàn)下列線性回歸方程的顯著性

6、： , , 令令 表示表示 的樣本均值的樣本均值； ； 。那。那么么 原假設(shè)原假設(shè) ，成立時(shí)，成立時(shí)，是漸近服從是漸近服從 分布的統(tǒng)計(jì)量。如果統(tǒng)計(jì)量分布的統(tǒng)計(jì)量。如果統(tǒng)計(jì)量 的的F-F-檢驗(yàn)是顯著的，則認(rèn)為檢驗(yàn)是顯著的，則認(rèn)為 有條件異方差。有條件異方差。222011ttptptaaae1,tpT 221()TttpTSSaa21TttpRSSe0:0,1,2,iHip()/(21)TSSRSSpFRSSTp(1,)F pTptttartata2ta2taaF GARCHGARCH模型的定義和性質(zhì)模型的定義和性質(zhì) 如果在如果在ARCHARCH模型的條件方差等式中加入了模型的條件方差等式中加入了

7、 本身的滯后項(xiàng)，本身的滯后項(xiàng)，那么依照那么依照ARAR模型向模型向MAMA模型的轉(zhuǎn)換思路，就可以得到模型的轉(zhuǎn)換思路，就可以得到GARCHGARCH模模型的基本表達(dá)式。型的基本表達(dá)式。 例如，例如，GARCH(qGARCH(q，p)p)過程可以表達(dá)為：過程可以表達(dá)為：其中，其中， 被稱作被稱作ARCHARCH項(xiàng)，項(xiàng)， 稱作稱作GARCHGARCH項(xiàng)。此時(shí)，項(xiàng)。此時(shí)，GARCHGARCH模型中模型中q q表示表示ARCHARCH項(xiàng)的階數(shù)，而項(xiàng)的階數(shù)，而p p表示表示GARCHGARCH項(xiàng)的階數(shù)。項(xiàng)的階數(shù)。qiitiitpiittttttuNuuxy1221022), 0(,2itu2it2tGRA

8、CH模型在金融時(shí)間序列領(lǐng)域有著極為廣泛的應(yīng)用。例如人們經(jīng)常通過上一期的預(yù)測方差GARCH項(xiàng)和以往各期觀察到得波動(dòng)性ARCH項(xiàng)共同來預(yù)測本期的方差。但是，GARCH模型與ARCH 模型有著同樣的不足，即，它對正的波動(dòng)和負(fù)的波動(dòng)有相同的反應(yīng)，不能說明抖動(dòng)產(chǎn)生的原因。另外，關(guān)于高頻金融時(shí)間序列的GARCH模型模擬的尾部太薄，即使用新信息是服從t分布的GARCH模型，也不足以描述實(shí)際高頻數(shù)據(jù)的尾部。GARCH模型的條件方差等式平穩(wěn)性是GARCH模型的重要特性，只有具備平穩(wěn)性，GARCH模型才能用來進(jìn)行波動(dòng)性的預(yù)測。令 ，將 代入GARP(p,q)第二個(gè)等式后，可得：其中 相當(dāng)于 的AR項(xiàng)， 相當(dāng)于MA

9、項(xiàng)。那么類似于ARMA模型，只要上式的逆特征方程：的根落在單位圓外，則滿足平穩(wěn)性條件，此時(shí)GARCH模型中的方差等式也稱之為平穩(wěn)過程。22tttu12121tttuqiititqpiitiituu1),max(1202)(),max(12)(qpiitiiuqiitit10)(1),max(1qpiiiiz2tu GARCHGARCH模型的估計(jì)模型的估計(jì) GARCHGARCH模型在進(jìn)行估計(jì)的時(shí)候，需要同時(shí)設(shè)立條件均值等式模型在進(jìn)行估計(jì)的時(shí)候，需要同時(shí)設(shè)立條件均值等式和條件方差等式，然后直接獲得估計(jì)結(jié)果。例如，對和條件方差等式，然后直接獲得估計(jì)結(jié)果。例如，對GARCH(1GARCH(1，1)1)

10、過程，即：過程，即： 需要注意的是，這里仍假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng)需要注意的是，這里仍假設(shè)擾動(dòng)項(xiàng) 服從正態(tài)分布。服從正態(tài)分布。211211022), 0(,ttttttttuNuuxytu此時(shí)GARCH模型估計(jì)過程中所使用的對數(shù)似然函數(shù)為：相應(yīng)地，如果擾動(dòng)項(xiàng)服從t分布或者廣義誤差分布，則對應(yīng)的對數(shù)似然函數(shù)分別為：其中，df表示自由度，r表示正的分布尾系數(shù)。22221)ln(21)2ln(21)(ttttunormall)2(1ln(21)ln(21)2/ ) 1()2/()2(21)(22222dfudfdfdfdftltttt2/22222)/1 ()/3()ln(21)2/)(/3()/1 (21)(r

11、ttttrurrrrgedl GARCHGARCH模型的預(yù)測模型的預(yù)測 GARCHGARCH模型的實(shí)際意義在于，通過以往期數(shù)中積攢的關(guān)于波模型的實(shí)際意義在于，通過以往期數(shù)中積攢的關(guān)于波動(dòng)性的信息和上一期的方差，預(yù)測本期變量的方差大小。動(dòng)性的信息和上一期的方差，預(yù)測本期變量的方差大小。 運(yùn)用計(jì)量的手段可以這樣表現(xiàn)運(yùn)用計(jì)量的手段可以這樣表現(xiàn)GARCHGARCH模型的預(yù)測過程。模型的預(yù)測過程。以GARCH(1，1)為例，如果假定 和 知，那么基于t時(shí)刻的信息所得到的前一期的預(yù)測值就可以表示為：向前二期的預(yù)測值，由： 可以得到：對平穩(wěn)的 GARCH(1,1) , 即 ,可以證明21210212)()

12、1 (tttttuE211211022tttu)1 ()(212112121110ttttzz)1 ()()()()()2(2121221121110222tttttttttttzEuEEE) 1 ()(2110t010,0, 1101 011h( )1 () tut 指數(shù)指數(shù) GARCH GARCH模型模型 （EGARCH EGARCH ） 在指數(shù)模型中，條件方差等式分析的不再是在指數(shù)模型中，條件方差等式分析的不再是 ，而是它的對，而是它的對數(shù)形式。數(shù)形式。 例如，對例如，對EGARCH(1EGARCH(1，1)1)過程，則有：過程，則有：21111111022lnln), 0(,ttttt

13、ttttttuuNuuxy2tEGARCH模型至少提示了這樣幾條信息：第一，條件方差以對數(shù)的形式出現(xiàn)，表明金融時(shí)間序列的杠桿效應(yīng)是指出的，且條件方差的預(yù)測值一定是非負(fù)的；第二，當(dāng) 為正值時(shí)，該等式可以捕捉到時(shí)間序列波動(dòng)性的集群現(xiàn)象，即前一期的波動(dòng)性會(huì)對后一期波動(dòng)性產(chǎn)生正面影響；第三，在等式中出現(xiàn)了絕對值符號(hào)，意味著當(dāng) 分別取正負(fù)號(hào)時(shí)，對本期條件方差的預(yù)測值會(huì)產(chǎn)生不同的影響。EGARCH模型是非對稱GARCH模型的重要組成部分。11tu 門限門限GARCHGARCH模型模型 （TGARCH TGARCH ） 所謂的門限所謂的門限GARCHGARCH模型，就是指利用虛設(shè)變量來設(shè)置一個(gè)門模型，就是指

14、利用虛設(shè)變量來設(shè)置一個(gè)門限，用以區(qū)分正的和負(fù)的沖擊對條件波動(dòng)性的影響。限，用以區(qū)分正的和負(fù)的沖擊對條件波動(dòng)性的影響。 從這個(gè)定義可以看出，從這個(gè)定義可以看出，TGARCHTGARCH模型與模型與EGARCHEGARCH模型一樣，都是模型一樣，都是屬于非對稱性屬于非對稱性GARCHGARCH模型。模型。以GARCH(1，1)過程為例，這個(gè)模型中所設(shè)立的門限為：此時(shí)，TGARCH模型可以表示為：對著各個(gè)模型，可以這樣理解。 0代表利好消息， 0代表利空消息，只要系數(shù) 為正數(shù)，這兩種不同的消息對條件方差的沖擊和影響就是完全不同的，并且條件方差對利空消息的反應(yīng)明顯大于對利好消息的反應(yīng)。這一點(diǎn)在實(shí)踐中也

15、可以得到證實(shí)。0, 10, 01111ttttuIuI2111211211022), 0(,ttttttttttIuuNuuxy1tu1tu1a GARCH-MGARCH-M模型模型 金融資產(chǎn)的收入率可能會(huì)依賴于其同期的波動(dòng)率，對于存在金融資產(chǎn)的收入率可能會(huì)依賴于其同期的波動(dòng)率，對于存在這種現(xiàn)象的金融時(shí)序，可以考慮用這種現(xiàn)象的金融時(shí)序，可以考慮用GARCH-MGARCH-M模型來擬合。模型來擬合。 GARCHGARCH1 1，1 1）-M-M模型建立如下：模型建立如下： 其中：其中： 是常數(shù)，參數(shù)是常數(shù)，參數(shù) 稱為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)參數(shù)。稱為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)參數(shù)。 時(shí)時(shí)，收入率與過去的波動(dòng)率正相關(guān)，因此收入率是

16、前后相關(guān)的，收入率與過去的波動(dòng)率正相關(guān)，因此收入率是前后相關(guān)的，其相關(guān)性是由，其相關(guān)性是由 的前后相關(guān)性導(dǎo)致的。的前后相關(guān)性導(dǎo)致的。 GARCH-MGARCH-M模型應(yīng)用于股票價(jià)格研究中，可以解釋風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是模型應(yīng)用于股票價(jià)格研究中，可以解釋風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)是歷史股價(jià)收入率具有前后相關(guān)性的原因這一現(xiàn)象。歷史股價(jià)收入率具有前后相關(guān)性的原因這一現(xiàn)象。211211022ttttttuucyc,c0c2t 成分成分GARCHGARCH模型模型CGARCHCGARCH） 成分成分GARCHGARCH模型是應(yīng)用在向量基礎(chǔ)上的模型是應(yīng)用在向量基礎(chǔ)上的GARCHGARCH模型。在傳統(tǒng)的模型。在傳統(tǒng)的GARCHGARCH

17、模型中，通常有一個(gè)隱含假設(shè)，即條件方差的長期均模型中，通常有一個(gè)隱含假設(shè)，即條件方差的長期均值為常數(shù)。一旦時(shí)間序列的波動(dòng)性不能滿足這個(gè)條件，就需值為常數(shù)。一旦時(shí)間序列的波動(dòng)性不能滿足這個(gè)條件，就需要應(yīng)用到要應(yīng)用到CGARCHCGARCH模型了。模型了。以CGARCH(1，1)為例，可以得到三個(gè)回歸模型，即：其中， 表示方差的期望所收斂到得均值水平， 表示隨時(shí)間變化的長期波動(dòng)性水平，即條件方差的期望。在這個(gè)模型中， 反映的是條件方差的長期波動(dòng)部分，而 反映的是條件方差的短期波動(dòng)部分，兩者之和正是GARCH模型中殘差項(xiàng)的條件方差。)()()()(), 0(,121112112212112ttttt

18、ttttttttttQQuQQuQQQQNuuxyQtQtQttQ2 多元波動(dòng)率模型多元波動(dòng)率模型 當(dāng)同時(shí)考慮當(dāng)同時(shí)考慮k k維收入率序列的波動(dòng)率問題時(shí)，用同樣的方法維收入率序列的波動(dòng)率問題時(shí)，用同樣的方法可以將一維的一些波動(dòng)率模型推廣到多元情形，例如，如果可以將一維的一些波動(dòng)率模型推廣到多元情形，例如，如果同時(shí)考慮上海證券交易所的股票綜合指數(shù)和深圳交易所的綜同時(shí)考慮上海證券交易所的股票綜合指數(shù)和深圳交易所的綜合指數(shù)的波動(dòng)率情況，可以一個(gè)合指數(shù)的波動(dòng)率情況，可以一個(gè)2 2維的維的GARCHGARCH模型。模型。 記記 為向量序?yàn)橄蛄啃?到時(shí)刻到時(shí)刻t t時(shí)的所有的歷史信息，時(shí)的所有的歷史信息，

19、 。則。則2 2維的維的GARCHGARCH1 1，1 1模型為模型為 事實(shí)上，多元波動(dòng)率模型能更準(zhǔn)確地描述金融時(shí)間序列的波事實(shí)上，多元波動(dòng)率模型能更準(zhǔn)確地描述金融時(shí)間序列的波動(dòng)性質(zhì)，但在實(shí)證分析時(shí)，參數(shù)的估計(jì)及模型的驗(yàn)證都比較動(dòng)性質(zhì)，但在實(shí)證分析時(shí)，參數(shù)的估計(jì)及模型的驗(yàn)證都比較復(fù)雜。目前還沒有比較好的軟件可以用于多元波動(dòng)率模型的復(fù)雜。目前還沒有比較好的軟件可以用于多元波動(dòng)率模型的參數(shù)估計(jì)和模型的檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)和模型的檢驗(yàn)。21, 221, 12221121121, 221, 12221121120102, 22, 1ttttttuu2 , 1),(1,2,iFuVARttiti),(,2,

20、1ssuutF對金融時(shí)間序列建立一個(gè)GARCH模型一般包括三個(gè)步驟：（1） 對收入率建立一個(gè)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型如ARMA模型），即均值方差， 以分離出數(shù)據(jù)中任何線性相關(guān)的成分，并用該模型的殘差序列檢驗(yàn)ARCH效應(yīng)。（2） 具體確定GARCH模型，建立方差方程，并估計(jì)參數(shù)。（3） 檢驗(yàn)所擬合的GARCH模型。對上海證券交易所2019.03.032021.03.03的股票交易日收盤綜合指數(shù) 的對數(shù)收入率建立AR(1)+TGARCH(1,1)模型。tp記 ，建立均值模型：Dependent Variable: RMethod: Least SquaresDate: Time: 13:11Sample (a

21、djusted): 3 2318Included observations: 2316 after adjustmentsCoefficientStd. Errort-StatisticProb. C0.0002700.0003370.8011600.4231R(-1)0.0997060.0206844.8205300.0000R-squared0.009942 Mean dependent var0.000300Adjusted R-squared0.009514 S.D. dependent var0.016306S.E. of regression0.016228 Akaike info

22、 criterion-5.403306Sum squared resid0.609380 Schwarz criterion-5.398342Log likelihood6259.028 Hannan-Quinn criter.-5.401497F-statistic23.23751 Durbin-Watson stat1.984322Prob(F-statistic)0.000002ttt 1rlog plog ptt 1trcra ARCH模型在運(yùn)用過程中，需要接受異方差檢驗(yàn)從表中可以看出，模型的常數(shù)項(xiàng)不顯著，模型擬合存在異方差，因而，要對模型進(jìn)行修正。Heteroskedasticity

23、 Test: ARCHF-statistic51.39788 Prob. F(3,2309)0.0000Obs*R-squared144.7917 Prob. Chi-Square(3)0.0000用門限自回歸模型實(shí)現(xiàn)擬合過程，修正后的模型表示為： , 其中：tt 1trcra1/2tttaz h2201111111ttttthhaI 11,00,0tttaIatz iidN 0,1Dependent Variable: RMethod: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distributionDate: Time: 12:43Sample (adjusted):

24、 3 2318Included observations: 2316 after adjustmentsConvergence achieved after 18 iterationsPresample variance: backcast (parameter = 0.7)GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)2 + C(4)*RESID(-1)2*(RESID(-1)0) + C(5)*GARCH(-1)CoefficientStd. Errorz-StatisticProb. R(-1)0.1149140.0223325.1457520.0000Variance EquationC4.19E-064.66E-078.9797240.0000RESID(-1)20.0711590.0087058.1744510.0000RESID(-