1、1第十章第十章 群與環群與環主要內容主要內容:l 群的定義與性質群的定義與性質l 子群與群的陪集分解子群與群的陪集分解l 循環群與置換群循環群與置換群l 環與域環與域2l 半群、獨異點與群的定義半群、獨異點與群的定義l 半群、獨異點、群的實例半群、獨異點、群的實例l 群中的術語群中的術語l 群的基本性質群的基本性質10.1 群的定義與性質群的定義與性質3半群、獨異點與群的定義半群、獨異點與群的定義定義定義10.1(1) 設設V=是代數系統，是代數系統， 為二元運算，如果為二元運算，如果 運算是可結合的，則稱運算是可結合的，則稱V為為半群半群.(2) 設設V=是半群，若是半群，若eS是關于是關于

2、 運算的單運算的單位位元，則稱元，則稱V是是含幺半群含幺半群，也叫做，也叫做獨異點獨異點. 有時也將獨有時也將獨異點異點V 記作記作V=. (3) 設設V=是獨異點，是獨異點，e S關于關于 運算的單位元，運算的單位元，若若 a S，a 1 S，則稱，則稱V是是群群. 通常將群記作通常將群記作G. 4實例實例例例1 (1) ,都是半群，都是半群，+是普通加法是普通加法. 這些半群中除這些半群中除外都是獨異點外都是獨異點.(2) 設設n是大于是大于1的正整數，的正整數，和和都都是半群，也都是獨異點，其中是半群，也都是獨異點，其中+和和分別表示矩陣分別表示矩陣加法和矩陣乘法加法和矩陣乘法.(3)

3、為半群，也是獨異點，其中為半群，也是獨異點，其中 為集合對為集合對稱差運算稱差運算.(4) 為半群，也是獨異點，其中為半群，也是獨異點，其中Zn=0,1,n 1， 為模為模n加法加法. (5) 為半群，也是獨異點，其中為半群，也是獨異點，其中 為函數的為函數的復合運算復合運算.(6) 為半群，其中為半群，其中R*為非零實數集合，為非零實數集合， 運運算定義如下：算定義如下： x, y R*, x y=y.5例例2 設設G= e, a, b, c ，G上的運算由下表給出，稱上的運算由下表給出，稱為為Klein四元群四元群 e a b ceabc e a b c a e c b b c e a c

4、 b a e 實例實例特征：特征：1. 滿足交換律滿足交換律2. 每個元素都是自己的逆元每個元素都是自己的逆元3. a, b, c中任何兩個元素運中任何兩個元素運算結果都等于剩下的第三個算結果都等于剩下的第三個元素元素6有關群的術語有關群的術語定義定義10.2 (1) 若群若群G是有窮集，則稱是有窮集，則稱G是是有限群有限群，否，否則稱為無限群則稱為無限群. 群群G 的基數稱為群的基數稱為群 G 的的階階，有限群，有限群G的階記作的階記作|G|. (2) 只含單位元的群稱為只含單位元的群稱為平凡群平凡群. (3) 若群若群G中的二元運算是可交換的，則稱中的二元運算是可交換的，則稱G為為交換交換

5、群群或或阿貝爾阿貝爾 (Abel) 群群.7有關群的術語有關群的術語實例：實例：和和是無限群是無限群.是有限群，也是是有限群，也是 n 階群階群. Klein四元群是四元群是4階群階群. 是平凡群是平凡群. 上述群都是交換群，上述群都是交換群，n階階(n2)實可逆矩陣集合關于實可逆矩陣集合關于矩陣乘法構成的群是非交換群矩陣乘法構成的群是非交換群. 8定義定義10.3 設設G是群，是群，aG，nZ，則，則a 的的 n次冪次冪.mnnanaaneamnn, 0)(0011群中元素的冪群中元素的冪群中元素可以定義負整數次冪群中元素可以定義負整數次冪. 在在中有中有 2 3 = (2 1)3 = 13

6、 = 1 1 1 = 0 在在中有中有 ( 2) 3 = 23 = 2+2+2 = 6 9元素的階元素的階定義定義10.4 設設G是群，是群，aG，使得等式，使得等式 ak=e 成立的最成立的最小正整數小正整數k 稱為稱為a 的階，記作的階，記作|a|=k，稱，稱 a 為為 k 階元階元. 若不存在這樣的正整數若不存在這樣的正整數 k，則稱，則稱 a 為為無限階元無限階元.例如，在例如，在中，中， 2和和4是是3階元，階元， 3是是2階元，階元， 1和和5是是6階元，階元， 0是是1階元階元. 在在中，中，0是是1階元，其它整數的階都不存在階元，其它整數的階都不存在. 10群的性質：冪運算規則

7、群的性質：冪運算規則定理定理10.1 設設G 為群，則為群，則G中的冪運算滿足：中的冪運算滿足： (1) aG，(a 1) 1=a(2) a,bG，(ab) 1=b 1a 1(3) aG，anam = an+m，n, mZ(4) aG，(an)m = anm，n, mZ (5) 若若G為交換群，則為交換群，則 (ab)n = anbn.11群的性質：方程存在惟一解群的性質：方程存在惟一解定理定理10.2G為群，為群， a,bG，方程，方程ax=b和和ya=b在在G中有解且僅有惟一解中有解且僅有惟一解. 證證 a 1b 代入方程左邊的代入方程左邊的x 得得 a(a 1b) = (aa 1)b =

8、 eb = b所以所以a 1b 是該方程的解是該方程的解. 下面證明惟一性下面證明惟一性. 假設假設c是方程是方程ax=b的解，必有的解，必有ac=b，從而有，從而有 c = ec = (a 1a)c = a 1(ac) = a 1b 同理可證同理可證ba 1是方程是方程 ya=b的惟一解的惟一解.12群的性質：方程存在惟一解群的性質：方程存在惟一解例例3 設群設群G=，其中，其中 為對稱差為對稱差. 解下列解下列群方程：群方程：a X=，Y a,b=b解解 X=a 1=a=a， Y=b a,b 1=b a,b=a 13群的性質：消去律群的性質：消去律定理定理10.3 G為群，則為群，則G中適

9、合消去律，即對任意中適合消去律，即對任意a,b,cG 有有(1) 若若 ab = ac，則，則 b = c.(2) 若若 ba = ca，則，則 b = c. 例例4 設設G = a1, a2, , an是是n階群，令階群，令 aiG = aiaj | j=1,2,n 證明證明 aiG = G.證證 由群中運算的封閉性有由群中運算的封閉性有 aiG G. 假設假設aiG G，即，即 |aiG| n. 必有必有aj,akG使得使得 aiaj = aiak （j k） 由消去律得由消去律得 aj = ak, 與與 |G| = n矛盾矛盾. 14群的性質：元素的階群的性質：元素的階證證 (1) 充分

10、性充分性. 由于由于r|k，必存在整數，必存在整數m使得使得k = mr，所以有所以有ak = amr = (ar)m = em = e.必要性必要性. 根據除法，存在整數根據除法，存在整數 m 和和 i 使得使得 k = mr+i, 0ir 1從而有從而有 e = ak = amr+i = (ar)mai = eai = ai 因為因為|a| = r，必有，必有i = 0. 這就證明了這就證明了r | k.定理定理10.4 G為群，為群，aG且且 |a| = r. 設設k是整數，則是整數，則 (1) ak = e當且僅當當且僅當r | k (2 )|a 1| = |a|15群的性質：元素的階

11、群的性質：元素的階證證 (2) 由由 (a 1)r = (ar) 1 = e 1 = e 可知可知 a 1 的階存在的階存在. 令令|a 1| = t，根據上面的證明有，根據上面的證明有t | r. a又是又是a 1的逆元，所以的逆元，所以 r | t. 從而證明了從而證明了r = t，即，即|a 1| = |a| .定理定理10.4 G為群，為群，aG且且 |a| = r. 設設k是整數，則是整數，則 (1) ak = e當且僅當當且僅當r | k (2 )|a 1| = |a|16實例實例例例 5 設設G是群，是群，a,bG是有限階元是有限階元. 證明證明 (1) |b 1ab| = |a

12、| (2) |ab| = |ba|證證 (1) 設設 |a| = r，|b 1ab| = t，則有，則有 從而有從而有t | r. 另一方面，由另一方面，由 a = (b 1) 1(b 1ab)b 1可知可知 r | t. 從而從而有有 |b 1ab| = |a|.eebbbababbabbabbabbrrr 111111).()()(個個17實例實例(2) 設設 |ab| = r，|ba| = t，則有，則有 由消去律得由消去律得 (ab)t = e，從而可知，從而可知，r | t. 同理可證同理可證 t | r. 因此因此 |ab| = |ba|. abaebbbaabbababaaaba

13、bababtttt )().()().()()(11 個個個個1810.2 子群與群的陪集分解子群與群的陪集分解定義定義10.5 設設G是群，是群，H是是G的非空子集，的非空子集，(1) 如果如果H關于關于G中的運算構成群，則稱中的運算構成群，則稱H是是G的的子子群群, 記作記作HG. (2) 若若H是是G的子群，且的子群，且H G，則稱，則稱H是是G的的真子群真子群，記作記作HG.例如例如 nZ (n是自然數是自然數) 是整數加群是整數加群 的子群的子群. 當當n1時時,nZ是是Z的真子群的真子群.對任何群對任何群G都存在子群都存在子群. G和和e都是都是G的子群，稱為的子群，稱為G的的平凡

14、子群平凡子群. 19子群判定定理子群判定定理1定理定理10.5（判定定理一）（判定定理一）設設G為群，為群，H是是G的非空子集，則的非空子集，則H是是G的子群當且的子群當且僅當僅當(1) a,bH有有abH(2) aH有有a 1H.證證 必要性是顯然的必要性是顯然的. 為證明充分性，只需證明為證明充分性，只需證明eH.因為因為H非空，存在非空，存在aH. 由條件由條件(2) 知知a 1H，根據，根據條件條件(1) aa 1H，即，即eH. 20子群判定定理子群判定定理2定理定理10.6 （判定定理二）（判定定理二）設設G為群，為群，H是是G的非空子集的非空子集. H是是G的子群當且僅當的子群當

15、且僅當 a,bH有有ab 1H. 證證 必要性顯然必要性顯然. 只證充分性只證充分性. 因為因為H非空，必存在非空，必存在aH. 根據給定條件得根據給定條件得aa 1H，即，即eH.任取任取aH, 由由e,aH 得得 ea 1H，即，即a 1H. 任取任取a,bH，知，知b 1H. 再利用給定條件得再利用給定條件得a(b 1) 1H，即，即abH.綜合上述，可知綜合上述，可知H是是G的子群的子群. 21子群判定定理子群判定定理3定理定理10.7 （判定定理三）（判定定理三）設設G為群，為群，H是是G的非空有窮子集，則的非空有窮子集，則H是是G的子群的子群當當且僅當且僅當 a,bH有有abH.

16、證證 必要性顯然必要性顯然. 為證充分性，只需證明為證充分性，只需證明 aH有有a 1H. 任取任取aH, 若若a = e, 則則a 1 = eH. 若若ae，令，令S=a,a2,，則，則S H. 由于由于H是有窮集，必有是有窮集，必有ai = aj（i1，由，由此得此得 a j i 1a = e 和和 a a j i 1 = e 從而證明了從而證明了a 1 = a j i 1H. 22典型子群的實例典型子群的實例:生成子群生成子群定義定義10.6 設設G為群，為群，aG，令，令H=ak| kZ，則則H是是G的子群，稱為由的子群，稱為由 a 生成的子群生成的子群，記作，記作.證證 首先由首先由

17、a知道知道. 任取任取am,al，則，則 am(al) 1 = ama l = am l根據判定定理二可知根據判定定理二可知G.實例：實例：例如整數加群，由例如整數加群，由2生成的子群是生成的子群是 =2k | kZ=2Z中，由中，由2生成的子群生成的子群=0,2,4Klein四元群四元群 G = e,a,b,c的所有生成子群是：的所有生成子群是： =e, =e,a, =e,b, =e,c. 23典型子群的實例典型子群的實例:中心中心C定義定義10.7 設設G為群為群, 令令C=a|aG xG(ax=xa)，則則C是是G的子群，稱為的子群，稱為G的的中心中心. 證證 eC. C是是G的非空子集

18、的非空子集. 任取任取a,bC，只需證明，只需證明ab 1與與G中所有的元素都可交換中所有的元素都可交換. xG，有，有 (ab 1)x = ab 1x = ab 1(x 1) 1 = a(x 1b) 1 = a(bx 1) 1 = a(xb 1) = (ax 1)b 1 = (xa)b 1 = x(ab 1) 由判定定理二可知由判定定理二可知CG. 對于阿貝爾群對于阿貝爾群G，因為，因為G中所有的元素互相都可交中所有的元素互相都可交換，換，G的中心就等于的中心就等于G. 但是對某些非交換群但是對某些非交換群G，它的中心是，它的中心是e.24典型子群的實例典型子群的實例:子群的交子群的交例例6

19、 設設G是群，是群，H,K是是G的子群的子群. 證明證明(1) HK也是也是G的子群的子群.(2) HK是是G的子群當且僅當的子群當且僅當 H K 或或 K H.證證 (1) 由由 eHK 知知 HK 非空非空. 任取任取a, bHK，則，則aH, aK, bH, bK. 必有必有ab 1H 和和 ab 1K，從而，從而ab 1HK. 因此因此HK G. 25典型子群的實例典型子群的實例:子群的交子群的交例例6 設設G是群，是群，H,K是是G的子群的子群. 證明證明(1) HK也是也是G的子群的子群.(2) HK是是G的子群當且僅當的子群當且僅當 H K 或或 K H.證證 (2) 充分性顯然

20、，只證必要性充分性顯然，只證必要性. 用反證法用反證法. 假設假設 H K 且且K H，那么存在，那么存在 h 和和 k 使得使得 hHh K, kKk H 推出推出 hk H. 否則由否則由h 1H 得得 k=h 1(hk)H，與假，與假設矛盾設矛盾. 同理可證同理可證 hk K. 從而得到從而得到 hk HK. 與與HK是子是子群矛盾群矛盾. 26圖1定義定義10.8 設設G為群為群, 令令 L(G) = H | H是是G的子群的子群則偏序集則偏序集稱為稱為G的的子群格子群格.子群格子群格實例：實例：Klein四元群的子群格如下：四元群的子群格如下： 27陪集定義與實例陪集定義與實例定義定

21、義10.9 設設H是是G的子群，的子群，aG.令令Ha=ha | hH稱稱Ha是子群是子群H在在G中的中的右陪集右陪集. 稱稱a為為Ha的的代表元代表元素素. 例例7 (1) 設設G=e,a,b,c是是Klein四元群，四元群，H=是是G的子群的子群. H所有的右陪集是：所有的右陪集是： He=e,a=H, Ha=a,e=H, Hb=b,c, Hc=c,b不同的右陪集只有兩個，即不同的右陪集只有兩個，即H和和b,c.28實例實例(2) 設設A=1,2,3，f1, f2, , f6是是A上的雙射函數上的雙射函數. 其中其中 f1=,， f2=, f3=,， f4=, f5=,， f6=,令令 G

22、 = f1, f2, , f6，則，則G 關于函數的復合運算構關于函數的復合運算構成群成群. 考慮考慮G 的子群的子群H=f1, f2. 做出做出 H 的全體右陪集如下的全體右陪集如下: Hf1=f1 f1, f2 f1=H , Hf2=f1 f2, f2 f2=H Hf3=f1 f3, f2 f3=f3, f5, Hf5=f1 f5, f2 f5=f5, f3 Hf4=f1 f4, f2 f4=f4, f6, Hf6=f1 f6, f2 f6=f6, f4結論：結論： Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6. 29陪集的基本性質陪集的基本性質定理定理10.8 設設H是群是群G的子群，

23、則的子群，則 (1) He = H(2) aG 有有aHa證證 (1) He = he | hH = h | hH = H (2) 任取任取 aG，由，由a = ea 和和 eaHa 得得 aHa30定理定理10.9 設設H是群是群G的子群，則的子群，則 a,bG有有 aHb ab 1H Ha=Hb陪集的基本性質陪集的基本性質證證 先證先證aHb ab 1H aHb h(hHa=hb) h(hHab 1=h) ab 1H 31定理定理10.9 設設H是群是群G的子群，則的子群，則 a,bG有有 aHb ab 1H Ha=Hb陪集的基本性質陪集的基本性質證證 再證再證 aHb Ha=Hb. 充分

24、性充分性. 若若Ha=Hb，由，由aHa 可知必有可知必有 aHb. 必要性必要性. 由由 aHb 可知存在可知存在 hH 使得使得 a =hb，即即b =h 1a 任取任取 h1aHa，則有，則有h1a = h1(hb) = (h1h)bHb 從而得到從而得到 Ha Hb. 反之，任取反之，任取h1bHb，則有，則有h1b = h1(h 1a) = (h1h 1)aHa 從而得到從而得到Hb Ha. 綜合上述，綜合上述，Ha=Hb得證得證.32定理定理10.10 設設H是群是群G的子群，在的子群，在G上定義二元關系上定義二元關系R: a,bG, R ab 1H則則 R是是G上的等價關系，且上

25、的等價關系，且aR = Ha.陪集的基本性質陪集的基本性質證證 先證明先證明R為為G上的等價關系上的等價關系. 再證明：再證明： aG，aR = Ha. 任取任取bG， baR R ab 1H Ha=Hb bHa 33推論推論推論推論 設設H是群是群G的子群的子群, 則則(1) a,bG，Ha = Hb 或或 HaHb = (2) Ha | aG = G 證明：由等價類性質可得證明：由等價類性質可得. 定理定理10.11 設設H是群是群G的子群，則的子群，則 aG，H Ha 34左陪集的定義與性質左陪集的定義與性質設設G是群，是群，H是是G的子群，的子群，H 的的左陪集左陪集，即，即aH =

26、ah | hH，aG 關于左陪集有下述性質：關于左陪集有下述性質：(1) eH = H(2) aG，aaH (3) a,bG，abH b 1aH aH=bH(4) 若在若在G上定義二元關系上定義二元關系R， a,bG，R b 1aH 則則R是是G上的等價關系，且上的等價關系，且aR = aH. (5) aG，H aH 35Lagrange定理定理定理定理10.12 （Lagrange）設）設G是有限群，是有限群，H是是G的子的子群，則群，則|G| = |H|G:H 其中其中G:H 是是H在在G中的不同右陪集中的不同右陪集(或左陪集或左陪集) 數，數，稱為稱為H在在G 中的中的指數指數. 證證

27、設設G:H = r，a1,a2,ar分別是分別是H 的的r個右陪集的個右陪集的代表元素，代表元素， G = Ha1Ha2Har|G| = |Ha1| + |Ha2| + + |Har|由由|Hai| = |H|，i = 1,2,r, 得得 |G| = |H|r = |H|G:H36Lagrange定理的推論定理的推論推論推論1 設設G是是n階群，則階群，則 aG，|a|是是n的因子，且有的因子，且有an = e. 證證 任取任取aG，是是G的子群，的子群，的階是的階是n的因子的因子. 是由是由a生成的子群，若生成的子群，若|a| = r，則，則 = a0=e,a1,a2,ar 1即即的階與的階

28、與|a|相等相等, 所以所以|a|是是n的因子的因子. 從而從而an = e.37Lagrange定理的推論定理的推論推論推論2 對階為素數的群對階為素數的群G，必存在，必存在aG使得使得G = .證證 設設|G| = p，p是素數是素數. 由由p2知知G中必存在非單位元中必存在非單位元. 任取任取aG，a e，則，則是是G的子群的子群. 根據拉格朗日根據拉格朗日定理，定理，的階是的階是p的因子，即的因子，即的階是的階是 p或或1. 顯然顯然的階不是的階不是1，這就推出，這就推出G = .38Lagrange定理的應用定理的應用命題命題：如果群：如果群 G 只含只含 1 階和階和 2 階元，則

29、階元，則 G 是是Abel群群. 證證 設設a為為G中任意元素，有中任意元素，有a 1 = a. 任取任取 x, yG，則則 xy = (xy) 1 = y 1x 1 = yx， 因此因此G是是Abel群群. 39Lagrange定理的應用定理的應用例例8 證明證明 6 階群中必含有階群中必含有 3 階元階元. 證證 設設G是是6 階群，則階群，則G中元素只能是中元素只能是1階、階、2階、階、3階階或或6階階.若若G中含有中含有6 階元，設為階元，設為a，則，則 a2是是3 階元階元. 若若G中不含中不含6 階元，下面證明階元，下面證明G中必含有中必含有3階元階元. 如若如若不然，不然，G中只

30、含中只含1階和階和2階元，即階元，即 aG，有，有a2=e，由命題知由命題知G是是Abel群群. 取取G中中2階元階元 a 和和 b，a b，令，令 H = e, a, b, ab，則，則H 是是G的子群，但的子群，但 |H| = 4，|G| = 6，與拉格朗日定理矛盾，與拉格朗日定理矛盾. 40例例9 證明階小于證明階小于6 的群都是的群都是Abel群群. Lagrange定理的應用定理的應用證證 1 階群是平凡的，顯然是阿貝爾群階群是平凡的，顯然是阿貝爾群. 2, 3和和5都是素數，由推論都是素數，由推論2它們都是單元素生成的它們都是單元素生成的群，都是群，都是Abel群群. 設設G是是4

31、階群階群. 若若G中含有中含有4階元，比如說階元，比如說a，則，則G=，由上述分析可知，由上述分析可知G是是Abel群群. 若若G中不含中不含4階元，階元，G中只含中只含1階和階和2階元，由命題可階元，由命題可知知G也是也是Abel群群. 4110.3 循環群與置換群循環群與置換群定義定義10.10 設設G是群，若存在是群，若存在aG使得使得 G=ak| kZ 則稱則稱G是是循環群循環群，記作，記作G=，稱，稱 a 為為G 的生成元的生成元. 循環群的分類：循環群的分類：n 階循環群階循環群和和無限循環群無限循環群. 設設G=是循環群，若是循環群，若a是是n 階元，則階元，則 G = a0=e

32、, a1, a2, , an 1 那么那么|G| = n，稱，稱 G 為為 n 階循環群階循環群. 若若a 是無限階元，則是無限階元，則 G = a0=e, a1, a2, 稱稱 G 為無限循環群為無限循環群. 42循環群的生成元循環群的生成元定理定理10.13 設設G=是循環群是循環群. (1) 若若G是無限循環群，則是無限循環群，則G只有兩個生成元，即只有兩個生成元，即a和和a 1. (2) 若若G是是 n 階循環群，則階循環群，則G含有含有 (n)個生成元個生成元. 對于對于任何小任何小 于于n且與且與 n 互質的數互質的數r0,1,n-1, ar是是G的的生成元生成元. (n)稱為歐拉

33、函數，例如稱為歐拉函數，例如 n=12，小于或等于，小于或等于12且與且與12互素的正整數有互素的正整數有4個：個： 1, 5, 7, 11，所以所以 (12)=4.43證明證明證證 (1) 顯然顯然 G. akG， ak=(a 1) k ，因此因此G ，a 1是是G的生成元的生成元.再證明再證明G只有只有a和和a 1這兩個生成元這兩個生成元. 假設假設 b 也是也是G 的的生成元，則生成元，則 G=. 由由aG 可知存在整數可知存在整數 t 使得使得a = bt. 由由bG = 知存在整數知存在整數 m 使得使得 b = am. 從而從而 a = bt = (am)t = amt 由由G中的

34、消去律得中的消去律得 amt 1 = e因為因為G是無限群，必有是無限群，必有mt 1 = 0. 從而證明了從而證明了m = t = 1或或 m = t = 1，即，即 b = a 或或 b = a 1.44(2) 只須證明：對任何正整數只須證明：對任何正整數 r ( rn)， ar是是G的生成元的生成元 n與與r互質互質. 充分性充分性. 設設r與與n互質，且互質，且rn，那么存在整數，那么存在整數 u 和和 v 使得使得 ur + vn = 1 從而從而 a = aur+vn = (ar)u(an)v = (ar)u這就推出這就推出 akG，ak = (ar)uk，即，即G . 另一方面，

35、顯然有另一方面，顯然有 G. 從而從而G = . 必要性必要性. 設設ar是是G的生成元，則的生成元，則 |ar| = n. 令令r與與n的最的最大公約數為大公約數為d，則存在正整數，則存在正整數 t 使得使得 r = dt. 因此因此, |ar| 是是n/d的因子，即的因子，即n整除整除n/d. 從而證明了從而證明了d = 1.證明證明45實例實例例例10 (1) 設設G=e, a, , a11是是12階循環群，則階循環群，則 (12)=4. 小小于于12且與且與12互素的數是互素的數是1, 5, 7, 11, 由定理由定理10.13可可知知 a, a5, a7 和和 a11是是G的生成元的

36、生成元.(2) 設設G=是模是模9的整數加群，則的整數加群，則 (9)=6. 小于小于9且與且與9互素的數是互素的數是 1, 2, 4, 5, 7, 8. 根據定理根據定理10.13，G的生成元是的生成元是1, 2, 4, 5, 7和和8. (3) 設設G=3Z=3z | zZ, G上的運算是普通加法上的運算是普通加法. 那那么么G只有兩個生成元：只有兩個生成元：3和和 3. 46循環群的子群循環群的子群定理定理10.14 設設G=是循環群是循環群. (1) 設設G=是循環群，則是循環群，則G的子群仍是循環群的子群仍是循環群.(2) 若若G=是無限循環群，則是無限循環群，則G的子群除的子群除e

37、以外都以外都是無限循環群是無限循環群.(3) 若若G=是是n階循環群，則對階循環群，則對n的每個正因子的每個正因子d，G恰好含有一個恰好含有一個d 階子群階子群.47證明證明證證 (1) 設設H是是G=的子群，若的子群，若H=e，顯然，顯然H是循是循環群，否則取環群，否則取H中的最小正方冪元中的最小正方冪元am，下面證明，下面證明H=. 易見易見 H. 下面證明下面證明H . 為此，為此，只需證明只需證明H中任何元素都可表成中任何元素都可表成am的整數次冪的整數次冪. 任取任取alH，由除法可知存在整數，由除法可知存在整數 q 和和 r，使得，使得 l = qm+r， 其中其中 0rm 1 a

38、r = al qm = al(am) q 由由al, amH 且且 H 是是G 的子群可知的子群可知arH. 因為因為am是是H中最小正方冪元，必有中最小正方冪元，必有r = 0. 這就推出這就推出al = (am)q48證明證明(2) 設設G=是無限循環群，是無限循環群，H是是G 的子群的子群. 若若He可知可知H = ，其中，其中am為為H中最小正方冪元中最小正方冪元. 假若假若 |H|=t，則，則 |am|=t，從而得到，從而得到amt = e. 這與這與a為無限階元為無限階元矛盾矛盾.49證明證明(3) 設設G=是是 n 階循環群，則階循環群，則 G = a0=e, a1, , an

39、1 下面證明對于下面證明對于n的每個正因子的每個正因子d都存在一個都存在一個d階子群階子群. 易見易見 是是G的的d 階子群階子群. 假設假設H1=也是也是G的的d 階子群，其中階子群，其中 am 為為 H1中的最小正方冪元中的最小正方冪元. 則由則由 (am)d = e 可知可知 n 整除整除md，即，即 n/d 整除整除 m. 令令m = (n/d)l，l是整數，則有是整數，則有 這就推出這就推出H1 H. 又由于又由于 |H1| = |H| = d，得，得H1 = H. dnaH/Haaldnm )(/50實例實例例例11 (1) G=是無限循環群，其生成元為是無限循環群，其生成元為1和

40、和 1. 對于自然數對于自然數mN，1的的m次冪是次冪是m，m生成的子群生成的子群是是mZ，mN. 即即 = 0 = 0Z = mz | zZ= mZ， m0(2) G=Z12是是12階循環群階循環群. 12正因子是正因子是1,2,3,4,6和和12，G 的子群的子群: 1階子群階子群=0 2階子群階子群=0,6 3階子群階子群 =0,4,8 4階子群階子群 =0,3,6,9 6階子群階子群=0,2,4,6,8,10 12階子群階子群 =Z12 51n 元置換及乘法元置換及乘法定義定義10.11 設設 S = 1, 2, , n, S上的任何雙射函數上的任何雙射函數:SS 稱為稱為S上的上的n

41、元置換元置換. 例如例如 S=1, 2, 3, 4, 5, 下述為下述為5元置換元置換 5524133241,4514233251 4534532211,2544331251 定義定義10.12 設設,是是n元置換元置換, 和和的復合的復合 也也是是n元置換元置換, 稱為稱為與與 的乘積的乘積, 記作記作 . 例如例如 52n元置換的輪換表示元置換的輪換表示定義定義10.13 設設是是 S = 1, 2, , n 上的上的n元置換元置換。若。若 (i1) = i2, (i2) = i3, , (ik 1) = ik, (ik) = i1且保持且保持S中其它元素不變，則稱中其它元素不變，則稱是是

42、 S上的上的k階輪換階輪換. 記作記作(i1 i2 ik)。若若k=2，稱，稱是是 S上的對換上的對換.53n元置換的輪換表示元置換的輪換表示設設 S = 1, 2, , n，對于任何，對于任何S上的上的 n 元置換元置換 , 存存在著一個有限序列在著一個有限序列 i1, i2, , ik, k1, (可以取可以取i1=1) 使使得得 (i1) = i2, (i2) = i3, , (ik 1) = ik, (ik) = i1令令 1 = (i1 i2 ik)是是 分解的第一個輪換分解的第一個輪換. 將將 寫寫作作 1, 繼續對繼續對 分解分解. 由于由于S 只有只有n 個元素個元素, 經過經

43、過有限步得到有限步得到 = 1 2 t54n元置換的輪換表示元置換的輪換表示輪換分解式的特征輪換分解式的特征l 輪換的不交性輪換的不交性l 分解的惟一性分解的惟一性: 若若 = 1 2 t 和和 = 1 2 s 是是 的兩個輪換表示式，則有的兩個輪換表示式，則有 1, 2, , t = 1, 2, , s 55例例12 設設S = 1, 2, , 8, 38577665244312817887162544633251 則則 輪換分解式為：輪換分解式為： = (1 5 2 3 6) (4) (7 8) = (1 5 2 3 6) (7 8) = (1 8 3 4 2) (5 6 7) 實例實例5

44、6置換的對換分解置換的對換分解設設S = 1,2,n， = (i1 i2 ik) 是是S上的上的 k 階輪換，階輪換， 可以進一步表成對換之積，即可以進一步表成對換之積，即 (i1 i2 ik) = (i1 i2) (i1 i3) (i1 ik) 任何任何n元置換表成輪換之積，然后將每個輪換表成元置換表成輪換之積，然后將每個輪換表成對換之積對換之積. 例如例如 8 元置換元置換 = (1 5 2 3 6) (7 8) = (1 5) (1 2) (1 3) (1 6) (7 8) = (1 8 3 4 2) (5 6 7) = (1 8) (1 3) (1 4) (1 2) (5 6) (5

45、7)57 44133221 對換分解的特征對換分解的特征l 對換分解式中對換之間可以有交，分解式也不惟一對換分解式中對換之間可以有交，分解式也不惟一. 例如例如4元置換元置換 可以有下面不同的對換表示：可以有下面不同的對換表示： = (1 2) (1 3)， = (1 4) (2 4) (3 4) (1 4)l 表示式中所含對換個數的奇偶性是不變的表示式中所含對換個數的奇偶性是不變的. 如果如果n元置換元置換 可以表示成奇數個對換之積，則稱可以表示成奇數個對換之積，則稱 為為奇置換奇置換，否則稱為，否則稱為偶置換偶置換. 不難證明奇置換和偶置換各有不難證明奇置換和偶置換各有n!/2個個. 58

46、n元置換群元置換群所有的所有的 n元置換構成的集合元置換構成的集合Sn關于置換乘法構成群，關于置換乘法構成群， 稱為稱為n元對稱群元對稱群. n元對稱群的子群稱為元對稱群的子群稱為n元置換群元置換群. 例例13 設設 S = 1, 2, 3，3元對稱群元對稱群 S3= (1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1)(1 2)(1 3)(2 3)(1 2 3)(1 3 2) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)(1 2) (1) (1 2

47、 3) (1 3 2) (1 3) (2 3)(1 3) (1 3 2) (1) (1 2 3) (2 3) (1 2)(2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1) (1 2) (1 3)(1 2 3) (2 3) (1 2) (1 3) (1 3 2) (1)(1 3 2) (1 3) (2 3) (1 2) (1) (1 2 3)59Sn的子群的子群n元交錯群元交錯群An是是Sn的子群，的子群， An是所有的是所有的n元偶置換的元偶置換的集合集合. 證證 恒等置換恒等置換(1) 是偶置換，所以是偶置換，所以An非空非空. 根據判定定理三，只需證明封閉性：根據判定定理三，只需證明封閉性

48、：任取任取 , An， , , 都可以表成偶數個對換之積，都可以表成偶數個對換之積，那么那么 也可以表成偶數個對換之積，所以也可以表成偶數個對換之積，所以 An. 60Sn的子群的子群實例：實例：S3的子群格的子群格S3=(1), (12), (13), (23), (123), (132),A3=(1), (123), (132), (1), (1), (12), (1), (13), (1), (23). 6110.4 環與域環與域 定義定義10.12 設設是代數系統，是代數系統，+和和是二元運算是二元運算. 如果滿足以下條件如果滿足以下條件:(1) 構成交換群構成交換群(2) 構成半群構

49、成半群(3) 運算關于運算關于+運算適合分配律運算適合分配律則稱則稱是一個是一個環環. 通常稱通常稱+運算為環中的運算為環中的加法加法，運算為環中的運算為環中的乘法乘法.環中加法單位元記作環中加法單位元記作 0，乘法單位元（如果存在），乘法單位元（如果存在）記作記作1. 對任何元素對任何元素 x，稱，稱 x 的加法逆元為的加法逆元為負元負元，記作，記作 x. 若若 x 存在乘法逆元的話，則稱之為存在乘法逆元的話，則稱之為逆元逆元，記作，記作x 1. 62環的實例環的實例例例15(1) 整數集、有理數集、實數集和復數集關于普通的整數集、有理數集、實數集和復數集關于普通的加法和乘法構成環，分別稱為

50、加法和乘法構成環，分別稱為整數環整數環Z，有理數環有理數環Q，實數環實數環R和和復數環復數環C.(2) n(n2)階實矩陣的集合階實矩陣的集合Mn(R)關于矩陣的加法和關于矩陣的加法和乘法構成環，稱為乘法構成環，稱為 n 階實矩陣環階實矩陣環.(3) 集合的冪集集合的冪集P(B)關于集合的對稱差運算和交運算關于集合的對稱差運算和交運算構成環構成環.(4) 設設Zn0,1, . , n1， 和和 分別表示模分別表示模n的加的加法和乘法，則法和乘法，則構成環，稱為構成環，稱為模模 n的整數環的整數環. 63定理定理10.16 設設是環，則是環，則 (1) aR，a0 = 0a = 0(2) a,b

51、R，( a)b = a( b) = ab(3) a,b,cR，a(b c) = ab ac， (b c)a = ba ca(4) a1,a2,.,an,b1,b2,.,bmR (n,m2) babajnimjimjjnii 1111)()(環的運算性質環的運算性質 64環的運算性質環的運算性質 證證 (1) aR有有 a0 = a(0+0) = a0+a0由環中加法的消去律得由環中加法的消去律得a0=0. 同理可證同理可證0a=0.(2) a,bR，有，有 ( a)b+ab =( a+a)b = 0b = 0ab+( a)b =(a+( a)b = 0b = 0( a)b是是ab的負元的負元.

52、 由負元惟一性由負元惟一性( a)b= ab.同理同理a( b)= ab.65 nijijniibaba11)( mjjimjjibaba11)( nimjjinimjjimjjniibababa111111)()( 同理可證同理可證, b1, b2, ., bm有有(4) 證明思路：用歸納法證明證明思路：用歸納法證明 a1, a2, . , an 有有于是于是證明證明(4)66實例實例例例16 在環中計算在環中計算(a+b)3, (a b)2 解解 (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = (a2+ba+ab+b2)(a+b) = a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+a

53、b2+b3 (a b)2 = (a b)(a b) = a2 ba ab+b267特殊的環特殊的環定義定義10.13 設設是環是環(1) 若環中乘法若環中乘法 適合交換律，則稱適合交換律，則稱R是是交換環交換環.(2) 若環中乘法若環中乘法 存在單位元，則稱存在單位元，則稱R是是含幺環含幺環.(3) 若若 a,bR，ab=0 a=0b=0，則稱，則稱R是是無零因無零因子環子環.(4) 若若R既是交換環、含幺環、無零因子環，則稱既是交換環、含幺環、無零因子環，則稱R是是整環整環.(5) 設設R是整環，且是整環，且R中至少含有兩個元素中至少含有兩個元素. 若若 aR*，其中，其中R*=R 0，都有

54、，都有a1R，則稱，則稱R是是域域.68例例17(1) 整數環整數環Z、有理數環、有理數環Q、實數環、實數環R、復數環、復數環C都是都是交換環交換環,含幺環含幺環,無零因子環和整環無零因子環和整環. 除了整數環以外除了整數環以外都是域都是域. (2) 令令2Z=2z | zZ，則，則構成交換環和無零構成交換環和無零因子環因子環. 但不是含幺環和整環但不是含幺環和整環.(3) 設設n Z, n 2, 則則n階實矩陣的集合階實矩陣的集合Mn(R)關于矩陣關于矩陣加法和乘法構成環，它是含幺環，但不是交換環和加法和乘法構成環，它是含幺環，但不是交換環和無零因子環，也不是整環無零因子環，也不是整環.(4

55、) 構成環，它是交換環構成環，它是交換環, 含幺環含幺環, 但不是但不是無零因子環和整環無零因子環和整環. 2 3=3 2=0，2和和3是零因子是零因子.l 注意：對于一般的注意：對于一般的n, Zn是整環當且僅當是整環當且僅當n是素數是素數. 實例實例69實例實例例例18 設設 p為素數，證明為素數，證明Zp是域是域.證證 p為素數，所以為素數，所以 |Zp|2. 易見易見Zp可交換，單位可交換，單位是是1, 對于任意的對于任意的 i, jZp, i 0有有i j = 0 p 整除整除 ij p| j j = 0所以所以 Zp 中無零因子，中無零因子，Zp為整環為整環. 下面證明每個非零元素

56、都有逆元下面證明每個非零元素都有逆元. 任取任取 iZp，i 0，令，令i Zp = i j | jZp則則 i Zp = Zp，否則，否則 j, kZp，使得，使得 i j = i k，由消去律得由消去律得 j = k. 由由1Zp，存在，存在 jZp，使得，使得 i j = 1. 由于交換性可由于交換性可知知 j 就是就是i 的逆元的逆元. 70練習練習11. 判斷下列集合和運算是否構成半群、獨異點和群判斷下列集合和運算是否構成半群、獨異點和群. (1) a 是正整數，是正整數，G = an | n Z, 運算是普通乘法運算是普通乘法.(2) Q+是正有理數集，運算為普通加法是正有理數集，

57、運算為普通加法.(3) 一元實系數多項式的集合關于多項式加法一元實系數多項式的集合關于多項式加法.解解(1) 是半群、獨異點和群是半群、獨異點和群(2) 是半群但不是獨異點和群是半群但不是獨異點和群(3) 是半群、獨異點和群是半群、獨異點和群方法：根據定義驗證，注意運算的封閉性方法：根據定義驗證，注意運算的封閉性712. 設設V1= , V2 = ,其中其中Z為整數集合為整數集合, + 和和 分別代表普通加法和乘法分別代表普通加法和乘法. 判斷下述集合判斷下述集合S是否是否構成構成V1和和V2的子半群和子獨異點的子半群和子獨異點.(1) S= 2k | k Z(2) S= 2k+1 | k Z

58、(3) S= 1, 0, 1解解(1) S關于關于V1構成子半群和子獨異點，但是關于構成子半群和子獨異點，但是關于V2僅構成子半群僅構成子半群(2) S關于關于V1不構成子半群也不構成子獨異點，不構成子半群也不構成子獨異點，S關關于于V2構成子半群和子獨異點構成子半群和子獨異點(3) S關于關于V1不構成子半群和子獨異點，關于不構成子半群和子獨異點，關于V2構構成子半群和子獨異點成子半群和子獨異點練習練習2723. 設設Z18 為模為模18整數加群整數加群, 求所有元素的階求所有元素的階. 解：解：|0| = 1, |9| = 2， |6| = |12| = 3, |3| = |15| = 6

59、, |2| = |4| = |8| = |10| = |14| = |16| = 9, |1| = |5| = |7| = |11| = |13| = |17| =18.練習練習3說明：說明：l 群中元素的階可能存在，也可能不存在群中元素的階可能存在，也可能不存在. l 對于有限群，每個元素的階都存在，而且是群的對于有限群，每個元素的階都存在，而且是群的階的因子階的因子.l 對于無限群，單位元的階存在，是對于無限群，單位元的階存在，是1；而其它元素；而其它元素的階可能存在，也可能不存在的階可能存在，也可能不存在.（可能所有元素的（可能所有元素的階都存在，但是群還是無限群）階都存在，但是群還是無

60、限群）.734 4證明偶數階群必含證明偶數階群必含2 2階元階元. . 由由 x2 = e |x| = 1 或或2. 換句話說換句話說, 對于對于G中元素中元素x，如果，如果 |x| 2, 必有必有x 1 x. 由于由于 |x| = |x 1|，階大于，階大于2的元素成對出現，共有偶數的元素成對出現，共有偶數個個.那么剩下的那么剩下的 1 階和階和 2 階元總共應該是偶數個階元總共應該是偶數個.1 階元只有階元只有 1 個，就是單位元，從而證明了個，就是單位元，從而證明了G中必有中必有 2 階元階元. 練習練習474有關群性質的證明方法有關群性質的證明方法有關群的簡單證明題的主要類型有關群的簡